RESUMO Modelos Matematicos

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RESUMO Modelo Matemático da Pesquisa Operacional
Os modelos matemáticos na Pesquisa Operacional (PO) são representações abstratas de problemas reais que utilizam linguagem matemática para descrever as relações entre diferentes componentes do sistema. Esses modelos são fundamentais para a análise e solução de problemas de otimização, planejamento e tomada de decisão.
1. Conceitos Básicos de Modelos Matemáticos
Definição: Um modelo matemático é uma descrição formal e abstrata de um problema, utilizando expressões matemáticas para representar variáveis, parâmetros, relações e restrições do sistema.
Objetivo: Facilitar a compreensão, análise e solução de problemas complexos, permitindo a aplicação de métodos analíticos e computacionais.
2. Componentes de um Modelo Matemático
1. Variáveis de Decisão:
· Descrição: Representam as escolhas ou decisões que podem ser feitas no modelo.
· Exemplo: Quantidade de produtos a serem fabricados, número de veículos em uma frota.
2. Parâmetros:
· Descrição: Valores conhecidos e fixos que caracterizam o problema.
· Exemplo: Custos de produção, capacidade dos recursos, demanda do mercado.
3. Função Objetivo:
· Descrição: Expressa o objetivo do problema, que pode ser maximizado ou minimizado.
· Exemplo: Maximizar o lucro, minimizar os custos, minimizar o tempo de espera.
4. Restrições:
· Descrição: Condições que as soluções devem satisfazer.
· Exemplo: Limitações de capacidade, orçamento, requisitos de qualidade.
3. Tipos de Modelos Matemáticos na Pesquisa Operacional
1. Programação Linear (PL):
· Descrição: Modelos onde a função objetivo e as restrições são lineares.
· Exemplo: Maximizar o lucro de uma fábrica sujeito a restrições de capacidade e demanda.
· Forma Geral:
Maximizar/Minimizar 𝑧=𝑐1𝑥1+𝑐2𝑥2+…+𝑐𝑛𝑥𝑛Maximizar/Minimizar z=c1​x1​+c2​x2​+…+cn​xn​
sujeito a:sujeito a:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+…+𝑎1𝑛𝑥𝑛≤𝑏1a11​x1​+a12​x2​+…+a1n​xn​≤b1​
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+…+𝑎2𝑛𝑥𝑛≤𝑏2a21​x1​+a22​x2​+…+a2n​xn​≤b2​
⋮⋮
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+…+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛≤𝑏𝑚am1​x1​+am2​x2​+…+amn​xn​≤bm​
𝑥𝑖≥0,∀𝑖xi​≥0,∀i
2. Programação Inteira (PI):
· Descrição: Semelhante à PL, mas as variáveis de decisão devem ser inteiras.
· Exemplo: Planejamento de produção onde o número de produtos deve ser inteiro.
· Forma Geral:
Maximizar/Minimizar 𝑧=𝑐1𝑥1+𝑐2𝑥2+…+𝑐𝑛𝑥𝑛Maximizar/Minimizar z=c1​x1​+c2​x2​+…+cn​xn​
sujeito a:sujeito a:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+…+𝑎1𝑛𝑥𝑛≤𝑏1a11​x1​+a12​x2​+…+a1n​xn​≤b1​
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+…+𝑎2𝑛𝑥𝑛≤𝑏2a21​x1​+a22​x2​+…+a2n​xn​≤b2​
⋮⋮
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+…+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛≤𝑏𝑚am1​x1​+am2​x2​+…+amn​xn​≤bm​
𝑥𝑖∈𝑍+,∀𝑖xi​∈Z+,∀i
3. Programação Não Linear (PNL):
· Descrição: Modelos onde a função objetivo ou as restrições são não lineares.
· Exemplo: Otimização de portfólios financeiros.
· Forma Geral:
Maximizar/Minimizar 𝑓(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)Maximizar/Minimizar f(x1​,x2​,…,xn​)
sujeito a:sujeito a:
𝑔𝑖(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)≤𝑏𝑖,∀𝑖gi​(x1​,x2​,…,xn​)≤bi​,∀i
𝑥𝑖≥0,∀𝑖xi​≥0,∀i
4. Programação Dinâmica:
· Descrição: Modelos que resolvem problemas de decisão sequenciais, dividindo-os em subproblemas menores.
· Exemplo: Planejamento de investimentos ao longo do tempo.
· Forma Geral:
𝑉𝑡(𝑠)=max⁡𝑎{𝑅𝑡(𝑠,𝑎)+∑𝑠′𝑃(𝑠′∣𝑠,𝑎)𝑉𝑡+1(𝑠′)}Vt​(s)=amax​{Rt​(s,a)+s′∑​P(s′∣s,a)Vt+1​(s′)}
5. Teoria das Filas:
· Descrição: Modelos que estudam sistemas de espera para otimizar o atendimento.
· Exemplo: Gerenciamento de filas em call centers.
· Forma Geral:
Taxa de Chegada=𝜆,Taxa de Servic¸o=𝜇Taxa de Chegada=λ,Taxa de Servic¸​o=μ
Utilizac¸a˜o do Sistema=𝜌=𝜆𝜇Utilizac¸​a˜o do Sistema=ρ=μλ​
6. Simulação:
· Descrição: Modelos que utilizam técnicas de simulação computacional para analisar o comportamento de sistemas complexos.
· Exemplo: Simulação de operações de uma cadeia de suprimentos.
· Forma Geral: Simulação Monte Carlo, Simulação de Eventos Discretos.
4. Etapas para Desenvolver um Modelo Matemático na Pesquisa Operacional
1. Definição do Problema:
· Objetivo: Compreender claramente o problema e os objetivos da modelagem.
· Atividades: Reuniões com stakeholders, análise de documentos, observação de processos.
2. Formulação do Modelo:
· Identificação das Variáveis de Decisão: Definir as variáveis que serão manipuladas para alcançar o objetivo.
· Desenvolvimento da Função Objetivo: Determinar o objetivo matemático a ser otimizado.
· Estabelecimento das Restrições: Definir as condições e limitações que devem ser satisfeitas.
3. Solução do Modelo:
· Escolha do Método de Solução: Selecionar o método matemático ou algoritmo apropriado.
· Implementação Computacional: Usar softwares e ferramentas para resolver o modelo.
4. Verificação e Validação:
· Verificação: Garantir que o modelo matemático foi implementado corretamente.
· Validação: Assegurar que o modelo representa adequadamente o problema real e que as soluções são aplicáveis.
5. Análise de Sensibilidade:
· Objetivo: Avaliar como mudanças nos parâmetros afetam a solução.
· Atividades: Modificar parâmetros e observar o impacto nos resultados.
6. Implementação e Monitoramento:
· Aplicação: Implementar a solução no ambiente real.
· Monitoramento: Acompanhar a solução para garantir que os objetivos estão sendo alcançados e ajustar conforme necessário.
5. Ferramentas e Softwares Utilizados
· Excel Solver: Ferramenta de otimização para resolver pequenos problemas de programação linear e não linear.
· Gurobi: Solver de otimização para problemas de programação linear, inteira e não linear.
· CPLEX: Software de otimização para resolver problemas complexos de programação linear e inteira.
· LINGO: Software para modelagem e resolução de problemas de otimização.
· MATLAB: Plataforma computacional utilizada para implementar e resolver modelos matemáticos complexos.
· R: Linguagem de programação para estatística e análise de dados, frequentemente utilizada para simulação e otimização.
Conclusão
Os modelos matemáticos são ferramentas poderosas na Pesquisa Operacional para representar, analisar e resolver problemas complexos. Eles permitem a aplicação de métodos analíticos e computacionais para encontrar soluções ótimas, considerando várias restrições e objetivos. Através de uma abordagem estruturada que envolve a definição do problema, formulação do modelo, solução, verificação, validação e implementação, os modelos matemáticos ajudam na tomada de decisões eficazes e na otimização de sistemas em diversas áreas.