AULA 2 - DRHIMA_FENTRAN_Parte 1 1

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FENÔMENOS DE TRANSFERÊNCIA
EEH214
PARTE 1
Conceituação básica
PROF. OSVALDO MOURA REZENDE
OMREZENDE@POLI.UFRJ.BR
Departamento de Recursos Hídricos e Meio Ambiente - POLI/UFRJ 
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✓ O meio contínuo
✓ Propriedades gerais
✓ Processos difusivos de transferência de momento, energia e de 
massa
Conteúdo
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➢ SISTEMA INTERNACIONAL
→ MLtT
→ kg; m; s; K
➢ SISTEMA GRAVITACIONAL BRITÂNICO
→ FLtT
→ lbf; pé; s; R
➢ SISTEMA INGLÊS DE ENGENHARIA
→ FMLtT
→ lbf; lbm; pé; s; R
Sistemas de Dimensões
Grandeza fundamental Símbolo
Comprimento L
Massa M
Tempo T
Intensidade Corrente Elétrica I
Temperatura θ
Quantidade de Matéria η
Intensidade Luminosa I
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• MATÉRIA
O meio contínuo
Sólido Líquido Gasoso
1019
moléculas
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• INTERESSE DA ENGENHARIA
➢ COMPORTAMENTO MACROSCÓPICO DEVIDO AOS EFEITOS MÉDIOS DAS MOLÉCULAS
O meio contínuo
Necessidade de um MODELO
representativo dessa situação
Princípios de 
idealização e 
aproximação
MODELAGEM
Fenômeno físico
(problema)
Formulação e Modelagem
(idealização e aproximação)
Solução do 
modelo
Interpretação física dos resultados
O conceito de MEIO CONTÍNUO é uma idealização da matéria, é um modelo para estudar o comportamento macroscópico 
considerando uma DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DA MATÉRIA
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• LIMITE DE VALIDADE DO MODELO DE MEIO CONTÍNUO
➢ Seja uma câmara preenchida com um determinado gás, dotada de um sensor de 
pressão:
O meio contínuo
p
t
p
t
p
t
O MEIO CONTÍNUO deixa de ser válido quando o livre percurso médio das moléculas for da mesma 
ordem de grandeza que o menor comprimento significativo do sistema
Limite de validade:
Menor volume de 
matéria que possui nº 
suficiente de 
moléculas para 
manter uma média 
estatística bem 
definida 
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• LIMITE DE VALIDADE DO MODELO DE MEIO CONTÍNUO
➢ O modelo de meio contínuo é valido para volumes macroscópicos, em sistemas com grande nº de 
partículas, capazes de manter uma média estatística de determinada propriedade bem definida.
➢As propriedades da matéria em um modelo de meio contínuo apresentam um valor definido em cada 
ponto do espaço, possibilitando sua descrição em funções contínuas da posição e do tempo:
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
O meio contínuo
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• A massa específica no modelo de meio contínuo
O meio contínuo
x
y
z
𝜌 =
d𝑚
d∀
1º → 16 moléculas
2º → 12 moléculas
3º → 15 moléculas
δ𝑚
δ∀
δ∀δ∀’
𝜌 ≡ lim
𝛿∀→𝛿∀′
δ𝑚
δ∀
𝜌 = 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
Propriedade do fluido terá valor 
definido no espaço:
CAMPO ESCALAR
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➢ Massa específica ou Densidade absoluta ( 𝜌 )
→ relação entre massa e volume do fluido
→ 𝜌 =
𝑚
∀
→ f (P, T) → casos práticos é cte (4ºC) 𝜌 = 1000 ൗ𝑘𝑔
𝑚3
➢ Densidade relativa ( 𝛿 )
→ relação entre a 𝜌 de uma substância e outra tomada como referência 𝜌0
→ 𝛿 =
𝜌
𝜌0
para a água, em casos práticos 𝛿 = 1
➢ Peso específico ( 𝛾 )
→ relação entre peso e volume do fluido
→ 𝛾 =
𝑊
∀
2ª Lei de Newton →𝑊 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∴ 𝛾 =
𝑚∙𝑔
∀
∴ 𝛾 = 𝜌 ∙ 𝑔
Principais propriedades físicas
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• FORÇAS DE CONTATO E DE CAMPO E TENSÃO EM UM PONTO
➢ Forças de contato ou de superfície: atuam sobre a periferia do meio por contato 
direto
➢ Forças de campo ou de corpo: desenvolvidas sem contato físico e distribuídas sobre o 
volume do meio
Principais propriedades físicas
𝐭𝐞𝐧𝐬ã𝐨 ≡ lim
𝛿 Ԧ𝐴→0
𝛿 Ԧ𝐹
𝛿 Ԧ𝐴
Os vetores δ Ԧ𝐹 e 𝛿𝐴 podem ser decompostos 
em suas três componentes de direção (x, y e z)
𝛿 Ԧ𝐴 = Ƹ𝑖𝛿𝐴𝑥 + Ƹ𝑗𝛿𝐴𝑦 + ෠𝑘𝛿𝐴𝑧
𝛿 Ԧ𝐹 = Ƹ𝑖𝛿𝐹𝑥 + Ƹ𝑗𝛿𝐹𝑦 + ෠𝑘𝛿𝐹𝑧
𝜏𝑖𝑗 =
𝛿𝐹𝑗
𝛿𝐴𝑖
V
Ԧ𝑓𝑔 Ԧ𝑓𝑔
Ԧ𝑓𝑔
Ԧ𝑓𝑔
Ԧ𝑓𝑔
𝛿 Ԧ𝐹𝑐
𝛿 Ԧ𝐴
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• TENSÃO EM UM PONTO
Principais propriedades físicas
V
Ԧ𝑓𝑔 Ԧ𝑓𝑔
Ԧ𝑓𝑔
Ԧ𝑓𝑔
Ԧ𝑓𝑔
𝛿 Ԧ𝐹𝑐
𝛿 Ԧ𝐴
𝑇 =
𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧
𝜏𝑖𝑗 =
𝛿𝐹𝑗
𝛿𝐴𝑖
x
y
z
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑧𝑦
𝜎𝑧𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝜎𝑧𝑧
𝜎𝑥𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑥
(Tensor Tensão)
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• O que é um fluido?
“Uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento qualquer.”
Fluidos – Definição e propriedades
Sólido Líquido
F F
t1
t2
∆𝑥
𝑣𝑥 =
∆𝑥
∆𝑡
𝐹
𝐴
= 𝑘 ∙
∆𝑥
𝑦
𝐹
𝐴
= 𝑘 ∙
∆𝑥
∆𝑡
1
𝑦
𝑦
= 𝑘 ∙
𝑣𝑥
𝑦
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• PROPRIEDADES GERAIS
➢ Fluidos submetidos a esforços normais sofrem variações volumétricas finitas.
→Fluidos incompressíveis apresentam essa variação desprezível.
→De forma geral, líquidos são incompressíveis, enquanto os gases são compressíveis.
➢ Quando há uma tensão cisalhante, há movimento do fluido e ocorre o escoamento.
➢ Fluidos se moldam às formas dos recipientes. Líquidos apresentam superfície livre e 
gases ocupam todo o recipiente.
➢ Em um fluido em repouso, a tensão é exclusivamente normal
Fluidos – Definição e propriedades
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• VISCOSIDADE
➢ Propriedade associada à resistência do fluido à deformação por cisalhamento, 
decorrente das forças de coesão intermolecular.
→ em geral: f (T)
➢ Dado um elemento de fluido infinitesimal, entre duas placas:
Fluidos – Definição e propriedades
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
Instante 𝑡
𝑑𝐴
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝜃 𝑑𝜃
Instante 𝑡 + 𝑑𝑡
𝑑𝐴
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• VISCOSIDADE
➢ Dado um elemento de fluido infinitesimal, entre duas placas:
→A tensão cisalhante aplicada ao fluido será 𝝉𝒚𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝑨→𝟎
∆𝑭𝒙
∆𝑨
→A tx de deformação no elemento fluido será 
𝒅𝜽
𝒅𝒕
Fluidos – Definição e propriedades
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝜃 𝑑𝜃
Instante 𝑡 Instante 𝑡 + 𝑑𝑡
𝑑𝐴 𝑑𝐴
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• VISCOSIDADE
➢ Um fluido será dito newtoniano quando a tensão cisalhante aplicada é diretamente 
proporcional à taxa de deformação sofrida pelo fluido. Assim:
𝝉𝒚𝒙 ∝
𝒅𝜽
𝒅𝒕
Fluidos – Definição e propriedades
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝜃 𝑑𝜃
Instante 𝑡 Instante 𝑡 + 𝑑𝑡
𝑑𝐴 𝑑𝐴Departamento de Recursos Hídricos e Meio Ambiente - POLI/UFRJ 
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• VISCOSIDADE
➢ Fluidos reais apresentam propriedade de aderência às superfícies sólidas com as quais 
estão em contato
Fluidos – Definição e propriedades
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝜃 𝑑𝜃
Instante 𝑡 Instante 𝑡 + 𝑑𝑡
𝑑𝐴 𝑑𝐴
𝒅𝑽𝒙
𝟎
𝑑𝐿
𝑑𝐿 = 𝑑𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑡
𝑑𝐿 = 𝑑𝑦 ∙ tan 𝑑𝜃 ∴ 𝑑𝐿 = 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝜃
𝑑𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝜃 ⟹
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
A tx de deformação sofrida pelo fluido é igual 
ao gradiente de velocidade do escoamento
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Lei de Newton para a Viscosidade
sendo 𝝁 o coeficiente de viscosidade dinâmica do fluido
2024 18
• VISCOSIDADE
➢A tensão cisalhante, em fluidos newtonianos, é diretamente proporcional ao gradiente 
de velocidade do escoamento
Fluidos – Definição e propriedades
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝜃 𝑑𝜃
Instante 𝑡 Instante 𝑡 + 𝑑𝑡
𝑑𝐴 𝑑𝐴
𝒅𝑽𝒙
𝟎
𝑑𝐿
𝜏𝑦𝑥 ∝
𝑑𝜃
𝑑𝑡
⟹ 𝜏𝑦𝑥 ∝
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑡 𝜏𝑦𝑥 = −𝜇 ∙
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑡
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• VISCOSIDADE
➢ f (T)
→ para gases, a viscosidade aumenta com a temperatura
✓ Coesão intermolecular desprezível. Viscosidade dependerá da transferência de moléculas na direção transversal ao 
escoamento entre camadas com velocidades diferentes, que aumenta com o aumento da temperatura.
→ para líquidos, a viscosidade diminui com a temperatura
✓ Distâncias intermoleculares e intensidade dos movimentos moleculares são muito pequenos, sendo desprezível a 
transferência de momento linear devido aos movimentos moleculares. Viscosidade dependerá da intensidade das forças 
de coesão intermolecular, que diminuem com o aumento da temperatura.
➢ Viscosidade cinemática
→ Relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica do fluido
𝜈 = ൗ
𝜇
𝜌
Fluidos – Definição e propriedades
m²/s (no SI)
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• MÓDULO DE ELASTICIDADE VOLUMÉTRICA
COMPRESSIBILIDADE
➢ Quando se aplica uma pressão sobre um fluido, ele sofre uma redução volumétrica e, 
quando se retira essa pressão, o fluido se expande.
➢A compressibilidade está relacionada à variação de volume decorrente de uma dada 
variação de pressão.
→Módulo de elasticidade volumétrica: 𝐸 = − ൗ
𝑑𝑝
𝑑∀
∀
Fluidos – Definição e propriedades
gases líquidos
∀𝟏
∀𝟐
𝒑𝟏
𝒑𝟐𝑝2 − 𝑝1 = d𝑝
∀2 − ∀1= d∀
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• MÓDULO DE ELASTICIDADE VOLUMÉTRICA
COMPRESSIBILIDADE
➢Análise da compressibilidade da água
→ Para a água na temperatura de 25ºC: 𝐸 = 2,22 ∙ 109 Pa
Fluidos – Definição e propriedades
∀𝟏= 𝟏m³
𝒅𝒑 = 𝟏𝟎𝟏, 𝟑 kPa
𝐸 = − ൘
𝑑𝑝
𝑑∀
∀
= 2,22 ∙ 109 Pa
∴ 𝑑∀ = −
𝑑𝑝 ∙ ∀
2,22 ∙ 109
=
101,3 ∙ 103 ∙ 1
2,22 ∙ 109
∴
∴ 𝒅∀ = 𝟒𝟓, 𝟔𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟔 m³
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟓 L1,0 m
1
,0
 m
0,0045%
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• EQUAÇÃO DE ESTADO PARA UM GÁS PERFEITO
➢ Um gás perfeito ou ideal é aquele que não apresenta forças de interação intermolecular 
de origem eletromagnética, com interações apenas através de colisões entre as 
moléculas
➢As variáveis utilizadas na termodinâmica para descrever um dado sistema ( 𝑇; ∀; 𝑝 ) 
são interdependentes
➢A relação analítica entre essas variáveis resulta na equação de estado
➢ Gases perfeitos satisfazem à equação de estado dada por:
→ 𝑝 ∙ 𝑣 = 𝑅 ∙ 𝑇
→ Τ𝑝 𝜌 = 𝑅 ∙ 𝑇
→ 𝑝 ∙ ∀= 𝑚 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇
Fluidos – Definição e propriedades
𝑝→ pressão absoluta
𝑣→ volume específico (= Τ∀ 𝑚 = 1/𝜌)
𝑅→ cte do gás
𝑇→ temperatura absoluta
𝑚→massa do gás
∀ → volume ocupado pelo gás
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• EQUAÇÃO DE ESTADO PARA UM GÁS PERFEITO
➢ Considerando a equação em termos molares, sendo 𝑛 o número de mols existente no 
volume ∀, a massa do gás será dada por 𝑚 = 𝑛 ∙ 𝑀, onde 𝑀 é a massa molecular do gás.
➢A equação de estado será dada por:
𝑝 ∙ ∀= 𝑛 ∙ 𝑀 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇
➢ Em gases perfeitos, 𝑀 ∙ 𝑅 é uma constante representada por 𝑅𝑢, chamada de constante 
universal dos gases. Então:
𝑝 ∙ ∀= 𝑛 ∙ 𝑅𝑢 ∙ 𝑇
Fluidos – Definição e propriedades
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• ENERGIA INTERNA, E CALOR ESPECÍFICO
➢ Energia interna de um sistema → f (estado termodinâmico)
└ Atividade térmica (cinética) das moléculas
└ Interações intermoleculares
➢ Energia interna será dependente da temperatura e da pressão, sendo apenas da 
temperatura no caso de gases ideais
• CAPACIDADE TÉRMICA - 𝐶
➢ Relação entre a quantidade de calor fornecida ao corpo e o corresponde acréscimo de 
temperatura. Apresenta unidades de ΤJ K, no SI.
• CALOR ESPECÍFICO - 𝑐
➢ Quantidade de calor a ser fornecida para que uma unidade de massa aumente sua 
temperatura em 1ºC. 
Principais propriedades físicas
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• TENSÃO SUPERFICIAL (𝜎) E CAPILARIDADE
Fluidos – Definição e propriedades
Líquido Tensão superficial (N/m = J/m²)
água 0,074
álcool etílico 0,022 
mercúrio 0,500 
azeite de oliva 0,033 
glicerina 0,062
𝝈
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• TENSÃO SUPERFICIAL (𝜎) E CAPILARIDADE
Fluidos – Definição e propriedades
Líquido Tensão superficial (N/m = J/m²)
água 0,074
álcool etílico 0,022 
mercúrio 0,500 
azeite de oliva 0,033 
glicerina 0,062
Pressão de Laplace → 𝑝 = 2 ∙
𝜎
𝑅
Pela geometria → 𝑅 = 𝑟/ COS𝜃
𝜃: ângulo de contato do menisco
∴ 𝑝 = 2 ∙
𝜎∙COS 𝜃
𝑟
Sabendo-se que 𝐹 = 𝑝 ∙ 𝐴 ,
𝐹 = 2 ∙
𝜎 ∙ COS 𝜃
𝑟
∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 = 2 ∙ 𝜎 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ COS𝜃
𝑅
𝑟
𝐹
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• TENSÃO SUPERFICIAL E CAPILARIDADE
Fluidos – Definição e propriedades
𝜃 ℎ
𝐷
Cálculo da altura de elevação da água em um tubo capilar de 2mm 
de diâmetro, considerando:
Tensão superficial 𝜎 = 0,074 ΤN m
Peso específico 𝛾 = 9810 N/m³
𝜃 muito próximo de 0
𝐹𝐿
𝑊
𝐹𝐿 = 2 ∙ 𝜎 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ COS𝜃 𝑊 = 𝛾 ∙ ℎ ∙
𝜋 ∙ 𝑑2
4
=
1
𝒉 =
4 ∙ 𝜎
𝛾 ∙ 𝐷
𝒉 =
4 ∙ 0,074
9810 ∙ 0,002
𝒉 = 0,015 = 1,5 cm
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➢ Pressão ( 𝑃 )
→ relação entre força normal e área da superfície
→ 𝑃 =
𝐹
𝐴
(pressão média) Ԧ𝑃 = lim
𝐴→0
Ԧ𝐹
𝐴
(pressão pontual)
→ Lei de Pascal: num fluido em equilíbrio, a pressão num ponto é a mesma em todas as direções, independentemente 
da orientação da superfície em torno do ponto
→ 𝑃𝑥 = 𝑃𝑦 = 𝑃𝑧
➢ Pressão de vapor
→ Corresponde à pressão em que o fluido passa da fase líquida para a fase gasosa
Evaporação ≠ Cavitação
Aumenta T Aumenta P
Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 1: Fenômenos de Transferência
	Slide 2: Conteúdo
	Slide 3: Sistemas de Dimensões
	Slide 4: O meio contínuo
	Slide 5: O meio contínuo
	Slide 6: O meio contínuo
	Slide 7: O meio contínuo
	Slide 8: O meio contínuo
	Slide 9:Principais propriedades físicas
	Slide 10: Principais propriedades físicas
	Slide 11: Principais propriedades físicas
	Slide 12: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 13: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 14: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 15: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 16: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 17: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 18: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 19: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 20: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 21: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 22: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 23: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 24: Principais propriedades físicas
	Slide 25: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 26: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 27: Fluidos – Definição e propriedades
	Slide 28: Fluidos – Definição e propriedades