Atividade 4_Probabilidade_VariavelAleatoria (1)

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ATIVIDADE 4 
Variáveis aleatórias: conceitos; funções de variáveis aleatórias; variáveis aleatórias bidimensionais; aplicações. 
 
Algumas informações aos estudantes: 
- O(A) aluno(a) deverá apresentar todas as questões de numeração par em arquivo PDF que será enviado via plataforma até a 
data prevista. 
- As resoluções das questões ímpares estão disponíveis em videoaulas na plataforma, mesmo assim, o(a) aluno(a) deverá assistir 
antes da resolução das questões pares. 
 - As questões de numeração par, deverão ser feitas pelo(a) aluno(a) e servirão de componente avaliativo do(a) mesmo(a) para 
composição de sua nota. (Obs.: deve ser explicado em detalhes as resoluções de cada questão, caso contrário, a questão será 
considerada nula). 
- As resoluções deverão ser feitas a caneta, escaneadas e entregues na plataforma em arquivo no formato PDF, com uma capa 
apresentando as informações básicas da disciplina, nome do estudante e o polo em que ele estuda. É importante que as resoluções 
sejam detalhadas o suficiente para evitar a anulação das questões por falta de explicação. 
 
Bons Estudos!!! 
Lorena Cáceres Tomaya 
 
QUESTÕES 
 
01. Uma caixa contém 12 peças, das quais 4 são defeituosas. Duas peças são 
retiradas sucessivamente, com reposição. Seja 𝑋 a variável aleatória discreta 
(v.a.d.) 𝑋 que representa o número de peças defeituosas. 
 
a) Determine a distribuição de probabilidade de 𝑋. 
b) Determine o número médio de peças defeituosas, ou seja, E (𝑋). 
c) Determine a variância de 𝑋. 
 
02. Uma caixa contém 12 bolas vermelhas e 8 brancas. Retiram-se, sucessivamente e com 
reposição, três bolas dessa caixa e anota-se a cor das bolas retiradas. Considere 𝑋 a 
variável aleatória que representa o número de bolas brancas retiradas. 
O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 
 
a) Determine a distribuição de probabilidade para 𝑋; 
b) Calcule o valor esperado do número de bolas brancas retiradas, ou seja, E(𝑋). 
c) Calcule a medida que quantifica a dispersão dos valores em torno da média, ou seja, 
o desvio-padrão de 𝑋. 
 
03. Numa sala temos cinco rapazes e quatro moças. São retiradas, aleatoriamente, três 
pessoas. Seja 𝑋 a variável aleatória que representa o número de rapazes. Calcule a 
média e o desvio-padrão da variável aleatória 𝑋. 
 
04. Numa sala temos 9 homens e 3 mulheres. São sorteadas três pessoas ao acaso e sem 
reposição. Sendo 𝑋 a Variável Aleatória que representa o número de homens sorteados. 
Calcule a média e o desvio-padrão da variável aleatória 𝑋. 
 
05. No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis aleatórias: 
𝑋 = número de pontos obtidos no primeiro dado. 
𝑌 = número de pontos obtidos no segundo dado. 
a) Construa a distribuição de probabilidade através de uma tabela da seguinte 
variável: 𝑇 = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 (𝑋, 𝑌) 
b) Calcule as seguintes probabilidades: 
I. 𝑃(1 ≤ 𝑇 ≤ 4) II. 𝑃(𝑇 = 7) 
c) Calcule 𝑉(𝑇). 
ATIVIDADE 4 
Variáveis aleatórias: conceitos; funções de variáveis aleatórias; variáveis aleatórias bidimensionais; aplicações. 
 
06. Com base ainda no enunciado da questão anterior, considere W uma variável aleatória 
discreta definida por 𝑊 = 𝑋 – 𝑌. 
 
a) Construa a distribuição de probabilidade através de uma tabela da variável 𝑊. 
b) Calcule as seguintes probabilidades: 
I. 𝑃(−3 < 𝑊 ≤ 3) II. 𝑃(𝑊 = 5) 
III. 𝑃(0 ≤ 𝑊 ≤ 4,5) 
c) Calcule 𝑉(𝑊) 
07. Para lançar um dado não viciado um jogador paga 5 reais. O jogo paga dez reais se sair 
6, sete reais se saírem os números 4 ou 5 e não paga nada para os demais resultados. 
Determine o valor esperado do ganho por partida neste jogo. 
 
08. Do total de peças produzidas por uma fábrica, 90% são comercializáveis. O restante 
apresenta defeito e são descartadas. Sabe-se que a fábrica ganha 12 reais por peça 
vendida e perde 2 reais na produção de uma peça defeituosa. Calcule o valor esperado 
do lucro líquido por peça, nessa fábrica. 
 
09. Uma variável aleatória X, tem uma densidade de probabilidade dada por: 
 
𝑓(𝑥) = {
1
6
𝑥 + 𝑘, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
 0, fora do intervalo
 
Determine: 
a) 𝑘 de modo que a 𝑓(𝑥) seja um f.d.p.; 
b) Encontre 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 2); 
c) A esperança de 𝑋; 
d) A variância de 𝑋; e 
e) O desvio-padrão de 𝑋. 
 
10. Seja 𝑋 é uma variável aleatória contínua, tal que: 
𝑓(𝑥) = {
𝐾𝑥2 − 𝐾𝑥3, se 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 0, fora do intervalo
 
 
a) Ache o valor de 𝑘; 
b) Encontre a esperança de 𝑋; 
c) Determine a variância de 𝑋; e 
d) Determine o desvio-padrão de 𝑋. 
 
11. Dado o quadro abaixo, referente ao salário e tempo de serviço de dez operários: 
 
 
a) determine a distribuição conjunta de probabilidade da variável X: salário (reais); e 
da variável Y: tempo de serviço em anos. 
b) as variáveis são independentes? Justifique. 
c) calcular 𝐸[𝑋] e 𝐸[𝑌]; 
d) calcular 𝜎𝑋 e 𝜎𝑌. 
Operário A B C D E F G H I J 
X 500 600 600 800 800 800 700 700 700 600 
Y 6 5 6 4 6 6 5 6 6 5 
ATIVIDADE 4 
Variáveis aleatórias: conceitos; funções de variáveis aleatórias; variáveis aleatórias bidimensionais; aplicações. 
 
12. Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: 
 
 Y 
X 
-2 -1 4 5 𝑷(𝒙) 
1 0,1 0,2 0 0,3 0,6 
2 0,2 0,1 0,1 
0 
 
0,4 
𝑷(𝒚) 0,3 0,3 0,1 0,3 1,0 
 
a) as variáveis são independentes? Justifique. 
b) calcular 𝐸[𝑋] e 𝐸[𝑌]; 
c) calcular 𝜎𝑋 e 𝜎𝑌. 
 
13. O lucro unitário (𝐿) de um produto é dado por 𝐿 = 1,2𝑉 − 0,8𝐶 − 3,5. Sabendo-se que 
o preço unitário de venda (𝑉) tem média R$ 60,00 e desvio-padrão R$ 5,00, e que o 
preço do custo unitário (C) tem uma distribuição de média R$ 50,00 e o desvio-padrão 
para R$ 2,00, qual a média e o desvio-padrão do lucro unitário? 
 
14. Determine a média e o desvio-padrão do peso líquido de um produto, sabendo-se que 
a média do peso bruto é 880 g, com desvio de 20 g e o peso da embalagem tem peso 
médio de 100 g, com desvio de 1O g.