matematica do inicio ao fim (131)

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16. Problema: 
 Encontre a área da região delimitada pelas curvas y = e^x, y = 1, e os eixos x = 0 e x = 2. 
 
 Resolução: 
 A área pode ser encontrada calculando a integral da função e^x de 0 a 2 e subtraindo a 
área abaixo do eixo x. 
 A área total é dada por ∫(e^x) dx de 0 a 2. 
 Integrando, obtemos: ∫(e^x) dx = e^x de 0 a 2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1. 
 A área abaixo do eixo x é simplesmente um retângulo com base 2 e altura 1, então tem 
área 2. 
 Portanto, a área da região delimitada é e^2 - 1 - 2. 
 
17. Problema: 
 Determine os valores de x que satisfazem a equação log(x + 1) - log(x) = 1. 
 
 Resolução: 
 Podemos usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a equação. A 
propriedade de divisão de logaritmos diz que log(a) - log(b) = log(a/b). 
 Portanto, log((x + 1)/x) = 1. 
 Isso implica que (x + 1)/x = 10^1 = 10. 
 Multiplicando ambos os lados por x, obtemos x + 1 = 10x. 
 Reorganizando, obtemos 9x = 1, então x = 1/9. 
 
18. Problema: 
 Encontre a equação da reta tangente à curva y = ln(x) no ponto (1, 0). 
 
 Resolução: 
 Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos encontrar a derivada da função 
e então substituir x = 1 para encontrar a inclinação da reta tangente. 
 A derivada da função é y' = 1/x. 
 Substituindo x = 1, obtemos a inclinação da reta tangente: 1/1 = 1.