Teorema de Tales e suas aplicações

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TEOREMA DE TALES 
 
O Teorema de Tales foi proposto pelo filósofo grego Tales de Mileto, e afirma que quando duas retas 
transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados pelas transversais são 
proporcionais. Para entender melhor o Teorema de Tales, é preciso saber um pouco sobre razão e 
proporção. Para a resolução de um problema envolvendo o Teorema de Tales, utiliza-se a propriedade 
fundamental da proporção, multiplicando-se os meios pelos extremos: os ângulos das retas têm a razão 
oposto pelo vértice da reta que os corta. Considerando-se o exemplo da figura ao lado: 
 
 
Esquema mostrando validade do Teorema de Tales: Aplicação do Teorema de Tales 
O Teorema de Tales pode ser aplicado em triângulos que possuem uma reta paralela a um dos lados. 
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5  SE VOCÊ RESOLVER ESSA RAZÃO, IRÁ PERCEBER 
QUE SÃO IGUAIS! 
 
 
 
 
 
 
 
Então, o Teorema de Tales é resolvido através de um razão e regra de três. 
 
Vamos ver alguns exercícios resolvidos... 
1) Descubra o valor de “x”, sabendo que r//s//t // paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o valor de “x” e “y”, sabendo que a//b//c//d 
a) e 
 
b) e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse é outro método de se resolver o Teorema de Tales aplicando propriedades de Razão e proporção, veja: 
 
 
3) o Segmento AC mede 22,5cm. Sabendo que r//s//t, calcule “x” e “y” 
 
 ou seja, tudo AC está pra x, assim como tudo DF está pra 5, entendeu? 
Em vez de fazer como já está acostumado, cima para o debaixo, esse é diferente. Vamos resolver: 
 Pronto, agora você pode colocar 12,5 no lugar do “x” e fazer pelo método que está 
acostumado ou pelo método da substituição, veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DO TEOREMA DE TALES EM TRIÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja esse exemplo, no qual tem que resolver pelo 2º método de Tales conforme aprendeu aqui... 
 
O pedação está pro pedacinho! Veja: CA está pra CD .... CB está pra CE... só resolver! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O próximo exemplo ainda é Teorema de Tales aplicado no triângulo com a resolução envolvendo uma 
equação do 2º grau... 
 
 
 
Exercício: Cinco cidades A,B,C,D,E, são interligadas por rodovias, conforme a figura. A rodovia AC tem 
80km, e a rodovia AE tem 100km. Se a rodovia BD é paralela a rodovia CE e se AD tem 45km, quantos KM 
tem a rodovia AB? 
 
 
 
A rodovia AB tem 36km 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DO TEOREMA DE TALES EM TRIÂNGULO COM BISSETRIZES 
 
1) O Segmento AD é a bissetriz do ângulo A. Determine x 
 
 
 
2) O Segmento PC é a bissetriz do ângulo C. Determine x 
 
 
 
3) O Segmento DB é a bissetriz do ângulo B. Determine x 
 
 
 
 
 
Agora é com você, exercícios... 
 
1) Nas figuras abaixo, a//b//c, determine x. 
 
 
 
2) Na figura à esquerda, r//s//t, determine x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verifique se os segmentos AB=25cm, MN=15cm, PQ=10cm e RS=6cm, são nessa ordem, proporcionais. 
 
4) Quatro segmentos, AB,CD,EF,GH, são nessa ordem, proporcionais. 
Sabendo-se que AB=15m, CD= 12m, EF= 8m, qual a medida de GH? 
 
 
www.professorguilherme.net Tudo Elaborado pelo Profº Guilherme Mendes 
 
 
 
5) A figura à direita nos mostra duas avenidas que 
partem de um mesmo ponto A e cortam duas ruas 
paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões 
determinados pelas ruas paralelas têm 80m e 90m de 
comprimento. Na segunda avenida, um dos quarteirões 
mede 60m. Qual o comprimento do outro quarteirão? 
 
 
 
 
 
6) Na figura ao lado, sabe-se que RS//DE e que AE=42km. Nessas 
condições, determine as medidas “x” e “y”. 
 
 
 
 
7) Determine as medidas x indicadas: 
 
 
 
 
www.professorguilherme.net Tudo Elaborado pelo Profº Guilherme Mendes 
 
 
8) Nas figuras abaixo, determine o segmento da bissetriz e o valor de x: 
 
 
A Matemática apresenta invenções 
 tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e 
poupar trabalho aos homens. (Descartes)