Exericico fixação-157

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Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre as curvas no intervalo 
dado. 
 
90. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto onde 
\( x = 1 \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = x - 1 \). 
 Explicação: Use a derivada para encontrar a inclinação da tangente e a equação ponto-
inclinação. 
 
91. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 \) com a condição 
inicial \( y(0) = 1 \). 
 Resposta: A solução é \( y = \tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \). 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
92. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \sqrt{1 + x^2} + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Use a substituição trigonométrica \( x = \sinh(u) \) para simplificar a integral. 
 
93. Problema: Determine o raio de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n + 1} \). 
 Resposta: O raio de convergência é \( 1 \). 
 Explicação: Use o teste da razão para encontrar o raio de convergência. 
 
94. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( 
 
 y = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x) \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
 
95. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(2x)} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{2} \). 
 Explicação: Use a identidade trigonométrica \( \sin(3x) = 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) \) e a 
definição de \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \).