Cálculo Diferencial e Integral I

Prévia do material em texto

Unidade 1
Funções
Gabriela Faria Barcelos Gibim
© 2019 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, 
incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento 
e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e 
Distribuidora Educacional S.A.
2019
Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza
CEP: 86041-100 — Londrina — PR
e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
Homepage: http://www.kroton.com.br/
Sumário
Unidade 1
Funções ........................................................................................................... 7
Seção 1
Função afim ......................................................................................... 9
Seção 2
Função quadrática ............................................................................21
Seção 3
Função exponencial e logarítmica ..................................................32
Seção 4
Funções trigonométricas .................................................................44
Palavras do autor
Olá Aluno, bem-vindo! Nesta unidade curricular, você será apresentado aos principais tópicos de Cálculo Diferencial e Integral, tais como: Funções, Limite e Derivada.
O seu material é composto pelo livro didático, que apresenta os principais 
temas que deverão ser estudados; além deste, você também pode contar com 
a orientação das atividades apresentadas nas webaulas e ainda, os momentos 
de orientação, mediação, explicação e interação que ocorrem no decorrer das 
aulas. Participe ativamente das atividades! A estrutura de seu livro didático 
contempla 4 (quatro) unidades de ensino. São elas:
Funções: apresenta o estudo das diferentes funções, seus conceitos, suas 
propriedades em relação às operações, a interpretação de seus gráficos e as 
suas aplicações. 
Limites e Derivada: conceito e aplicação de limites, assim como o 
conceito de derivada e algumas regras de derivação.
Regras de Derivação: produto, quociente, regra da cadeia, derivada 
exponencial, logarítmica e trigonométrica.
Aplicação de Derivada: derivada implícita, taxa relacionada, máximo e 
mínimo e otimização. 
Prezado Estudante, mantenha uma rotina de estudos que o possibilite 
dedicar-se aos processos de leitura, participação e realização das atividades 
propostas. É de extrema importância para que você obtenha sucesso tanto em 
construção e desenvolvimento de aprendizagem, quanto em sua aplicação. 
Desde já desejo a você bons estudos!
Unidade 1
Funções
Convite ao estudo
Por que estudar funções? 
O estudo das funções permite a você, aluno, adquirir a linguagem 
algébrica como a linguagem das ciências. Esta linguagem se faz necessária 
para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, 
construir modelos descritivos de fenômenos e permitir várias conexões 
dentro e fora da própria Matemática. 
Deste modo, nesta unidade de ensino iremos enfatizar o estudo das 
diferentes funções, apresentaremos os seus conceitos, suas propriedades em 
relação às operações, a interpretação de seus gráficos e as suas aplicações.
Competência a ser desenvolvida: Objetivos:
Conhecer os fundamentos de cálculo 
necessários à formação do profissional da 
área de exatas
• Identificar e representar as funções 
de várias maneiras (tabelas, gráficos, 
fórmulas, e descrição verbal)
• Aplicar o estudo das funções na des-
crição de fenômenos e situações
Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos 
objetivos específicos do tema em questão, Funções, a seguir é apresentada 
uma situação hipotética que visa aproximar os conteúdos teóricos com a 
prática. Vamos lá! 
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um processo 
seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagiário. Para 
tanto, precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de compreender 
e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o 
profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas áreas. 
Em todas elas, a facilidade em lidar com a Matemática é fundamental, princi-
palmente no que diz respeito ao estudo das funções. E que a importância 
do estudo de funções não é restrita apenas aos interesses da matemática, 
e que estas fazem parte do nosso cotidiano e estão presentes na realização 
das coisas mais elementares que fazemos. Portanto, João terá que resolver 
situações-problema que tratam de entender a interdependência de várias 
coisas ao nosso redor; das mais simples às mais complexas, como uma corrida 
de táxi, lançamento de um projétil, juros compostos, decaimento radioativo, 
vibração do som, etc.
9
Seção 1
Função afim
Diálogo aberto
Olá! Sejam bem-vindos! 
A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre função! Nessa 
seção vamos conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do 
profissional da área de exata. Assim, para contextualizar sua aprendizagem 
vamos supor que João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar 
de um processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como 
estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de 
compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa 
entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar 
em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a Matemática é 
fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo das funções. E 
que a importância do estudo de funções não é restrita apenas aos interesses 
da matemática, e que estas fazem parte do nosso cotidiano e estão presentes 
na realização das coisas mais elementares que fazemos. Portanto, João terá 
que resolver situações-problema que tratam de entender a interdependência 
de várias coisas ao nosso redor, das mais simples às mais complexas, como 
uma corrida de taxi, lançamento de um projétil, juros compostos, decai-
mento radioativo, vibração do som.
Uma primeira situações-problema apresentada pela empresa para João 
resolver foi a seguinte:
Precisamos enviar um de nossos técnicos para fazer uma vistoria em um 
prédio que fica a 8km da empresa. Sabe-se que em nossa cidade operam duas 
empresas de táxi, a empresa A e a empresa B. A A cobra R$ 6,00 pela bandeira 
inicial e R$ 3,00 por quilômetro rodado. Já a empresa B cobra apenas R$ 4,00 
por quilômetro rodado. As duas empresas possuem taxa disponíveis para 
levar o técnico; assim, qual táxi João deve chamar de modo e economizar na 
corrida? Em qual situação a A é mais econômica?; e a B é mais econômica?; 
as duas se equivalem?
Para resolver a situação acima, você deverá dominar os conceitos e 
propriedades da função afim. Sem dúvida vocês está no caminho certo para 
ultrapassar mais este desafio e para que você tenha todas as condições neces-
sárias para esta superação, é importante, dedicar-se aos conteúdos desta 
primeira seção.
10
Não pode faltar
 Funções
Antes de iniciarmos o nosso estudo sobre função afim é importante 
termos o conhecimento sobre função. Você sabe o que é uma função? 
Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. As funções 
são definidas por certas relações. Existem inúmeros tipos de funções 
matemáticas, entre as principais temos a função: afim, quadrática, exponen-
cial, logarítmica, trigonométricas dentre outras. Cada função é definida por 
leis generalizadas e propriedades específicas.
Assimile
Definindo uma função: Função é uma relação. Utilizando dois conjuntos 
A e B, a relação entre eles será uma função se todo elemento do primeiro 
conjunto estiver relacionado (ligado) apenas com um elemento do 
segundo conjunto. Na matemática, dizemos que função é uma relação 
de dois conjuntos, por exemplo: =( )f x y , sendo que x e y são valores, 
onde x é um elemento do domínio da função (a função está depen-
dendo dele)e y é um elemento da imagem. 
Podemos citar como exemplo, a relação entre o custo e o consumo em 
3m de água. Isso porque, a conta de água está relacionada a quanto 
iremos gastar de 3m de água. Essa relação é uma função!
Assim tem-se:
Dados dois conjuntos A e B (conjuntos formados de números reais, isto é, 
A e B estão contidos em  ), não vazios, uma relação f de A em B recebe o 
nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagem e B se, 
e somente se, para todo Îx A existe um só Îy B tal que ( )Î,x y f .
Reflita
Que condições deve satisfazer uma relação f de A em B para ser 
função?
1. É necessário que todo elemento Îx A participe de pelo menos 
um par ( )Î,x y f , isto é, todo elemento de A deve servir como 
ponto de partida da flecha.
2. É necessário que cada elemento de Îx A participe de apenas 
um único par ( )Î,x y f , isto é, cada elemento de A deve servir 
como ponto de partida de uma única flecha.
11
Figura 1.1 –Representação de uma função
Fonte: http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html. Acesso 
em: 24 jun. 2019.
Uma aplicação f não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma 
das condições:
1. Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma, ou 
2. Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas.
Figura 1.2 - Exemplos de diagrama de Venn onde a relação f não é função (ou aplicação).
Fonte: http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html. Acesso em: 24 
jun. 2019.
Domínio, contradomínio e imagem
Seja f uma função de A em B.
Figura 1.3 – Representação de funções
Fonte: http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html. Acesso em: 24 jun. 2019.
Usamos a notação ®:f A B (onde lemos: f é uma função de A para B) 
para indicar que estamos fazendo a correspondência de A, designado 
domínio, com o conjunto B, contradomínio. Escrevemos = ( )y f x para 
12
indicar que a função f associa o elemento x de seu domínio ao elemento y 
de seu contradomínio. 
• Se um elemento Îx A , for relacionado a um elemento Îy B , dizemos 
que y é a imagem de x pela função f . Logo, o conjunto de todos os 
elementos de B, que são imagens de algum elemento de A, é desig-
nado conjunto imagem da função f é denotado por Im( )f . Sendo 
portanto, um subconjunto do contradomínio B. 
• O elemento x é chamado de variável independente, pois ele é livre 
para assumir qualquer valor do domínio, e nomeia-se y de 
variável dependente.
Exemplificando
Veja o exemplo da figura 1.3, nesta temos como:
• Domínio da função f : { }= - - -( ) 3, 2, 1,0D f ;
• Contradomínio da função f : { }=( ) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9CD f ;
• Conjunto imagem da função f : { }=Im( ) 0,1,4,9f .
Um pouco mais sobre o Domínio
Se temos:
• ® =- : / ( ) 2f f x x . Aqui não existe restrições para qualquer valor 
de x pertencente ao domínio de f . Portanto, =( )D f .
• ® =
+
 
1: / ( )
4
f f x
x
 . Sabemos que o denominador deve ser 
diferente de zero, pelo fato da existência da operação de divisão. 
Observamos que + ¹4 0x , logo ¹-4x . Portanto, = -( ) 4D f .
Gráficos
Quando trabalhamos com funções, a construção e compreensão de 
gráficos é de extrema importância. Isto porque, por meio dos gráficos podemos 
definir de que tipo é a função mesmo sem saber a sua lei de formação.
Pesquise mais
Cada função tem a sua representação gráfica. Independentemente do 
tipo de função, é fundamental conhecermos algumas definições, como: 
plano cartesiano, par ordenado, eixo das abscissas, eixo da ordenada. 
Atualmente, existem vários softwares matemáticos, como o Geogebra, 
que permitem a verificação das definições citadas. Pesquise mais 
softwares que você possa utilizar para auxiliar na compreensão das 
representações gráficas de funções.
13
O plano cartesiano é formado por duas restas perpendiculares entre 
si, uma reta horizontal Ox no plano geométrico, denominada de eixo das 
abscissas e uma reta vertical Oy, chamada de eixo das ordenadas. O plano 
cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num 
determinado espaço. O encontro dos eixos é chamado de origem. 
Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x, y), 
onde x: abscissa e y: ordenada. As disposições dos eixos no plano formam 
quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:
Figura 1.4 - Representações do plano cartesiano
Fonte: Disponível em: http://mdmat.mat.ufrgs.br/grafeq_guia/geometria.html. Acesso em: 16 mai. 2015.
Funções polinomiais
Seja f uma função definida por --= + + + +11 1 0( ) ...n nn nf x a x a x a x a , em 
que os coeficientes 0 1, ,..., na a a são números reais ( )¹ 0na e n um número 
inteiro não negativo. A função f é denominada de função polinomial de grau
n com relação a x , a qual dependendo do grau n receberá nomes de 
funções polinomias.
A partir de agora, vamos algumas funções polinomiais que são:
=( )f x c (função constante de grau 0)
= +( )f x mx c (função linear ou afim de grau 1)
Função constante
Uma aplicação recebe o nome de função constante quando cada elemento 
de x é associado ao mesmo valor c , ou seja, =( )f x c . O gráfico da função 
constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto ( )0,c . Assim, a 
imagem é o conjunto { }Im c . Veja alguns exemplos de funções constantes: 
14
Figura 1.5 – Representações da função constante
a) = >( ) 4( 0)f x c 
b) = @1( ) ( 0)
5
f x c 
c) =- <( ) 6( 0)f x c
Fonte: elaborada pelo autor.
15
Função linear
Podemos definir uma função linear como uma aplicação ® :f 
quando a cada elemento Îx associa o elemento Îax onde ¹ 0a é um 
número real dado. Isto é, a função f dada por: = ¹( ) , 0f x ax a .
O conjunto imagem de uma função afim ® :f definida por 
= ¹( ) , 0f x ax a são os reais. Vamos ver um exemplo, graficamente, de uma 
função linear.
Figura 1.6 – Representação de uma função linear
=( ) 2f x x 
Fonte: elaborada pelo autor.
Função afim
Analogamente, podemos definir a função afim como uma aplicação 
® :f quando a cada elemento Îx associa o elemento + Îax b 
onde ¹ 0a é um número real dado. Isto é, a função f é dada por: 
= + ¹( ) , 0f x ax b a . O valor a é denominado de coeficiente angular da 
função afim e o valor b é o termo independente ou intercepto com o eixo y. 
O gráfico de toda função afim é uma reta, cuja inclinação está associada 
ao valor do coeficiente angular a . Temo que, se >0a então o gráfico de 
= +( )f x ax b é crescente (figura 1.7a) e se <0a então o gráfico = +( )f x ax b 
é decrescente (figura 1.7b). Assim, a função = -( ) 3 7f x x é crescente e a 
função = -( ) 0,5 2f x x é decrescente. A função plotada na figura 1.7(a) é a 
= +( ) 2f x x e a função plotada na figura 1.7(b) é = -( ) 2f x x .
16
Figura 1.7 – Sinal do coeficiente angular e crescimento (a), decrescimento da função afim (b)
Fonte: elaborada pelo autor.
O termo independente ou intercepto com o eixo y indica o valor que o 
gráfico de f intercepta o eixo y. Assim, a função ( )= -3 7f x x intercepta o 
eixo y em -7 e a função ( )= -0,5 2f x x intercepta o eixo y em 0,5 .
Define-se zero ou raiz da função afim como o valor x tal que a 
( )= + = 0f x ax b .
Exemplo: a raiz de ( )= -5 15f x x é obtida fazendo-se ( )= 0f x . Então: 
- =5 15 0x . Ou seja: =5 15x . Logo = =15 3
5
x . Assim, = 3x é raiz de 
( )= -5 15f x x . Graficamente, o zero ou raiz da função afim é o valor do eixo 
das abscissas (eixo x) interceptado pelo gráfico de f(x). Consulte a figura 21.8 
(a e b).
Figura 1.8 – raiz da função ( )= -5 15f x x (a), raiz da função ( )= -15 5f x x (b)
Observe da figura 1.8a que ( )= × - =-1 5 1 15 10f . Já na função da figura 
1.8b temos ( )= - × =1 15 5 1 10f . 
O coeficiente angular da função afim é associado com a inclinação da reta 
e é calculado pela razão entre a variação na vertical pela variação na 
horizontal: -D= =
D -
2 1
2 1
y yya
x x x
. Assim, quanto maior o valor, emmódulo, do 
coeficiente angular, mais inclinada será a reta. Em outras palavras, o coefi-
ciente angular está associado com a velocidade de variação da variável 
resposta y em relação à variação da variável de entrada x.
17
Faça você mesmo
Sendo =- +( ) 3 1f x x , esboce seu gráfico, determine suas raízes e 
classifique a função em crescente ou decrescente.
A matemática está hoje em praticamente todas as áreas do conhecimento 
humano e um dos temas que podemos destacar é o estudo das funções apresen-
tado ao longo deste tema. Nesta seção, você aprendeu a definição de uma 
função afim, bem como os conceitos de domínio, contradomínio e imagem. 
Além disso, você também aprendeu como obter o gráfico de uma função e os 
respectivos conceitos de coeficiente angular e linear de uma reta. Por fim, agora 
você é capaz de estabelecer a diferença entre a função crescente e decrescente.
Sem medo de errar
Após o estudo de função e função afim vamos resolver a primeira situação 
problema apresentada ao João? 
Vamos relembrar! A empresa A cobra a cada quilômetro R$ 3,00. Daí 
temos que para x quilômetros a expressão será 3x . Como há também o 
valor fixo da bandeira que é de R$6,00, a função para esta empresa é = +3 6y x , 
onde y é o preço e x o número de quilômetros rodados. Já a empresa B não 
cobra a bandeira então a função desta empresa é de = 4y x .
Desse modo, temos a resolução:
A: = +3 6y x ; ou seja, = × +3 (8) 6y , logo = 30y . Pela empresa de A a 
corrida custaria R$30,00.
B: = 4y x ; ou seja, = ×4 (8)y , logo = 32y . Pela empresa B a corrida 
custaria R$32,00.
Portanto a solução mais econômica para essa corrida é a empresa A. 
Construindo o gráfico da função afim para análise, podemos concluir que:
18
• O valor mais econômico será: 
Empresa A = quando a quilometragem for maior que 6km
Empresa B = quando a quilometragem for menor que 6km
• Os dois planos serão equivalentes quando a quilometragem percor-
rida for igual a 6km. O ponto de interseção entre as retas é ( )6,24 , pois 
de + =3 6 4x x temos = 6x . Isso quer dizer que as duas empresas 
cobram o mesmo valor quando a viagem for de 6km. Então = (6,24)I 
é o ponto de interseção entre as duas funções.
Avançando na prática
Movimento das Tartarugas Marinhas
Inúmeros são os modelos matemáticos criados para a compreensão de 
situações diversas. O gráfico abaixo ilustra a representação de uma função 
matemática empregada por um determinado biólogo para análise do 
movimento de algumas tartarugas marinhas que aparecem em determinada 
região litorânea em certos períodos do ano para reprodução. Para fazer esta 
representação o biólogo considerou que estes animais se movem no plano a 
partir de um certo ponto P (aos 150 metros de distância da borda oceânica), 
para outro ponto Q (distante de P, em linha reta, 230 metros). Além disso, 
considerou s como a distância (em metros) e t como o tempo (em horas).
Observando o modelo construído:
a. Qual a função matemática que descreve este movimento? Como essa 
função é nomeada?
b. Em que posição as tartarugas estarão após decorridas duas horas?
19
c. De acordo com o gráfico, podemos afirmar que este biólogo iniciou sua 
análise quando as tartarugas emergiram do mar? Justifique sua resposta.
d. Qual o tempo gasto para as tartarugas chegarem ao ponto Q?
Resolução da situação-problema
a. Temos (5,400) e (0,150) dois pontos do gráfico. Como temos uma 
reta, sabemos que =150b é o coeficiente linear. Sabemos ainda que 
= +y ax b e substituindo y por s e x por t temos:
= + ® = + ® = - ® = ® =
250400 5 150 5 400 150 50
5
s at b a a a a 
\ = +( ) 50 150s t t , uma função denominada afim.
b. Quando = 2t 
\ = + ® = + ® =( ) 50 150 (2) 50(2) 150 (2) 250s t t s s 
\ As tartarugas estarão na posição s correspondente a 250 metros.
c. De acordo com o gráfico representado, a análise deste biólogo não 
teve início quando as tartarugas emergiram do mar, mas sim, quando 
estes animais já distavam 150 metros da borda marítima.
d. Como o ponto Q dista 230 metros do ponto P . 
= + ® =150 230 380Q Q 
Disto, = + ® = - ® = ® = +230 20 3380 50 150 50 380 150
50 5 5
t t t t 
\ =t 4 horas e 36 minutos.
Faça valer a pena
1. Seja a função ® :f definida por = = -( ) 1y f x x .
Qual é o elemento do domínio que tem 5 como imagem?
a. 6
b. 4
c. 1
d. 5
e. 7
20
2. Seja a função = +( ) 7f x x .
Determine o coeficiente linear e angular, respectivamente:
a. 6 e 9
b. 3 e 7
c. 7 e 1
d. 1 e 3
e. 0 e 7
3. Determinado pesquisador mede o crescimento de uma planta, em centí-
metros, todos os dias. Para esta análise marcou pontos em sistema de coorde-
nadas cartesiano, e, desta forma, obteve a curva descrita abaixo.
Considerando que essa relação entre tempo e altura foi mantida, podemos 
observar o gráfico representado e afirmar que a planta terá, no 30º dia, uma 
altura igual a:
a. 5 cm
b. 6 cm
c. 3 cm
d. 15 cm
e. 30 cm
21
Seção 2
Função quadrática
Diálogo aberto
Na seção anterior tivemos contando com o universo das funções e função 
afim, observamos sua singular importância no mundo da matemática já nas 
definições introdutórias. A proposta desta seção é apresentar a você o estudo 
de outro tipo específico de função, a função quadrática.
 É importante saber reconhecer quais conceitos matemáticos resolvem 
os problemas do nosso cotidiano, ou seja, para resolver um determinado 
problema devemos saber qual é o modelo matemático adequado.
Para tanto, realizaremos um estudo sobre funções quadráticas, pois elas 
apresentam diversas aplicações no cotidiano, como em situações relacionadas 
à Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; à Administração 
e Contabilidade, relacionando as funções custo, receita e lucro; e à Física e 
Engenharia, envolvendo movimento uniformemente variado, assim como 
nas diversas construções, medições e aplicações na resolução de diversos 
problemas relacionados à área. Assim, a leitura desta seção irá ampliar sua 
compreensão sobre a função quadrática, abordando os termos que envolvem 
as características notáveis e suas propriedades.
A segunda situação-problema apresentada pela empresa para o estagiário 
foi a seguinte:
A empresa deseja construir um galpão térreo de planta retangular. João 
deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o galpão será 
construído, sabe-se que seu perímetro é 60m e que a área deve ser máxima. E 
agora, como João pode resolver este problema?
Não pode faltar
Função quadrática
Chama-se de função quadrática ou função do 2º. Grau uma função 
® :f tal que ( )= + +2f x ax bx c , com Î, ,a b c , ¹ 0a . São exemplos de 
funções do 2º. Grau: a) ( )=- + =- = =2 2 ( 1, 2, 0)f x x x a b c ; b) 
( )= - + = =- =22 0,15 1,73 ( 2, 0,15, 1,73)f x x x a b c .
O conjunto domínio da função quadrática é o conjunto  pois podemos 
efetuar o cálculo + +2ax bx c com qualquer número real x.
22
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Esta parábola terá a 
concavidade voltada para cima ou para baixo dependendo do sinal do coefi-
ciente a. Se >0a então a concavidade será voltada para cima (figura 1.9a) e 
se <0a , a concavidade será voltada para baixo Figura 1.9b).
Figura 1.9 – concavidade da função quadrática para cima (a), e para baixo (b)
Fonte: elaborada pelo autor.
Reflita
Considere o gráfico de = 2( )f x x . Como é o gráfico da função 
= + >2( ) , 0f x x k k ? E qual o impacto sobre o gráfico de = 2( )f x x se 
subtrairmos a constante k: = - >2( ) , 0f x x k k ?
Cálculo das Raízes da função quadrática
As raízes da função quadrática são os valores Îx , tais que ( )= 0f x . As 
raízes 1x e 2x da função quadrática podem ser obtidas a partir das expres-
sões - + D=1 2
bx
a
 e - - D=2 2
bx
a
.
O sinal do discriminante (D= -2 4b ac ) aponta se a função quadrática 
possui duas raízes reais e distintas (D>0 ), se possui uma raiz real dupla 
(caso em que D= 0 ) ou se não possui raízes reais (caso em que D<0 ). 
Como as raízes são os valores para os quais o gráficoda função intercepta o 
eixo x, a partir do sinal do delta sabemos quantas vezes o gráfico de uma 
função quadrática intercepta o eixo x. Na Figura 1.10 apresentamos gráficos 
com as funções ( )= 21f x x , ( )= +22 4f x x , ( )= -23 4f x x , ( )=- 24f x x , 
( )=- +25 4f x x e ( )=- -26 4f x x . Destacamos que a função ( )= 21f x x 
possui raiz dupla = =1 2 0x x . Você pode verificar que esta função encosta no 
eixo x em um único ponto. Já a função ( )= -23 4f x x possui duas raízes reais 
e distintas: =1 2x e =-2 2x . Podemos visualizar isto graficamente ao 
observar que ( )3f x intercepta o eixo x nestes dois valores. As funções na 
23
Figura 1.10a são ( ) ( ) ( )= = + = -2 2 2, 4, 4f x x g x x h x x e na Figura 1.10b 
( ) ( ) ( )=- =- + =- -2 2 2, 4, 4f x x g x x h x x . 
Figura 1.10 | Sinal do discriminante ( D ) versus sinal do coeficiente a
Fonte: elaborada pelo autor.
Observe na Figura 1.10a que a adição da constante = 4k à função 
( )= 2f x x resulta em ( )= +2 4g x x . O gráfico de ( )= +2 4g x x corresponde 
ao deslocamento verticalmente para cima do gráfico de ( )f x . Já o gráfico 
( )= -2 4h x x corresponde ao deslocamento verticalmente para baixo do 
gráfico de ( )f x . Deslocamentos similares ocorrem, na figura 1.2b, para 
( )=- 2f x x . Observe ainda que multiplicar uma função por ( )-1 corres-
ponde a efetuar uma rotação do gráfico de ( )f x em torno do eixo das 
abscissas (eixo x).
Conforme o valor do coeficiente a da função quadrática ( )= + +2f x ax bx c 
aumenta, o gráfico de f fica mais alongado no sentido vertical. À medida que 
o valor do coeficiente a aproxima-se de zero, o gráfico de f ficará mais aberto 
no sentido vertical. Confira com a Figura 1.11 as funções representadas :
( ) ( ) ( )= = =2 2 2, 3 , 8f x x g x x h x x .
Figura 1.11 | Comportamento do gráfico da função quadrática conforme aumente o coeficiente a
Fonte: elaborada pelo autor.
24
Vértice da parábola
O vértice é representado pela letra V, é o ponto que pertence a interseção 
do eixo de simetria com a parábola; este ponto pode ainda ser observado 
como sendo o ponto mínimo ou o ponto máximo. Isto depende da posição 
da concavidade da parábola. Observe na fig. 1.12, podemos calcular o vértice 
da parábola através das expressões: =-
2v
bx
a
 ou D=-
4v
y
a
Figura 1.12 - Vértice de uma função quadrática
Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 mai. 2015.
Vale lembrar que o conjunto de pontos que descreve a parábola é simétrico 
em relação a reta que contém o vértice ( , )v vV x y , está reta é o eixo de simetria.
Exemplificando
Considere que na empresa em que você trabalha utiliza chapas de aço 
cujo perímetro é de 56 cm, com comprimento x e largura y. Quais devem 
ser os valores para x e y para que a área da chapa seja a maior possível?
Resolução: 
a área da chapa é dada simplesmente pelo produto do comprimento 
pela largura: =S xy . Como o perímetro é igual a 56 cm, vale que 
+ =2 2 56x y . Assim, + = 28x y . Então = -28y x .
Assim, ( )= - =- +228 28S x x x x é uma função quadrática com 
=- = =1, 28, 0a b c . A coordenada =-
2v
bx
a
representa o valor x 
associado à máxima área da chapa. A coordenada 
D
=-
4v
y
a
representa 
25
a área máxima da chapa. Este valor não foi solicitado na questão. Consi-
dere a figura 1.13. 
Figura 1.13 – a máxima área ocorre no vértice da parábola
Fonte: elaborada pelo autor.
Determinar o valor x que maximiza a área significa determinar a coorde-
nada vx : ( )
-
=- =- = =
× - -
28 28 14
2 2 1 2v
bx
a
. Logo, a largura y da chapa é 
dada por = - =28 14 14y . Assim, os valores que maximizam a área 
correspondem a um quadrado de comprimento =14x cm e largura 
=14y cm.
Conjunto imagem da função quadrática
A coordenada vy é importante para determinarmos o conjunto imagem 
da função quadrática. 
Se a concavidade da parábola for voltada para cima ( >0a ), a função 
quadrática possui um valor mínimo que é dado por -D=
4v
y
a
, assim, a 
função quadrática assume valores ³ vy y . Portanto ( ) { }= Î ³Im | vf y y y . 
Por outro lado, se a concavidade da parábola for voltada para baixo ( <0a ), 
a função quadrática assume valores £ vy y . Logo, neste caso, 
( ) { }= Î £Im | vf y y y . Confira com a figura 1.14.
26
Figura 1.14 coordenada vy e o conjunto imagem da função quadrática
Assimile
Ao invés de simplesmente memorizar que a coordenada =-
2v
bx
a
 é 
mais simples lembrar que, da propriedade de simetria apresentada na 
figura 1.12, a coordenada vx corresponde ao ponto médio entre as 
raízes da função quadrática (se existirem). Assim: 
( )
æ ö- + D - - D÷ç - -÷ç + ÷ç +÷÷ç+ -è ø
= = =1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
b b b b
a ax x ba a
a
.
Não tente memorizar a expressão para a coordenada y do vértice. Basta 
substituir vx na função para obter a correspondente coordenada do : 
( )
æ ö æ ö æ ö D÷ ÷ ÷ç ç ç= = - = - + - + = - + =-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
2 2 2
22 2 2 4 2 4v v
b b b ab by f x f a b c c
a a a a a a
.
Construção de parábola
O gráfico é construído a partir da definição de pares ( , )x y . Entretanto, 
podemos destacar:
I. As raízes, quando existem, podem ser facilmente obtidas utilizando a 
equação de “bháskara” já indicada, e, podem ser observadas no 
27
gráfico, pois são os valores das abscissas dos pontos ( ,0)x em que a 
parábola intercepta o eixo 0x ;
II. O vértice V nos indica o máximo ou mínimo da parábola, sendo o 
ponto de interseção da parábola com o eixo de simetria; Sua coorde-
nada do pode ser identificada utilizando 
æ öD ÷ç- - ÷ç ÷÷çè ø
,
2 4
b
a a
 .
III. a concavidade pode ser observada no formato característico da 
parábola = + +2y ax bx c , pelo coeficiente a .
Vale salientar que: 
O coeficiente c presente na função polinomial do 2º grau, dada por 
= + +2y ax bx c é o valor da interseção da parábola como eixo y .
Exemplificando
Como representar o gráfico da função quadrática dada por 
=- + +2 2 3y x x . 
I. Definindo a concavidade da parábola.
Temos =1a , como <0a a concavidade para baixo.
II. D pode ser obtido por -2 4b ac
III. D= + =4 12 16
IV. Cálculo das raízes.
+ D
=-'
2
bx
a
 e 
- D
=-"
2
bx
a
 
+
=-
-
' 2 16
2( 1)
x e -=-
-
'' 2 16
2( 1)
x
=-' 1x e ='' 3x
V. Assim por meio de =-
2v
bx
a
 e 
D
=-
4v
y
a
 encontramos o vértice 
V.
-
=
2v
bx
a
 e 
-D
=
4v
y
a
=-
-
2
2( 1)v
x e =-
-
16
4( 1)v
y
28
=1vx e = 4vy
VI. Esboçando a parábola.
Estudo de sinal 
 Considere uma função quadrática = = + +2( )y f x ax bx c para deter-
minar os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os 
quais y é positivos, devemos considerar o sinal D= -2 4b ac . Pode-se 
observar os seguintes casos:
1º - D>0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos ( ¹1 2x x ). 
A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o 
indicado nos gráficos abaixo:
Figura 1.15 - Estudo de sinal
Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 mai. 2015.
2º - D= 0
Nesta situação a função terá duas raízes reais iguais ( =1 2x x ). A parábola 
tangencia o eixo das abscissas e o sinal da função = ( )y f x é descrito. 
http://www.mundoeducação.com.br
29
Figura 1.16 - Estudo de sinais
Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 mai. 2015.
> " ¹ 10,y x x < " ¹ 10,y x x
$x tal que <0y $x tal que >0y
3º - D<0
QuandoD<0 a função não admite raízes reais. A parábola não intercepta 
o eixo x . O sinal que = ( )y f x assume, é único e pode ser observado na figura 
1.6. 
Figura 1.17 - Estudo de sinais
Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 mai. 2015.
> "0,y x > "0,y x
$x tal que <0y $x tal que >0y
Faça você mesmo
Sendo =- + +2( ) 6f x x x , esboce seu gráfico, determine suas raízes e 
coordenadas do vértice, classifique o y do vértice como valor máximo 
ou valor mínimo da função.
30
Sem medo de errar
Após o estudo de função quadrática, vamos resolver a segunda situaçãoproblema apresentada ao João? 
Vamos relembrar! A empresa deseja construir um galpão térreo de planta 
retangular. João deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que 
o galpão será construído, sabe-se que seu perímetro é 60 m e que a área deve 
ser máxima. E agora, como João pode resolver este problema?
x
-30 x
 
Para determinarmos as dimensões do retângulo em que o galpão será 
construído, no intuito de obter área máxima, basta calcular o valor do vértice 
x da parábola, dado =-
2
bx
a
.
Sendo =- +2( ) 30f x x x , < <0 30x , o valor máximo de ( )f x é obtido para 
=- =- =
× -
30 15
2 2 ( 1)
bx
a
Portanto as dimensões do retângulo serão 15 m e 15 m.
Faça valer a pena
1. O número de pedidos na pizzaria Bela Dona, das 12 às 18 horas em um 
dia do mês de janeiro, em Jundiaí, é dado por =- + -2( ) 30 216f t t t , em que 
£ £12 18t é a hora desse dia.
Pode-se afirmar que o número máximo de pedidos nesse período do dia foi de:
a. 0
b. 15
c. 9
d. 18
2. Considerando a equação =- + +2 6y x x .
Determine a classificação do vy (valor máximo ou valor mínimo da função) 
e a interseção da curva com o eixo y .
a. 12 e (6,0)
31
b. 5 7 e (3, 2)
c. 25 4 e (0,6)
d. 4 25 e (0,6)
3. Uma empresa vai lançar no mercado um produto novo. O material usado 
para confecção desse produto fabricado pela empresa tem um custo de 
R$20,00. A empresa pretende colocar cada produto à venda por x reais e, 
assim, conseguir vender ( )-80 x produtos por mês.
Assim, para que, mensalmente, seja obtido um lucro máximo, qual deve ser 
o preço de venda do produto?
a. 60
b. 70
c. 100
d. 50
32
Seção 3
Função exponencial e logarítmica
Diálogo aberto
Após estudarmos as funções afim e quadrática, agora chegou a hora de 
relembrarmos ou conhecermos a função exponencial e a função logarítmica. 
Nesta seção você vai ficar sabendo de diversas aplicabilidades dessa 
fantástica ferramenta matemática. O estudo deste tema irá fazer com que 
você passe a compreender o quanto as funções logarítmicas e as exponenciais 
são importantes para o desenvolvimento de outras áreas do conhecimento. 
Também irá aprender as condições de existência, as principais propriedades 
e resolver várias questões relacionadas a estes conhecimentos.
No processo seletivo, a empresa multinacional queria saber se João Sabia 
resolver situações-problema de juros compostos. Por exemplo, foi pergun-
tado ao João se ele saberia afirmar em quanto tempo um capital é duplicado 
quando aplicado a uma taxa de 2,2% ao mês em juros compostos.
Não pode faltar
Função Exponencial
A função exponencial é importante para modelar muitas situações de 
crescimento ou decrescimento. A Tabela 1.1 apresenta dois exemplos de 
funções exponenciais: ( )= 2xf x (cuja base é 2) e ( )
æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
1
2
x
g x (cuja base é 1
2
 ). 
Observe nesta tabela que, para obter o valor ( ) -- = =2 12 2
4
f a partir do 
valor ( ) -- = =3 13 2
8
f , multiplicamos 1
8
 por uma constante que é sempre a 
base da função exponencial (neste exemplo a base é 2). Sucessivamente, para 
obter o valor ( ) -- = =1 11 2
2
f a partir de ( ) -- = =2 12 2
4
f também multipli-
camos ( ) -- = =1 11 2
2
f . Também para a função ( )
æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
1
2
x
g x , para obtermos 
o valor ( )
-æ ö÷ç- = =÷ç ÷÷çè ø
212 4
2
g a partir do valor ( )
-æ ö÷ç- = =÷ç ÷÷çè ø
313 8
2
g , multiplicamos 
este último pelo valor da base (neste caso a base é = 1
2
b ).
33
Tabela 1.1 – funções exponenciais ( )= 2xf x e ( )
æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
1
2
x
g x
x ( )= 2xf x ( )
æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
1
2
x
g x
-2 ( )
-- = =2
12 2
4
f ( )
-æ ö÷ç- = =÷ç ÷÷çè ø
212 4
2
g
-1 ( )
-- = =1
11 2
2
f ( )
-æ ö÷ç- = =÷ç ÷÷çè ø
111 2
2
g
0 ( )= =00 2 1f ( )
æ ö÷ç= =÷ç ÷÷çè ø
010 1
2
g
1 ( )= =11 2 2f ( )
æ ö÷ç= =÷ç ÷÷çè ø
11 11
2 2
g
2 ( )= =22 2 4f ( )
æ ö÷ç= =÷ç ÷÷çè ø
21 12
2 4
g
Fonte: elaborada pelo autor.
Observe, ainda, que nos dois casos obtivemos sempre valores estrita-
mente positivos nos valores do conjunto de chegada para ambas as funções. 
Esta última frase é importante para deduzirmos o conjunto imagem da 
função exponencial. Como podemos observar a partir deste exemplo, a 
função ( )= 2xf x é estritamente crescente ( = >base 2 1 ) e a função ( )
æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
1
2
x
g x
é estritamente crescente ( < = <10 base 1
2
). Na Figura 1.18a apresentamos o 
gráfico de ( )= 2xf x e na figura 1.18b o gráfico de ( ) -
æ ö÷ç= =÷ç ÷÷çè ø
1 2
2
x
xg x .
Figura 1.18 – Gráfico de ( )= 2xf x (a); – Gráfico de ( ) -
æ ö÷ç= =÷ç ÷÷çè ø
1 2
2
x
xg x (b)
34
Enquanto funções afim, ou seja, funções do tipo ( )= +f x ax b caracteri-
zam-se por apresentarem uma taxa de mudança constante que é o próprio 
coeficiente angular (em outras palavras, adicionamos uma quantidade 
constante para valores de acréscimo no eixo x, representados por valores de 
Dx fixados), funções exponenciais caracterizam-se por apresentarem taxas 
de crescimento cuja razão é constante. Como vimos na Tabela 1.18 a razão de 
crescimento entre elementos consecutivos para a função ( )= 2xf x é 2 (o 
valor de sua base) e a taxa de crescimento (na verdade, decréscimo) para a 
função ( )
æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
1
2
x
g x é 1
2
 .
Após termos visto exemplos numéricos e gráficos de funções exponen-
ciais particulares, vejamos a definição formal. 
Definição (função exponencial): Uma função exponencial é uma função 
® :f tal que ( )= xf x a onde Î < ¹,0 1a a . Dada uma base 
Î < ¹,0 1a a , podemos efetuar xa para qualquer número real x, o domínio 
da função exponencial é o conjunto dos números reais: ( )=D f . Como o 
resultado da operação xa é sempre um número estritamente positivo, o 
conjunto imagem da função exponencial ( )= xf x a é +* (o conjunto dos 
números reais estritamente positivos). 
Funções exponenciais de base >1a são funções estritamente crescentes e 
funções exponenciais de base < <0 1a são funções estritamente decres-
centes. Confira com as figuras 1.18 (a) e 1.18 (b). 
Função exponencial com base e 
O e é um irracional transcendente (como o p ). A representação do 
número 2,718281828459... pela letra e surgiu, pela primeira vez, no século 
XVIII com Euler. Esta designação conserva-se como homenagem a este 
matemático, embora o número seja chamado Número de Neper. Neper não 
se apercebeu da importância do número e . Só um século depois, com o 
desenvolvimento do cálculo infinitesimal, se veio a reconhecer o papel 
relevante deste número.
Veja na imagem um exemplo de gráfico da função exponencial 
35
Figura 1.19 – Gráfico da função exponencial = 0,5xy e
Fonte: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Graph--y%3De-to-0.5x--lin-lin.png>. Acesso em: 26 jul. 
2019.
Pesquise mais
A função exponencial y = xe aparece na descrição de vários fenômenos 
naturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalização de 
juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), entre 
outros. Pesquise outros exemplos em que você pode encontrar a função 
exponencial.
É importante observamos que tanto a função exponencial como a função 
logarítmica (nosso próximo assunto) apresentam crescimentos ilimitados, ou 
seja, não existe nenhum número real tal que seus gráficos sejam limitados por 
este número. Contudo, uma diferença importante é que enquanto o cresci-
mento exponencial cresce a taxas cada vez maiores, o crescimento logarít-
mico cresce a taxas menores (dizemos que funções logarítmicas apresentam 
crescimento a taxas decrescentes). 
No exemplo a seguir vemos como determinar a taxa de crescimento de 
uma função exponencial a partir dos dados em uma tabela.
Exemplificando
Suponha que um biólogo investigando o crescimento de uma colônia de 
bactérias obteve a tabela. 
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Graph--y%3De-to-0.5x--lin-lin.png
36
Tabela 1.2 | Exemplo para determinar taxa de crescimento de função exponencial
Tempo 0 5 10 15
Contagem de colônias 
de bactérias 1000 1300 1690 2197
Fonte: elaborada pelo autor.
Para construir Tabela2.12 ele fez medições a cada 5 minutos. O biólogo 
deseja obter a taxa de crescimento por minuto. Inicialmente, ele 
observa que as razões entre elementos consecutivos são constantes, 
caracterizando assim uma função exponencial. 
Tabela 1.3 | Contagem na colônia de bactérias e razão entre termos consecutivos
Tempo 0 5 10 15
Contagem de colônias de bactérias 1000 1300 1690 2197
Razão entre termos consecutivos 1,3 1,3 1,3
Fonte: elaborada pelo autor.
Como temos uma função exponencial entre o instante = 0t e = 5t , o 
valor inicial ( )=0 1000f foi multiplicado pela taxa de crescimento 
desconhecida a três vezes. Assim, para obter esta taxa devemos elevar 
o valor 1,3 à potência 15 . Logo, a taxa de crescimento por minuto é 
=5 1,3 1,05 . Em outras palavras, a população de bactérias cresce a uma 
taxa de 5,3% por minuto.
Função logarítmica
É importante lembrar que não é possível determinar o logaritmo de 
qualquer número a e nem para qualquer base b. Existem restrições para o 
cálculo de logaritmos, as quais são denominadas condições de existência 
para logaritmos. Na Tabela 1.4 apresentamos os valores para as funções 
logarítmicas ( ) ( )= 2logf x x e ( ) ( )= 1
2
logg x x para valores selecionados de x. 
37
Tabela 1.4 | Cálculo de valores selecionados para as funções ( ) ( )= 2logf x x e
( ) ( )= 1
2
logg x x
x ( ) ( )= 2logf x x ( ) ( )= 1
2
logg x x
1
8
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =-÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø2
1 1log 3
8 8
f
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø12
1 1log 3
8 8
g
1
4
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =-÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø2
1 1log 2
4 4
f
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø12
1 1log 2
4 4
g
1
2
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =-÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø2
1 1log 1
2 2
f
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø12
1 1log 1
2 2
g
1 ( ) ( )= =21 log 1 0f
( ) ( )= =1
2
1 log 1 0g
2 ( ) ( )= =22 log 2 1f
( ) ( )= =-1
2
2 log 2 1g
Fonte: elaborada pelo autor.
Um ponto-chave a ser destacado aqui é que a função ( ) ( )= logbf x x com 
>1b é estritamente crescente e é estritamente decrescente para < <0 1b . 
Confira estas afirmações com os gráficos apresentados na Figura 1.20.
Observe que, das condições de existência de logaritmos, só podemos 
efetuar o cálculo dos logaritmos para números reais estritamente positivos. 
Isto mostra que o domínio da função ( ) ( )= logbf x x é o conjunto 
( ) { }= Î > : 0D f x x . Como podemos observar na Tabela 1.4, ao tomarmos 
o logaritmo de valores arbitrariamente próximos a zero, a função 
( ) ( )= logbf x x , com >1b ,assume valores negativos tendendo a -¥ e 
assume valores positivos tendendo a+¥ se < <0 1b . Por outro lado, para 
valores ®¥x a função ( ) ( )= logbf x x , com >1b , assume valores positivos 
cada vez maiores, tendendo a +¥ e a função ( ) ( )= logbf x x com < <0 1b 
assume valores tendendo a -¥ quando ®¥x .
Agora, vamos verificar a definição formal de função logarítmica, mas 
antes, relembremos o que é uma função bijetora. 
Definição (função bijetora): diz-se que uma função f é bijetora se para 
todo valor y que pertença ao conjunto imagem da função existir um e apenas 
um só valor x que pertença ao domínio de f, tal que ( )=y f x .
Apenas funções bijetoras podem ter inversas. A inversa de uma função 
®:f A B que associa a cada Îx A um valor Îy B , efetua a associação 
38
inversa: - ®1 :f B A , associando a cada Îy B um único Îx A . As funções 
exponenciais e logarítmicas são inversas uma da outra. 
Definição (função logarítmica): denomina-se função logarítmica uma 
função da forma ( ) + ® *:f x , tal que ( ) ( )= logbf x x com Î < ¹,0 1b b . 
São exemplos de funções logarítmicas: ( ) ( )= 2logf x x , ( ) ( )= 1
3
logg x x e 
( ) ( )= 5logh x x .
Figura 1.20 | Gráfico de ( ) ( )= 2logf x x (a), gráfico de ( ) ( )= 1
2
logg x x (b)
Fonte: elaborada pelo autor.
A função logarítmica ( ) ( )= logbf x x com Î < ¹,0 1b b é bijetora, 
portanto, possui inversa, sendo sua inversa a função exponencial ( )- =1 xf x b 
com Î < ¹,0 1b b . Em geral, para quaisquer funções ( )f x e sua inversa 
( )-1f x , seus gráficos são espelhados em relação à reta que passa pela origem 
de =y x . Em particular, isso vale para as funções logarítmica e exponencial. 
Na Figura 1.21 ilustramos este aspecto com as funções ( ) ( )= 2logf x x e
( ) ( )-= =1 2xg x f x
Figura 1.21 | Simetria das funções ( ) ( )= 2logf x x e ( ) ( )-= =1 2xg x f x
Fonte: elaborada pelo autor.
39
De forma similar às análises gráficas que já realizamos para a função afim, 
quadrática, funções trigonométricas e função exponencial, veremos agora o 
comportamento do domínio, da imagem e o deslocamento do gráfico da 
função ( ) ( )= × - +logbf x A x c k conforme alteramos os parâmetros , ,A c k . O 
parâmetro A, se negativo, provoca uma reflexão do gráfico da função ( )f x
em relação ao eixo x. Confira com a Figura 1.22a para as funções 
( ) ( )= ×1 23 logf x x e ( ) ( )=- ×2 23 logf x x . 
Se >2 1A A , o gráfico da função ( ) ( )= ×2 2 logbf x A x será mais “alongado” 
na vertical que o gráfico da função ( ) ( )= ×1 1 logbf x A x . Confira com a Figura 
1.22b, para as funções ( ) ( )= ×1 23 logf x x e ( ) ( )= ×2 25 logf x x . 
Figura 1.22 | ( ) ( )= ×1 23 logf x x e ( ) ( )=- ×2 23 logf x x (a); ( ) ( )= ×1 23 logf x x e
( ) ( )= ×2 25 logf x x (b)
Fonte: elaborada pelo autor.
O parâmetro k, de forma totalmente similar ao que já vimos para as outras 
funções, desloca o gráfico da função verticalmente para cima se >0k e para 
baixo se <0k . Veja na Figura 1.23a, com as funções ( ) ( )= +1 2log 3f x x e 
( ) ( )= -2 2log 3f x x . Por fim, o parâmetro c define o deslocamento na horizontal 
do gráfico da função, alterando também o domínio de definição da função. Se 
>0c , o gráfico da função ( ) ( )= × - +logbf x A x c k é deslocado horizontalmente 
c unidades para a direita e se <0c , o gráfico da função ( ) ( )= × - +logbf x A x c k 
é deslocado horizontalmente c unidades para a esquerda. Confira com a Figura 
1.23b com as funções ( ) ( )= -1 2log 3f x x e ( ) ( )= +2 2log 3f x x . 
40
Figura 1.23 | ( ) ( )= +1 2log 3f x x e ( ) ( )= -2 2log 3f x x (a); ( ) ( )= -1 2log 3f x x e
( ) ( )= +2 2log 3f x x (b)
Exemplificando
Sabe-se que a equação ( )
æ ö÷ç= × ÷ç ÷÷çè ø
1325
2
t
f t descreve a quantidade de 
aspirina na corrente sanguínea no instante t medido em períodos de 20 
minutos após você ter ingerido uma dose típica de 325 mg. (KIME et al, 
2014).
Determine o tempo necessário até que a concentração de aspirina 
corresponda à metade da quantia inicial. 
Resolução: Para determinar este tempo, devemos resolver a equação 
æ ö÷ç× =÷ç ÷÷çè ø
1 325325
2 2
t
. Temos que 
æ ö÷ç =÷ç ÷÷çè ø
1 1
2 2
t
. Aplicando logaritmo na base 
1
2
 a 
ambos os lados da equação, teremos: 
é ùæ öê ú÷ç =÷çê ú÷÷çè øê úë û
1 1
2 2
1 1log log
2 2
t
. Então, utili-
zando que o logaritmo de um número na base base é igual a 1 e a 
propriedade do logaritmo da potência: 
æ ö÷ç× =÷ç ÷÷çè ø12
1log 1
2
t , precisaremos de 
uma unidade de tempo =1t , o que pelo enunciado, corresponde a 20 
minutos para que a quantia inicial se reduza à metade.
Sem medo de errar
Agora, vamos resolver a terceira situação problema apresentada ao João. 
Em quanto tempo um capital é duplicado quando submetido a uma aplicação 
de juros compostos com taxa de 2,2% ao mês? 
A resposta correta é dois anos, sete meses e vinte e seis dias. Tente resolver 
esse problema usando a fórmula para cálculo de juros compostos. 
41
Usando a fórmula para juros compostos = +(1 )tM C i , tem-se: 
= 2M C , o montante será duas vezes o capital (C). 
= 0,022i , é a taxa de juros. 
 = ?t , é a incógnita e que se deseja descobrir – o tempo para que a 
aplicação duplique (esta será dada em meses, afinal a taxa de juros é ao mês). 
= + Þ = + Þ = Þ =(1 ) 2 (1 0,022) 2 (1,022) 2 1,022t t t tM C i C C C C 
Chegamos à seguinte situação: =2 1,022t .
Mas, e agora? t é um expoente e é possível perceber que esse expoente 
deve ser o valor adequado para tornar a base (1,022) igual a 2. Vocêaprendeu 
a calcular um número elevado a um expoente que varia (ou seja, altera seu 
valor) em funções exponenciais, não é? Esse cálculo é facilmente efetuado 
com o uso de uma calculadora científica usando a função de expoente. No 
entanto, para encontrar o valor que o expoente deve ter para que um deter-
minado resultado ocorra, como no exemplo =2 1,022t , o cálculo deve ser 
feito por meio de logaritmos. 
Nesse ponto é possível aplicar as propriedades de logaritmos e há duas 
formas de resolver:
1. Mudança de base - pela definição de logaritmos = Û =log ya x y a x , 
tem-se =1,022a , = 2x e =y t . Portanto, 
= Þ =1,022
log 2log 2
log1,022
t t (calculamos logs na base 10 pela calcula-
dora científica)
= 31,85t meses.
=t 31 meses e 26 dias ou 2 anos, 7 meses e 26 dias.
2. Aplicar log nos dois lados da equação – sempre é possível resolver 
uma equação efetuando a mesma operação em ambos lados da igual-
dade, certo? Logo, = Þ =2 1,022 log 2 log1,022t t e pela propriedade (3), 
pode-se escrever =log 2 log1,022t que chegará na mesma divisão da 
solução anterior, portanto =t 31,85 meses ou 2 anos, 7 meses e 26 dias.
42
Avançando na prática
1. Em uma pesquisa realizada constatou-se que a população P de determi-
nada bactéria cresce segundo a expressão = ×( ) 25 2P t t , onde t está medido 
em horas. O tempo que essa população atinge 400 bactérias é de: 
a. 3 horas 
b. 4 horas 
c. 6 horas 
d. 8 horas 
2. A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à 
produção de madeira, evolui, desde o plantio, segundo o seguinte 
modelo matemático: = + +( ) 1,5 log 3( 1)h t t com ( )h t em metros e t 
em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 
3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento do 
plantio até o do corte foi de: 
a. a) 9 anos 
b. b) 8 anos 
c. c) 7 anos 
d. d) 5 anos
Resolução da situação-problema
1. × = Þ = Þ = Þ = 440025 2 400 2 2 16 2 2
25
t t t t 
= 4t horas, portanto letra b.
2. ( ) ( )= + + Þ + = - Þ + = Þ = +23 3 33,5 1,5 log 1 log 1 3,5 1,5 log ( 1) 2 3 1t t t t
= 8t anos.
Faça valer a pena
1. O domínio da função æ ö÷ç= - ÷ç ÷÷çè ø3
1log
2
y x é:
a. 
ì üï ïï ï= Î >í ýï ïï ïî þ

1/
2
D x x
b. { }= Î > / 1D x x
43
c. 
ì üï ïï ï= Î <í ýï ïï ïî þ

1/
2
D x x
d. { }= Î >< / 1D x x
e. =D
2. O professor, responsável pelo departamento de ideias criativas da facul-
dade “Aprendendo o que se vive”, solicitou aos seus alunos que criassem uma 
calculadora que resolvesse a seguinte equação =2 3x .
Dessa forma, para que os alunos possam obter um valor aproximado de x, 
devem criar uma calculadora que possua em sua programação do valores das 
seguintes teclas:
a. log 3 , log 2 e ×log 3 log 2
b. log 3 , log 2 e ¸log 3 log 2
c. 2 log 3 , log 2 e -log 3 log 2
d. log 3 , log 2 e +log 3 log 2
3. Em certo experimento, pesquisadores, ao investigar o desenvolvimento 
de uma cultura de bactérias, constataram que esta população cresce segundo 
a expressão += × 1( ) 768 4tN t , em que ( )N t representa o número de bactérias e 
t indica o tempo observado em horas
Considerando que foi verificada a existência de um nível crítico, que é 
quando a cultura atinge 98304 bactérias, qual será o tempo necessário para 
que o número de bactérias alcance esse nível?
a. 2 horas e 30 minutos
b. 3 horas
c. 4 horas e 20 minutos
d. 5 horas
e. 6 horas
44
Seção 4
Funções trigonométricas
Diálogo aberto
Nas seções anteriores estudamos o que é função e os diferentes tipos de 
função: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Agora iremos aprender 
sobre as funções trigonométricas, utilizadas em várias áreas do conheci-
mento como: astronomia, geografia, engenharia, física, topografia, etc. 
A leitura desta seção irá ampliar sua compreensão sobre as funções trigo-
nométricas, pois tratará de termos que envolvem as características notáveis 
e suas propriedades.
Também no processo seletivo, a empresa multinacional apresentou a 
seguinte situação-problema sobre o PIB (Produto Interno Bruto) para João: 
(FVG-SP-adaptada) O PIB é um dos indicadores mais utilizados 
na macroeconomia com o objetivo de quantificar a atividade econômica 
de uma região. Considere que o PIB (Produto Interno Bruto) de um país, 
em bilhões de dólares, é dado pela equação: 
æ ö÷ç= + + × ÷ç ÷÷çè ø
( ) 800 50 40
8
xP x x sen , 
onde, 
= 0x corresponde ao ano de 1998
=1x corresponde ao ano de 1999
= 2x corresponde ao ano de 2000 e assim por diante
Qual será o PIB do ano de 2018? E agora, como João pode resolver 
este problema?
Não pode faltar
Funções Trigonométricas
A função trigonométrica possui como característica as razões trigonomé-
tricas como por exemplo: =( ) ( )f x sen x , =( ) cos( )f x x , =( ) ( )f x tan x . O 
domínio desta função são os números reais, ou seja a função associa cada 
número real ao seno, ao cosseno ou a tangente e etc.
45
São denominadas Funções Trigonométricas o estudo das funções que 
envolvem as relações do triangulo retângulo em função de um determi-
nado ângulo.
Em nosso cotidiano, encontramos diferentes fenômenos que se repetem 
após um determinado intervalo como por exemplo: dias da semana, meses, 
horas, fase da lua, altura das marés, da radiação eletromagnética, dos 
pêndulos, das molas e etc. 
As funções trigonométricas representam tais fenômenos, por serem 
funções periódicas, para isso imagine um ponto movendo-se por todo ciclo 
trigonométrico, a projeção deste ponto sobre o eixo vertical “y” ou sobre o 
eixo horizontal, irá compor o movimento periódico. 
Para entender melhor vamos estudar um pouco sobre o 
ciclo trigonométrico!
No ciclo trigonométrico, consideramos uma circunferência com o centro 
“0” com um raio unitário, ou seja, com a medida igual a 1, com dois eixos 
perpendiculares: um vertical e outro horizontal, cruzando no ponto (0,0), 
formando assim 4 quadrantes: 1Q , 2Q , 3Q e 4Q .
Figura 1.24 - Ciclo trigonométrico
Fonte: elaborado pelo autor
A medida utilizada no ciclo trigonométrico será através dos arcos ou 
ângulos. Considere um ciclo marcado com dois pontos: A e B, imagine que 
este ficou dividido em dois arcos AB e BA: 
46
Figura1.25 - Ciclo trigonométrico
Fonte: elaborada pelo autor
Se os arcos AB coincidem são chamados de arco nulo, de medida 0°, um 
arco completo possui 360º graus e 1° grau é igual 
°
1
360
ou 60’ minutos. Já a 
medida em radianos envolve a razão entre o comprimento e raio da circun-
ferência ou seja: a= do arco ABcomprimento
raio
 .
Figura1.26 - Ciclo trigonométrico: Graus e Radianos
Fonte: elaborada pelo autor
Exemplificando
Assim p ×2 rad corresponde a 360º. Agora vamos lembrar como é feito a 
conversão radianos para graus e graus para radiano. Vamos converter 
p ×
2
3
rad para graus, para isso vamos utilizar regra de 3 sabendo que
p ×rad é igual a 180º, teremos: 
p
p
×
×
............180
2 ............
3
rad
rad x
 p p× × = × × ×
2180
3
x rad rad 
= ×
2180
3
x
47
=120ºx
Então, p ×
2
3
rad correspondem a 120°
No círculo trigonométrico, é possível fazer a leitura das razões trigono-
métricas: seno, cosseno e da tangente, para um ângulo a tendo como raio, 
uma unidade, tem-se um ponto “P” , cujas as coordenadas são (a,b), sendo 
“a” projetado no eixo das abscissas “x” e “b” projetado no eixo das ordenadas 
“y”, formando um triangulo retângulo, teremos: 
Figura1.27 - Círculo trigonométrico
Fonte: elaborada pelo autor
Vamos agora, estudar as funções seno, cosseno e tangente!
Função Seno
Observe o ciclo trigonométrico, para fazer a leitura das razões do seno, 
teremos como base o eixo vertical e lembrando que a hipotenusa vale uma 
unidade, portanto a razão do seno será o mesmo valor da ordenada “b” ou 
seja será o mesmo da medida do cateto oposto: 
a
a = = =
 oposto a ( ) " "
1
cateto bsen b
hipotenusa
 
Sendo assim, o eixo vertical, correspondente a ordenada é identificada 
como seno de a e a representação gráfica da função seno, se repeteno inter-
valo de 0 a p2 rad ou de 0° a 360°: 
A representação gráfica da função seno, será uma curva denominada 
como senóide e possui as seguintes características: 
• Domínio pertence ao conjunto dos números Reais; 
• Periodicidade de p2 rad ;
48
• Imagem será entre [ ]-1, 1 ; 
• Valor máximo igual a “1” e mínimo igual a “-1”;
• A amplitude será igual a 1;
• Sinal positivo no 1º e 2° quadrantes;
• Sinal negativo no 3º e 4º quadrantes
Para construir o gráfico =( ) ( )f x sen x , atribuímos valores de x assim 
determinamos os valores correspondentes às razões trigonométricas:
Tabela 1.5 - Função Seno
Ângulos f(x)=sen(x) (X, Y)
p0 ou 0º =( ) (0)f x sen 0
p
2
ou 90º =( ) (90)f x sen 1
p ou 180º =( ) (180)f x sen 0
p2
3
ou 270º =( ) (270)f x sen -1
p2 ou 360º =( ) (360)f x sen 0
Fonte: elaborada pelo autor.
Gráfico 1.28 - Senóide
49
Fonte: elaborada pelo autor
Função Cosseno
Denominamos =( ) cos( )f x x , de função cosseno, de modo associar cada 
número real “x” o número real “OP”, sendo considerado como cosseno do 
ânguloa , o valor da medida do cateto adjacente, ou seja ao número real “x” 
da abscissa do ponto correspondente à sua imagem no ciclo: 
a
a = = =
 adjacente a cos( )
1
cateto a a
hipotenusa
 
A representação gráfica da função cosseno, será uma curva denominada 
como cossenóide e possui as seguintes características: 
Sinal positivo: quando x pertence ao 1º e 4º quadrantes;
Sinal Negativo: quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes;
Período de p2 rad ;
Domínio pertence aos números Reais;
Imagem será entre [-1,1]
Para construir o gráfico =( ) cos( )f x x , atribuímos valores de x assim 
determinamos os valores correspondentes às razões trigonométricas: 
Tabela 1.6 - Função Cosseno
Ângulos f(x)=cos(x) (X,Y)
p0 ou 0º f(x)=cos(0) 1
 p ou 90º f(x)=cos(90) 0
p2 ou 180º f(x)=cos(180) -1
p2
3
ou 270º f(x)=cos(270) 0
p2 ou 360º f(x)=cos(360) 1
Fonte: elaborada pelo autor.
50
Gráfico 1.29 – Cossenóide
Fonte: elaborada pelo autor. 
Função tangente
É a função real de variável, tal que x pertence ao conjunto dos números 
reais, tendo P sua imagem na circunferência trigonométrica e T o ponto que 
a reta OP intercepta o eixo da tangente, ou seja, a = oposto( )
 
catetotg
cateto adjacente
 .
Tabela 1.3 - Função Tangente
Ângulo 0 p 4
p
2 p3 4
p p5
4
p3
2
p7
4 p2
Tangente 0 1 $ -1 0 1 $ -1 0
Fonte: elaborada pelo autor.
A representação gráfica da função tangente ( )= ( )f x tg x , é denominada 
como tangentóide e possui as seguintes características: 
• O sinal da função é positiva no 1º e 3º quadrantes;
• O sinal de função é negativa no 2º e 4º quadrantes;
• Tem o período em p rad ;
• Domínio será p p
ì üï ïï ï= Î ¹ +í ýï ïï ïî þ
/
2
D x R x k
• Não existe a tangente para os ângulos de p
2
e p3
2
;
Gráfico 1.30 - Tangentóide
51
Fonte: elaborada pelo autor
Com esta seção, tivemos a oportunidade de aprofundar nossos estudos 
sobre funções trigonométricas e suas aplicações. Além disso, podemos rever 
assuntos que fundamentam e complementaram este tema com as razões 
trigonométricas e ciclo trigonométrico, bem como as transformações de 
unidades de graus para p rad e vice-versa. Agora você possui as ferramentas 
necessárias para resolver ao exemplo inicial deste tema.
Faça você mesmo
Sendo =( ) 2cos( )f x x esboce seu gráfico e identifique o conjunto 
imagem e período.
Sem medo de errar
Após o estudo das funções trigonométricas, vamos resolver a situação 
problema do PIB apresentada ao João? 
Vamos relembrar! A partir da equação apresentada João deve descobrir 
qual será o PIB do ano de 2018.
Então, dada a equação 
æ ö÷ç= + + × ÷ç ÷÷çè ø
( ) 800 50 40
8
xP x x sen , João deve calcular o 
PIB do ano de 2018, assim = 20x , já que como mencionado no enunciado 
da situação problema
= 0x corresponde ao ano de 1998
=1x corresponde ao ano de 1999
52
= 2x corresponde ao ano de 2000 e assim por diante
Temos desse modo: 
æ ö÷ç= + + × ÷ç ÷÷çè ø
( ) 800 50 40
8
xP x x sen
æ ö÷ç= + × + × ÷ç ÷÷çè ø
20( ) 800 50 20 40
8
P x sen
æ ö÷ç= + + × ÷ç ÷÷çè ø
5( ) 800 1000 40
2
P x x sen
= + ×( ) 1800 40 1P x
=( ) 1840P x bilhões.
Avançando na prática
Em certo dia do ano, em uma cidade, a maré alta ocorreu à meia-noite. A 
altura da água no porto dessa cidade é uma função periódica, pois oscila 
regularmente entre maré alta e maré baixa, ou seja, a altura da maré aumenta 
até atingir um valor máximo (maré alta) e vai diminuindo até atingir um 
valor mínimo (maré baixa), para depois aumentar de novo até a maré alta, e 
assim por diante. A altura y, em metros, da maré, nesse dia, no porto da 
cidade, pode ser obtida, aproximadamente, pela fórmula: = +2 1,9y . 
p
æ ö÷ç × ÷ç ÷÷çè ø
Cos
6
t , sendo t o tempo decorrido, em horas, após a meia noite. 
Considerando as informações acima, responda: Qual a altura da maré no 
tempo de 3 horas? 
a) 2 metros
b) 3 metros
c) 3,9 metros
d) 4 metros
Resolução da situação-problema
Para = 3t h
( ) ( ) ( )pp p= + × × = + × × = + ×32 1,9 cos 2 1,9 cos 2 1,9 cos6 6 2ty
= + × = + × =2 1,9 cos(90) 2 1,9 0 2y m
Faça valer a pena
53
1. Considerando a função trigonométrica =( ) ( )f x sen x .
Assinale a alternativa correta:
a. O gráfico da função seno é chamado de senoide e tem como domínio 
o intervalo [ ]-1,1 .
b. A imagem da função seno é o conjunto dos números reais.
c. A função é não periódica.
d. Cada ponto do gráfico é da forma ( )( ),sen x x .
e. Seno é uma função ímpar.
2. O ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 cm.
Qual a distância que sua extremidade percorre no período de 20 minutos? 
Considere p= 3,14 .
a. 34,2 cm.
b. 45, 7 cm.
c. 12, 9 cm.
d. 78,9 cm.
e. 25, 12 cm.
3. A quantidade de energia consumida por uma cidade varia com as horas 
do dia, e os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximar essa 
necessidade de energia pela função: 
p pæ ö÷ç= - - ÷ç ÷÷çè ø
( ) 40 20cos
12 4
P x t em que t é a hora do dia e P a quantidade de 
energia, MW.
Qual a quantidade de energia, MW, consumida pela cidade ao meio-dia?
 Use =2 1,4 .
a. 54 MW.
b. 60 MW.
c. 26 MW.
d. 34 MW.
e. 87 MW.