Funções Afim e suas Propriedades

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B.A.
a ) Classifique cada função afim em crescente ou decrescente.
b ) Escreva a lei de formação de cada uma das funções cujos gráficos foram 
apresentados.
 24. Em cada item a seguir, é apresentada a lei de formação de uma função afim de variáveis 
x e y. Determine os valores de k para os quais cada função afim seja decrescente.
a ) y = (k + 3) x − 9 
b ) y = (5k − 25) x − 7 
c ) y = (− 3k + 1 __ 
2
 ) x + 5 
d ) y = ( 4 _ 2 − 2k) x + 2 
e ) y = 7 _ 3 kx + 2x 
f ) y = (− 3 __ 
2
 − 8k) x + 2 
g ) y = (7 − k) x + 11 
h ) y = √ 
_
 2 kx − 1 _ 2 x + 13 
i ) y = (3 + k) x − 1 
j ) y = ( 3 _ 2 + 5k) x 
 25. Considerando as funções cujas leis de formação foram dadas na atividade anterior, de-
termine os valores de k em cada uma delas a fim de que seja crescente.
 26. Classifique em crescente ou decrescente a função afim cujo gráfico passa pelos pontos:
a ) (1, 1) e (3, 2) .
b ) (− 3, 4) e (− 7, 6) .
c ) (− 2, − 1) e (3, 0) .
d ) (0, 5) e (8, 20) .
e ) (5, 7) e (1, 0) .
f ) (15, 3) e (25, 5) .
g ) (− 12, 6) e (2, 18) .
h ) (5, − 2) e (8, − 6) .
i ) (0, 0) e (− 1, 1) .
j ) (− 1, 2) e (− 2, 1) .
 27. Escreva no caderno a lei de formação de uma função afim crescente, na forma 
y = ax + b , com − 3 < a < 5 e − 1 < b < 4 . Depois, construa seu gráfico em um plano 
cartesiano.
 28. O gráfico de uma função afim passa pelos pontos (m, 2) e (2, n) . Determine valores dis-
tintos para m e n, de modo que essa função seja decrescente.
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 23. Em cada plano cartesiano a seguir está representado o gráfico de uma função afim.
23. Respostas: a) A. Crescente; B. Decrescente; b) A. y = 2x + 3 ; B. y = − x + 2 .
24. Respostas:
a) k < − 3 ; b) k < 5 ;
c) k > 1 _ 6 ; d) k > 1 ;
e) k < − 6 _ 7 ; f) k > 3 _ 16 ;
g) k > 7 ; h) k < √ 
_
 2 _ 4 ;
i) k < − 3 ; j) k < − 3 _ 10 .
25. Respostas:
a) k > − 3 ; b) k > 5 ;
c) k < 1 __ 
6
 ; d) k < 1 ;
e) k > − 6 _ 7 ; f) k < 3 __ 
16
 ;
g) k < 7 ; h) k > √ 
_
 2 _ 4 ;
i) k > − 3 ; j) k > − 3 _ 10 .
26. Respostas: a) Crescente; 
b) Decrescente; c) Crescente; 
d) Crescente; e) Crescente; 
f) Crescente; g) Crescente; 
h) Decrescente; 
i) Decrescente; 
j) Decrescente.
27. Resposta pessoal.
28. Resposta pessoal.
173
• Na resolução das atividades 23, 
24, 25 e 26, se necessário, relem-
bre os estudantes de que uma fun-
ção é crescente quando, aumen-
tando-se os valores de x , os valores 
correspondentes de y também au-
mentam. E que uma função é de-
crescente quando, aumentando-se 
os valores de x , os valores corres-
pondentes de y diminuem.
• Existem várias respostas para a 
atividade 27. Com a ajuda dos es-
tudantes, represente algumas na 
lousa. Além disso, analise a necessi-
dade de reproduzir e entregar aos 
estudantes uma malha quadricula-
da, a fim de auxiliá-los a construir o 
gráfico solicitado.
• Existem várias respostas para a 
atividade 28. Com a ajuda dos es-
tudantes, escreva algumas na lousa. 
Além disso, ao escolherem os valo-
res de m e n, enfatize que a função 
deve ser decrescente.
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Interseção com o eixo y
O gráfico de uma função afim definida por y = ax + b intersecta o eixo y quando x = 0 . 
Nesse caso, para determinar as coordenadas do ponto de interseção com esse eixo, basta 
substituir x por 0 na lei de formação da função, ou seja:
 y = a ⋅ 0 + b ⇒ y = b 
Portanto, o gráfico de uma função afim intersecta o eixo y no ponto (0, b) .
Acompanhe alguns exemplos.
Interseção com o eixo x e zero da função afim
O gráfico de uma função afim definida por y = ax + b intersecta o eixo x no ponto em 
que y = 0 . Assim:
 ax + b = 0 
 x = − b __ a 
Portanto, o gráfico de uma função afim intersecta o eixo x no ponto (− b __ a , 0) .
O zero de uma função afim é a abscissa do ponto 
de interseção de seu gráfico com o eixo x.
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Considere, por exemplo, a função definida por y = 2x − 4 . 
Seu gráfico intersecta o eixo x no ponto (2, 0) , pois:
 2x − 4 = 0 
 2x = 4 
 x = 2 
Consequentemente, o zero dessa função é x = 2 .
O gráfico da função afim definida 
por y = 2x + 4 intersecta o eixo y 
no ponto (0, 4) , pois b = 4 .
O gráfico da função afim definida 
por y = − x + 5 intersecta o eixo y 
no ponto (0, 5) , pois b = 5 .
174
• Verifique a possibilidade de ques-
tionar os estudantes acerca dos 
gráficos apresentados nesta pági-
na antes de abordá-los no livro, a 
fim de que, em duplas, eles tentem 
identificar algumas regularidades 
envolvendo a lei de formação das 
funções. Em seguida, considerando 
as explicações propostas e desen-
volvidas por eles, apresente aquelas 
encontradas no livro.
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B.A. C.
 29. Considere os seguintes gráficos de funções afins.
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
a ) Quais são as coordenadas do ponto no qual cada gráfico intersecta o eixo y?
b ) Qual é o zero das funções cujos gráficos foram apresentados?
c ) Quais são as coordenadas do ponto no qual cada gráfico intersecta o eixo x?
d ) Qual dos gráficos representa a função afim dada por y = 3x ___ 
4
 − 3 ?
 30. Em cada item, é apresentada a lei de formação de uma função afim. Escreva no cader-
no as coordenadas do ponto em que o gráfico dessas funções intersecta o eixo y.
a ) y = 5x + 7 
b ) y = − 3x − 11 
c ) y = x __ 
3
 + 1 __ 
5
 
d ) y = − 2x + 1 
e ) y = 4x − 3 
f ) y = − x + 2 
g ) y = x __ 
2
 
h ) y = − 2x 
 31. Determine o zero da função afim definida por:
a ) y = x − 8 .
b ) y = 3 − 4x .
c ) y = − x + 1 .
d ) y = 7x + 1 .
e ) y = 2 __ 
3
 x + 4 .
f ) y = 1 __ 
4
 x − 3 .
 32. Considere a função afim definida por y = − 2x + 3 .
a ) Construa o gráfico dessa função em um plano cartesiano.
b ) Quais das afirmativas a seguir são verdadeiras?
 I . Essa função é crescente.
 II . O gráfico dessa função intersecta o eixo y no ponto (0, 3) .
 III . O zero dessa função é − 3 __ 
2
 .
 IV . O gráfico dessa função intersecta o eixo x no ponto ( 3 __ 
2
 , 0) .
c ) Reescreva no caderno as afirmativas falsas do item anterior, cor rigin do-as.
 33. Faça o que se pede.
a ) Escreva no caderno a lei de formação de uma função afim, cujo gráfico intersecta o 
eixo y no ponto (0, 6) e o eixo x no ponto (5, 0) .
b ) Em um plano cartesiano, construa o gráfico dessa função.
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29. Respostas: a) A. (0, 3) ; B. (0, − 1) ; C. (0, − 3) ; b) A. x = 2 ; 
B. x = − 3 ; C. x = 4 ; c) A. (2, 0) ; B. (− 3, 0) ; C. (4, 0) ; d) C.
30. Respostas: a) (0, 7) ; b) (0, − 11) ; c) (0, 1 __ 5 ) ; d) (0, 1) ; e) (0, − 3) ; f) (0, 2) ; g) (0, 0) ; h) (0, 0) .
31. Resposta: a) x = 8 ; b) x = 3 __ 
4
 ; c) x = 1 ; d) x = − 1 __ 
7
 ; e) x = − 6 ; f) x = 12 .
32.Respostas: 
a) Resposta na seção 
Resoluções; b) II 
e IV; c) Sugestão 
de resposta: I:Essa 
função é decrescente; 
III: O zero dessa 
função é 3 __ 
2
 .
33. Respostas: a) Sugestão de resposta: y = − 6 __ 
5
 x + 6 ; 
b) Sugestão de resposta na seção Resoluções.
175
• Nas atividades 29 e 30, relembre 
aos estudantes que o ponto onde 
a função intersecta o eixo y pode 
ser facilmente obtido sabendo que, 
nesse ponto, x é igual a zero.
• Nas atividades 31 e 32, relembre 
os estudantes de que o zero de 
uma função afim é a abscissa do 
ponto de interseção de seu gráfico 
com o eixo x , ou seja, o ponto em 
que y é igual a zero.
• Existem várias respostas para a 
atividade 33. Com a ajuda dos es-
tudantes, escreva algumas na lousa. 
Além disso, analise a necessidade 
de reproduzir e entregar aos estu-
dantes uma malha quadriculada, a 
fim de auxiliá-los a construir o gráfi-
co solicitado.
Para avaliar como os estudantes 
estão lidando com os conteúdos 
estudados até o momento, peça a 
eles que construam no caderno o 
gráfico da função afim definida por 
y = 4x − 3 . Em seguida, solicite que 
respondam aos itens.
a ) Utilizando o plano cartesiano, 
construa o gráfico dessa função.
b ) Essa função é crescente ou de-
crescente? Justifique sua resposta.
c ) Determine as coordenadas do 
ponto em que o gráfico dessa fun-
ção intersecta o eixo y .
d ) Qual é o zero dessa função?
Resoluções e comentários
a ) Construindo o gráfico, temos:
0
−1
−1
2
2
1
1
3
4
5
−2
−3
Sugestão de avaliação
b ) A função é crescente, pois o coeficiente a > 0 .
c ) As coordenadas do ponto em que o gráfico 
dessa função intersecta o eixo y são (0, −3) .
d ) Como o zero da função é a abscissa do ponto 
de interseção de seu gráfico com o eixo x, ou seja, 
quando y = 0 , temos:
 4x − 3 = 0 
 4x = 3 
 x = 3 _ 4 
Portanto, o zero dessa função é x = 3 _ 4 .
Informações sobre avaliações podem ser encon-
tradas no tópico Avaliação, nas orientações gerais 
deste manual.
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Função quadrática
Pedro quer fazer uma horta para plantar espinafre e cenoura.
O esquema representa parte do terreno que ele reservou para essa horta.
Podemos expressar a medida da área total dessa horta (y) em função de x.
A área destinada para o plantio de cenoura tem o formato de um quadrado cujo compri-
mento do lado mede x. Calculando a medida da área A q desse quadrado, temos:
 A q = x ⋅ x = x 2 
A área destinada ao plantio de espinafre tem o formato de um retângulo cujas dimensões 
medem 3 m e (x + 3 m) . Calculando a medida da área A r desse retângulo, temos:
 A r = 3 ⋅ (x + 3) = 3x + 9 
Como queremos obter a medida da área total da horta, adicionamos as medidas obtidas.
 y = x 2 + 3x + 9 
Essa sentença é um exemplo de lei de formação de uma função quadrática.
Uma função de variáveis reais definida por y = a x 2 + bx + c , com a, b e c reais 
e a ≠ 0 , é chamada função quadrática.
As constantes a, b e c são os coeficientes da função.
Acompanhe alguns exemplos.
 • A função definida por y = x 2 − x + 3 é uma função quadrática. Nesse caso, temos a = 1 , 
 b = − 1 e c = 3 .
 • A função dada por y = − 2 x 2 + 5x é uma função quadrática. Nesse caso, temos a = − 2 , 
 b = 5 e c = 0 .
 • A função definida por y = x 2 − 1 é uma função quadrática. Nesse caso, temos a = 1 , 
b = 0 e c = − 1 .
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• Verifique a possibilidade de 
propor aos estudantes a situação 
apresentada nesta página antes de 
abordá-la no livro, a fim de que, em 
duplas, eles escrevam no caderno 
a fórmula que permite calcular a 
medida da área total da horta. Para 
isso, escreva na lousa o enunciado 
do problema. Depois, conside-
rando as estratégias e resoluções 
propostas e desenvolvidas por eles, 
apresente as explicações do livro.
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. 34. Escreva no caderno a lei de formação de uma função quadrática dada por 
 y = a x 2 + bx + c , sabendo que:
a ) a = − 2 , b = 5 e c = 15 .
b ) a = 8 , b = 1 __ 
2
 e c = − 3 .
c ) a = 14 , b = 5 e c = 12 .
d ) a = − 1 __ 
3
 , b = 9 e c = 6 .
e ) a = 5 __ 
3
 , b = − 4 e c = 0 .
f ) a = 1 __ 
7
 , b = 0 e c = 7 .
g ) a = − 2 , b = 3 __ 
4
 e c = 0 .
h ) a = 3 __ 
5
 , b = 0 e c = − 1 __ 
5
 .
 35. Considere a função quadrática de variáveis m e y dada por y = m 2 + m − 2 . Qual é o 
valor de y quando:
a ) m = 10 ?
b ) m = 0 ?
c ) m = 18 ?
d ) m = − 8 ?
e ) m = 2 __ 
3
 ?
 36. Determine os valores de x na função quadrática dada por y = 3 x 2 − 6x − 3 , quando 
y = − 3 .
 37. Em cada item, é apresentada a lei de formação de uma função quadrática de variáveis 
x e y. Para cada uma delas, determine quais valores t não pode assumir.
a ) y = (t − 5) x 2 
b ) y = 4t x 2 − x 
c ) y = (− t + 1) x 2 − x 
d ) y = ( 1 __ 
6
 + t) x 2 − x 
e ) y = (3t + 2) x 2 − 7x + 4 
f ) y = ( t 2 − 9) x 2 − 3x 
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
Para cada fórmula ser de uma 
função quadrática, o coeficiente 
de x 2 não pode ser nulo.
Atenção!
Agora, determinaremos a medida da área total da horta para x = 2 m , por exemplo. Para 
isso, substituímos x por 2 na lei de formação obtida.
 y = 2 2 + 3 ⋅ 2 + 9 
 y = 4 + 6 + 9 
 y = 19 
Portanto, a área total da horta para x = 2 m mede 19 m 2 .
Em seu caderno, determine a medida da área dessa horta para:
a ) x = 5 m . b ) x = 3,2 m . c ) x = 5,1 m .
Questão 9.
Questão 9. Respostas: a) 49 m² ; b) 28,84 m² ; c) 50,31 m² .
34. Respostas: a) y = − 2 x 2 + 5x + 15 ; b) y = 8 x 2 + 1 __ 
2
 x − 3 ; 
c) y = 14 x 2 + 5x + 12 ; d) y = − 1 __ 
3
 x 2 + 9x + 6 ; e) y = 5 __ 
3
 x 2 − 4x ; 
f) y = 1 __ 
7
 x 2 + 7 ; g) y = − 2 x 2 + 3 __ 
4
 x ; h) y = 3 __ 
5
 x 2 − 1 __ 
5
 .
35. Respostas: a) y = 108 ; b) y = − 2 ; c) y = 340 ; d) y = 54 ; e) y = − 8 __ 
9
 .
36. Resposta: 0 e 2.
37. Respostas: a) t ≠ 5 ; b) t ≠ 0 ; c) t ≠ 1 ; d) t ≠ − 1 __ 
6
 ; e) t ≠ − 2 __ 
3
 ; 
f) t ≠ − 3 e t ≠ 3 .
177
• A questão 9 tem por objetivo 
verificar a compreensão dos es-
tudantes sobre o conceito de fun-
ções quadráticas e a identificação 
dos termos associados a elas, a 
fim de capacitá-los a resolver si-
tuações-problema. Antes que os 
estudantes resolvam os cálculos, 
questione-os sobre qual, entre os 
três valores apresentados nos itens, 
determina a maior medida de área 
e analise se eles respondem que se 
trata do item c, pois é o que con-
tém a maior medida de compri-
mento do lado do retângulo que 
representa o formato da horta.
• A atividade 34 propicia aos estu-
dantes a compreensão do conceito 
de funções quadráticas e a identi-
ficação dos termos associados a 
elas, além de capacitá-los a escre-
ver leis de formação. Se achar ne-
cessário, resolva um ou dois itens 
na lousa para sanar as dúvidas dos 
estudantes.
• Na atividade 35, se achar neces-
sário, explique aos estudantes que 
podemos utilizar qualquer letra no 
lugar de x na lei de formação de 
uma função, o que pode ser cons-
tatado nesta atividade.
Complemente a atividade 35 pro-
pondo outros valores para m, além 
dos sugeridos nos itens, que inclu-
am números racionais representa-
dos na forma de número decimal.
• Caso algum estudante apresente 
dificuldades na realização da ativi-
dade 36, comente que é possível 
utilizar a fórmula resolutiva de uma 
equação do segundo grau, estuda-
da na unidade 5.
• Após a realização da atividade 
37, avalie a conveniência de distri-
buir malhas quadriculadas aos estu-
dantes e solicite que construamos 
gráficos cuja lei de formação é apre-
sentada nos itens (considerando as 
restrições para os valores de t).
x + 3
x + 1
4x
4x 4x + 2
3x
2x
3x2x
2x
5x − 4
3x
x + 9
x
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 38. Escreva no caderno uma fórmula para representar a medida da área A de cada figura 
em função de x.
B.
A. C.
D.
 39. Para a realização de um torneio de voleibol, um terreno retangular foi utilizado para a 
construção da quadra e das demais instalações.
No esquema a seguir, estão representados esse terreno e a região destinada à quadra.
a ) Escreva no caderno uma fórmula que expresse:
 • a medida da área do terreno (y) em função da medida x;
 • a medida da área da quadra (z) em função da medida x.
b ) Qual é a medida da área total do terreno para x = 9 m ? E a medida da área 
da quadra?
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38. Respostas: A. A = x 
2 + 4x + 3 __________ 
2
 , x > − 1 ; B. A = 24 x 2 + 4x , x > − 1 __ 
2
 ; C. A = 6 x 2 , x > 0 ; D. A = 5 x 2 , x > 0 .
39. Respostas: a) y = 15x 2 − 12x , x > 3,25 ; z = x 2 + 9x , x > 3,25 ; b) 1 107 m 2 ; 162 m 2 .
178
• Comente com os estudantes 
que, nas resoluções dos itens da 
atividade 38, a fim de determinar 
a fórmula que representa a medida 
da área de cada figura em função 
de x , o valor de x deve ser maior do 
que zero (x > 0) .
• Na atividade 39, o objetivo é que 
os estudantes escrevam uma fór-
mula que expresse a medida da 
área do terreno e da quadra, bem 
como a medida da área total do 
terreno. Com isso, ao utilizar co-
nhecimentos para compreender e 
explicar a realidade, eles poderão 
perceber as relações da Matemáti-
ca com as situações reais, favore-
cendo, assim, o desenvolvimento 
da Competência geral 1.
2x − 4
3x + 3
x − 1
x
5
5
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98
.
 40. O custo y, em reais, de produção de um lote de x peças é 
dado por y = 200 + 0,01x + 0,001 x 2 . Qual é a diferença entre 
o custo de produção de um lote de 1000 peças e de um 
lote de 998 peças?
a ) R$ 1210,00
b ) R$ 4,20
c ) R$ 1652,00
d ) R$ 444,20
e ) R$ 4,02
 41. Considere o retângulo a seguir.
Use uma calculadora para 
resolver a atividade 40.
Atenção!
As medidas 
indicadas na imagem 
estão em metros.
Atenção!
a ) Escreva no caderno uma sentença matemática que expresse a medida da área desse 
retângulo (y) em função de x.
b ) Determine o valor de y para x = 4 .
 42. A medida da área (y) da figura a seguir é dada em função de x.
a ) Escreva no caderno a lei de formação dessa 
função.
b ) Determine o valor de y para x = 2 m .
 43. Em um pedaço de papel, Armando escreveu a sequência dos números ímpares positivos 
em ordem crescente.
G
U
ST
AV
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 C
O
N
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RA
A soma dos n primeiros termos dessa sequência é dada por y = n 2 . A soma dos 3 pri-
meiros termos, por exemplo, é 9, pois 3 2 = 9 .
a ) Qual é a soma dos 15 primeiros termos dessa sequência? E dos 50 primeiros?
b ) Armando adicionou certa quantidade de termos a essa sequência e obteve 144 como 
resultado. Quantos termos ele adicionou?
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
40. Resposta: Alternativa e.
41. Respostas: a) y = 6 x 2 − 6x − 12 , x > 2 ; b) y = 60 .
42. Respostas: a) y = x 2 − 6x + 25 , x > 1 ; b) y = 17 m 2 .
43. Respostas: a) 225; 2500; b) 12 termos.
179
• A atividade 40 apresenta a ques-
tão do custo y de produção de 
um lote de x peças. Com isso, os 
estudantes poderão perceber as re-
lações do estudo da Matemática e 
utilizar conhecimentos sobre o mun-
do físico, buscando compreender e 
explicar a realidade, bem como con-
tinuar aprendendo e colaborando 
com a sociedade, conforme orienta 
a Competência geral 1.
• Comente com os estudantes 
que, na resolução do item a da ati-
vidade 41, para determinar a sen-
tença matemática que expressa a 
medida da área do retângulo ( y ) 
em função de x , x deve ser maior 
do que zero (x > 0) .
• Se necessário, diga aos estudantes 
que, na realização da atividade 42, 
pode-se decompor a figura em dois 
retângulos cujas medidas de área 
são (x − 1) ⋅ x e (5 − x) ⋅ 5 e, depois, 
adicionar essas duas medidas para 
obter a medida da área total da fi-
gura.
Para desenvolver o trabalho com 
a atividade 42, avalie a possibilidade 
de utilizar a metodologia ativa 
Pensamento do design. Obtenha 
informações sobre essa metodo-
logia no tópico Metodologias e 
estratégias ativas, nas orientações 
gerais deste manual.
Metodologias ativas
• A atividade 43 contribui para o 
desenvolvimento da curiosidade, 
do espírito de investigação, da ca-
pacidade de resolver problemas re-
correndo à modelagem matemáti-
ca, do raciocínio lógico-matemá-
tico e da dedução de algumas pro-
priedades, bem como para a veri-
ficação de conjecturas, tornando o 
processo de ensino-aprendizagem 
uma ação prazerosa e formativa. 
Após os estudantes conjecturarem 
sobre a regra da sequência, orien-
te-os a verificar se ela funciona, 
testando alguns dos termos apre-
sentados.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola.
A parábola tem um eixo de simetria. O ponto em que esse eixo intersecta 
a parábola é o vértice da parábola.
eixo de simetria
vértice
e
0
−1
−1−2−3
2
2
1
1
3
4
5
−4 3
6
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10
x
y
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.
Gráfico de uma função quadrática
Estudamos anteriormente os procedimentos de construção do gráfico de uma função 
afim, que é uma reta. Agora, vamos construir o gráfico de uma função quadrática e, com 
base nela, identificar algumas de suas características.
Considere a função quadrática definida por y = x 2 + x . Para construir seu gráfico, pode-
mos realizar os seguintes passos.
 Atribuímos alguns valores para x.
 Substituímos os valores de x na lei de formação da função e determinamos os valores 
correspondentes de y. Determinamos, assim, alguns pares ordenados (x, y) .
 Para cada par ordenado obtido, representamos um ponto no plano cartesiano.
1º.
2º.
3º.
Imagem referente ao passo 3.Quadro referente aos passos 1 e 2.
 x y = x 2 + x (x, y) 
 − 3 y = (− 3) 2 + (− 3) = 6 (− 3, 6) 
 − 2 y = (− 2) 2 + (− 2) = 2 (− 2, 2) 
 − 1 y = (− 1) 2 + (− 1) = 0 (− 1, 0) 
0 y = 0 2 + 0 = 0 (0, 0) 
1 y = 1 2 + 1 = 2 (1, 2) 
2 y = 2 2 + 2 = 6 (2, 6) 
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Parábola.
Indicamos o vértice da 
parábola por V ( x V , y V ) .
Atenção!
180
• Complemente o trabalho com 
os conteúdos apresentados nesta e 
na próxima página. Para tanto, re-
produza e entregue aos estudantes 
uma malha quadriculada e, depois, 
peça a eles que façam a construção 
do gráfico da função quadrática 
apresentada, seguindo os passos 
explicados, de modo a sanar as dú-
vidas que tiverem.
−1
−1−2−3−4 x
y
0
2
2
1
1
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vértice
0 x
y
0 x
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.
 Como x é um número real, podemos atribuir infinitos valores para x, obtendo, para 
cada um deles, um único valor de y. Assim, há infinitos pontos entre os já marcados 
no plano cartesiano. O gráfico da função é o conjunto de todos os pontos (x, y) , com 
x real e y = x 2 + x , conforme apresentado a seguir.
4º.
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Na próxima página, apresentaremos o gráfico das funções quadráticas definidas por 
 y = x 2 + 2x e y = − x 2 + 3x .
O eixo vertical 
vermelho é paralelo 
ao eixo y e passa 
pelo vértice da 
parábola. Ele é o 
eixo de simetria da 
parábola.
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Concavidade da parábola
Conhecendo algumas características do gráfico da função quadrática, podemos construí-lo 
com mais precisão.
O coeficiente a, por exemplo, determina se a parábola tem concavidade voltada para 
cima ou para baixo.
 • Se o coeficiente a é positivo (a > 0) , a 
parábola tem concavidade voltada para 
cima.
 • Se o coeficiente a é negativo (a < 0) , a 
parábola tem concavidade voltada para 
baixo.
181
• Verifique a possibilidade de pe-
dir aos estudantes que analisem os 
gráficos apresentados nesta página 
antes de abordá-los no livro, a fim 
de que, em duplas, eles tentem 
identificar algumas regularidades. 
Em seguida, considerando as expli-
cações propostas e desenvolvidas 
por eles, apresente aquelas encon-
tradas no livro.
0
1
−6−7−8−9 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y = 2x2 + 3x + 1
A a=2
Entrada:
0
−1
−2
−1−2−3
2
2
1
1
3
3 4
−3
x
y
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−2
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.
Note que o gráfico da função definida por:
 • y = x 2 + 2x tem concavidade voltada para cima, pois o coeficiente a é positivo (a > 0) ;
 • y = − x 2 + 3x tem concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente a é negativo (a < 0) .
Gráfico de funções no GeoGebra
Com o GeoGebra, podemos construir o gráfico de funções.
Vamos construir, por exemplo, o gráfico da função quadrática definida por 
 y = 2 x 2 + 3x + 1 . Para isso, no campo Entrada..., digite a lei de formação da função e, 
em seguida, tecle Enter. O gráfico da função será exibido na Janela de Visualização.
Instrumentos e softwares
Para digitar x 2 , 
escreva x^2.
Atenção!
SE
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 44. Escreva no caderno se o gráfico das funções cujas leis de formação são apresentadas a 
seguir têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
a ) y = x 2 + 14x − 62 
b ) y = − x 2 + 4x + 9 
c ) y = − x 2 + 7x 
d ) y = 5 x 2 + 15 
e ) y = 4 x 2 − x + 3 
f ) y = − 12 x 2 
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
IL
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O
RA
 • y = − x 2 + 3x • y = x 2 + 2x 
44. Respostas: a) Para cima; b) Para baixo; c) Para baixo; d) Para cima; e) Para cima; f) Para baixo.
182
Ao desenvolver o trabalho com a 
seção Instrumentos e softwares, 
avalie a possibilidade de utilizar a 
metodologia ativa Tiras de classifi-
cação. Obtenha informações sobre 
essa metodologia no tópico Meto-
dologias e estratégias ativas, nas 
orientações gerais deste manual.
Metodologias ativas
• É possível desenvolver o traba-
lho com a seção Instrumentos e 
softwares utilizando o GeoGebra, 
um software de geometria dinâmica 
que utiliza conceitos de Geometria 
e Álgebra. Nesse programa, é pos-
sível realizar diversas construções 
geométricas usando pontos, retas, 
circunferências e outras curvas, 
considerando as relações entre 
os elementos envolvidos, como 
posição relativa, pertinência e in-
terseção. Utilizado em escolas e 
universidades de diversos países, o 
software pode ser obtido gratuita-
mente e está disponível em vários 
idiomas, inclusive em português. O 
download pode ser feito no site dis-
ponível em: https://www.geogebra.
org. Acesso em: 3 ago. 2022. 
• Caso esta seção seja realizada 
no laboratório de informática da 
escola, certifique-se de que todos 
os computadores estejam com o 
software instalado. Uma alternativa 
é usar a versão on-line do GeoGebra, 
disponível no mesmo site.
• Se necessário, na atividade 44, 
reforce para os estudantes que, 
para verificar se os gráficos das 
funções têm a concavidade voltada 
para cima ou para baixo, basta ana-
lisar o sinal do coeficiente a nas leis 
de formação.
https://www.geogebra.org
https://www.geogebra.org