Exericico fixação-176

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31. Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = x^2 \) em torno do 
eixo \( x \) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{10} \). 
 
32. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 
33. Determine os valores de \( a \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a} 
\) converge. 
 Resposta: A série converge para \( a > 1 \). 
 
34. Encontre a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: A matriz inversa é \( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 
\end{pmatrix} \). 
 
35. Determine os valores próprios e os vetores próprios da matriz \( B = \begin{pmatrix} 3 & 
1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: Os valores próprios são \( \lambda_1 = 4 \) com vetor próprio \( v_1 = 
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) e \( \lambda_2 = 2 \) com vetor próprio \( v_2 = 
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \). 
 
36. Encontre a solução da equação diferencial \( y' + y = e^{-x} \) com condição inicial \( 
y(0) = 1 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = e^{-x} + e^x \). 
 
37. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{4x^2 + 5x - 7} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{4} \). 
 
38. Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{4}{3} \). 
 
39. Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = x^2 y + \sin(xy) \) em relação a \( x \). 
 Resposta: A derivada parcial é \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy) \).