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Aula 11
Banco do Brasil - Matemática - 2022
(Pré-Edital)
Autor:
Equipe Exatas Estratégia
Concursos
24 de Janeiro de 2022
40181815826 - Flávio Ricardo Cirino
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Índice
..............................................................................................................................................................................................1) Matrizes 3
..............................................................................................................................................................................................2) Determinantes 34
..............................................................................................................................................................................................3) Sistemas Lineares 59
..............................................................................................................................................................................................4) Resumo - Problemas Matriciais II 109
..............................................................................................................................................................................................5) Questões Comentadas - Problemas Matriciais II - Multibancas 117
..............................................................................................................................................................................................6) Lista de Questões - Problemas Matriciais II - Multibancas 192
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1 - MATRIZES 
 
 
 
Podemos representar uma matriz tanto com colchetes "[ ]" quanto com parênteses "( )". 
Matriz de dimensão m × n: m linhas e n colunas. 
Elemento ���: o primeiro índice representa a linha e o segundo índice representa a coluna. 
 
 
Cada elemento da matriz deve ser calculado por meio de uma fórmula apresentada. 
 
 
Igualdade entre matrizes: duas matrizes são iguais quando apresentam a mesma dimensão m×n e seus 
elementos são idênticos e estão nas mesmas posições. 
Adição e subtração de matrizes: é necessário que as matrizes tenham a mesma dimensão m×n. Para 
realizar a operação, basta somar/subtrair os termos que estão na mesma posição. 
Multiplicação da matriz por um número real: multiplicar todos os elementos da matriz pelo número real. 
 
Multiplicação de matrizes 
1. Verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. Se essa 
igualdade não se verificar, não é possível realizar o produto das matrizes. 
 
2. Obter o esquema geral da matriz-produto, que apresenta a seguinte dimensão: 
Número de linhas da primeira × Número de colunas da segunda 
 
3. Obter os elementos da matriz resultante a partir das linhas da primeira matriz e das colunas da 
segunda matriz. 
O elemento ��� da matriz-produto � é obtido por meio da linha � da primeira matriz e da coluna � da 
segunda matriz. 
 
 
A propriedade comutativa não vale para matrizes: �� 	 ��. 
Propriedade associativa entre matrizes: 
���� � �
��� 
Propriedade associativa entre matrizes e um número real: 
��� � 

��� � �

�� 
Propriedade distributiva: �
� � �� � �� � ��; 
� � ��� � �� � �� 
Elemento neutro da multiplicação de matrizes: �� � �� � � 
Matrizes 
Introdução às matrizes 
Representação de uma matriz pela lei de formação 
Operações com matrizes 
Propriedades da multiplicação de matrizes 
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O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Se � é uma matriz 
quadrada, então o seu traço é representado por ��
��. 
 
 
A matriz oposta de � é −�. 
 
 
A transposta de uma matriz � (notação: ��) corresponde à matriz cujas linhas foram transformadas em 
colunas. 
 
���� � � 
 

��� � 
�� 
 
���� � ���� 
 
� � ��� � �� � �� 
Matriz Simétrica: a matriz é igual a sua transposta → � � �� 
• É quadrada; e 
• Os elementos simétricos com relação à diagonal principal são iguais. 
Matriz antissimétrica: �� � −� 
• É quadrada; 
• A diagonal principal é nula; e 
• Os elementos simétricos com relação à diagonal principal são opostos. 
 
 
A inversa de uma matriz � (notação: ���) é aquela matriz que, quando multiplicada pela matriz A, tem 
como resultado a matriz identidade: 
 ���� � ���� � �� 
Uma matriz que não possui inversa é denominada singular. 
 
Propriedades: 
 
������ � � 
 
����� � 
����� 
 

���� � �� ��� 
 
����� � ������ 
 
������ � ��������� 
 
 
Traço de uma matriz quadrada 
Matriz oposta 
Matriz transposta, simétrica e antissimétrica 
Matriz inversa 
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1.1 – Introdução às matrizes 
1.1.1 – Noção básica 
A ideia básica de uma matriz é representar uma tabela de um modo mais formal, com uma "linguagem 
matemática". 
Suponha, por exemplo, que um concurseiro quer organizar em uma matriz quantas horas ele pretende 
estudar em cada dia da semana das próximas quatro semanas. Considere também que: 
• As linhas representam os dias da semana: a primeira linha corresponde à segunda-feira, a segunda 
linha corresponde à terça-feira, e assim sucessivamente até a sétima linha, que corresponde ao 
domingo. 
• As colunas representam as semanas: a primeira coluna corresponde à primeira semana, a segunda 
coluna corresponde à segunda semana, a terceira coluna corresponde à terceira semana e, por fim, 
a quarta coluna corresponde à quarta semana. 
Nesse caso, o concurseiro pode representar a sua matriz do seguinte modo: 
 
Note que o elemento que está na 6ª linha e na 2ª coluna representa o número de horas que concurseiro 
planeja estudar no sábado da segunda semana: 11 horas. 
 
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Podemos representar uma matriz tanto com colchetes "[ ]" quanto com parênteses "( )". Portanto, a matriz 
em questão também pode ser representada da seguinte maneira: 
⎝
⎜⎜⎜
⎛3 44 355699
445118
 
 5 6 4 3 4 3 3 9 9
 3 3 4 8 9⎠
⎟⎟⎟
⎞
 
1.1.2 - Dimensão de uma matriz 
Podemos dizer que uma matriz de dimensão m × n (lê-se: matriz de dimensão m por n) é uma matriz 
formada por elementos (ou entradas) distribuídos em m linhas e n colunas. 
No exemplo que acabamos de mostrar, temos uma matriz composta por 7 linhas e por 4 colunas. Portanto, 
trata-se de uma matriz 7 × 4 (matriz 7 por 4). Vejamos mais quatro exemplos: 
• +11 √3- 7/96 5 28 1 3 1 é uma matriz 3 × 3; 
 
• 2 5 11/12 √7 4 1 534 154 é uma matriz 2 × 4; 
 
• 5 2 35 71117 13196 é uma matriz 4 × 2; 
 
• 75318 é uma matriz 3 × 1. 
 
 
A ordem correta é Nº de LINHAS × Nº de COLUNAS 
 
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1.1.3 - Representação genérica dos elementos de uma matriz 
Cada elemento de uma matriz apresenta uma determinada localização dentro dela. Essa localização é dada 
pela linha e pela coluna do elemento. 
Considere a seguinte matriz A: 
� � 
⎣⎢⎢
⎢⎢⎢
⎡3 44 355699
445118
 
 5 6 4 3 4 3 3 9 9
 3 3 4 8 9⎦⎥⎥
⎥⎥⎥
⎤
 
Genericamente, um elemento dessa matriz � pode ser representado por ?��, em que � representa a linha 
em que esse elemento se encontra e � representa a sua coluna. 
 
O primeiro índice representa a linha e o segundo índice representa a coluna. 
 
Por exemplo, o elemento �@A é aquele que está na linha 4 e nacoluna 2. Portanto, �BC � 4. 
 
 
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O elemento �A@, por sua vez, é aquele que está na linha 2 e na coluna 4. Portanto, �CB � 3. 
 
1.1.4 - Representação genérica de uma matriz 
Uma matriz A de dimensão m×n, isto é, uma matriz A com m linhas e n colunas, pode ser representada 
genericamente das seguintes formas: 
�E� 
� � F�GHIE� 
� � J ��� ��C … ����C� �CC … �C�⋮�E� ⋮�EC ⋱ ⋮ … �E�
N 
1.2 - Representação de uma matriz pela lei de formação 
Podemos representar uma matriz por meio de uma lei de formação. Nesse caso, cada elemento da matriz 
deve ser calculado por meio de uma fórmula apresentada. 
Considere, por exemplo, a seguinte matriz: � � F�GHI3×3 tal que �GH � U � VC 
Note que a matriz � é 3×3, isto é, possui 3 linhas e 3 colunas. 
� � +��� ��C ��3�C� �CC �C3�3� �3C �331 
Para obter a matriz, devemos calcular cada um de seus elementos �GH por meio da lei de formação 
apresentada, dada por �GH � U � VC. �WW � W � WC � 2 �WA � W � AC � 5 �WX � W � XC � 10 
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�AW � A � WC � 3 �AA � A � AC � 6 �AX � A � XC � 11 �XW � X � WC � 4 �XA � X � AC � 7 �XX � X � XC � 12 
Portanto, a matriz � é dada por: 
� � +2 5 103 6 114 7 121 
(DNIT/2013) Os elementos de uma matriz �3×C , isto é, com três linhas e duas colunas, são dados por: 
�GH � Z
U � V�C, se U � VUC � VC, se U 	 V 
Em que �GH representa o elemento da matriz �3×C localizado na linha U e coluna V. Então, a soma dos 
elementos da primeira coluna de �3×C é igual a: 
a) 17 
b) 15 
c) 12 
d) 19 
e) 13 
Comentários: 
Como a matriz � apresenta 3 linhas e 2 colunas, podemos representá-la genericamente do seguinte modo: 
� � +��� ��C�C� �CC�3� �3C1 
A questão pede a soma dos elementos da primeira coluna de �: ��� � �C� � �3� 
 
Para ���, temos U � V. Logo, ��� � 
1 � 1�C � 4. 
Para �C�, temos U 	 V. Logo, �C� � 1C � 2C � 5. 
Para �3�, temos U 	 V. Logo, �3� � 3C � 1C � 10. 
 
A questão pede a soma dos elementos da primeira coluna de � é: 4 � 5 � 10 � 19 
Gabarito: Letra D. 
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1.3 – Matriz quadrada 
A matriz quadrada É uma matriz que apresenta o mesmo número de linhas e de colunas, ou seja, tem 
dimensão da forma ] × ]. Exemplos: 
• 2 11 4C70% −34 é uma matriz quadrada de dimensão 2 × 2. 
 
• + 7 53 34 −8 2211 4% 1 1 é uma matriz quadrada de dimensão 3 × 3. 
Quando uma matriz quadrada apresenta dimensão _ × _, dizemos que essa matriz quadrada apresenta 
ordem _. Nos dois exemplos anteriores, temos uma matriz quadrada de ordem 2 e uma matriz quadrada de 
ordem 3, respectivamente. 
1.3.1 - Diagonais da matriz quadrada 
Uma matriz quadrada apresenta duas diagonais: a diagonal principal e a diagonal secundária. 
A diagonal principal é composta pelos elementos em que o número da linha é igual ao número da coluna, 
isto é, � � �. 
 
Para o exemplo em questão, os elementos da diagonal principal são ��� � 5, �CC � 15 e �33 � 7. 
Já a diagonal secundária é composta por elementos cuja soma da linha e da coluna (U � V) é igual à ordem 
da matriz (]) acrescida de uma unidade, isto é: 
� � � � _ � W 
 
Para o exemplo em questão, os elementos da diagonal secundária são ��3 � 9, �CC � 15 e �3� � √7. 
 
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1.4 - Operações com matrizes 
1.4.1 – Igualdade entre matrizes 
Duas matrizes são iguais quando: 
• Apresentam a mesma dimensão ` × ]; e 
• Seus elementos são idênticos e estão nas mesmas posições. 
Por exemplo, as duas matrizes abaixo são iguais, pois ambas apresentam a mesma dimensão 3 × 3, bem 
como seus elementos são idênticos e estão nas mesmas posições: 
53/4 11 −37 4C −4√2 5 −16 � 53/4 11 −37 4C −4√2 5 −16 
Observe agora a suposta igualdade: 
53/4 11 −37 @A −4a 5 −16 �⏞?? +3/4 11 −37 d −4√A 5 −11 
Note que a igualdade só se verifica se d � @A e a � √A. Caso contrário, as duas matrizes não serão iguais. 
(Pref. N Horizonte/2019) O valor de e � f que determina a igualdade entre as matrizes g 7 e − f −1015 8 24 h � 2 7 −13 2e−3e 8 3f4 é: 
a) 5. 
b) 3. 
c) −5. 
d) −8. 
e) −13. 
Comentários: 
Note que as duas matrizes apresentam a mesma dimensão 2 × 3. Para que elas sejam iguais, seus elementos 
devem ser idênticos e devem estar nas mesmas posições. Para tanto, devemos ter: 
ie − f � −132e � −10−3e � 153f � 24 
A partir da segunda e da quarta equação, podemos obter os valores de e e de f. 2e � −10 → d � −j 3f � 24 → a � k 
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O valor de e � f é: 
−5� � 8 � 3 
O gabarito, portanto, é letra B. 
Observe que as outras equações se verificam para d � −j e a � k, pois, caso contrário, as matrizes não 
seriam iguais. d − a � 
−j� − k � −WX −Xd � −3 × 
−j� � Wj 
Gabarito: Letra B. 
1.4.2 – Adição e subtração de matrizes 
Para somar ou subtrair matrizes, é necessário que elas tenham a mesma dimensão. Note, portanto, que 
não é possível somarmos uma matriz de dimensão 3 × 5 com uma matriz de dimensão 4 × 3. 
Feita essa observação, deve-se entender que a soma entre duas matrizes é feita somando os termos que 
estão na mesma posição. 
Para a subtração, seguimos a mesma ideia, subtraindo os elementos de uma matriz dos elementos de 
mesma posição da outra matriz. 
Suponha, por exemplo, que temos duas matrizes A e B dadas por: 
� � g j −A X−@ W jh 
� � g−X X −AA W l h 
A soma � � � é dada por: 
� � � � g j −A X−@ W jh � g−X X −AA W l h 
� � � � gj � 
−X� −A � X X � 
−A�−@ � A W � W j � l h 
� � � � g 2 1 1−2 2 12h 
Já a subtração � − � é dada por: 
� − � � g j −A X−@ W jh − g−X X −AA W l h 
� − � � gj − 
−X� −A − X X − 
−A�−@ − A W − W j − l h 
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� − � � g 8 −5 5−6 0 −2h 
1.4.3 – Multiplicação da matriz por um número real 
Para multiplicarmos uma matriz por um número real qualquer, basta multiplicar todos os elementos dessa 
matriz pelo número real. Considere, por exemplo, a seguinte matriz �: 
� � +−3 2 51 3 −17 −3 √21 
Ao multiplicar a matriz � por 2, obtemos a seguinte matriz: 
2� � A × +−X A jW X −Wl −X √A1 
2� � 5A × 
−X� A × A A × jA × W A × X A × 
−W�A × l A × 
−X� A × √A 6 
2� � +−6 4 102 6 −214 −6 2√21 
1.4.4 – Multiplicação de matrizes 
Pessoal, atenção redobrada com a multiplicação de matrizes. Essa é a parte que costuma gerar mais confusão 
entre os alunos. 
Para multiplicar duas matrizes, devemos seguir os seguintes passos: 
1. Verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. Se essa 
igualdade não se verificar, não é possível realizar o produto das matrizes. 
 
2. Obter o esquema geral da matriz-produto, que apresenta a seguinte dimensão: 
Número de linhas da primeira × Número de colunas da segunda 
 
3. Obter os elementos da matriz resultante a partir das linhas da primeira matriz e das colunas da 
segunda matriz. 
Professor, não entendi nada!! 
Calma, caro aluno! Vamos resolver um exemplo. 
Considere as matrizes � e �, dadas por: 
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� � g3 2 11 33h 
� � +100 200 450 200400 150 150 450250 300 100 7001 
Vamos calcular o produto � × �. 
1. Verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. Se essa 
igualdade não se verificar, não é possível realizar o produto das matrizes; 
Note que a matriz � tem dimensão 2 × X, e a matriz � tem dimensão X × 4. Observe, portanto, que o 
número de colunas da matriz � é igual ao número de linhas da matriz �. Logo, é possível realizar o produto 
das matrizes �C×3 e �3×B. 
2. Obter o esquema geral da matriz-produto, que apresenta a seguinte dimensão: 
Número de linhas da primeira × Número de colunas da segunda 
A matriz � tem dimensão A × 3, e a matriz � tem dimensão 3 × @. Logo, a matriz-produto apresenta a 
dimensão A × @. Temos o seguinte esquema geral: 
� � � × � � 2
 � 
 � 
 � 
 �
 � 
 � 
 � 
 �4 
Ou então, de maneira mais formal, poderíamos escrever: 
� � � × � � 2��� ��C ��3 ��B�C� �CC �C3 �CB4 
Lembre-se: o elemento �GH está na linha U e na coluna V da matriz C. 
Uma maneira prática de memorizar os passos 1 e 2 é a seguinte: 
 
3. Obter os elementos da matriz resultante a partir das linhas da primeira matriz e das colunas da 
segunda matriz. 
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Temos a seguinte matriz-produto: 
� � � × � � 2��� ��C ��3 ��B�C� �CC �C3 �CB4 
Obtenção de �WW 
�WW → Primeira linha da primeira matiz, primeira coluna da segunda matriz 
Para determinar o elemento da primeira linha e da primeira coluna da matriz-produto (�WW), devemos utilizar 
a primeira linha da primeira matriz e a primeira coluna da segunda matriz. 
� � gX A W1 3 3h 
� � +Wmm 200 450 200@mm 150 150 450Ajm 300 100 7001 
Para obter o elemento �WW, realiza-se a seguinte operação: 
�WW � X × Wmm � A × @mm � W × Ajm � WXjm 
Vamos colocar esse novo elemento na nossa matriz-produto: 
� � � × � � 2WXjm 
 � 
 � 
 �
 � 
 � 
 � 
 �4 
Obtenção de �WA 
�WA → Primeira linha da primeira matiz, segunda coluna da segunda matriz 
Para determinar o elemento da primeira linha e da segunda coluna da matriz-produto (�WA), devemos utilizar 
a primeira linha da primeira matriz e a segunda coluna da segunda matriz. 
� � gX A W1 3 3h 
� � +100 Amm 450 200400 Wjm 150 450250 Xmm 100 7001 
Para obter o elemento �WA, realiza-se a seguinte operação: 
�WA � X × Amm � A × Wjm � W × Xmm � WAmm 
Vamos colocar esse novo elemento na nossa matriz-produto: 
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� � � × � � 21350 WAmm 
 � 
 �
 � 
 � 
 � 
 �4 
Obtenção de �WX 
�WX → Primeira linha da primeira matiz, terceira coluna da segunda matriz 
Para determinar o elemento da primeira linha e da terceira coluna da matriz-produto (�WX), devemos utilizar 
a primeira linha da primeira matriz e a terceira coluna da segunda matriz. 
� � gX A W1 3 3h 
� � +100 200 @jm 200400 150 Wjm 450250 300 Wmm 7001 
Para obter o elemento �WX, realiza-se a seguinte operação: 
�WX � X × @jm � A × Wjm � W × Wmm � Wljm 
Vamos colocar esse novo elemento na nossa matriz-produto: 
� � � × � � 21350 1200 Wljm 
 �
 � 
 � 
 � 
 � 4 
Obtenção de �W@ 
�W@ → Primeira linha da primeira matiz, quarta coluna da segunda matriz 
Para determinar o elemento da primeira linha e da quarta coluna da matriz-produto (�W@), devemos utilizar 
a primeira linha da primeira matriz e a quarta coluna da segunda matriz. 
� � gX A W1 3 3h 
� � +100 200 450 Amm400 150 150 @jm250 300 100 lmm1 
Para obter o elemento �W@, realiza-se a seguinte operação: 
�W@ � X × Amm � A × @jm � W × lmm � AAmm 
Vamos colocar esse novo elemento na nossa matriz-produto: 
� � � × � � 21350 1200 1750 AAmm
 � 
 � 
 � 
 � 4 
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Obtenção de �AW 
�AW → Segunda linha da primeira matiz, primeira coluna da segunda matriz 
Para determinar o elemento da segunda linha e da primeira coluna da matriz-produto (�AW), devemos utilizar 
a segunda linha da primeira matriz e a primeira coluna da segunda matriz. 
� � g3 2 1W X Xh 
� � +Wmm 200 450 200@mm 150 150 450Ajm 300 100 7001 
Para obter o elemento �AW, realiza-se a seguinte operação: 
�AW � W × Wmm � X × @mm � X × Ajm � Amjm 
Vamos colocar esse novo elemento na nossa matriz-produto: 
� � � × � � 21350 1200 1750 2200Amjm 
 � 
 � 
 � 4 
Obtenção de �AA 
�AA → Segunda linha da primeira matiz, segunda coluna da segunda matriz 
Para determinar o elemento da segunda linha e da segunda coluna da matriz-produto (�AA), devemos utilizar 
a segunda linha da primeira matriz e a segunda coluna da segunda matriz. 
� � g3 2 1W X Xh 
� � +100 Amm 450 200400 Wjm 150 450250 Xmm 100 7001 
Para obter o elemento �AA, realiza-se a seguinte operação: 
�AA � W × Amm � X × Wjm � X × Xmm � Wjjm 
Vamos colocar esse novo elemento na nossa matriz-produto: 
� � � × � � 21350 1200 1750 22002050 Wjjm 
 � 
 � 4 
Obtenção de �AX 
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�AX → Segunda linha da primeira matiz, terceira coluna da segunda matriz 
Para determinar o elemento da segunda linha e da terceira coluna da matriz-produto (�AX), devemos utilizar 
a segunda linha da primeira matriz e a terceira coluna da segunda matriz. 
� � g3 2 1W X Xh 
� � +100 200 @jm 200400 150 Wjm 450250 300 Wmm 7001 
Para obter o elemento �AX, realiza-se a seguinte operação: 
�AX � W × @jm � X × Wjm � X × Wmm � WAmm 
Vamos colocar esse novo elemento na nossa matriz-produto: 
� � � × � � 21350 1200 1750 22002050 1550 WAmm 
 �4 
Obtenção de �A@ 
�A@ → Segunda linha da primeira matiz, quarta coluna da segunda matriz 
Para determinar o elemento da segunda linha e da quarta coluna da matriz-produto (�A@), devemos utilizar 
a segunda linha da primeira matriz e a quarta coluna da segunda matriz. 
� � g3 2 1W X Xh 
� � +100 200 450 Amm400 150 150 @jm250 300 100 lmm1 
Para obter o elemento �A@, realiza-se a seguinte operação: 
�A@ � W × Amm � X × @jm � X × lmm � Xnjm 
Vamos colocar esse novo elemento na nossa matriz-produto: 
� � � × � � g1350 1200 1750 22002050 1550 1200 Xnjmh 
Pronto! Acabamos de realizar o produto das matrizes � e �. 
� × � � � 
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g3 2 11 3 3h × +100 200 450 200400 150 150 450250 300 100 7001 � g1350 1200 1750 22002050 1550 1200 3650h 
Professor... você levou QUATRO PÁGINAS para calcular os oito elementos!! 
Calma, caro aluno. Levamos quatro páginas porque fizemos passo a passo. Em resumo, o que você precisa 
saber é o seguinte: 
 
O elemento da linha � e da coluna � da matriz-produto � é obtido por meio da linha � da 
primeira matriz e da coluna � da segunda matriz. 
�WW → Linha 1 da primeira matriz e coluna 1 da segunda matriz; 
�WA → Linha 1 da primeira matriz e coluna 2 da segunda matriz; 
�WX → Linha 1 da primeira matriz e coluna 3 da segunda matriz; 
�W@ → Linha 1 da primeira matriz e coluna 4 da segunda matriz; 
�AW → Linha 2 da primeira matriz e coluna 1 da segunda matriz; 
�AA → Linha 2 da primeira matriz e coluna 2 da segunda matriz; 
�AX → Linha 2 da primeira matriz e coluna 3 da segunda matriz; 
�A@ → Linha 2 da primeira matriz e coluna 4 da segunda matriz. 
Na hora da prova, ao se deparar com o seguinte produto: 
gX A WW X Xh × +Wmm Amm @jm Amm@mm Wjm Wjm @jmAjm Xmm Wmm lmm1 
Você deve realizar as contas assim: 
� 2
 X. Wmm � A. @mm � W. Ajm�X. Amm � A. Wjm � W. Xmm� 
X. @jm � A. Wjm � W. Wmm� 
X. Amm � A. @jm � W. lmm�
W. Wmm � X. @mm � X. Ajm� 
W. Amm � X. Wjm � X. Xmm� 
W. @jm � X. Wjm � X. Wmm � 
W. Amm � X. @jm � X. lmm�4 
� g1350 1200 1750 22002050 1550 1200 3650h 
 
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(Pref. SJC/2019) Sobre as matrizes �E×� e �o × p é correto afirmar que existe a operação: 
a) A + B, se n = p 
b) B – A, se n = p 
c) A · B, se m = q 
d) B · A, se m = q 
e) A ÷ B, se n = p 
Comentários: 
Vamos analisar cada alternativa. 
a) ERRADO. Temos a soma das duas matrizes, que só é possível se elas apresentarem a mesma dimensão. 
Para tanto, deveríamos ter q � r e _ � s. 
b) ERRADO. Temos uma subtração de matrizes, que só é possível se elas apresentarem a mesma dimensão. 
Para tanto, deveríamos ter q � r e _ � s. 
c) ERRADO. Temos uma multiplicação de matrizes, que só é possível se o número de colunas da primeira (]) 
for igual ao número de linhas da segunda (t). Para tanto, deveríamos ter _ � r. 
d) CERTO. Temos uma multiplicação de matrizes, que só é possível se o número de colunas da primeira (u) 
for igual ao número de linhas da segunda (`). Esse é o caso apresentado na alternativa, em que q � s. 
e) ERRADO. Não existe divisão de matrizes. 
Gabarito: Letra D. 
 
(Pref. Dois Córregos/2019) O produto das matrizes g1 5 34 2 6h e +0 12 00 11, nessa ordem 
a) não existe, pois elas têm os números de linhas diferentes, assim como os números de colunas. 
b) não existe, pois o número de linhas da primeira matriz do produto é diferente do número de colunas da 
segunda matriz. 
c) existe, e é igual a g0 44 0h. 
d) existe, e é igual a g10 44 10h. 
e) existe, e é igual a g10 00 10h. 
Comentários: 
Lembre-se que, multiplicar duas matrizes, devemos seguir os seguintes passos: 
1. Verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. Se essa 
igualdade não se verificar, não é possível realizar o produto das matrizes. 
2. Obter o esquema geral da matriz-produto, que apresenta a seguinte dimensão: 
Número de linhas da primeira × Número de colunas da segunda 
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3. Obter os elementos da matriz resultante a partir das linhas da primeira matriz e das colunas da segunda 
matriz. 
 
Note que a primeira matriz apresenta dimensão A × X, e a segunda matriz apresenta dimensão X × A. Isso 
significa que: 
1. O número de colunas da primeira matriz 
X� é igual ao número de linhas da segunda 
X� e, portanto, o 
produto existe. 
2. A matriz-produto apresenta dimensão A × A. 
Temos, então, que a matriz-produto apresenta o seguinte esquema geral: 
2
 � 
 �
 � 
 �4 
Vamos agora para o terceiro passo: 
3. Obter os elementos da matriz resultante a partir das linhas da primeira matriz e das colunas da segunda 
matriz. 
gW j X@ A nh × +m WA mm W1 
� 2
 W. m � j. A � X. m� 
 W. W � j. m � X. W�
 @. m � A. A � n. m � 
 @. W � A. m � n. W�4 
� g10 44 10h 
Gabarito: Letra D. 
1.4.5 – Propriedades da multiplicação de matrizes 
1.4.5.1 - A propriedade comutativa não vale para matrizes 
Antes de apresentarmos as propriedades da multiplicação de matrizes, vamos mostrar uma propriedade que 
não pode ser utilizada para matrizes. 
Na álgebra comum, a propriedade comutativa para a multiplicação de números nos diz que "a ordem dos 
fatores não altera o produto". Isso significa que: 
150 × 311 � 311 × 150 
Para o caso das matrizes, essa propriedade não ocorre. O produto da matriz � pela matriz � é diferente do 
produto da matriz � pela matriz � (a não ser que a igualdade ocorra por uma grande coincidência). Isso 
significa que: 
�� 	 �� 
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Perceba que em alguns casos o produto �� existe e o produto �� não existe. 
Considere a matriz �C×3 de ordem 2 × 3 e a matriz �3×B de ordem 3 × 4. 
Note que o produto �� existe, pois o número de colunas de � é igual ao número de linhas 
de �. 
 
Por outro lado, o produto �� não é possível, pois o número de colunas de � não é igual 
ao número de linhas de �. 
 
1.4.5.2 - Propriedade associativa 
Propriedade associativa entre matrizes 
Na álgebra comum, a propriedade associativa para a multiplicação de números nos diz que podemos agrupar 
números que estão sendo multiplicados da forma que nos for conveniente. 
 Por exemplo, ao realizar a multiplicação 2 × 3 × 5, podemos realizar de duas maneiras: 
• 
2 × 3� × 5; ou 
• 2 × 
3 × 5�. 
Isso significa que: 
2 × 3� × 5 � 2 × 
3 × 5� 
Para a multiplicação de matrizes, temos a mesma propriedade. 
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Para o caso em que é possível o produto das matrizes �, � e �, nessa ordem, podemos realizar o produto ��� de duas formas: 
• Realizar o produto �� e depois multiplicar pela matriz �; ou 
• Realizar o produto �� e depois realizar o produto de � com o resultado ��. 
Em linguagem matemática, temos: 
���� � �
��� 
Propriedade associativa entre matrizes e um número real 
Se 
 for um número real e � e � forem matrizes em que o produto �� é possível, então: 
��� � 

��� � �

�� 
Exemplo: 
3
��� � 
3��� � �
3�� 
1.4.5.3 - Propriedade distributiva 
Propriedade distributiva pela esquerda 
Na álgebra comum, a propriedade distributiva pela esquerda ocorre quando realizamos a seguinte operação: 
A × 
3 � 5� � A × 3 � A × 5 
Temos a mesma propriedade quando realizamos a operação contrária, conhecida por "colocar o número em 
evidência": 
A × 3 � A × 5 � A × 
3 � 5� 
Para matrizes, é válida a propriedade distributiva pela esquerda: 
�
� � �� � �� � �� 
A mesma propriedade ocorre quando "colocamos uma matriz em evidência": 
�� � �� � �
� � �� 
Propriedade distributiva pela direita 
Na álgebra comum, a propriedade distributiva pela direita ocorre quando realizamos a seguinte operação: 
3 � 5� × A � 3 × A � 5 × A 
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Temos a mesma propriedade quando realizamos a operação contrária, conhecida por "colocar o número em 
evidência": 
3 × A � 5 × A � 
3 � 5� × A 
Para matrizes, é válida a propriedade distributiva pela direita: 
� � ��� � �� � �� 
A mesma propriedade ocorre quando "colocamos uma matriz em evidência": 
�� � �� � 
� � ��� 
 
Vimos no tópico anterior que, para a álgebra, é válida a propriedade comutativa. Portanto, 2 pode comutar com 
3 � 5�: 
 
Note, porém, que a multiplicação de matrizes não goza da propriedade comutativa. 
Portanto, � não comuta com 
� � ��: 
 
Isso porque �
� � �� é igual a �� � ��. Já 
� � ��� é igual a �� � ��. 
1.4.5.4 - Elemento neutro da multiplicação de matrizes 
Quanto temos uma matriz quadrada de ordem ] (��×�), a multiplicação dessa matriz pela matriz identidade 
de ordem ] (��) corresponde à própria matriz original: 
�� � �� � � 
Exemplo: 
+X l Aj @ WX W @1 × +W m mm W mm m W1 � +X l Aj @ WX W @1 
+W m mm W mm m W1 × +X l Aj @ WX W @1 � +X l Aj @ WX W @1 
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1.5 – Traço de uma matriz quadrada 
O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Se � é uma matriz quadrada, 
então o seu traço é representado por ��
��. 
Exemplo: 
� � +X 7 25 @ 13 1 @1 
��
��� X � @ � @ � 11 
1.6 - Matriz oposta 
Dada uma matriz �, a sua matriz oposta é −�. 
Exemplo: 
� � + 3 −7 6−5 3 13 1 −41 
Oposta de A: 
−� � 5 −3 −
−7� −6−
−5� −3 −1−3 −1 −
−4�6 
−� � +−3 7 −65 −3 −1−3 −1 4 1 
1.7 - Matriz transposta, simétrica e antissimétrica 
1.7.1 - Matriz transposta 
A transposta de uma matriz � corresponde à matriz cujas linhas foram transformadas em colunas. 
• A primeira linha de � se torna a primeira coluna de ��; 
• A segunda linha de � se torna a segunda coluna de ��; 
• A terceira linha de � se torna a terceira coluna de ��; 
• Etc. 
A representação da matriz transposta é simbolizada por �v ou ��. Exemplos: 
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==275324==
� � g m W @−w j Wh → �� � +m −wW j@ W 1 
� � + X −l n−j X WX W −@1 → �� � + X −j X−l X Wn W −@1 
1.7.2 – Propriedades da matriz transposta 
A matriz transposta goza das seguintes propriedades: 
• A transposta da transposta corresponde à matriz original: 
���� � � 
• Transposta do produto de uma matriz por um número real: 

��� � 
�� 
• Transposta do produto de matrizes: 
���� � ���� 
• Transposta da soma: 
� � ��� � �� � �� 
1.7.3 – Matriz simétrica 
Uma matriz � é dita simétrica quando ela é igual a sua transposta: 
� � �� 
Exemplo: 
� � + X −j X−j X WX W −@1 → �� � + X −j X−j X WX W −@1 
Uma matriz é simétrica quando: 
• É quadrada; e 
• Os elementos simétricos com relação à diagonal principal são iguais. 
Veja mais atentamente o exemplo anterior: 
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1.7.4 – Matriz antissimétrica 
Uma matriz � é dita antissimétrica quando: 
�� � −� 
Exemplo: 
� � + m j −X−j m WX −W m 1 → �� � + m −j Xj m −W−X W m 1 � −� 
Uma matriz é antissimétrica quando: 
• É quadrada; 
• A diagonal principal é nula; e 
• Os elementos simétricos com relação à diagonal principal são opostos. 
Veja mais atentamente o exemplo anterior: 
 
(SEDF/2017) Considerando a matriz � � +2 0 104 10 200 2 401, julgue o próximo item. 
Se � � +0 e −71 0 xf 10 0 1 e a matriz � � � for simétrica, então e � f � x � 0. 
Comentários: 
Primeiramente, vamos determinar � � �. 
� � � � +2 0 104 10 200 2 401 � +0 e −71 0 xf 10 0 1 
� +2 � 0 0 � e 10 − 74 � 1 10 � 0 20 � x0 � f 2 � 10 40 � 01 
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� +2 e 35 10 20 � xf 12 40 1 
Para uma matriz ser simétrica, ela deve ser quadrada e os elementos simétricos com relação à diagonal 
principal devem ser iguais. 
Observe novamente a matriz � � �: 
+2 d Xj 10 Am � ya WA 40 1 
Para ela ser simétrica, devemos ter: 
z d � ja � XAm � y � WA → z d � ja � Xy � −k 
Logo, d � a � x � j � X � 
−k� � 0. 
Gabarito: CERTO. 
 
(AFRFB/2014) A matriz quadrada �, definida genericamente por � � �GH, é dada por ��� � 0; ��C � − 4; ��3 � 2; �C� � e; �CC � 0; �C3 � 
1 − x�; �3� � f; �3C � 2x e, por último, �33 � 0. Desse modo, para 
que a matriz � seja uma matriz antissimétrica, os valores de �C�, �C3, �3� e �3C deverão ser, respectivamente, 
iguais a: 
a) 4; −2; −2; −2. 
b) 4; −2; 2; −2. 
c) 4; 2; −2; −2. 
d) −4; −2; 2; −2. 
e) −4; −2; −2; −2. 
Comentários: 
Vamos montar a matriz em questão. 
� � +��� ��C ��3�C� �CC �C3�3� �3C �331 
 
� � +0 −4 2e 0 1 − xf 2x 0 1 
 
Para uma matriz ser antissimétrica, ela deve ser quadrada, a diagonal principal deve ser nula, e os elementos 
simétricos com relação à diagonal principal devem ser opostos. 
Observe novamente a matriz �: 
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+0 −@ Ad 0 W − ya Ay 0 1 
Para ela ser antissimétrica, devemos ter: 
z d � −
−@�a � −AAy � −
W − y� 
Portanto, d � @, a � −A, e: 2x � −
1 − x� 2x � −1 � x 2x − x � −1 y � −W 
Obtidos os valores de e, f e x, temos a seguinte matriz �: 
 
� � +0 −4 2e 0 1 − xf 2x 0 1 
 
� � + 0 −4 2@ 0 A−2 −2 01 
 
Logo, os valores de ?AW, ?AX, �3� e �3C deverão ser, respectivamente, iguais a @, A, −2, −2. 
Gabarito: Letra C. 
1.8 - Matriz inversa 
1.8.1 – Definição 
A inversa de uma matriz � (notação: ���) é aquela matriz que, quando multiplicada pela matriz �, tem 
como resultado a matriz identidade: ���� � ���� � �� 
Uma matriz que não possui inversa é denominada singular. 
A não possui inversa � A é singular 
Caso o assunto determinantes faça parte do seu edital, veremos que uma matriz é inversível (possui inversa) 
quando o seu determinante é diferente de zero. Caso contrário, isto é, caso a matriz tenha determinante 
zero, ela é singular (não possui inversa). 
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Vamos a um exemplo que pode ser cobrado em prova: 
Seja � � gW Xm Ah. Determine a matriz inversa de A. 
 
Considere, genericamente, que ��� � g� �� �h. Nesse caso: ���� � �C g1 30 2h × g� �� �h � g1 00 1h 
 
Realizando o produto de matrizes, temos: g1� � 3� 1� � 3�0� � 2� 0� � 2�h � g1 00 1h 
 g1� � 3� 1� � 3�2� 2� h � g1 00 1h 
 
Como as duas matrizes são iguais, seus elementos são iguais: 
�1� � 3� � 11� � 3� � 02� � 02� � 1 → 
⎩⎪⎨
⎪⎧1� � 3� � 11� � 3� � 0� � m� � WA
 
Sabemos que � � 0. Temos que: 1� � 3� � 1 1� � 0 � 1 ? � W 
Sabemos que � � �C. Temos que: 1� � 3� � 0 � � −3� 
� � − XA 
Portanto, a matriz inversa ��� � g� �� �h é dada por: 
��� � 21 −3/20 1/2 4 
Vamos resolver dois exercícios: 
 
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(ANPEC/2018) Classifique a afirmação abaixo segundo a sua veracidade: 
 Se uma matriz tem inversa, então ela é singular. 
Comentários: 
Uma matriz é singular quando ela não possui inversa. 
Gabarito: ERRADO. 
 
(MPE SP/2019) A inversa da matriz g2 51 3h é: 
a) 20,5 0,21 0,334 
b) g 3 −5−1 2 h 
c) g3 51 2h 
d) g 3 −1−5 2 h 
e) g0,33 0,21 0,5h 
Comentários: 
Considere, genericamente, que ��� � g� �� �h. Nesse caso: ���� � �C g2 51 3h × g� �� �h � g1 00 1h 
 
Realizando o produto de matrizes, temos: g2� � 5� 2� � 5�1� � 3� 1� � 3�h � g1 00 1h 
 
Como as duas matrizes são iguais, seus elementos são iguais: 
�2� � 5� � 12� � 5� � 01� � 3� � 01� � 3� � 1 
Multiplicando a terceira equação por −2 e somando com a primeira, temos: 
z 2� � 5� � 1−2� − 6� � 0_______________−� � 1 
Portanto, � � −W. 
Da terceira equação, temos: 
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� � 3� � 0 � − 3 � 0 ? � X 
Multiplicando a quarta equação por −2 e somando com a segunda, temos: 
z 2� � 5� � 0−2� − 6� � −2_______________−� � −2 
Portanto, � � A. 
Da quarta equação, temos: 1� � 3� � 1 � � 6 � 1 � � −j 
Logo, a matriz inversa ��� � g? �� �h é: 
��� � g X −j−W A h 
Gabarito: Letra B. 
1.8.2 – Propriedades da matriz inversa 
1.8.2.1 - Inversa da inversa 
A matriz inversa da inversa de � é a própria matriz �: 
������ � � 
1.8.2.2 - Inversa da transposta × Transposta da inversa 
A matriz inversa da transposta de � é igual a matriz transposta da inversa de �: 
����� � 
����� 
1.8.2.3 - Inversa do produto de uma matriz por um número real 
Considerando uma matriz � inversível e um número real 
, temos: 

���� � 1
 ��� 
Exemplo: 
3���� � 13 ��� 
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1.8.2.4 - Inversa do produto de matrizes 
Considerando duas matrizes � e � inversíveis, a inversa do produto �� é: 
����� � ������ 
Para mais termos, segue-se a mesma lógica: 
������ � ��������� 
 
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2 - DETERMINANTES 
 
 
 
Um determinante é um número calculado a partir de uma matriz quadrada. Representado por duas 
barras "| |". 
 
 
O determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento da matriz. 
 
 � = �� �� �� → det � = �� − �� 
 
 �Produto dos elementos da diagonal principal� − �Produto dos elementos da diagonal secundária� 
 
 
Regra de Sarrus 
 
� !! !" !# "! "" "# #! #" ##$ !! !" "! "" #! #" 
Parte Negativa Parte Positiva 
 %&' ( = )�**�++�,, + �*+�+,�,* + �*,�+*�,+. − )�*,�++�,* + �**�+,�,+ + �*+�+*�,,. 
 
Menor complementar 
O menor complementar de um elemento /0 de uma matriz � é o determinante 123 da matriz obtida 
eliminando-se a linha 4 e a coluna 5 da matriz �. 
 
Cofator ou complemento algébrico 
O cofator do elemento /0 de uma matriz � é um número representado por �/0 calculado do seguinte 
modo: 
 �23 = �−1�273823 
 
Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz � é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou 
coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
1. Escolher uma fila (linha ou coluna), preferencialmente a que tiver mais zeros; 
2. Realizar o produto de cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator; e 
3. Somar os produtos obtidos. 
Determinantes 
Noção básica e representação 
Determinante de matriz de ordem 1 
Determinante de matriz de ordem 2 
Determinante de matriz de ordem 3 
Obtenção do determinante de matrizes de qualquer ordem 
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• Teorema de Binet: det��9� = det � × det 9 
• Determinante da matriz inversa: det �;! = !<=> ? 
• Determinante da matriz transposta: det �@ = det � 
• Multiplicação de uma fila por uma constante: ao multiplicar uma fila (linha ou coluna) de uma matriz 
por uma constante A, o determinante dessa nova matriz também fica multiplicado por A. 
• Multiplicação da matriz por uma constante: det�B�� = BC det � 
• Determinante de matriz triangular ou de matriz diagonal: o determinante é o produto dos elementos 
da diagonal principal. 
• Fila nula: uma matriz que apresenta uma fila (linha ou coluna) cujos elementos são todos zero 
apresenta determinante zero. 
• Filas paralelas iguais: uma matriz com filas paralelas iguais (linhas ou colunas) apresenta determinante 
zero. 
• Filas paralelas proporcionais: uma matriz com filas paralelas proporcionais (linhas ou colunas) 
apresenta determinante zero. 
• Troca de filas paralelas: ao trocarmos uma fila (linha ou coluna) de lugar com outra fila paralela, o 
determinante muda de sinal. 
• Combinação linear de filas: quando uma matriz apresenta uma fila (linha ou coluna) que é combinação 
linear de outras filas, o seu determinante é zero. 
 
 
 A é inversível � det A ≠ 0 
 A é singular � det A = 0 
 
 � = �� �� �� → �;! = !<=> ? × � � −�−� � � 
 
 
Propriedades dos determinantes 
Matriz inversa 
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==275324==
2.1 – Noção básica e representação 
Pessoal, a aplicação prática de determinantes surge quando estudamos sistemas lineares, que será visto na 
sequência. 
Nesse momento, deve-se entender que um determinante é um número calculado a partir de uma matriz 
quadrada. 
Considere uma matriz � dada por � = � 4 3−1 2�. Seu determinante, como veremos adiante, é o número 11. 
A representação do determinante de � pode ser feita de duas formas: 
• det � = 11; ou 
 
• N 4 3−1 2N = 11. 
 
Vimos na seção de matrizes que podemos representá-las tanto com colchetes "[ ]" quanto 
com parênteses "( )". A matriz (, portanto, pode ser representada dessas duas formas: 
� = � 4 3−1 2� � = O 4 3−1 2P 
Já o determinante da matriz ( é representado por duas barras "| |", e o seu cálculo 
corresponde a um número. 
det � = N 4 3−1 2N = 11 
2.2 - Determinante de matriz de ordem 1 
Uma matriz quadrada de ordem 1 é uma matriz que apresenta uma única linha e uma única coluna. Exemplo: �!×! = )7. 
O determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento da matriz. Exemplos: 
• � = )3. → det � = 3; 
• 9 = R√5U → det 9 = √5; 
• V = )−2. → det V = −2. 
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2.3 - Determinante de matriz de ordem 2 
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, devemos realizar a seguinte operação: 
�Produto dos elementos da diagonal principal� − �Produto dos elementos da diagonal secundária� 
Considere a matriz de ordem 2 genérica, dada por � = �� �� ��. Seu determinante é dado por: 
det � = �� − �� 
Vamos a um exemplo numérico: � = � 4 3−1 2�. 
det � = )W × +. − ), × �−*�. 
= 8 − �−3� 
= 11 
(Pref. N Horizonte/2019) O número real que verifica se o valor do determinante da matriz �Y" 49 2Y� é igual 
a 18 é: 
a) 54. 
b) 36. 
c) 27. 
d) 9. 
e) 3. 
Comentários: 
O determinante da matriz em questão é dado pela seguinte operação: �Produto dos elementos da diagonal principal� − �Produto dos elementos da diagonal secundária� 
Para que o valor do determinante seja igual a 18, devemos ter: �[+ × +[� − �W × \� = 18 2Y# − 36 = 18 2Y# = 54 Y# = 27 Y# = 3# Y = 3 
Gabarito: Letra E. 
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2.4 - Determinante de matriz de ordem 3 
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, vamos utilizar a regra de Sarrus. 
Considere a matriz �: 
� = � 4 2 −2 3 −1 4−5 −3 1 $ 
Para aplicar a regra de Sarrus, devemos repetir as duas primeiras colunas da matriz após a terceira coluna: 
� W + −2 , −* 4−^ −, 1 $ W + , −*−^ −, 
Nesse momento, vamos dividir o cálculo em 2: 
• Parte positiva; 
• Parte negativa. 
A parte positiva é obtida por meio das diagonais para a direita. Para obtê-la, multiplicamos os elementos 
dessas diagonais e somamos os valores. 
� W + −+ 3 −* W−5 −3 * $ 4 2 , −1−^ −, 
 
)W. �−*�. * + +. W. �−^� + �−+�. ,. �−,�. 
= )�−W� + �−W`� + *a. 
= −26 
A parte negativa é obtida por meio das diagonais para a esquerda. Para obtê-la, multiplicamos os elementos 
dessas diagonais e somamos os valores. 
� 4 2 −+ 3 −* W−^ −, * $ W + , −1−5 −3 
)�−+�. �−*�. �−^� + W. W. �−,� + +. ,. *. 
= )�−*`� + �−Wa� + b. 
= −52 
Para obter o determinante, tomamos a parte positiva e subtraímos a parte negativa. 
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det A = �Parte positiva� − �Parte negativa� 
= �−26� − �−52� 
= −26 + 52 
= 26 
De modo genérico, temos a seguinte representação da regra de Sarrus: 
 
Regra de Sarrus 
 � !! !" !# "! "" "# #! #" ##$ !! !" "! "" #! #" 
Parte Negativa Parte Positiva 
 %&' ( = )�**�++�,, + �*+�+,�,* + �*,�+*�,+. − )�*,�++�,* + �**�+,�,+ + �*+�+*�,,. 
(CRM PR/2014) Qual deve ser o valor de X para que o determinante seja 0,5? 
c1 3 52 d 60 1 1c 
a) 0,5 
b) 1 
c) 1,5 
d) 2 
e) 2,5 
Comentários: 
Vamos aplicar a regrade Sarrus no determinante em questão. Primeiramente, devemos repetir as duas 
primeiras colunas da matriz após a terceira coluna: 
c1 3 52 d 60 1 1c 1 32 d0 1 
 
Em seguida devemos calcular a parte positiva e a parte negativa para, na sequência, realizar a subtração: 
 
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c1 3 52 d 60 1 1c 1 32 d0 1 
Parte Negativa Parte Positiva )*. e. * + ,. b. ` + ^. +. *. − )^. e. ` + *. b. * + ,. +. *. = )d + 10. − )6 + 6. = d − 2 
 
Portanto, o determinante em questão é d − 2. O valor de d para que o determinante seja igual a 0,5 é: d − 2 = 0,5 d = 2,5 
Gabarito: Letra E. 
2.5 - Obtenção do determinante de matrizes de qualquer 
ordem 
Para que possamos calcular o determinante de matrizes de ordem superiores a 3, devemos compreender 
primeiramente os conceitos de menor complementar e de cofator (ou complemento algébrico). 
Ressalto que é bastante improvável que cobrem isso na sua prova, porém esse assunto já apareceu em 
alguns certames. 
2.5.1 - Menor complementar 
Considere uma matriz � de ordem maior ou igual a 2. 
O menor complementar de um elemento qualquer dessa matriz � é o determinante 123 da matriz resultante 
ao se eliminar a linha e a coluna em que esse elemento se encontra. 
 
Em outras palavras, o menor complementar de um elemento /0 de uma matriz � é o 
determinante 123 da matriz obtida eliminando-se a linha 4 e a coluna 5 da matriz �. 
Professor, não entendi nada! 
Calma, amigo. Essas coisas só se entendem com um exemplo mesmo! 
Considere a seguinte matriz �: 
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� = � 4 2 −2 3 −1 4−5 −3 1 $ 
Para calcular o menor complementar do elemento !", isto é, para obter calcular o determinante 1*+, 
precisamos eliminar a linha e a coluna do elemento !". 
Note que !" = 2, e esse elemento está na primeira linha e na segunda coluna da matriz �. 
� = � 4 2 −2 , −1 W−^ −3 * $ 
Logo, o determinante 8!" correspondente ao menor complementar de !" é: 
8!" = N , W−^ *N 
8!" = ), × *. − )W × �−^�. 
8!" = 3 − �−20� 
8!" = 23 
(MPOG/2005) O menor complementar de um elemento genérico Y/0 de uma matriz d é o determinante que 
se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz g = h/0 , de terceira 
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes � = � /0� e 9 = �i/0�. Sabendo-se que � /0� = �4 + 5�" 
e que i/0 = 4" , então o menor complementar do elemento h"# é igual a: 
A) 0 
b) −8 
c) −80 
d) 8 
e) 80 
Comentários: 
A matriz g é a soma as matrizes � e 9. 
Os elementos da matriz � são dados por /0 = �4 + 5�". Logo: !! = �1 + 1�" = 4 ; !" = �1 + 2�" = 9 ; !# = �1 + 3�" = 16 "! = �2 + 1�" = 9 ; "" = �2 + 2�" = 16 ; "# = �2 + 3�" = 25 #! = �3 + 1�" = 16 ; #" = �3 + 2�" = 25 ; ## = �3 + 3�" = 9 
 
Portanto, a matriz � é dada por: 
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� = � 4 9 169 16 2516 25 36$ 
 
Os elementos da matriz 9 são dados por i/0 = 4". Logo: i!! = 1" = 1 ; i!" = 1" = 1 ; i!# = 1" = 1 i"! = 2" = 4; i"" = 2" = 4; i"# = 2" = 4 i#! = 3" = 9; i#" = 3" = 9; i## = 3" = 9 
Portanto, a matriz 9 é dado por: 
9 = �1 1 14 4 49 9 9$ 
A matriz g é a soma das matrizes � e 9: 
g = � + 9 = � 4 9 169 16 2516 25 36$ + �1 1 14 4 49 9 9$ 
 
g = � 5 10 1713 20 2925 34 45$ 
 
Perceba que o elemento h"# é igual a 29. O menor complementar de h"# é o determinante da matriz que se 
obtém eliminando a linha 2 e a coluna 3: 
� ^ *` 1713 20 29+^ ,W 45$ 
 
Logo, o determinante 1+, correspondente ao menor complementar de h"# é: 
N ^ *`+^ ,WN = )^ × ,W. − )*` × +^. = −80 
Gabarito: Letra C. 
2.5.2 - Cofator ou complemento algébrico 
Considere uma matriz � de ordem maior ou igual a 2. 
O cofator de um elemento /0 dessa matriz � é um número representado por �/0 calculado do seguinte 
modo: 
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 �23 = �−1�273823 
Onde 8/0 é o menor complementar do elemento /0. 
Utilizando como exemplo a mesma matriz: 
� = � 4 2 −2 3 −1 4−5 −3 1 $ 
Temos que o cofator do elemento !" é dado por: 
�*+ = �−1�*7+8*+ 
Do item anterior, já obtemos que o menor complementar 1*+ é igual a 23. Logo: 
�!" = �−1�# × 23 
�!" = �−1� × 23 
�!" = −23 
Portanto, o cofator do elemento !" é (*+ = −+,. 
2.5.3 - Teorema de Laplace 
O Teorema de Laplace serve para obtermos o determinante de qualquer matriz quadrada de ordem maior 
ou igual a 2. 
Vamos conceituar o teorema: 
 
O determinante de uma matriz � é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer 
(linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
Vejamos o teorema com mais detalhes. Em resumo, ele consiste em seguir 3 passos: 
 
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1. Escolher uma fila (linha ou coluna), preferencialmente a que tiver mais zeros; 
2. Realizar o produto de cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator; e 
3. Somar os produtos obtidos. 
Vamos realizar um exemplo para que tudo fique mais claro. 
 
Calcule o determinante de ( = j , + , *−* + ` a +̂ −* W `̀ b,k 
 
Note que temos uma matriz quadrada de ordem 4. Seu determinante não pode ser obtido pela regra de 
Sarrus. Nesse caso, devemos seguir os três passos do Teorema de Laplace. 
 
1. Escolher uma fila (linha ou coluna), preferencialmente a que tiver mais zeros: 
Vamos escolher a terceira coluna, pois ela apresenta três zeros. 
� = j 3 2 , 1−1 2 ` 8 52 −1 4 `̀ 63k 
 
2. Realizar o produto de cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator 
Lembre-se que o cofator é definido como �/0 = �−1�/708/0. Devemos, portanto, calcular os seguintes 
produtos: !#�!# "#�"# ##�## l#�l# 
 
Cálculo de �*,(*, !#�!# = 3 × �!# = 3 × �−1�!7#8!# 
= 3 × �−1�l m 3 2 3 1−* + 0 a +̂ −* W 00 b,m 
= 3 c−* + a^ −* b+ W ,c 
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Aplicando a regra de Sarrus em c−1 2 85 −1 62 4 3c, obtém-se 197. 
Logo: 
 "!�"! = 3 c−1 2 85 −1 62 4 3c 
3 × 197 = 591 
 
Cálculo de �+,(+, 
Note que o elemento "# é zero, de modo que o produto "#�"# será zero: "#�"# = 0 × �"# = 0 
 
Cálculo de �,,(,, 
Note que o elemento ## é zero, de modo que o produto ##�## será zero: ##�## = 0 × �## = 0 
 
Cálculo de �WW(W, 
Note que o elemento l# é zero, de modo que o produto l#�l# será zero: l#�l# = 0 × �l# = 0 
 
3. Somar os produtos obtidos 
Por fim, para obter o determinante, soma-se os produtos obtidos: det � = #!�#! + #"�#" + ##�## + l#�l# = 591 + 0 + 0 + 0 = 591 
 
Logo, determinante de ( é ^\*. 
Vamos resolver um problema de concurso público. 
(SEFAZ-RS/2014) O determinante da matriz 
� = n1 2 1 02 3 1 022 −31 2 11 4o é 
 
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a) −32 
b) −26 
c) 14 
d) 16 
e) 28 
Comentários: 
Devemos calcular um determinante de ordem 4. Para tanto, faremos uso do Teorema de Laplace. 
1. Escolher uma fila (linha ou coluna), preferencialmente a que tiver mais zeros; 
Selecionaremos a quarta coluna, pois ela é a fila que mais apresentazeros. 
� = n1 2 1 `2 3 1 `22 −31 2 *1 Wo 
 
2. Realizar o produto de cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator; e 
3. Somar os produtos obtidos. 
O determinante de � é dado por: det � = �*W�!l + �+W�"l + �,W�#l + �WW�ll = `. �!l + `. �"l + *. �#l + W�ll = �#l + 4�ll = �−1�#7l8#l + 4 × �−1�l7l8ll = �−1�p8#l + 4 × �−1�q8ll = −8#l + W8ll 
= − r1 2 1 02 3 1 022 −31 2 11 4r + W r1 2 1 02 3 1 022 −31 2 11 4r 
= − c* + *+ , *+ * *c + W c* + *+ , *+ −, +c 
 
Vamos aplicar a regra de Sarrus no primeiro determinante 8#l: 
 
c1 2 12 3 12 1 1c 1 22 32 1 
Parte Negativa Parte Positiva 8#l = )*. ,. * + +. *. + + *. +. *. − )*. ,. + + *. *. * + +. +. *. 
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8#l = )3 + 4 + 2. − )6 + 1 + 4. 8#l = 9 − 11 1,W = −+ 
Vamos agora aplicar a regra de Sarrus no segundo determinante 8ll: 
 
c1 2 12 3 12 −3 2c 1 22 32 −3 
Parte Negativa Parte Positiva 8ll = )*. ,. + + +. *. + + *. +. �−,�. − )*. ,. + + *. *. �−,� + +. +. +. 8ll = )6 + 4 − 6. − )6 − 3 + 8. 8ll = 4 − 11 1WW = −s 
 
Voltando ao cálculo do determinante de �, temos: 
det � = − c* + *+ , *+ * *c + W c* + *+ , *+ −, +c 
= −�−+� + W × �−s� = 2 − 28 = −26 
Gabarito: Letra B. 
2.6 - Propriedades dos determinantes 
2.6.1 – Teorema de Binet 
O teorema de Binet nos diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos 
determinantes das duas matrizes. 
det��9� = det � × det 9 
Esse teorema também pode ser aplicado para mais matrizes: 
det��9V� = det � × det 9 × det V 
 
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(MPE-RS/2010) Considere as matrizes t = n!# !"!u !lo e v = n"u "#1 ulo. 
Sendo w o produto das matrizes t e v, nessa ordem, ou seja, w = tv, o determinante da matriz w é igual 
a: 
a) 
!!qx 
b) 
!"lx 
c) 
!#yx 
d) 
!ulx 
e) 
!p"x 
Comentários: 
Note que a questão pede o determinante da matriz tv. Não é necessário calcular o produto das matrizes, 
pois, pelo Teorema de Binet, sabemos que: det�tv� = det t × det v 
 
O determinante da matriz t é dado por: 
det t = z*, × *W{ − z*+ × *̂{ = 112 − 110 = 5 − 660 = − 160 
 
O determinante da matriz v é dado por: 
det v = z+̂ × Ŵ{ − z+, × *{ = 24 − 23 = 12 − 23 = 3 − 46 = − 16 
 
Logo, o determinante de w = tv é dado por: det�tv� = det t × det v 
= |− 160} × |− 16} 
= 1360 
Gabarito: Letra C. 
2.6.2 – Determinante da matriz inversa 
O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. 
det �;! = 1det � 
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2.6.4 – Determinante da matriz transposta 
O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. 
det �@ = det � 
(TRT 11/2017) Se � é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que � = �1 32 1� , então o determinante da 
inversa da matriz transposta de � é igual a 
a) −0,20 
b) −0,40 
c) −0,25 
d) −0,50 
e) −1,00 
Comentários: 
A questão pergunta pelo determinante da inversa da transposta. � → �@~>�������>� → ��@�;!������=��� <� >�������>� 
 
O determinante da matriz � é dado por: det � = N* ,+ *N = )* × *. − ), × +. = 1 − 6 = −5 
Lembre-se que %&' (� = %&' (. Logo, o determinante da inversa da transposta é: 
det��@�;! = 1%&'�(�� 
= 1%&' ( 
= 1−5 
= −0,2 
Gabarito: Letra A. 
2.6.5 – Multiplicação de uma fila por uma constante 
Ao multiplicar uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por uma constante A, o determinante dessa nova 
matriz também fica multiplicado por A. 
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212
 
Exemplo: considere a seguinte matriz �. � = �3 21 3� det � = 3 × 3 − 2 × 1 = 7 
 
Multiplicando uma das filas de � por 5, obtemos uma nova matriz, que chamaremos de � .́ Observe que o 
determinante de � ́fica multiplicado por 5. Veja: �´= �3 ^ × 21 ^ × 3� 
�´= �3 101 15� det �� = 2 × 15 − 10 × 1 = 45 − 10 = 35 
 
Uma consequência interessante dessa propriedade é realizar a operação inversa, removendo um fator 
comum de dentro do determinante. Veja: N2 101 15N = N2 ^ × 21 ^ × 3N = ^ × N3 21 3N 
 
2.6.6 – Multiplicação da matriz por uma constante 
Ao multiplicar uma matriz de ordem � por uma constante A, o determinante dessa nova matriz fica 
multiplicado por A�. det�B�� = BC det � 
 
Exemplo: considere a seguinte matriz � = �3 21 3�, cujo determinante é 7. 
A matriz 3� é dada por: 3� = 3 × �3 21 3� = �, × 3 , × 2, × 1 , × 3� = �9 62 9� 
 
O determinante de 3� = �\ b+ \� é: det 3� = )\ × \. − )b × +. = 69 
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Note que o novo determinante é 9 vezes o determinante original, isto é: det�3�� = 3" det � 
 
Note que, ao multiplicar uma matriz de ordem � por uma constante B, na verdade estamos 
multiplicando cada uma das suas � linhas (ou colunas) por A. Por isso, o novo 
determinante acaba sendo multiplicado por: 
 B × B × … × B���������C �=�=� = BC 
(Pref. Gramado/2019) Considerando que a Matriz � seja quadrada de ordem 2 e que tenha determinante 
igual a 2, o determinante da matriz 3� é: 
a) 2. 
b) 6. 
c) 9. 
d) 18 
e) 54 
Comentários: 
A matriz � apresenta ordem � = 2 e determinante det � = 2. 
Temos que: det 3� = 3C det � = 3" × 2 = 9 × 2 = 18 
Gabarito: Letra E. 
(MPOG/2008) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida 
multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: 
a) 10;y 
b) 10u 
c) 10!x 
d) 10y 
e) 10# 
Comentários: 
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A matriz d apresenta ordem � = 5 e determinante det d = 10. 
A matriz 9 é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Logo: 9 = 10d 
O determinante da matriz 9 é: det 9 = det 10d = 10C det d = 10u × 10 = 10y 
Gabarito: Letra D. 
2.6.7 – Determinante de matriz triangular ou de matriz diagonal 
A matriz diagonal é uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem à diagonal 
principal são iguais a zero. Exemplos: 
• �** `` −,� 
 
• �W ` `` −+ `` ` s$ 
Uma matriz triangular é uma matriz quadrada em que todos os elementos acima ou abaixo de sua diagonal 
principal são nulos. Exemplos: 
• j8 5 7 1` 9 1 4`̀ `̀ 5 2` 1k 
 
• j8 ` ` `2 9 ` `31 95 5 `1 3k 
O determinante de uma matriz triangular ou de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal 
principal. Exemplos: 
 
• r , 2 8 1 ` + 2 8 `̀ `̀ *̀ 6,r = , × + × * × , = 18 
 
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• c, ` `1 ^ `5 7 ,c = , × ^ × + = 30 
 
• m * ` ` ` ` + ` ` `̀ `̀ ^̀ ,̀m = * × + × ^ × , = 30 
 
• det �l = r * ` ` ` ` * ` ` `̀ `̀ *̀ *̀r = * × * × * × * = 1 
 
(IF Baiano/2019) Seja �#×# uma matriz que pode ser decomposta como o produto de outras duas matrizes �#×# e �#×#, onde � é uma matriz triangular inferior, com �!! = �"" = �## = 1, e U, uma matriz triangular 
superior, tal que � = �. � 
�5 2 13 1 41 1 3� = ��!! 0 0�"! �"" 0�#! �#" �##� . ��!! �!" �!#0 �"" �"#0 0 �##� 
Calcule o determinante da matriz �. 
a) ��� � = −13 
b) ��� � = −9 
c) ��� � = −2 
d) ��� � = 3 
e) ��� � = 5 
Comentários: 
Note que � = ��. PeloTeorema de Binet, temos: det � = det �� det � = det � × det � 
Isolando det �, ficamos com: det �det � = det � 
%&' � = %&' (%&' � 
 
Como � é uma matriz triangular inferior, deu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. %&' � = �!! × �"" × �## = 1 × 1 × 1 
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= * 
 � é uma matriz 3 × 3 conhecida. Para obter o seu determinante, podemos utilizar a regra de Sarrus. 
c5 2 13 1 41 1 3c 5 23 11 1 
Parte Negativa Parte Positiva %&' ( = )^. *. , + +. W. * + *. ,. *. − )*. *. * + ^. W. * + +. ,. ,. = )15 + 8 + 3. − )1 + 20 + 18. = 26 − 39 = −*, 
Logo: 
%&' � = %&' (%&' � = −*,* = −*, 
Gabarito: Letra A. 
2.6.8 - Fila nula 
Uma matriz que apresenta uma fila (linha ou coluna) cujos elementos são todos zero apresenta 
determinante zero. Exemplos: 
• N1 `3 `N = 0 
 
• c1 4 −3` ` `5 √11 � c = 0 
 
• m 3 2 ` 1−1 2 ` 8 52 −1 4 `̀ 63m = 0 
2.6.9 - Filas paralelas iguais 
Uma matriz com filas paralelas iguais (linhas ou colunas) apresenta determinante zero. Exemplos: 
• cW W WW W W5 √11 �c = 0 
 
• r * 2 * 1 * 2 * 8 ** −1 4 ** 63r = 0 
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2.6.10 - Filas paralelas proporcionais 
Uma matriz com filas paralelas proporcionais (linhas ou colunas) apresenta determinante zero. Exemplos: 
• c * + ,`, ^ * *, ^5 √11 � c = 0, pois a primeira linha é o dobro da segunda linha. 
 
• m W 2 +` 1 * 2 ^ 8 +, −1 4 *`*^ 63m = 0, pois a terceira coluna é 5 vezes a primeira coluna. 
2.6.11 – Troca de filas paralelas 
Ao trocarmos uma fila (linha ou coluna) de lugar com outra fila paralela, o determinante muda de sinal. 
c 3 + ,−1 + ,5 −* *c = +` → c 3 , +−1 , +5 * −*c = −+` 
Professor, e se trocarmos as filas de novo? 
Nesse caso, o sinal muda novamente! 
m W + s * 1 2 5 1 2, −1 W 1W 6 ,m = +s* → r , W W , * + ^ * +W −* + *s b 1r = −+s* → m 3 4 4 3 + −* * b *4 + 2 7̂ * 1m = +s* 
(PETROBRAS/2010) Se o determinante da matriz � = � i �� �  ¡ ℎ 4 $ é igual a 4, então o determinante da matriz 
9 = �3i 2� 3� 2  �3ℎ 24 ¡$ é igual a 
a) 872 
b) – 872 
c) 24 
d) – 24 
e) 9 
Comentários: 
Para resolver o problema, vamos manipular o determinante de £ para que apareça o determinante de (, 
pois sabemos que det � = 4. 
Utilizando a propriedade "multiplicação de uma fila por uma constante" (item 2.6.6), temos: 
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det 9 = c,i 2� ,� 2  �,ℎ 24 ¡c 
= , × ci +� � +  �ℎ +4 ¡c 
= , × + ci � �   �ℎ 4 ¡c 
= 6 × c� � �¤ ¥ �¦ 2 §c 
Ao trocar a primeira e a terceira coluna de lugar do determinante c� � �¤ ¥ �¦ 2 §c, ficamos com c� � �� ¥ ¤§ 2 ¦c. 
Como há alteração de sinal, temos que: 
det 9 = 6 × c� � �¤ ¥ �¦ 2 §c 
= 6 × �−*� × c� � �� ¥ ¤§ 2 ¦c 
 
Ao trocar a segunda e a terceira coluna de lugar do determinante c� � �� ¥ ¤§ 2 ¦c, ficamos com c� � �� ¤ ¥§ ¦ 2c. 
Como há alteração de sinal, temos que: 
det 9 = 6 × �−1� × c� � �� ¥ ¤§ 2 ¦c 
det 9 = 6 × �−1� × �−*� × c� � �� ¤ ¥§ ¦ 2c�������%&' ( © W
 
det 9 = 6 × �−1� × �−1� × 4 det 9 = 24 
Gabarito: Letra C. 
 
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2.7 – Matriz inversa 
No tópico de matrizes, definimos que a inversa de uma matriz � é aquela matriz que, quando multiplicada 
pela matriz �, tem como resultado a matriz identidade: 
��;! = �;!� = �C 
Agora que sabemos como calcular determinantes, você precisa saber que uma matriz ( é inversível (ou 
invertível) quando o determinante é diferente de zero, isto é: 
A é inversível � det A ≠ 0 
Vimos também que uma matriz que não é inversível é denominada singular. Nesse caso: 
A é singular � det A = 0 
Para uma matriz 2 × 2, temos uma fórmula para encontrar a matriz inversa. Considerando uma matriz � = �� �� ��, ela admite inversa quando det � ≠ 0 e sua inversa é: 
�;! = 1det � × � � −�−� � � 
 
�;! = 1 � − i� × � � −�−� � � 
 
Vamos resolver dois exercícios sobre matriz inversa: 
(SEDF/2017) Considerando a matriz � = �2 0 104 10 200 2 40$, julgue o próximo item. 
A matriz A é inversível. 
Comentários: 
Vamos calcular o determinante de �. Se o valor for diferente de zero, então a matriz é inversível. 
Aplicando a regra de Sarrus, temos: 
c2 0 104 10 200 2 40c 2 04 100 2 
Parte Negativa Parte Positiva %&' ( = )+. *`. W` + `. +`. ` + *`. W. +. − )*`. *`. ` + +. +`. + + `. W. W`. det � = )800 + 0 + 80. − )0 + 80 + 0. det � = 880 − 80 det � = 800 
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Como o determinante é diferente de zero, trata-se de uma matriz inversível. 
Gabarito: CERTO. 
 
(MPE SP/2019) A inversa da matriz �2 51 3� é: 
a) z0,5 0,21 0,33{ 
b) � 3 −5−1 2 � 
c) �3 51 2� 
d) � 3 −1−5 2 � 
e) �0,33 0,21 0,5� 
Comentários: 
Resolvermos essa questão no capítulo sobre matrizes. Dessa vez, vamos utilizar a fórmula apresentada. 
Temos que a inversa de uma matriz � = �� �� �� é dada por: 
 �;! = 1det � × � � −�−� � � 
. 
A matriz em questão é 9 = �+ ^* ,�, e seu determinante é: det 9 = )+ × ,. − )^ × *. = 1 
A inversa de 9 é: 
9;! = 1det 9 � , −^−* + � 
 
9;! = 11 � , −^−* + � 
 9;! = � , −^−* + � 
Gabarito: Letra B. 
 
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3 – SISTEMAS LINEARES 
 
 
 
Equações lineares são da forma ���� + ���� + ���� + ⋯ + ���� = 
. 
• ��, ��, ��, ..., �� são incógnitas; 
• ��, ��, ��, ... ,�� são os coeficientes; 
• 
 é o termo independente. 
 
Uma solução de uma equação linear é um conjunto ordenado de números reais que torna a equação 
verdadeira. 
 
 
 
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. 
A solução de um sistema linear deve tornar verdadeira todas as equações que compõem o sistema. 
 
Representação matricial de um sistema linear: 
 �� = 
 
 
•�: Matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema; 
• �: Matriz das incógnitas; 
• 
: Matriz dos termos independentes. 
• ��|
�: Matriz completa do sistema. 
 
� �� + �� + �� = ��� + (−�)� + �� = ��� + �� + �� = � → �� � �� −� �� � �� × ���� = ����� 
 
 ��|
� = �� � � �� −� � �� � � �� 
 
 
 
Dois sistemas lineares são equivalentes quando apresentam as mesmas soluções. 
Uma equação !" é combinação linear de outras equações !# e !$ quando existem valores reais � e 
 
tais que: 
 !" = �!# + 
!$ 
 
Em um sistema linear, ao substituir uma determinada equação por uma combinação linear dela com 
outra equação, temos um sistema linear equivalente. 
 
Em um sistema linear, quando uma determinada equação corresponde a uma combinação linear de 
outras equações do sistema, podemos eliminar essa equação do sistema. 
 
 
Sistemas lineares 
Equação linear 
Sistema linear 
Sistemas lineares equivalentes 
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Se um sistema linear apresenta mais de uma solução, então ele apresenta infinitas soluções. 
 
 
 
Um sistema linear homogêneo é aquele em que os termos independentes de todas as equações são 
iguais a zero. Sempre admite a solução em que todas as variáveis são zero (solução trivial).� 3& + 1( + ) = �2& + 4( + 2) = �3& + 2( + 4) = � 
 
 
 
 
 
• Solução por substituição: consiste em isolar uma variável em uma equação e substituir em outra 
equação. 
• Solução por eliminação de variável: consiste em eliminar variáveis por meio de uma combinação linear 
conveniente das equações do sistema linear. 
• Solução pela soma das equações do sistema: existem casos em que a solução do sistema linear é obtida 
de modo mais rápido realizando a soma de todas as equações do sistema. 
• Solução por matriz inversa: a matriz das incógnitas (�) é obtida pelo produto da matriz inversa dos 
coeficientes pela matriz dos termos independentes: � = �,�
. 
 
 
 
 
Classificação de um sistema linear 
Sistema linear homogêneo 
Solução de um sistema linear 
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Teorema de Cramer 
Só pode ser utilizado quando o número de equações do sistema linear (�) é igual ao número de 
incógnitas. Nesse caso, a matriz dos coeficientes (�) do sistema linear será quadrada, de dimensão � × �. 
Seja - = det 1. 
 
01) Se - 2 0, o sistema é possível e determinado (SPD), apresentando solução única. 
02) Sendo - 2 0, a solução única (4", 4#, … , 47) do sistema linear é tal que: 
 
 48 = 9:9 
 
Onde -8 é o determinante da matriz que se obtém a partir de 17×7 substinuindo a coluna ; pela matriz <7×". 
 
Método do escalonamento 
O método consiste em obter um sistema equivalente ao sistema original em que o número de variáveis 
explícitas diminui de equação para equação. Em outras palavras, o número de coeficientes nulos 
aumenta de equação para equação. 
 
 � 2& + ( + ) = 42& + 4( + 4) = 222& + 4( + 3) = 10 → � 2& + ( + ) = 4 3( + 3) = 18 −) = −12 
 
Para obter o sistema escalonado, devemos seguir os seguintes passos: 
• Colocar como 1ª equação uma que apresente a 1ª incógnita; 
• Anular a 1ª incógnita de todas as equações (exceto da 1ª) fazendo uso da 1ª equação; 
• Anular a 2ª incógnita de todas as equações (exceto da 1ª e da 2ª) fazendo uso da 2ª equação; 
• Anular a 3ª incógnita de todas as equações (exceto da 1ª, da 2ª e da 3ª) fazendo uso da 3ª equação; 
• E assim sucessivamente, até que tenhamos usado todas as equações. 
 
 
 
Discussão por Teorema de Cramer 
 
Para fins de discussão do sistema linear, o Teorema de Cramer tem serventia quando obtemos > 2 � ou 
quando o sistema é homogêneo. 
 
Discussão de um sistema linear 
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Discussão pelo Método do Escalonamento 
Passo 1: Escalonar o sistema linear. 
 
Passo 2: Analisar o sistema linear escalonado. 
• Se obtivermos uma equação da forma �� + �� + �� + �? = 
, com 
 2 �, temos um sistema 
impossível (SI); 
• Caso contrário, temos duas possibilidades: 
 ‣ Se o número de equações for igual ao número de incógnitas, temos um sistema possível e 
determinado (SPD). 
 ‣ Se o número de equações for menor do que o número de incógnitas, temos um sistema possível 
e indeterminado (SPI). 
 
No escalonamento, se obtivermos uma equação da forma �� + �� + �� + �? = �, devemos eliminar 
essa equação do sistema linear, pois essa equação é uma combinação linear das outras. 
 
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3.1 – Equação linear 
3.1.1 – Definição 
Nesse momento, vamos mostrar a representação genérica de uma equação linear. Basicamente, uma 
equação linear é uma equação da seguinte forma: 
���� + ���� + ���� + ⋯ + ���� = 
 
Em que ��, ��, ��, ..., �� são incógnitas. 
Os números reais ��, ��, ��, ... ,�� são os coeficientes da equação e 
 é denominado termo independente. 
Exemplos de equações lineares: 
Equação linear Incógnitas Coeficientes Termo independente @� + �� = � � , � @ , � � �� + �� + �� + �? = � �, �, �, ? �, �, �, � 0 @��� + √��� + ��� = B ��, ��, �� @�, √�, � B 
As equações a seguir não são equações lineares. 
• 3√� + 2( + ) = 3 
• 3& + 2�� + ) = 1; 
• 5& + DEF � + �? = 0; 
• & + ( + GEH � = 3. 
 
Note que a principal restrição de uma equação linear está na incógnita. Não se pode ter 
incógnitas da forma √�, �� , DEF �, GEH �, por exemplo, bem como não se pode ter produto 
entre incógnitas (�?). 
Já os coeficientes e o termo independente podem ser quaisquer números reais: 5#, √3, I, 
etc. 
 
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3.1.2 – Solução de uma equação linear 
Uma solução de uma equação linear é um conjunto ordenado de números reais que torna a equação 
verdadeira. 
Vamos a um exemplo. Considere a seguinte equação linear: 
3& + 2( + ) = 7 
Note que o conjunto ordenado (�, �, �) = (�, �, �) é uma solução, pois: 
 3� + 2� + � = 7 
 3. � + 2. � + � = 7 
 7 = 7 
(VERDADEIRO) 
Podemos ter infinitas soluções para a equação linear em questão. Observe que o conjunto ordenado (�, �, �) = (�, �, L) também é uma solução, pois: 
 3� + 2� + � = 7 
 3. � + 2. � + L = 7 
 7 = 7 
(VERDADEIRO) 
Vejamos agora o conjunto ordenado (�, �, �) = (@, @, @): 
 3� + 2� + � = 7 
 3. @ + 2. @ + @ = 7 
 30 = 7 
(FALSO) 
Note que (@, @, @) não é solução da equação linear, pois esse conjunto ordenado não tornou a equação 
linear verdadeira. 
3.2 – Sistema linear 
3.2.1 – Definição 
Um sistema linear nada mais é do que um conjunto de equações lineares. A seguir, temos um sistema linear, 
pois trata-se de um conjunto de equações lineares: 
� 2& + ( + ) = 13& + 3( + ) = 3& + 2( + ) = 2 
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Agora observe o seguinte sistema de equações: 
M& + ( + ) = 1�� = 12��� = 3 
Esse sistema de equações não é linear, pois contém equações que não são lineares. 
3.2.2 – Solução de um sistema linear 
Assim como as equações lineares, um sistema linear também apresenta solução. A diferença é que a solução 
do sistema linear deve tornar verdadeira todas as equações que compõem o sistema. 
Considere, por exemplo, o seguinte sistema linear de equações: 
� & + ( + ) = 63& + ( + 3) = 160& + ( + ) = 3 
Note que (�, �, �) = (�, �, �) é solução do sistema linear, pois essa solução torna verdadeira as três 
equações. Vejamos: 
Primeira equação � + � + � = 6 � + � + � = 6 6 = 6 
(VERDADEIRO) 
Segunda equação 3� + � + 3� = 16 3. � + � + 3. � = 16 16 = 16 
(VERDADEIRO) 
Terceira equação 0� + � + � = 3 0. � + � + � = 3 3 = 3 
(VERDADEIRO) 
Agora observe o que acontece com (�, �, �) = (�, �, �):
Primeira equação � + � + � = 6 � + � + � = 6 6 = 6 
(VERDADEIRO) 
Segunda equação 3� + � + 3� = 16 3. � + � + 3. � = 16 14 = 16 
(FALSO) 
Terceira equação 0� + � + � = 3 0. � + � + � = 3 4 = 3 
(FALSO)
Como (�, �, �) = (�, �, �) satisfaz apenas uma equação do sistema, (�, �, �) não é solução do sistema linear. 
Veremos mais adiante que um sistema linear pode apresentar uma solução única, infinitas soluções ou então 
nenhuma solução. 
 
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3.2.3 - Representação na forma matricial 
Considere o seguinte sistema linear com três equações: 
��� + �� + �� = ��� + �� + �� = ��� + �� + �� = � 
Esse sistema linear também pode ser representado por meio da equação matricial �� = 
: 
�� � �� � �� � ��OPPQPPRS�TUV� �
× ���� WS�TUV� �
= �����WS�TUV��� = 
 
Como assim, professor? Como que apareceu uma equação matricial? 
 
Para compreender melhor a representação matricial, vamos desenvolvê-la. 
Do lado esquerdo, temos o seguinte produto: 
 
�� � �� � �� � ��$×$ × ���� $×" 
 
Trata-se da multiplicação de uma matriz 3 × 3 por uma matriz 3 × 1. Note que o produto é possível e que o 
resultado desse produto é uma matriz 3 × 1. 
 
 
 
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Logo, 1X é: 
1X = �� � �� � �� � ��$×$ × ���� $×" 
 
1X = ��� + �� + ���� + �� + ���� + �� + ���$×" 
 
Do outro lado da equação, temos uma matriz <, que também apresenta dimensão 3 × 1: 
 
< = �����$×" 
Assim, temos: 
 1X = < 
 
�� � �� � �� � ��$×$ × ���� $×" = �����$×" 
 
��� + �� + ���� + �� + ���� + �� + ���$×" = �����$×" 
 
Agora temos a igualdade de duas matrizes 3 × 1. Para as matrizes serem iguais, todos os elementos de 
mesma posição devem ser iguais: 
��� + �� + �� = ��� + �� + �� = ��� + �� + �� = � 
 
Veja que voltamos ao nosso sistema linear! 
Logo, podemos representar um sistema linear tanto por meio de um conjunto de equações quanto por 
meio de uma equação matricial do tipo �� = 
. 
Vejamos alguns exemplos de representação matricial: 
 
 
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Representação por conjunto de equações Representação matricial �� = 
 
Y@� + �� = ��� + �� = � Z@ �� �[ × Z��[ = Z��[ 
��� + �� = ��� + �� = ��� + \� = � �� �� �� \� × Z��[ = ����� 
� �� + �� + �� = ��� + (−�)� + �� = ��� + �� + �� = � �� � �� −� �� � �� × ���� = ����� 
M �� + �� + �� = ��� + �� + (−�)� = ��� + �� + �� = �\� + �� + �� = \ ]� � �� � −�� � �\ � � ^ × ���� = ]���\^ 
Um ponto muito importante ao realizar a representação matricial é ordenar corretamente os coeficientes, 
as variáveis e os termos independentes. 
Suponha, por exemplo, que temos o seguinte sistema: 
�� + �� + � = @� − �� = ��� + � + � = 0 
Devemos colocar os termos independentes no lado direito da equação. Nesse caso, a última equação deve 
ser modificada: 
�� + �� + � = @� − �� = ��� + � = −� 
Além disso, devemos ordenar as variáveis da forma correta: 
� � + �� + � = @ −�� + � = � �� + � = −� 
Por fim, quanto aos coeficientes, deve-se entender que: 
• Variáveis que aparecem em outras equações e não aprecem em uma determinada equação devem 
ser representadas com um coeficiente 0; 
• Variáveis que supostamente não apresentam coeficiente na verdade têm coeficiente 1. 
Ficamos com: 
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� �� + �� + �� = @ −�� + �� + �� = � �� + �� + �� = −� 
Portanto, o sistema original apresenta a seguinte forma matricial �� = 
: 
� � � �−� � �� � �� × ���� = � @�−�� 
Importante destacar que a matriz � é conhecida por matriz dos coeficientes ou também matriz incompleta 
do sistema. Já a matriz � é a matriz das incógnitas e a matriz 
 é a matriz dos termos independentes. 
Por fim, você deve saber que a matriz completa do sistema é a matriz formada pela matriz incompleta (�) 
concatenada com a matriz dos termos independentes (
). Para o exemplo anterior, a matriz completa é 
dada por: 
��|
� = � � � � @−� � � �� � � −�� 
O esquema abaixo resume o que vimos sobre a representação matricial de um sistema linear. 
 
Representação matricial de um sistema linear: 
 �� = 
 
•�: Matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema; 
• �: Matriz das incógnitas; 
• 
: Matriz dos termos independentes; 
• ��|
�: Matriz completa do sistema. 
 
 � �� + �� + �� = ��� + (−�)� + �� = ��� + �� + �� = � → �� � �� −� �� � �� × ���� = ����� 
 ��|
� = �� � � �� −� � �� � � �� 
 
 
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(SEDUC AM/2014) Considere o sistema linear de três equações e duas incógnitas a seguir: 
� & + 2( = 33& + 4( = 55& + 6( = 7 
Esse sistema escrito na forma matricial é: 
a) �1 23 45 6� �& (� = �357� 
b) Z1 3 42 4 6[ Z&([ = �3 5 7� 
c) �& (� �1 23 45 6� = �357� 
d) �1 23 45 6� Z&([ = �357� 
e) Z1 3 42 4 6[ �357� = Z&([ 
Comentários: 
A representação de um sistema linear com � equações e � incógnitas na forma matricial é dado por �� = 
, em que: 
• � é a matriz dos coeficientes, da forma 3 × 2; 
• � é a matriz das incógnitas, da forma 2 × 1; e 
• 
 é a matriz dos termos independentes, da forma 3 × 1. 
 
Para o sistema: 
� & + 2( = 33& + 4( = 55& + 6( = 7 → ��� + �� = ��� + �� = @@� + \� = L 
Temos: �� = 
 
�� �� �@ \� Z��[ = ��@L� 
Gabarito: Letra D. 
 
 
 
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3.3 - Sistemas lineares equivalentes 
O entendimento do que são sistemas equivalentes será bastante útil adiante, quando estudarmos a solução 
de um sistema linear e a discussão de um sistema linear. Vamos à definição: 
3.3.1 – Definição 
Dois sistemas lineares são equivalentes quando apresentam as mesmas soluções. 
Exemplo: considere os sistemas lineares _" e _#. 
_" Y& + 3( = 75& + ( = 7 _# Y & + 3( = 7 14( = −28 
Ainda veremos como obter as soluções de um sistema linear. Nesse momento, você deve acreditar em mim: 
ambos os sistemas admitem uma única solução dada por (&, () = (1, 2). 
Assim, como ambos os sistemas apresentam as mesmas soluções (no caso, uma solução única), eles são 
equivalentes. 
Podemos representar a equivalência entre dois sistemas por meio de um til " ~ ". Portanto: 
Y& + 3( = 75& + ( = 7 ~ Y & + 3( = 7 14( = −28 
A equivalência entre dois sistemas também pode ser representada por meio da matriz completa do sistema: 
Z1 3 75 1 7[ ~ Z1 3 70 −14 28[ 
3.3.2 – Combinação linear de equações 
Podemos dizer que uma equação !" é combinação linear de outras equações !# e !$ quando existem 
valores reais � e 
 tais que: 
!" = �!# + 
!$ 
Vejamos um exemplo: 
Exemplo 1. Considere as três equações abaixo: & + ( + ) = 52& + ( + 3) = 33& + 2( + 4) = 8 
Note que a terceira equação (!$) é combinação linear da primeira (!") com a segunda (!#), pois !$ = �!" + �!#. 
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Nem sempre é fácil identificar uma combinação linear. Vejamos um outro exemplo: 
Exemplo 2. Considere as três equações abaixo: & − ( + ) = −12& + ( + ) = 35& + 1( + 3) = 5 
 
Temos que a primeira equação (!") é combinação linear da segunda (!#) e da terceira (!$), pois !" = (−�)!# + �!$. Veja: (−�)a� −�� − �� − �� = −6 �a� @� + �� + �� = 5 
 (−�)a� + �a� � − � + � = −1 
3.3.3 – Obtenção de sistemas lineares equivalentes 
Uma propriedade importante dos sistemas lineares diz respeito à combinação linear de equações. 
 
Em um sistema linear, ao substituir uma determinada equação por uma combinação linear dela 
com outra equação, temos um sistema linear equivalente. 
Considere o seguinte sistema linear: 
Y& + 3( = 75& + ( = 7 
Ao substituir a segunda equação (a�) pela combinação linear �a� + (−@)a�, obtemos um novo sistema 
linear que é equivalente ao primeiro. 
Como �!# + (−@)!" corresponde a −��� = −�b, ficamos com: 
Y& + 3( = 75& + ( = 7 ~ Y & + 3( = 7 14( = −28 
Para facilitar a comunicação, a substituição de a� pora� + (−@)a� será denotada da seguinte forma: 
a� ← �a� + (−@)a� 
 
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A propriedade aprendida é válida quando substituímos a equação por uma combinação 
linear de equações que contenha a equação original. Para o exemplo apresentado: 
 a� ← 1a� + (−5)!" 
Vamos a um outro exemplo. Considere o seguinte sistema linear: 
� & + ( + ) = 3& + 2( + 2) = 42& + 4( + ) = 5 
Ao substituir a segunda equação (!#) pela combinação linear �!# + (−�)!", obtemos um novo sistema 
linear que é equivalente ao primeiro. 
� & + ( + ) = 3& + 2( + 2) = 42& + 4( + ) = 5 ~ � & + ( + ) = 3 � + � = �2& + 4( + ) = 5 
3.3.4 – Remoção de equações do sistema linear 
 
Em um sistema linear, quando uma determinada equação corresponde a uma combinação linear 
de outras equações do sistema, podemos eliminar essa equação do sistema. 
Exemplo: considere o seguinte sistema. 
� � + � + � = @�� + � + �� = ��� + �� + �� = b 
Temos que a terceira equação é uma combinação linear da primeira com a segunda, pois a� = �a� + �a�. 
Logo, podemos eliminar a terceira equação. Isso significa que temos a seguinte equivalência: 
� � + � + � = @�� + � + �� = ��� + �� + �� = b ~ Y � + � + � = @�� + � + �� = � 
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A ideia por trás dessa remoção de uma equação é que, em um sistema linear, uma equação 
que é combinação linear de outras contém uma informação desnecessária. No caso 
apresentado, a informação �� + �� + �� = b já está contida, implicitamente, nas outras 
duas equações. 
Há uma situação análoga em que se pode eliminar uma equação do sistema linear: 
 
Já sabemos que, em um sistema linear, ao substituir uma determinada equação por uma 
combinação linear dela com outra equação, temos um sistema linear equivalente. 
 
Se nessa substituição obtivermos uma equação no seguinte formato: 
 0& + 0( + 0) + 0d = 0 
 
Podemos remover essa equação do sistema linear. 
Vamos utilizar o mesmo sistema linear como exemplo: 
� � + � + � = @�� + � + �� = ��� + �� + �� = b 
Ao substituirmos a� por a� + (−1)!", temos o seguinte sistema linear equivalente: 
� � + � + � = @�� + � + �� = ��� + �� + �� = b ~ � & + ( + ) = 52& + ( + 3) = 3�� + � + �� = � 
Ao substituirmos novamente a� por a� + (−1)!#, temos: 
� & + ( + ) = 52& + ( + 3) = 3�� + � + �� = � ~ � & + ( + ) = 52& + ( + 3) = 3�� + �� + �� = � 
Note que obtivemos uma equação no formato �� + �� + �� = �. Logo, podemos eliminar essa equação. 
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 � & + ( + ) = 52& + ( + 3) = 3�� + �� + �� = � ~ Y � + � + � = @�� + � + �� = � 
Portanto, temos que o sistema linear original é equivalente ao novo sistema linear obtido, isto é: 
� � + � + � = @�� + � + �� = ��� + �� + �� = b ~ Y � + � + � = @�� + � + �� = � 
3.4 - Classificação de um sistema linear 
Um sistema linear pode ser classificado de três formas: 
• Sistema Possível e Determinado (SPD): o sistema apresenta uma única solução; 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): o sistema apresenta infinitas soluções; e 
• Sistema Impossível (SI): ocorre quando o sistema não apresenta solução. 
 
A seguir, vamos entender essas três classificações com maiores detalhes. O procedimento de como realizar 
essa classificação será visto no tópico de discussão de um sistema linear. 
 
Um sistema linear pode apresentar solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. 
Se um sistema linear apresenta mais de uma solução, então ele apresenta infinitas 
soluções. 
Não existe a possibilidade de ele apresentar "apenas duas soluções", "apenas três 
soluções", etc. 
Sistema Linear
Possível
Possível 
Determinado 
(SPD)
Solução única
Possível 
Indeterminado 
(SPI)
Infinitas soluções
Impossível (SI) Sem solução
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3.4.1 – Sistema possível e determinado (SPD) 
Um sistema possível e determinado (SPD) é aquele que admite uma única solução. 
Um exemplo de sistema possível e determinado é o seguinte: 
� x + y + z = 62& + ( + 3) = 14& + 2( + ) = 7 
Isso porque ele admite uma única solução: (&, (, )) = (6, 14, 7). 
Para um sistema ser possível e determinado, devemos ter: 
• Um número de equações igual ao número de incógnitas; 
• Essas equações não podem ser combinações lineares umas das outras (pois, nesse caso, podemos 
eliminar equações); e 
• Essas equações não podem se contradizer. 
3.4.2 – Sistema possível e indeterminado (SPI) 
Um sistema possível e indeterminado (SPI) é aquele que admite infinitas soluções. 
Podemos tomar como exemplo o sistema que vimos recentemente: 
� � + � + � = @�� + � + �� = ��� + �� + �� = b 
Lembre-se que ele é equivalente a um sistema com duas equações: 
� � + � + � = @�� + � + �� = ��� + �� + �� = b ~ Y � + � + � = @�� + � + �� = � 
Veja que (�, �, �) = (�, \, −�), bem como (−�, b, �) e (−�, L �) são soluções do sistema linear. 
Solução (�, �, �) Teste em � + � + � = @ Teste em �� + � + �� = � (�, \, −�) 0 + 6 + (−1) = 5 → hi 2.0 + 6 + 3. (−1) = 3 → hi (−�, b, �) (−4) + 8 + 1 = 5 → hi 2. (−4) + 8 + 3.1 = 3 → hi (−�, L, �) (−2) + 7 + 0 = 5 → hi 2. (−2) + 7 + 3.0 = 3 → hi 
Além dessas três soluções, temos infinitas outras. Logo, o sistema é possível e indeterminado. 
 
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3.4.3 – Sistema impossível (SI) 
O sistema impossível (SI) ocorre quando o sistema não apresenta solução. 
Exemplo: 
� & + ( + ) = 5�� + � + �� = ��� + � + �� = � 
Observe o que a segunda e a terceira equação estão nos dizendo: em uma equação, temos que 
"�� + � + ��" é igual a 3 e, na outra, temos que essa mesma soma é igual a 4. 
Ora, não é possível encontrar uma solução (&, (, )) cuja soma " �� + � + ��" seja igual a 3 e a 4 ao mesmo 
tempo. Logo, o sistema é impossível. 
3.5 - Sistema linear homogêneo 
Um sistema linear homogêneo é aquele em que os termos independentes de todas as equações são iguais 
a zero. 
Exemplo: 
� 3& + 1( + ) = �2& + 4( + 2) = �3& + 2( + 4) = � 
Observe que (�, �, �) = (�, �, �) é solução desse sistema. 
Um sistema linear homogêneo é sempre possível, pois sempre admite a solução em que todas as variáveis 
são zero (denominada solução trivial). 
• Se o sistema linear homogêneo admitir somente a solução trivial, então ele é um Sistema Possível e 
Determinado (SPD); 
• Caso ele admita outras soluções, então ele admite infinitas soluções e é um Sistema Possível e 
Indeterminado (SPI). 
 
 
 
Sistema Linear 
Homogêneo
Sempre é 
Possível
Possível e 
Determiando 
(SPD)
Solução única 
(trivial)
Possível e 
Indeterminado 
(SPI)
Infinitas soluções 
(inclui a trivial)
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==275324==
 
(ANPEC/2001) Julgue o item a seguir como certo ou errado. 
Um sistema homogêneo de equações lineares sempre tem solução. 
Comentários: 
Um sistema homogêneo de equações lineares, ou seja, um sistema linear homogêneo, é sempre possível, 
isto é, sempre admite ao menos uma solução, a solução trivial. 
Gabarito: CERTO. 
3.6 - Solução de um sistema linear 
Pessoal, até o momento o estudo dos sistemas lineares foi mais voltado para a construção de uma base 
teórica. A partirde agora, temos que redobrar a atenção. 
3.6.1 - Solução por substituição 
A solução por substituição consiste em isolar uma variável em uma equação e substituir em outra equação. 
Veja o próximo exemplo: 
Encontre a solução do seguinte sistema linear: Y�� + �� = ��� + � = � . 
 
A partir da segunda equação, podemos isolar (: 2& + ( = 4 � = � − �� 
 
Substituindo esse � na primeira equação, temos: 3& + 2� = 2 3& + 2. (� − ��) = 2 3& − 8 − 4& = 2 −& + 8 = 2 −& = −6 � = \ 
Como � = � − ��, temos: ( = 4 − 2� ( = 4 − 2. \ � = −b 
 
Logo, a solução do sistema em questão é (�, �) = (\, −b). 
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 (Pref. Jaguapitã/2020) Assinale a alternativa que contém a soma entre os valores de & e ( do sistema a 
seguir: 
Y 2& + ( = 5& − 2( = 10 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
Comentários: 
A partir da segunda equação, podemos isolar �: & − 2( = 10 � = �� + �� 
 
Substituindo esse � na primeira equação, temos: 2� + ( = 5 2. (�� + ��) + ( = 5 20 + 4( + ( = 5 5( = 5 − 20 5( = −15 � = −� 
 
Como � = �� + ��, temos: & = 10 + 2( & = 10 + 2. (−3) & = 10 − 6 � = � 
 
Portanto, a soma é: & + ( = −3 + 4 = 1 
Gabarito: Letra A. 
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3.6.2 - Solução por eliminação de variável 
Consiste em eliminar variáveis por meio de uma combinação linear conveniente das equações do sistema 
linear. 
 
Trata-se de uma solução não muito metodológica, uma vez que não há uma clareza do 
passo a passo a ser seguido. 
Veremos, mais adiante, que o método do escalonamento é uma versão procedimental do 
que aprenderemos nesse tópico. 
Vejamos dois exemplos: 
Encontre a solução do seguinte sistema linear: Y�� + �� = ��� − �� = � 
 
Ao realizar a soma das duas primeiras equações, isto é, a combinação linear a� + a�, elimina-se a variável (: 
 !" 3& + 2( = 2!# 2& − 2( = 3 
!" + !# @� = @ 
 → � = � 
 
Temos, portanto, que � = �. Podemos substituir esse valor em qualquer uma das equações do sistema 
linear. Vamos substituir na primeira: 3� + 2( = 2 3. � + 2( = 2 2( = 2 − 3 2( = −1 
� = − �� 
 
Logo, a solução do sistema em questão é (�, �) = j�, − ��k. 
 
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Encontre a solução do seguinte sistema linear: � � + �� + � = @�� + �� + �� = l� + � + � = � 
 
Ao realizar a combinação linear a� + (−�)a�, elimina-se as variáveis & e ): 
 !" & + 2( + ) = 5(−�)!$ −& − ( − ) = −3 
 a� + (−�)a� � = � 
 
Ao realizar a combinação linear a� + (−�)a�, elimina-se as variáveis & e (: 
 !# 2& + 2( + 3) = 9(−�)!$ −2& − 2( − 2) = −6 
 !" + (−�)!$ � = � 
 
Temos, portanto, que � = � e � = �. Podemos substituir esses valores em qualquer uma das equações do 
sistema linear. Vamos substituir na terceira: & + � + � = 3 & + � + � = 3 � = −� 
 
Portanto, a solução do sistema linear é (�, �, �) = (−�, �, �). 
3.6.3 - Solução pela soma das equações do sistema 
Pessoal, existem casos em que a solução do sistema linear é obtida de modo mais rápido realizando a soma 
de todas as equações do sistema. Vejamos um exemplo: 
Encontre a solução do seguinte sistema linear: �� + � = �� + � = �� + � = @ 
 
Somando todas as equações do sistema, isto é, realizando a combinação linear a� + a� + a�, temos: !"!#!$ & + ( + ) = 3& + ( + ) = 4& + ( + ) = 5 
 !" + !# + !$ 2& + 2( + 2) = 12 
Ficamos com: 
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2(& + ( + )) = 12 � + � + � = \ 
 
A partir dessa informação, podemos subtrair cada equação do sistema linear de � + � + � = \. 
 � + � + � = \(−�)!" −& − ( = −3 
 � = � 
 � + � + � = \(−�)!# −& + ( − ) = −4 
 � = � 
 � + � + � = \(−�)!$ & − ( − ) = −5 
 � = � 
 
Portanto, a solução do sistema linear é (�, �, �) = (�, �, �). 
 
(DNIT/2013) A soma dos valores de & e ( que solucionam o sistema de equações 
Y& + 2( = 72& + ( = 5 
é igual a: 
a) 6 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
Comentários: 
Ao somar as duas equações do sistema linear, temos: 
 !" & + 2( = 7!# 2& + ( = 5 
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!" + !# �� + �� = �� 
 
Ficamos com: 3& + 3( = 12 3(& + () = 12 (� + �) = � 
 
Note que o problema pergunta pela soma � + �, não pelos valores de & e de (. Logo, podemos marcar a 
alternativa B. 
Gabarito: Letra B. 
 
(Pref. Paulínia/2016) No sistema linear M3n + o + p + q = 43n + 3o + p + q = 39n + o + 3p + q = 35n + o + p + 3q = 33 o valor de n é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
Comentários: 
Ao somar todas as equações do sistema linear, temos: 3n + o + p + q = 43n + 3o + p + q = 39n + o + 3p + q = 35n + o + p + 3q = 33 
6n + 6o + 6p + 6q = 150 
 
Ficamos com: 6(n + o + p + q) = 150 � + 
 + r + s = �@ 
 
A partir dessa informação, podemos subtrair � + 
 + r + s = �@ da primeira equação do sistema linear. 
 3n + o + p + q = 43−� − 
 − r − s = −�@ �� = �b 
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Logo, dividindo os dois lados da equação por 2, temos � = l. 
Gabarito: Letra E. 
3.6.4 – Solução por matriz inversa 
Considere um sistema linear cujo número de equações (�) é igual ao número de incógnitas. Note que, nesse 
caso, a matriz dos coeficientes (�) do sistema linear será quadrada, de dimensão � × �. 
O sistema pode ser escrito na forma matricial do seguinte modo: 
������ = 
�� 
Supondo que tuv � 2 �, você deve se lembrar da aula de determinantes que a matriz � possui inversa. Ao 
multiplicar ambos os lados da equação por 1," pela esquerda, temos: 
�,��� = �,�
 
Pela definição de matriz inversa, temos que �,�� = w. Logo: 
w� = �,�
 
Como a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, ficamos com: 
� = �,�
 
Veja, portanto, que a matriz das incógnitas (�) é obtida pelo produto da matriz inversa dos coeficientes 
pela matriz dos termos independentes. 
Vamos resolver um exemplo. 
Encontre a solução do seguinte sistema linear: Y�� + �� = ��� − �� = � 
 
No sistema linear apresentado, a matriz dos coeficientes é dada por 1 = Z3 22 −2[ e matriz dos termos 
independentes é < = Z23[. Note que a matriz 1 é inversível, pois: 
 det 1 = �3 × (−2)� − �2 × 2� = −10 
Da aula sobre determinantes, você deve se lembrar que, para uma matriz 1 = Z� 
r s[, a sua inversa é dada 
por 1," = "xyz { Z s −
−r � [. Logo, para o nosso caso: 
 
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1," = 1−10 Z−2 −2−2 3 [ 
 
A matriz das incógnitas � do sistema linear em questão é: � = �,�
 
 
Z&([ = 1−10 Z−� −�−� � [ Z��[ 
 
= − 110 |(−�). � + (−�). �(−�). � + �. � } 
 
= − 110 Z−105 [ 
 
= ]− 110 . (−10)
− 110 . 5 ^ = | 1−1/2} 
 
Veja que Z&([ = | 1−1/2}, isto é, & = 1 e ( = − "#. Portanto, a solução do sistema linear é (�, �) = j�, − ��k. 
 
 
(PETROBRAS/2008) A matriz X = Z&([, solução do sistema de equações linearesY2& + 3( + 1853& + 2( = 190 
pode ser expressa na forma X = �<, em que < = Z195190[ é a matriz dos termos constantes do sistema, � é 
uma matriz constante, quadrada, de dimensão 2 × 2. Nesse caso, assinale a opção correspondente à matriz �. 
a) �$� − #�#� $� � 
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b) �"� #�#� $�� 
c) �#� $�#� $�� 
d) �− #� $�$� − #�� 
e) �− "� #�#� − "�� 
Comentários: 
Considerando o sistema apresentado: 
Y2& + 3( + 1853& + 2( = 190 
 
Temos que a matriz dos coeficientes é � = Z2 33 2[. Como det 1 2 0, então a matriz � é inversível. det 1 = �2.2� − �3.3� = 4 − 9 = −5 
 
O sistema linear pode ser representado na sua forma matricial por: �� = 
 
 
Como a matriz 1 é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação por 1," pela esquerda: �,��� = �,�
 w� = �,�
 � = �,�
 
 
Comparando � = �,�
 a equação matricial apresentada no enunciado, dada por � = �
, temos que � = �,�. 
 
Para uma matriz 1 = Z� 
r s[, a sua inversa é dada por 1," = "xyz { Z s −
−r � [. Logo, para o nosso caso: 
 
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1," = 1−5 Z 2 −3−3 2 [ = ] − 15 × 2 − 15 × (−3)
− 15 × (−3) − 15 × 2 ^ = ]− 25 3535 − 25^ 
Portanto, � = 1," = �− #� $�$� − #�� 
Gabarito: Letra D. 
3.6.5 - Teorema de Cramer 
Primeiramente, deve-se entender que o Teorema de Cramer só pode ser utilizado quando o número de 
equações do sistema linear (�) é igual ao número de incógnitas. Nesse caso, a matriz dos coeficientes (�) 
do sistema linear será quadrada, de dimensão � × �. 
Considere, então, um sistema linear escrito na forma matricial: 
������ = 
�� 
Vamos chamar de > o determinante da matriz dos coeficientes (�). Ou seja: 
- = det 1 
O Teorema de Cramer nos diz duas coisas: 
 
01) Se - 2 0, o sistema é possível e determinado (SPD), apresentando solução única. 
 
02) Sendo - 2 0, a solução única (4", 4#, … 47) do sistema linear é tal que: 
 
 48 = 9:9 
 
Onde -8 é o determinante da matriz que se obtém a partir de 17×7 substinuindo a coluna ; pela 
matriz <7×". 
Professor, não entendi nada! 
Calma, concurseiro. O entendimento só virá com o desenvolvimento do próximo exemplo. Ao acompanhá-
lo, o Teorema de Cramer fica mais claro. 
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Encontre a solução do seguinte sistema linear � � + �� + � = @�� + �� + �� = l� + � + � = � pelo Teorema de Cramer. 
 
Ao representar o sistema linear na sua forma matricial, temos 1X = <, sendo: 
1 = �1 2 12 2 31 1 1� X = �&() < = �593� 
 
Primeiro, devemos obter o determinante da matriz 1: 
- = det 1 = �1 2 12 2 31 1 1� 
 
Aplicando a Regra de Sarrus, ficamos com: 
�1 2 12 2 31 1 1� 1 22 21 1 
Parte Negativa Parte Positiva - = ��. �. � + �. �. � + �. �. �� − ��. �. � + �. �. � + �. �. �� - = 10 − 9 - = 1 
 
Como - 2 0, o sistema é possível e determinado (SPD), sendo possível aplicar o teorema. 
Obtenção de � 
Para obter &, vamos utilizar a seguinte relação: 
& = -�- 
 
Já temos o valor do determinante -. Nesse momento, devemos obter -�. -� é o determinante da matriz que se obtém a partir da matriz 1 substituindo a coluna dos coeficientes da 
variável � pela matriz <. 
 
 
1 = �� � �� � �� � �� < = �@l�� 
 
Coeficientes de � 
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-� = �@ � �l � �� � �� 
Aplicando a Regra de Sarrus, ficamos com: 
�5 2 19 2 33 1 1� 5 29 23 1 
Parte Negativa Parte Positiva -� = �@. �. � + �. �. � + �. l. �� − ��. �. � + @. �. � + �. l. �� -� = 37 − 39 -� = −2 
Logo: 
& = -�- = −21 & = −2 
 
Obtenção de � -� é o determinante da matriz que se obtém a partir da matriz 1 substituindo a coluna dos coeficientes da 
variável � pela matriz <. 
 
 
1 = �� � �� � �� � �� < = �@l�� 
 
-� = �� @ �� l �� � �� 
Aplicando a Regra de Sarrus, ficamos com: 
�1 5 12 9 31 3 1� 1 52 91 3 
Parte Negativa Parte Positiva -� = ��. l. � + @. �. � + �. �. �� − ��. l. � + �. �. � + @. �. �� -� = 30 − 28 -� = 2 
Logo: 
 
Coeficientes de � 
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( = -�- = 21 ( = 2 
 
Obtenção de � -� é o determinante da matriz que se obtém a partir da matriz 1 substituindo a coluna dos coeficientes da 
variável � pela matriz <. 
 
 
1 = �� � �� � �� � �� < = �@l�� 
 
-� = �� � @� � l� � �� 
Aplicando a Regra de Sarrus, ficamos com: 
�1 2 52 2 91 1 3� 1 22 21 1 
Parte Negativa Parte Positiva -� = ��. �. � + �. l. � + @. �. �� − �@. �. � + �. l. � + �. �. �� -� = 34 − 31 -� = 3 
Logo: 
) = -�- = 31 ) = 3 
 
Portanto, a solução do sistema linear é (�, �, �) = (�, �, �). 
 
 
 
Coeficientes de � 
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(AFRFB/2012) Considere o sistema de equações lineares dado por: 
� & + ( + ) = 0& − ( + �) = 2�& + 2( + ) = −1 
Sabendo-se que o sistema tem solução única para � 2 0 e � 2 1, então o valor de & é igual a 
a) 
#� 
b) 
,#� 
c) 
"� 
d)
,"� 
e) 2� 
Comentários: 
Vamos resolver essa questão com o Teorema de Cramer. 
Note que as variáveis do sistema são &, ( e ), sendo � uma constante. 
Ao representar o sistema linear na sua forma matricial, temos 1X = <, sendo: 
1 = �1 1 11 −1 �� 2 1� X = �&() < = � 02−1� 
 
Primeiro, devemos obter o determinante da matriz 1: 
- = det 1 = �1 1 11 −1 �� 2 1� 
Aplicando a Regra de Sarrus, ficamos com: 
�1 1 11 −1 �� 2 1� 1 11 −1� 2 
Parte Negativa Parte Positiva - = ��. (−�). � + �. U. U + �. �. �� − ��. (−�). U + �. U. � + �. �. �� - = ��# + 1� − �� + 1� - = �# − � - = �(� − 1) 
O enunciado pede a solução para � 2 0 e � 2 1. Note que, para esse caso, > será diferente de zero. 
Portanto, podemos aplicar o Teorema de Cramer. 
Para obter &, vamos utilizar a seguinte relação: 
& = -�- 
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-� é o determinante da matriz que se obtém a partir da matriz 1 substituindo a coluna dos coeficientes da 
variável � pela matriz <. 
 
 
1 = �� � �� −� UU � �� < = � ��−�� 
 
-� = � � � �� −� U−� � �� 
 
Aplicando a Regra de Sarrus, ficamos com: 
� 0 1 12 −1 �−1 2 1� 0 12 −1−1 2 
Parte Negativa Parte Positiva 
 -� = ��. (−�). � + �. U. (−�) + �. �. �� − ��. (−�). (−�) + �. U. � + �. �. �� -� = �−� + 4� − �3� -� = 1 − � 
Logo: 
& = -�- = 1 − ��(� − 1) = −(� − 1)�(� − 1) 
Simplificando (� − 1), obtemos: 
& = −1� 
Gabarito: Letra D. 
3.6.6 - Método do escalonamento 
O método do escalonamento, também conhecido por Eliminação Gaussiana, sem dúvidas é o melhor meio 
para se resolver sistemas lineares. 
Esse método nos traz um passo a passo, uma "receita de bolo". Não é necessário ter uma "sacada" para 
resolver o sistema. Além disso, não precisamos resolver determinantes, como acontece no Teorema de 
Cramer. 
O método consiste em obter um sistema equivalente ao sistema original em que o número de variáveis 
explícitas diminui de equação para equação. Em outras palavras, o número de coeficientes nulos aumenta 
de equação para equação. 
0 
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Considere o seguinte sistema: 
� 2& + ( + ) = 42& + 4( + 4) = 222& + 4( + 3) = 10 
A ideia do método do escalonamento é chegar no seguinte sistema equivalente: 
� 2& + ( + ) = 4 3( + 3) = 18 −) = −12 
Dizemos que este sistema é um sistema escalonado porque o número de variáveis explícitas diminui de 
equação para equação. Note que na primeira equação temos 3 variáveis explícitas, na segunda equação 
temos 2 variáveis e, na última equação, temos apenas uma variável explícita. 
Veja como o sistema escalonado é interessante: a partir da última equação, obtemos o valor de �. Na 
penúltima equação conseguimos obter o valor de �, pois já temos o valor de ). Por fim, na primeira equação, 
conseguimos obter o valor de �, pois já temos ( e ). 
Ok, professor. Mas como obtenho esse sistema escalonado? 
Para obter o sistema escalonado, devemos seguir os seguintes passos: 
• Colocar como 1ª equação uma que apresente a 1ª incógnita; 
• Anular a 1ª incógnita de todas as equações (exceto da 1ª) fazendo uso da 1ª equação; 
• Anular a 2ª incógnita de todas as equações (exceto da 1ª e da 2ª) fazendo uso da 2ª equação; 
• Anular a 3ª incógnita de todas as equações (exceto da 1ª, da 2ª e da 3ª) fazendo uso da 3ª equação; 
• E assim sucessivamente, até que tenhamos usado todas as equações. 
Vamos aprender na prática. 
Encontre a solução do seguinte sistema linear � �� + � + � = ��� + �� + �� = ���� + �� + �� = �� pelo método do escalonamento. 
 
• Note que a 1ª equação já apresenta a 1ª incógnita (�). 
• Devemos, agora, eliminar a 1ª incógnita (�) de todas as equações (exceto da 1ª) fazendo uso da 1ª 
equação. 
Temos o seguinte sistema linear: 
�2& + ( + ) = 4 2& + 4( + 4) = 222& + 4( + 3) = 10 
 
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Fazendo !# ← �!# + (−�)!", obtemos um sistema linear equivalente: 
~ �2& + ( + ) = 4 2& + 3( + 3) = 182& + 4( + 3) = 10 
 
Fazendo !$ ← �!$ + (−�)!", obtemos um sistema linear equivalente: 
 ~ �2& + ( + ) = 4 2& + 3( + 3) = 182& + 3( + 2) = 6 
 
• Devemos, agora, eliminar a 2ª incógnita (�) de todas as equações (exceto da 1ª e da 2ª) fazendo uso da 
2ª equação. 
Fazendo !$ ← �!$ + (−�)!#, obtemos um sistema linear equivalente: 
~ � 2& + ( + ) = 4 2& + 3( + 3) = 182& + 3( − 1) = −12 
 
Observe que obtemos um sistema escalonado. Nesse momento, devemos parar o escalonamento e obter a 
solução a partir da última equação. −1) = −12 � = �� 
Da segunda equação, temos: 3( + 3� = 18 3( + 3. �� = 18 3( = −18 � = −\ 
 
Da primeira equação, temos: 2& + � + � = 4 2& + (−\) + �� = 4 2& + 6 = 4 2& = −2 � = −� 
 
Portanto, a solução do sistema linear é (�, �, �) = (−�, −\, ��). 
Observe que, no problema anterior, obtivemos a seguinte sequência de sistemas equivalentes: 
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� �� + � + � = � �� + �� + �� = ���� + �� + �� = �� ~��←����(,�)�� �2& + ( + ) = 4 2& + 3( + 3) = 182& + 4( + 3) = 10 ~��←����(,�)�� �2& + ( + ) = 4 2& + 3( + 3) = 182& + 3( + 2) = 6 
~��←����(,�)�� � 2& + ( + ) = 4 2& + 3( + 3) = 182& + 3( − 1) = −12 
Uma outra forma de escalonar o sistema é utilizando a matriz completa do sistema �1|<�. 
�� � � �� � � ��� � � ��� ~��←����(,�)�� �2 1 1 40 3 3 182 4 3 10� ~��←����(,�)�� �2 1 1 40 3 3 180 3 2 6 � 
 ~��←����(,�)�� �2 1 1 4 0 3 3 180 0 −1 −12� 
 
Dê preferência ao escalonamento por meio da matriz completa do sistema. Isso porque 
ela traz maior agilidade no escalonamento, pois não é necessário escrever diversas vezes 
as incógnitas &, ( e ). 
Para evitar trabalhar com frações na hora de escalonar um sistema, um recurso interessante é alterar a 
ordem das equações. Veremos isso na resolução do primeiro exercício a seguir. 
 
(Pref. Rezende/2019) O valor de & no sistema linear a seguir é: 
�2& + ( + 3) = 19& + 2( + ) = 123& − ( + ) = 7 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
Comentários: 
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Vamos resolver essa questão pelo método do escalonamento, fazendo uso da matriz completa do sistema. 
Inicialmente, temos: 
��� + � + �� = �l� + �� + � = ��3& − ( + ) = 7 
 
Note que, para iniciar o escalonamento, teríamos que fazer !# ← �!# + j− ��k !" para eliminar a incógnita & da segunda equação. Para evitar trabalhar com números fracionários, vamos trocar a primeira e a segunda 
equação de lugar: 
� � + �� + � = ���� + � + �� = �l3& − ( + ) = 7 
A matriz completa do sistema é: 
�1 2 1 122 1 3 193 −1 1 7 � 
 
• Note que a 1ª equação já apresenta a 1ª incógnita (�). 
• Devemos, agora, eliminar a 1ª incógnita (�) de todas as equações (exceto da 1ª) fazendo uso da 1ª 
equação. 
Fazendo !# ← �!# + (−�)!", obtemos um sistema linear equivalente: 
~ �1 2 1 120 −3 1 −53 −1 1 7 � 
 
Fazendo !$ ← �!$ + (−�)!", obtemos um sistema linear equivalente: 
~ �1 2 1 120 −3 1 −50 −7 −2 −29� 
 
• Devemos, agora, eliminar a 2ª incógnita (�) de todas as equações (exceto da 1ª e da 2ª) fazendo uso da 
2ª equação. 
Fazendo !$ ← �!$ + j− L�k !", obtemos um sistema linear equivalente: 
~ ]1 2 1 120 −3 1 −50 0 − 133 − 523 ^ 
 
Note, portanto, que obtivemos o seguinte sistema equivalente: 
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M & + 2( + ) = 12& − 3( + ) = −5 & + ( − 133 ) = − 523 
Da última equação, temos: 
− 133 ) = − 523 13) = 52 � = � 
Da segunda equação, temos: −3( + ) = −5 −3( + 4 = −5 −3( = −9 � = � 
 
Da primeira equação, temos: & + 2( + ) = 12 & + 2.3 + 4 = 12 & = 12 − 4 − 6 � = � 
Portanto, o valor de & é 2. 
Gabarito: Letra B. 
 
(Pref. Caxias do Sul/2019) Dado o sistema de equações lineares abaixo: 
� = � 2&" + 2&# + &$ = 83&" + 2&# + &$ = 102&" + 2&# + 2&$ = 16 
O conjunto solução S com base na ordem de _ = (&#, &", &$) é: 
a) _ = (&#, &", &$) = (2, −2, 8). 
b) _ = (&#, &", &$) = (−2, 2, 8). 
c) _ = (&#, &", &$) = (8, −2, 2). 
d) _ = (&#, &", &$) = (2, 8, 2). 
e) _ = (&#, &", &$) = (2, 2, 8). 
Comentários: 
Vamos resolver essa questão pelo método do escalonamento, fazendo uso da matriz completa do sistema. 
 
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�2 2 1 83 2 1 102 2 2 16� ~��←����j,��k�� �2 2 1 80 −1 −1/2 −22 2 2 16� ~��←����(,�)�� �2 2 1 80 −1 −1/2 −20 0 1 8 � 
 
Veja que a última operação já eliminou a variável &" e &# da terceira equação. 
Ficamos com o seguinte sistema escalonado: 
M 2&" + 2&# + &$ = 8&" − 1&# − 12 &$ = −2&" + &# + 1&$ = 8 
Da última equação, temos: �� = b 
Da segunda equação, temos: 
−1&# − 12 �� = −2 
−&# − 12 . 8 = −2 −&# − 4 = −2 −&# = 4 − 2 −&# = 2 �� = −� 
 Da primeira equação, temos 2&" + 2�� + �� = 8 2&" + 2. (−2) + 8 = 8 2&" = 4 �� = � 
 
Muita atenção nesse momento. A questão pergunta pela solução _ = (��, ��, &$). 
O gabarito, portanto, é letra B: _ = (��, ��, &$) = (−�, �, 8). 
Gabarito: Letra B. 
 
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3.7 - Discussão de um sistema linear 
Vimos que um sistema linear pode ser classificado de três formas: 
• SistemaPossível e Determinado (SPD): o sistema apresenta uma única solução; 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): o sistema apresenta infinitas soluções; e 
• Sistema Impossível (SI): ocorre quando o sistema não apresenta solução. 
A discussão de um sistema linear trata justamente dessa classificação, de modo a determinar se o sistema 
linear é SPD, SPI ou SI. 
3.7.1 – Discussão por Teorema de Cramer 
Vimos que é possível obter a solução de um sistema linear por meio do Teorema de Cramer: 
& = -�> ; ( = -�> ; ) = -�> 
Lembre-se de que a condição para aplicar o teorema é > 2 �, isto é, o determinante da matriz dos 
coeficientes (matriz incompleta do sistema) deve ser diferente de zero. Nesse caso, o sistema é possível e 
determinado (SPD), apresentando solução única. 
Por outro lado, quando > = �, podemos ter um sistema possível indeterminado (SPI) ou um sistema 
impossível (SI). 
 
Um caso interessante ocorre quando temos um sistema linear homogêneo. Lembre-se de que esse sistema 
sempre admite solução, a solução trivial. Nesse caso, esse sistema não pode ser impossível, de modo que, 
se - = 0, necessariamente ele é possível e indeterminado (SPI). 
 
Teorema de Cramer
D ≠ 0
Sistema Possível e 
Determinado (SPD)
D = 0
Sistema Possível e 
Indeterminado (SPI)
Sistema Impossível (SI)
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Professor, quando - = 0 e o sistema não é homogêneo, como vou diferenciar o SPI do SI? 
Excelente pergunta! Nesse caso, o Teorema de Cramer nos deixa na mão. Devemos utilizar o Método do 
Escalonamento, que será visto no próximo tópico. 
 
Para fins de discussão do sistema linear, o Teorema de Cramer tem serventia quando 
obtemos > 2 � ou quando o sistema é homogêneo. 
No caso em que > = � e o sistema não é homogêneo, ficamos na dúvida entre SPI e SI. 
Para sanar essa questão, deve-se utilizar o Método do Escalonamento. 
 
(Pref. SJC/2019) Considere o sistema linear S, representado da seguinte forma matricial: _ = jn op qk . j&(k = j00k 
O sistema S é: 
a) impossível se nq − op = 0 
b) impossível se nq − op 2 0 
c) possível e determinado se nq − op = 0 
d) possível e determinado se nq − op 2 0 
e) possível e indeterminado se nq − op 2 0 
Comentários: 
Observe que o sistema linear em questão é homogêneo, pois os termos independentes são nulos. 
Sistema Linear Homogêneo
D ≠ 0
Sistema Possível e Determinado (SPD)
Admite somente a solução trivial
D = 0
Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Admite a solução trivial e infinitas outras
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Nesse caso, sendo - o determinante da matriz dos coeficientes: 
• Se - 2 0, temos um sistema possível e determinado (SPD); 
• Se - = 0, temos um sistema possível e indeterminado (SPI). 
 
O determinante da matriz dos coeficientes é: - = �n op q� = nq − op 
Logo: 
• Se nq − op 2 0, temos um sistema possível e determinado (SPD); 
• Se nq − op = 0, temos um sistema possível e indeterminado (SPI). 
 
O gabarito, portanto, é letra D. 
Gabarito: Letra D. 
 
(TRANSPETRO/2018) Sistemas lineares homogêneos possuem, pelo menos, uma solução e, portanto, nunca 
serão considerados impossíveis. O sistema linear dado abaixo possui infinitas soluções. 
� & + ( + ) = 0& + 4( + ) = 04& + 4( + 2) = 0 
Qual o maior valor possível para 4? 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
Comentários: 
Temos um sistema linear homogêneo com infinitas soluções. Logo, além de homogêneo, o sistema é 
possível e indeterminado (SPI). 
Portanto, devemos ter - = 0, ou seja, �1 1 11 4 14 4 2� = 0. 
Aplicando a Regra de Sarrus no determinante -, temos: 
�1 1 11 4 14 4 2� 1 11 44 4 
Parte Negativa Parte Positiva - = ��. �. � + �. �. � + �. �. �� − ��. �. � + �. �. � + �. �. �� 
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- = �44� − �4# + 4 + 2� - = −4# + 34 − 2 
 
Como - = 0, temos: −4# + 34 − 2 = 0 4# − 34 + 2 = 0 
 
Aplicando a Fórmula de Bhaskara: ∆= o# − 4np ∆= (−3)# − 4.1.2 ∆ = 1 
 
4 = −o � √∆2n 
4 = −(−3) � √12.1 
4 = 3 � 12 �� = � ; �� = � 
Logo, o maior valor possível para � é 2. 
Gabarito: Letra C. 
Antes de passar para o próximo tópico, é necessário esclarecer um ponto para aqueles que estudaram essa 
matéria em outras fontes. 
 
Alguns professores, especialmente relacionados a concursos públicos, ensinam de modo 
equivocado (ERRADO) que se pode usar Teorema de Cramer para diferenciar um SPI de 
um SI. Eles dizem que, uma vez que - = 0, o SPI ocorre quando: 
 - = -� = -� = -� = ⋯ = 0 
 
 
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O contraexemplo a seguir mostra que esse bizu está errado: 
 �1& + 1( + 1) = 12& + 2( + 2) = 23& + 3( + 3) = L 
Note que o sistema apresentado é impossível (SI). Isso porque, ao multiplicar a primeira 
equação por 3, obtém-se: 
 3& + 3( + 3) = � 
Essa equação contradiz a última equação do sistema, pois 3& + 3( + 3) não pode ser igual 
a � e a L ao mesmo tempo. 
Observe, porém, que todos os determinantes são zero, pois apresentam filas paralelas 
iguais: 
- = �1 1 12 2 23 3 3� -� = �� 1 1� 2 2L 3 3� -� = �1 � 12 � 23 L 3� -� = �1 1 �2 2 �3 3 L� 
Segundo o bizu errado, teríamos um SPI, pois - = -� = -� = -� = 0. 
3.7.2 - Discussão pelo Método do Escalonamento 
Podemos classificar um sistema linear em SPD, SPI e SI de maneira inequívoca por meio do escalonamento. 
Para tanto, deve-se seguir os seguintes passos: 
Passo 1: Escalonar o sistema linear. 
Passo 2: Analisar o sistema linear escalonado. 
• Se obtivermos uma equação da forma �� + �� + �� + �? = 
, com 
 2 �, temos um sistema 
impossível (SI); 
• Caso contrário, temos duas possibilidades: 
o Se o número de equações for igual ao número de incógnitas, temos um sistema possível e 
determinado (SPD). 
o Se o número de equações for menor do que o número de incógnitas, temos um sistema 
possível e indeterminado (SPI). 
 
 
 
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No escalonamento, se obtivermos uma equação da forma �� + �� + �� + �? = �, 
devemos eliminar essa equação do sistema linear, pois essa equação é uma combinação 
linear das outras. 
Vamos realizar três exemplos para que não reste dúvida quanto ao método. 
Classifique o sistema linear � � + �� + � = ��� + �� + � = ��� + L� + �� = b. 
 
Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz completa do sistema. 
 
�1 2 1 22 3 1 34 7 3 8� ~��←����(,�)�� �1 2 1 20 −1 −1 −14 7 3 8 � ~��←����(,�)�� �1 2 1 20 −1 −1 −10 −1 −1 0 � 
~��←����(,�)�� �1 2 1 20 −1 −1 −1� � � � � 
 
A última equação do sistema escalonado, dada por �� + �� + �� = �, indica que estamos diante de um 
sistema impossível (SI). 
 
Classifique o sistema linear � � + �� + � = �� + �� + �� = ��� + l� + @� = @. 
 
Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz completa do sistema. 
 
�1 2 1 11 3 2 24 9 5 5� ~��←����(,�)�� �1 2 1 10 1 1 14 9 5 5� ~��←����(,�)�� �1 2 1 10 1 1 10 1 1 1� 
~��←����(,�)�� �1 2 1 10 1 1 1� � � �� 
 
A última equação do sistema escalonado, dada por �� + �� + �� = �, deve ser eliminada. O sistema linear 
em questão é equivalente a: 
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�1 2 1 10 1 1 1� � � �� ~ Z1 2 1 10 1 1 1[ 
 
Explicitandoas variáveis, o sistema linear original equivale a: 
Y& + 2( + ) = 1& + ( + ) = 1 
 
Veja que o sistema anterior é escalonado, pois o número de incógnitas diminui de equação para equação. 
Trata-se de um sistema escalonado cujo número de equações (2) é menor do que o número de incógnitas (3). Logo, temos um sistema possível e indeterminado (SPI). 
 
Classifique o sistema linear � � − � + � = �� + �� + �� = ��� + �� + �� = �. 
 
Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz completa do sistema. 
�1 −1 1 11 3 2 22 3 1 3� ~��←����(,�)�� �1 −1 1 10 4 1 12 3 1 3� ~��←����(,�)�� �1 −1 1 10 4 1 10 5 −1 1� 
~��←����j,@�k�� ]1 −1 1 1� 4 1 1� � − 14 − 14^ 
 
Explicitando as variáveis, o sistema linear original equivale a: 
M & − ( + ) = 1& + 4( + ) = 1 − 14 ) = − 14 
 
Veja que o sistema acima é escalonado, pois o número de incógnitas diminui de equação para equação. 
Trata-se de um sistema escalonado cujo número de equações (3) é igual ao número de incógnitas (3). 
Logo, temos um sistema possível e determinado (SPD). 
Vamos praticar o que aprendemos nessa seção. 
 
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(STN/2013) Dado o sistema de equações lineares 
Y2& + 4( = 63& + 6( = 9 
É correto afirmar que: 
a) o sistema não possui solução. 
b) o sistema possui uma única solução. 
c) & = 1 e ( = 2 é uma solução do sistema. 
d) o sistema é homogêneo. 
e) o sistema possui mais de uma solução. 
Comentários: 
Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz completa do sistema. Temos: Z2 4 63 6 9[ 
Realizando !# = �!# + j− ��k !", ficamos com: 
~ Z2 4 6� � �[ 
 
A última equação do sistema escalonado, dada por �� + �� = �, pode ser eliminada. O sistema linear em 
questão é equivalente a: ~�2 4 6� 
 
Explicitando as variáveis, o sistema linear original equivale a: �& + 2( = 6 
 
Trata-se de um sistema escalonado cujo número de equações (1) é menor do que o número de incógnitas (2). Logo, temos um sistema possível e indeterminado (SPI). Isso significa que o sistema possui mais de uma 
solução, isto é, possui infinitas soluções. O gabarito, portanto, é letra E. 
Gabarito: Letra E. 
 
(CGU/2008) Considerando o sistema de equações lineares 
Y &" − &# = 22&" + �&# = � 
pode-se corretamente afirmar que 
a) se � = −2 e � 2 4, então o sistema é impossível. 
b) se � 2 −2 e � = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se � = −2, então o sistema é possível e determinado. 
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d) se � = −2 e � 2 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se � = 2 e � = 4, então o sistema é impossível. 
Comentários: 
Essa questão é um excelente resumo do que vimos quanto à discussão de um sistema linear. 
Inicialmente, vamos utilizar o Teorema de Cramer. 
O determinante - da matriz dos coeficientes é: 
- = �1 −12 � � 
- = �1 × �� − �(−1) × 2� - = � − (−2) > = � + � 
 
Pelo Teorema de Cramer, sabemos que o sistema é possível e determinado (SPD) quando > 2 �, isto é, 
quando: � + 2 2 0 � 2 −� 
 
Para o caso em que > = �, isto é, quando � = −�, podemos ter tanto um sistema possível e indeterminado 
(SPI) quanto um sistema impossível (SI). 
Para saber o que acontece para o caso em que � = −�, devemos escalonar o sistema. Temos: 
Y &" − &# = 22&" − �&# = � 
 
Na forma matricial: 
|1 −1 22 −2 �} 
 
Realizando !# = �!# + (−�)!", temos: 
~ |1 −1 20 0 � − 4} 
 
Note que: 
• Se (� − 4) for diferente de zero, isto é, se � 2 �, teremos um sistema impossível (SI), pois haverá uma 
equação da forma ��� + ��� = (� − �) com (� − �) 2 �. 
• Por outro lado, se � = �, ficamos com: ~ Z1 −1 2� � �[ 
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A última equação do sistema escalonado, dada por ��� + ��� = �, pode ser eliminada. O sistema linear em 
questão é equivalente a: ~�1 −1 2� 
Explicitando as variáveis, o sistema linear original equivale a: �&" − &# = 2 
 
Trata-se de um sistema escalonado cujo número de equações (1) é menor do que o número de incógnitas (2). Logo, temos um sistema possível e indeterminado (SPI). 
 
Em resumo, temos o seguinte: 
• � 2 −2 → Sistema Possível e Determinado (SPD); 
• � = −2 e � 2 4 → Sistema Impossível (SI); 
• � = −2 e � = 4 → Sistema Possível e Indeterminado (SPI). 
 
O gabarito, portanto, é letra A. 
Gabarito: Letra A. 
 
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RESUMO 
 
 
 
Podemos representar uma matriz tanto com colchetes "[ ]" quanto com parênteses "( )". 
Matriz de dimensão m × n: m linhas e n colunas. 
Elemento ���: o primeiro índice representa a linha e o segundo índice representa a coluna. 
 
 
Cada elemento da matriz deve ser calculado por meio de uma fórmula apresentada. 
 
 
Igualdade entre matrizes: duas matrizes são iguais quando apresentam a mesma dimensão m×n e seus 
elementos são idênticos e estão nas mesmas posições. 
Adição e subtração de matrizes: é necessário que as matrizes tenham a mesma dimensão m×n. Para 
realizar a operação, basta somar/subtrair os termos que estão na mesma posição. 
Multiplicação da matriz por um número real: multiplicar todos os elementos da matriz pelo número real. 
 
Multiplicação de matrizes 
1. Verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. Se essa 
igualdade não se verificar, não é possível realizar o produto das matrizes. 
 
2. Obter o esquema geral da matriz-produto, que apresenta a seguinte dimensão: 
Número de linhas da primeira × Número de colunas da segunda 
 
3. Obter os elementos da matriz resultante a partir das linhas da primeira matriz e das colunas da 
segunda matriz. 
O elemento ��� da matriz-produto � é obtido por meio da linha � da primeira matriz e da coluna � da 
segunda matriz. 
 
 
A propriedade comutativa não vale para matrizes: �� 	 ��. 
Propriedade associativa entre matrizes: 
���� � �
��� 
Propriedade associativa entre matrizes e um número real: 
��� � 

��� � �

�� 
Propriedade distributiva: �
� � �� � �� � ��; 
� � ��� � �� � �� 
Elemento neutro da multiplicação de matrizes: �� � �� � � 
Matrizes 
Introdução às matrizes 
Representação de uma matriz pela lei de formação 
Operações com matrizes 
Propriedades da multiplicação de matrizes 
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O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Se � é uma matriz 
quadrada, então o seu traço é representado por ��
��. 
 
 
A matriz oposta de � é −�. 
 
 
A transposta de uma matriz � (notação: ��) corresponde à matriz cujas linhas foram transformadas em 
colunas. 
 
���� � � 
 

��� � 
�� 
 
���� � ���� 
 
� � ��� � �� � �� 
Matriz Simétrica: a matriz é igual a sua transposta → � � �� 
• É quadrada; e 
• Os elementos simétricos com relação à diagonal principal são iguais. 
Matriz antissimétrica: �� � −� 
• É quadrada; 
• A diagonal principal é nula; e 
• Os elementos simétricos com relação à diagonal principal são opostos. 
 
 
A inversa de uma matriz � (notação: ���) é aquela matriz que, quando multiplicada pela matriz A, tem 
como resultado a matriz identidade: 
 ���� � ���� � �� 
Uma matriz que não possui inversa é denominada singular. 
 
Propriedades: 
 
������ � � 
 
����� � 
����� 
 

���� � �
� ��� 
 
����� � ������ 
 
������ � ��������� 
 
Traço deuma matriz quadrada 
Matriz oposta 
Matriz transposta, simétrica e antissimétrica 
Matriz inversa 
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Um determinante é um número calculado a partir de uma matriz quadrada. Representado por duas 
barras "| |". 
 
 
O determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento da matriz. 
 
 � � �� � !" → det � � �! − � 
 
 
Produto dos elementos da diagonal principal� − 
Produto dos elementos da diagonal secundária� 
 
 
Regra de Sarrus 
 
5��� ��6 ��7�6� �66 �67�7� �76 �77
8 ��� ��6�6� �66�7� �76
 
Parte Negativa Parte Positiva 
 9:; � � <�==�>>�?? � �=>�>?�?= � �=?�>=�?>@ − <�=?�>>�?= � �==�>?�?> � �=>�>=�??@ 
 
Menor complementar 
O menor complementar de um elemento �AB de uma matriz � é o determinante C�� da matriz obtida 
eliminando-se a linha D e a coluna E da matriz �. 
 
Cofator ou complemento algébrico 
O cofator do elemento �AB de uma matriz � é um número representado por �AB calculado do seguinte 
modo: 
 ��� � 
−1��G�H�� 
 
Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz � é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou 
coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
1. Escolher uma fila (linha ou coluna), preferencialmente a que tiver mais zeros; 
2. Realizar o produto de cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator; e 
3. Somar os produtos obtidos. 
 
 
Determinantes 
Noção básica e representação 
Determinante de matriz de ordem 1 
Determinante de matriz de ordem 2 
Determinante de matriz de ordem 3 
Obtenção do determinante de matrizes de qualquer ordem 
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212
 
• Teorema de Binet: det
��� � det � × det � 
• Determinante da matriz inversa: det ��� � �
IJK L 
• Determinante da matriz transposta: det �� � det � 
• Multiplicação de uma fila por uma constante: ao multiplicar uma fila (linha ou coluna) de uma matriz 
por uma constante M, o determinante dessa nova matriz também fica multiplicado por M. 
• Multiplicação da matriz por uma constante: det
N�� � N� det � 
• Determinante de matriz triangular ou de matriz diagonal: o determinante é o produto dos elementos 
da diagonal principal. 
• Fila nula: uma matriz que apresenta uma fila (linha ou coluna) cujos elementos são todos zero 
apresenta determinante zero. 
• Filas paralelas iguais: uma matriz com filas paralelas iguais (linhas ou colunas) apresenta determinante 
zero. 
• Filas paralelas proporcionais: uma matriz com filas paralelas proporcionais (linhas ou colunas) 
apresenta determinante zero. 
• Troca de filas paralelas: ao trocarmos uma fila (linha ou coluna) de lugar com outra fila paralela, o 
determinante muda de sinal. 
• Combinação linear de filas: quando uma matriz apresenta uma fila (linha ou coluna) que é combinação 
linear de outras filas, o seu determinante é zero. 
 
 
 A é inversível � det A 	 0 
 A é singular � det A � 0 
 
 � � �� � !" → ��� � �
IJK L × � ! −�− � " 
 
 
Propriedades dos determinantes 
Matriz inversa 
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212
 
 
 
Equações lineares são da forma �=T= � �>T> � �?T? � ⋯ � �VTV � �. 
• T=, T>, T?, ..., TV são incógnitas; 
• �=, �>, �?, ... ,�V são os coeficientes; 
• � é o termo independente. 
 
Uma solução de uma equação linear é um conjunto ordenado de números reais que torna a equação 
verdadeira. 
 
 
 
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. 
A solução de um sistema linear deve tornar verdadeira todas as equações que compõem o sistema. 
 
Representação matricial de um sistema linear: 
 �W � � 
 
•�: Matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema; 
• W: Matriz das incógnitas; 
• �: Matriz dos termos independentes. 
• <�|�@: Matriz completa do sistema. 
 
Z ?T � [\ � =] � ?=T � 
−=�\ � =] � ==T � ?\ � ^] � > → 5? [ == −= == ? ^8 × _T\]` � 5?=>8 
 
 <�|�@ � 5? [ = ?= −= = == ? ^ >8 
 
 
 
Dois sistemas lineares são equivalentes quando apresentam as mesmas soluções. 
Uma equação a� é combinação linear de outras equações a6 e a7 quando existem valores reais � e � 
tais que: 
 a� � �a6 � �a7 
 
Em um sistema linear, ao substituir uma determinada equação por uma combinação linear dela com 
outra equação, temos um sistema linear equivalente. 
 
Em um sistema linear, quando uma determinada equação corresponde a uma combinação linear de 
outras equações do sistema, podemos eliminar essa equação do sistema. 
 
 
 
Sistemas lineares 
Equação linear 
Sistema linear 
Sistemas lineares equivalentes 
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212
==275324==
 
 
 
 
Se um sistema linear apresenta mais de uma solução, então ele apresenta infinitas soluções. 
 
 
 
Um sistema linear homogêneo é aquele em que os termos independentes de todas as equações são 
iguais a zero. Sempre admite a solução em que todas as variáveis são zero (solução trivial). 
 
 Z 3c � 1d � e � ^2c � 4d � 2e � ^3c � 2d � 4e � ^ 
 
 
 
 
 
• Solução por substituição: consiste em isolar uma variável em uma equação e substituir em outra 
equação. 
• Solução por eliminação de variável: consiste em eliminar variáveis por meio de uma combinação linear 
conveniente das equações do sistema linear. 
• Solução pela soma das equações do sistema: existem casos em que a solução do sistema linear é obtida 
de modo mais rápido realizando a soma de todas as equações do sistema. 
• Solução por matriz inversa: a matriz das incógnitas (W) é obtida pelo produto da matriz inversa dos 
coeficientes pela matriz dos termos independentes: W � ��=�. 
 
 
 
 
Classificação de um sistema linear 
Sistema linear homogêneo 
Solução de um sistema linear 
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212
Teorema de Cramer 
Só pode ser utilizado quando o número de equações do sistema linear 
V� é igual ao número de 
incógnitas. Nesse caso, a matriz dos coeficientes (�) do sistema linear será quadrada, de dimensão V × V. 
Seja H � det �. 
 
01) Se H 	 0, o sistema é possível e determinado (SPD), apresentando solução única. 
02) Sendo H 	 0, a solução única 

�, 
6, … , 
�� do sistema linear é tal que: 
 
 
A � jkj 
 
Onde HA é o determinante da matriz que se obtém a partir de ��×� substinuindo a coluna D pela matriz ��×�. 
 
Método do escalonamento 
O método consiste em obter um sistema equivalente ao sistema original em que o número de variáveis 
explícitas diminui de equação para equação. Em outras palavras, o número de coeficientes nulos 
aumenta de equação para equação. 
 
 Z 2c � d � e � 42c � 4d � 4e � 222c � 4d � 3e � 10 → Z 2c � d � e � 4 3d � 3e � 18 −e � −12 
 
Para obter o sistema escalonado, devemos seguir os seguintes passos: 
• Colocar como 1ª equação uma que apresente a 1ª incógnita; 
• Anular a 1ª incógnita de todas as equações (exceto da 1ª) fazendo uso da 1ª equação; 
• Anular a 2ª incógnita de todas as equações (exceto da 1ª e da 2ª) fazendo uso da 2ª equação; 
• Anular a 3ª incógnita de todas as equações (exceto da 1ª, da 2ª e da 3ª) fazendo uso da 3ª equação; 
• E assim sucessivamente, até que tenhamos usado todas as equações. 
 
 
 
Discussão por Teorema de Cramer 
 
Para fins de discussão do sistema linear, o Teorema de Cramer tem serventia quando obtemos C 	 ^ ou 
quando o sistema é homogêneo. 
 
Discussãode um sistema linear 
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Discussão pelo Método do Escalonamento 
Passo 1: Escalonar o sistema linear. 
 
Passo 2: Analisar o sistema linear escalonado. 
• Se obtivermos uma equação da forma ^T � ^\ � ^] � ^m � �, com � 	 ^, temos um sistema 
impossível (SI); 
• Caso contrário, temos duas possibilidades: 
 ‣ Se o número de equações for igual ao número de incógnitas, temos um sistema possível e 
determinado (SPD). 
 ‣ Se o número de equações for menor do que o número de incógnitas, temos um sistema possível 
e indeterminado (SPI). 
 
No escalonamento, se obtivermos uma equação da forma ^T � ^\ � ^] � ^m � ^, devemos eliminar 
essa equação do sistema linear, pois essa equação é uma combinação linear das outras. 
 
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QUESTÕES COMENTADAS 
Questões FGV 
 (FGV/Pref. Salvador/2019) Considere as matrizes ���� e ����. 
Sobre essas matrizes é correto afirmar que 
a) Existe a soma � � � e é uma matriz 4 � 5. 
b) Existe o produto �� e é uma matriz 4 � 6. 
c) Existe o produto �� e é uma matriz 4 � 6. 
d) Não existe o produto ��. 
e) Não existe o produto ��. 
Comentários: 
Vamos comentar as alternativas. 
a) Existe a soma � � � e é uma matriz � � 
. ERRADO. 
Para somar ou subtrair matrizes, é necessário que elas tenham a mesma dimensão. Como a matriz � 
apresenta dimensão 2 � 3 e a matriz � apresenta dimensão 2 � 2, a soma � � � não é possível. 
 
b) Existe o produto �� e é uma matriz � � �. ERRADO. 
d) Não existe o produto ��. CERTO. 
Para multiplicar matrizes, deve-se verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de 
linhas da segunda. Se essa igualdade não se verificar, não é possível realizar o produto das matrizes. 
Veja, portanto, que o produto �� não existe, pois ���� apresenta 3 colunas e ���� apresenta 2 linhas. Logo, 
o gabarito é letra D. 
 
c) Existe o produto �� e é uma matriz � � �. ERRADO. 
e) Não existe o produto ��. ERRADO. 
Para fins didáticos, vamos verificar o produto ��. 
Note que o número de colunas da primeira matriz (matriz ����, 2 colunas) é igual ao número de linhas da 
segunda (matriz ����, 2 linhas). Logo, o produto �� é possível. Observe, porém, que a matriz-produto 
apresenta a dimensão � � �, não 4 � 6. 
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Gabarito: Letra D. 
 
 (FGV/SAD PE/2009) Considere a matriz � � � � ��� ��� e seja � um número natural maior que �. Na 
matriz ���, o elemento que ocupa a 1ª linha e 2ª coluna é: 
a) �1 
b) 0 
c) 1 
d) � 
e) 2� 
Comentários: 
Note que a matriz �� é: 
�� � � � � 
� � � ��� ��� � � � ��� ��� 
� � �. � � �. ��� �. � � �. ��� ��� . � � ��� . ��� ��� . � � ��� . ��� ! 
� �1 00 1� 
Observe, portanto, que �� é a matriz identidade de ordem 2, isto é, �� � $�. 
A matriz ��% pode ser escrita como: 
��% � ��� % 
Como �� � $�, temos: 
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��% � �$� % 
Sabemos que a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação, isto é, qualquer matriz multiplicada 
pela identidade resulta na própria matriz identidade. Logo: 
��% � $� 
��% � �1 00 1� 
Portanto, o elemento de ��% que ocupa a 1ª linha e 2ª coluna é 0. O gabarito, portanto, é letra B. 
Observação: por que ��% � ��� %? 
Veja que: ��% � � � � � � � � � … � � � �'(((((((()((((((((*�% ,-.-/ 0 10234. 5 
 
Podemos agrupar as matrizes de 2 em 2: ��% � �� � � � �� � � � … � �� � � '(((((((((()((((((((((*�% ,-.-/ 0 10234. 5 
 
Logo, o produto corresponde a � vezes a matriz ��: ��% � ��� � ��� � … � ��� '(((((()((((((*% ,-.-/ 0 10234. 56 
Logo: ��% � ��� % 
Gabarito: Letra B. 
 
 (FGV/SAD PE/2009) O determinante da matriz 7� � 
� � �� � �8 é: 
a) 22 
b) 9 
c) 0 
d) �6 
e) �10 
Comentários: 
Vamos desenvolver o determinante pela regra de Sarrus: 
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92 1 53 1 21 0 39 2 13 11 0 
Parte Negativa Parte Positiva 
det = � >�. �. � � �. �. � � 
. �. �? � >
. �. � � �. �. � � �. �. �? 
� >6 � 2 � 0? � >5 � 0 � 9? 
� 8 � 14 
� �6 
Gabarito: Letra D. 
 
(FGV/ALERO/2018) Considere o sistema linear 
BC � �D � �E � ����C � �D � E � ����C � D � �C � �
� 
O valor de C é: 
a) 20. 
b) 22. 
c) 24. 
d) 26. 
e) 28. 
Comentários: 
Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz completa do sistema. 
71 2 3 1602 3 1 1403 1 2 1568 ~G6←�G6I�J� GK 71 2 3 1600 �1 �5 �1803 1 2 156 8 ~GL←�GLI�J� GK 71 2 3 1600 �1 �5 �1800 �5 �7 �3248 
~GL←�GLI�J
 G6 71 2 3 1600 �1 �5 �1800 0 18 576 8 
A partir da terceira equação, temos: 
18N � 576 
E � �� 
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A partir da segunda equação, temos: 
�O � 5E � �180 
�O � 5.32 � �180 
O � 180 � 160 
D � �� 
A partir da primeira equação, temos: 
P � 2D � 3E � 160 
P � 2.20 � 3.32 � 160 
P � 160 � 40 � 96 
C � �� 
Logo, temos que P � 24. Portanto, o gabarito é letra C. 
Uma outra forma de resolver o problema é pelo Teorema de Cramer. Temos que: 
P � QRQ 
Q é o determinante da matriz dos coeficientes: 
91 2 32 3 13 1 29 1 22 33 1 
Parte Negativa Parte Positiva 
Q � >�. �. � � �. �. � � �. �. �? � >�. �. � � �. �. � � �. �. �? 
Q � 18 � 36 
Q � �18 
QR é o determinante da matriz dos coeficientes substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos 
independentes: 
9160 2 3140 3 1156 1 29 160 2140 3156 1 
Parte Negativa Parte Positiva 
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QR � >���. �. � � �. �. �
� � �. ���. �? � >�. �. �
� � �. ��. �. � � �. ���. �? 
QR � 1692 � 2124 � �432 
Logo: 
P � QRQ � �432�18 
P � 24 
Novamente, obtemos que o gabarito é letra C. 
Gabarito: Letra C. 
 
 (FGV/Pref. SP/2016) Em uma aula, o professor ofereceu a seus alunos o seguinte problema: 
O salário de Paulo é depositado em um banco todo mês. Após juntar o dobro do seu salário e depois de 
pagar a mensalidade da faculdade ficou com 5 mil reais. Dois meses depois, ele tinha em sua conta o valor 
do seu salário e mais o valor de 3 mensalidades da faculdade, o que totalizou 6 mil reais. Paulo constatou 
ainda que se somasse o dobro de seu salário ao valor da mensalidade, resultaria 7 mil reais. 
Encontre um modelo que represente a situação: nomeie C o valor do salário de Paulo e D o valor da 
mensalidade da faculdade. 
Foram três as soluções encontradas por seus alunos: 
• A primeira exibia o sistema de equações S�C � D � 
C � �D � � como modelo para o problema. 
• A segunda, exibia o sistema de equações B�C � D � 
C � �D � ��C � D � T como modelo para o problema. 
• A terceira solução encontrada exibia a equação C � ���C � 
 � � como modelo para o cálculo do 
salário. 
Todos encontraram como solução para o salário 3 mil reais e para a mensalidade da faculdade, mil reais. 
Com base no caso apresentado, assinale a afirmativa correta. 
a)Os valores do salário e da mensalidade encontrados não estão corretos. 
b) O modelo correto para o problema foi encontrado apenas na primeira solução, já que são equações com 
duas variáveis. 
c) O modelo corretopara o problema foi encontrado apenas na segunda solução, já que são equações com 
duas variáveis. 
d) O modelo correto para o cálculo da mensalidade foi encontrado apenas na terceira solução, pois essa é 
uma equação com apenas uma variável. 
e) Todos os modelos encontrados estão corretos, embora o terceiro modelo encontre apenas o valor do 
salário, já que a equação tem apenas uma variável. 
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Comentários: 
Devemos considerar que o salário de Paulo é dado por C em milhares de reais, bem como o valor da 
mensalidade deve ser considerado D em milhares de reais. Feita essa consideração, vamos transformar os 
dados do problema em linguagem matemática. 
"Após juntar o dobro do seu salário e depois de pagar a mensalidade da faculdade ficou com 5 mil reais." 
2P � O � 5 (Primeira equação) 
"...ele tinha em sua conta o valor do seu salário e mais o valor de 3 mensalidades da faculdade, o que 
totalizou 6 mil reais" 
P � 3O � 6 (Segunda equação) 
"Paulo constatou ainda que se somasse o dobro de seu salário ao valor da mensalidade, resultaria 7 mil 
reais" 
2P � O � 7 (Terceira equação) 
� 
Note que o primeiro aluno apresentou as duas primeiras equações como modelo do problema: 
S2P � O � 5P � 3O � 6 
Escalonando o sistema, temos: 
�2 �1 51 3 6� ~G6←�G6I�J���GK 7� �� 
� T� T�8 
Trata-se de um sistema possível e determinado (SPD), pois temos o mesmo número de equações e 
incógnitas no sistema escalonado. Poderíamos determinar os valores de P e de O, porém isso não é 
necessário para a resolução do problema. 
� 
O segundo aluno, por sua vez, apresentou as três equações: 
B2P � O � 5P � 3O � 62P � O � 7 
Escalonando o sistema, temos: 
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72 �1 51 3 62 1 78 ~G6←�G6I�J���GK U2 �1 50 72 722 1 7V ~GL←�GLI�J� GK U2 �1 50 72 720 2 2V 
~GL←�GLI�J�T,�G6 U2 �1 50 72 72� � �V ~ 7� �� 
� T� T�8 
Veja, portanto, que os sistemas lineares encontrados pelo primeiro e pelo segundo aluno são equivalentes, 
pois eles são equivalentes ao mesmo sistema escalonado. Ambos são sistemas possíveis e determinados 
(SPD), pois temos o mesmo número de equações e incógnitas no sistema escalonado. 
� 
 
O terceiro aluno, por sua vez, apresentou apenas uma equação: 
P � 3�2P � 5 � 6 
Basicamente, esse aluno isolou a variável O na primeira equação (2P � O � 5), obtendo D � �C � 
. Em 
seguida, substituiu D na segunda equação (P � 3O � 6): 
P � 3D � 6 
P � 3��C � 
 � 6 
� 
Podemos tirar as seguintes conclusões: 
• O primeiro modelo está correto, pois representa duas equações do problema, gerando um sistema 
SPD em que se pode obter P e O; 
• O segundo modelo está correto, pois representa três equações do problema cujo sistema escalonado 
apresenta 2 equações e 2 incógnitas, gerando um sistema SPD equivalente ao primeiro em que se 
pode obter os mesmos valores para C e D; 
• O terceiro modelo está correto, pois se baseia em duas equações do problema e utiliza o método da 
substituição para encontrar o valor do salário (P). 
Com base nessas conclusões, temos a alternativa E como correta: 
"Todos os modelos encontrados estão corretos, embora o terceiro modelo encontre apenas o valor do 
salário, já que a equação tem apenas uma variável." 
Gabarito: Letra E. 
 
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Questões FCC 
(FCC/PM SE/2005) matriz (XYZ), tal que � [ \ [ �, � [ ] [ � e X\] � \ � ], é igual a 
a) ^2 3 4 53 4 6 84 5 8 9_ 
b) `2 3 42 3 422 33 44a 
c) `2 3 43 4 545 56 67a 
d) ^2 3 4 53 4 5 64 5 6 7_ 
e) ^2 3 4 52 3 4 52 3 4 5_ 
Comentários: 
Queremos obter uma matriz � � �bcd . Como 1 [ e [ 3, a matriz apresenta 3 linhas. Além disso, como 1 [ f [ 4, temos 4 colunas. 
���g � ^bhh bh� bh� bhgb�h b�� b�� b�gb�h b�� b�� b�g_ 
Fazendo uso da lei de formação bcd � e � f, ficamos com: 
���g � `�1 � 1 �1 � 2 �1 � 3 �1 � 4 �2 � 1 �2 � 2 �2 � 3 �2 � 4 �3 � 1 �3 � 2 �3 � 3 �3 � 4 a 
���g � ^2 3 4 53 4 5 64 5 6 7_ 
Gabarito: Letra D. 
 
 
 
 
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(FCC/IBMEC/2019) Sejam x, y, z e w os números reais que satisfazem a seguinte equação matricial: 
iC � �D E � j�E � j C � Dk � �� �� �� 
Então, a soma C � D � E � j é igual a 
a) �1 
b) 0 
c) 2 
d) 5 
e) 3 
Comentários: 
Para a igualdade de matrizes, devemos igualar os elementos que estão nas mesmas posições. Logo: 
lC � �D � �E � j � ��E � j � �C � D � � 
Somando a primeira equação com o dobro da quarta equação, temos: 
m C � �D � ��C � �D � �______________�C � � 
Logo, temos 3P � 6 e, portanto, P � 2. 
Substituindo P � 2 na quarta equação, temos: 
C � D � � 
2 � D � � 
O � 1 
Somando a segunda equação multiplicada por �� com a terceira equação, temos: 
B�E � j � ���E � j � �______________E � � 
Substituindo N � 0 na segunda equação, temos: 
E � j � � 
0 � o � 1 
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o � �1 
Finalmente, a soma requerida é: 
P � O � N � o 
� 2 � 1 � 0 � ��1 
� 2 
Gabarito: Letra C. 
 
 (FCC/TRT 11/2017) Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem 2 em que 
� � � p� ��p� � �p �� � �! 
e 
� � ��p � � ���
 
�� . 
Se � � �, então considerando os valores reais de p e � que tornam verdadeira esta igualdade, verifica-
se que p� é igual a 
a) 3 
b) 4 
c) 2 
d) 6 
e) 1 
Comentários: 
Temos que � � �: 
� q� ��q� � 6q �� � 6! � �3q � 2 2��5 5�� 
Para a igualdade de matrizes, devemos igualar os elementos que estão nas mesmas posições. Logo, as quatro 
equações a seguir devem ser satisfeitas: 
l q� � 3q � 2�� � 2�q� � 6q � �5�� � 6 � 5� 
 
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Da segunda equação, temos: 
�� � 2� 
�� � 2� � 0 
��� � 2 � 0 
Portanto, até o momento, � pode ser 0 ou 2. 
 
Da quarta equação, temos: 
�� � 6 � 5� 
Testando os valores que encontramos de �, note que � � 0 não satisfaz essa equação e � � 2 satisfaz. 
0� � 6 ≠ 5.0 
2� � 6 � 5.2 
Portanto, devemos ter � � � para que a segunda e a quarta equação sejam simultaneamente satisfeitas. 
 
Da primeira equação, temos: 
q� � 3q � 2 
q� � 3q � 2 � 0 
Aplicando a Fórmula de Bháskara, temos: 
∆ � t� � 4bu 
∆ � ��3 � � 4.1.2 
∆ � 9 � 8 
∆ � 1 
q � �t ± √∆2b 
q � ���3 ± √12.1 
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q � 3 ± 12 
qh � 2 ; q� � 1 
Portanto, até o momento,p pode ser 1 ou 2. 
 
Da terceira equação, temos: 
p� � �p � �
 
Testando os valores que encontramos de q, note que q � 2 não satisfaz essa equação e q � 1 satisfaz. 
2� � 6.2 ≠ �5 
1� � 6.1 � �5 
Portanto, devemos ter p � � para que primeira e a terceira equação sejam simultaneamente satisfeitas. 
 
Finalmente, observe que com p � � e � � � as quatro equações são satisfeitas e, portanto, ocorre a 
igualdade entre as matrizes. Logo, o produto q� é: 
q� � 1.2 � 2 
Gabarito: Letra C. 
 
(FCC/SEDU ES/2018) A multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa em geral, porém, 
existem exemplos de matrizes que comutam na multiplicação. Um exemplo de duas matrizes que 
comutam na multiplicação é:a) �1 23 4� e �4 32 1� 
b) �1 12 2� e �2 21 1� 
c) �1 20 1� e �3 20 3� 
d) �1 11 0� e �1 11 1� 
e) �1 72 1� e �0 10 0� 
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Duas matrizes � e � comutam quando �� � ��. 
Conforme afirmado no enunciado, a multiplicação de matrizes não goza da propriedade comutativa, isto é, 
não podemos dizer que �� � �� é uma regra geral que sempre pode ser aplicada. 
Para assinalar a alternativa correta, poderíamos, para cada alternativa, calcular o produto das matrizes duas 
vezes, na ordem direta e na ordem contrária, e verificar se os produtos são iguais. 
Ocorre que, como forma de economizar tempo, vamos calcular apenas o elemento da primeira linha e da 
primeira coluna de cada matriz-produto. 
Alternativa A 
y � �� �3 4� � �� 3� 1� → {hh � �. � � �. � � 8 
| � �� �2 1� � �� 2� 4� → }hh � �. � � �. � � 13 
Como os elementos da primeira linha e da primeira coluna dos produtos são distintos, as matrizes não 
comutam. Podemos eliminar a alternativa A. 
Alternativa B 
y � �� 1� 2� � �� �1 1� → {hh � �. � � �. � � 5 
| � �� 2� 1� � �� �2 2� → }hh � �. � � �. � � 3 
Como os elementos da primeira linha e da primeira coluna dos produtos são distintos, as matrizes não 
comutam. Podemos eliminar a alternativa B. 
Alternativa C 
y � �� �0 1� � �� 2� 3� → {hh � �. � � �. � � 3 
| � �� �0 3� � �� 2� 1� → }hh � �. � � �. � � 3 
Os elementos da primeira linha e da primeira coluna dos produtos são iguais. Logo, essa alternativa é uma 
possível resposta. 
Alternativa D 
y � �� �1 0� � �� 1� 1� → {hh � �. � � �. � � 1 
| � �� �1 1� � �� 1� 0� → }hh � �. � � �. � � 1 
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130
212
Os elementos da primeira linha e da primeira coluna dos produtos são iguais. Logo, essa alternativa é uma 
possível resposta. 
Alternativa E 
y � �� T2 1� � �� 1� 0� → {hh � �. � � T. � � 0 
| � �� �0 0� � �� 7� 1� → }hh � �. � � �. � � 2 
Como os elementos da primeira linha e da primeira coluna dos produtos são distintos, as matrizes não 
comutam. Podemos eliminar a alternativa E. 
 
Veja que nos restam as alternativas C e D como possíveis respostas. Nesse momento, vamos verificar se as 
matrizes da alternativa C comutam. 
O produto na ordem em que as matrizes aparecem na alternativa C é: 
�� �� �� � �� �� �� 
� ���. � � �. � ��. � � �. � ��. � � �. � ��. � � �. � ! 
� �3 80 3� 
O produto na ordem contrária é: 
�� �� �� � �� �� �� 
� ���. � � �. � ��. � � �. � ��. � � �. � ��. � � �. � ! 
� �3 80 3� 
Como os produtos na ordem direta e na ordem contrária são iguais, �1 20 1� e �3 20 3� comutam. O gabarito, 
portanto, é letra C. 
Gabarito: Letra C. 
 
 
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 (FCC/PM SE/2005) A solução real da equação 9�C �� �C � �� � �9 � � é 
a) 1 
b) 0 
c) �1 
d) �2 
e) �3 
Comentários: 
Vamos desenvolver o determinante pela regra de Sarrus: 
92P �1 0P 2 13 1 19 2P �1P 23 1 
Parte Negativa Parte Positiva 
det = � >�C. �. � � ��� . �. � � �. C. �? � >�. �. � � �C. �. � � ��� . C. �? 
� >4P � 3? � >2P � P? 
� 4P � 3 � P 
� 3P � 3 
A equação em questão é dada por det = � 0. 
det = � 0 
3P � 3 � 0 
3P � 3 
P � 1 
Gabarito: Letra A. 
 
(FCC/IBMEC/2019) Considere o seguinte sistema linear, nas incógnitas C e D: 
S C � �D � ���C � ~D � � 
O valor de k para que este sistema seja impossível (isto é, não tenha soluções) é 
 
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a) − 4 
b) 0 
c) 4 
d) − 2 
e) 1 
Comentários: 
Vamos escalonar o sistema. Na forma matricial, o sistema é dado por: 
� 1 2 1�2 � 3� 
Realizando �� � �� � 2�h, ficamos com: 
�1 2 10 � � 4 5� 
Note que, se �� � 4 for igual a zero, teremos um sistema impossível, pois haverá uma equação da forma �C � �D � 
. Logo, o sistema é impossível quando: 
� � 4 � 0 
� � �4 
Gabarito: Letra A. 
 
 (FCC/TRT 11/2017) O sistema de equações lineares S�C � �D � ���C � �D � �� é equivalente ao sistema 
B�C � �D � ���C � �D � ���C � �D � ��, em que C e D são as incógnitas reais dos sistemas. Se � � �C � D e � é um parâmetro 
real, então 
a) S = 2,00K 
b) S = 0,80K 
c) S = 0,75K 
d) S = 1,25K 
e) S = 1,50K 
Comentários: 
Temos o seguinte sistema linear: 
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S2P � 3O � 244P � 2O � 16 
Realizando �� ← ��� � ��� �h, temos: 
S 2P � 3O � 24 �8O � �32 
A partir da última equação do sistema escalonado, temos: 
�8O � �32 
D � � 
A partir da primeira equação do sistema escalonado, temos: 
2P � 3D � 24 
2P � 3.4 � 24 
2P � 24 � 12 
C � � 
Portanto, a solução do sistema S2P � 3O � 244P � 2O � 16 é �C, D � ��, � . 
Para que o sistema B2P � 3O � 244P � 2O � 168P � �O � 80 seja equivalente ao sistema original, ele deve apresentar somente a 
solução �P, O � �4, 6 . Nesse caso, a última equação deve ser satisfeita para �P, O � �4, 6 . 
8P � �O � 80 
8.4 � �. 6 � 80 
32 � 6� � 80 
6� � 48 
� � � 
O valor de � � P � O é: 
� � 6 � 4 � 10 
Logo, 
�� é: 
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==275324==
�� � 108 � 1,25 
Portanto, � � �, �
�. 
Gabarito: Letra D. 
 
 (FCC/SEE MG/2012) Se a, b e c são soluções do sistema B X � �� � T�X � � � ��X � �� � �� � �, então a soma �X � � � � 
vale 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
Comentários: 
Note que b, t e u são as variáveis do sistema linear. Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz 
completa do sistema. 
71 2 0 72 0 �1 �31 3 �2 0 8 ~G6←�G6I�J� GK 71 2 0 70 �4 �1 �171 3 �2 0 8 ~GL←�GLI�J� GK 71 2 0 70 �4 �1 �170 1 �2 �7 8 
Vamos trocar as duas últimas equações de lugar, para facilitar o escalonamento e evitar usar frações. 
Ficamos com: 
71 2 0 70 1 �2 �70 �4 �1 �178 
Continuando o escalonamento, temos: 
71 2 0 70 1 �2 �70 �4 �1 �178 ~GL←�GLI�� G6 71 2 0 70 1 �2 �70 0 �9 �458 
Logo, temos o seguinte sistema escalonado: 
B b � 2t � 7 t � 2u � �7 �9u � �45 
Da última equação, temos: 
�9u � �45 
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� � 
 
Da segunda equação, temos: 
t � 2� � �7 
t � 2.5 � �7 
t � �7 � 10 
� � � 
Da primeira equação, temos: 
b � 2� � 7 
b � 2.4 � 7 
b � 7 � 8 
X � �� 
Logo: 
b � t � u � ��1 � 4 � 5 � 8 
Gabarito: Letra D. 
 
 
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Questões VUNESP 
 (VUNESP/EsFCEx/2021) Considere as matrizes � � �X �� �� e � � ��
 �� ���. Se � � �� � ��, então o 
valor de X � � é igual a: 
a) �3 
b) �2 
c) �1 
d) 3 
e) 5 
Comentários: 
A matriz �� é dada por: 
�� � � � � 
� �X �� �� � �X �� �� 
� �X. X � �. � X. � � �. ��. X � �. � �. � � �. �� 
� �b� b � t0 t� � 
Temos que: 
� � �� � 2� 
�15 40 �1� � �b� b � t0 t� � � � �b 10 t� 
�15 40 �1� � �b� b � t0 t� � � �� � b � � 1� � 0 � � t� 
�15 40 �1� � �b� b � t0 t� � � �2b 20 2t� 
�15 40 �1� � �b� � 2b b � t � 20 t� � 2t ! 
Igualando os elementos de mesma posição, temos: 
Bb� � 2b � 15b � t � 2 � 4t� � 2t ��1 
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A partir da última equação, temos: 
t� � 2t � �1 
t� � 2t � 1 � 0 
�t � 1 � � 0 
� � �� 
A partir da segunda equação, temos: 
b � t � 2 � 4 
b � ��� � 2 � 4 
b � 1 � 4 
b � 3 
Portanto, o produto b � t é: 
3 � ��1 � �3 
Gabarito: Letra A. 
 
 (VUNESP/PC-SP/2014) Considere as matrizes � � 7� �� �� � �� �� �8 e � � 7���� 8. Em relação a ��, que é 
o produto da matriz � pela matriz �, é correto afirmar que 
a) =� � ^ 2 1 20 �1 1�6 �4 1_ 
b) =� � ^�2 �1 10 1 12 �2 23_ 
c) =� � �0 2 3 
d) =� � ^�2 1 �10 0 02 �4 4 _ 
e) =� � ^023_ 
Comentários: 
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Temos uma matriz � de dimensão � � � e uma matriz � de dimensão � � �. Queremos obter o produto =�. Note que: 
• O número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. Portanto, o 
produto é possível. 
• A matriz-produto =� deve apresentar a seguinte dimensão: 
Número de linhas da primeira �� � Número de colunas da segunda �� 
Temos apenas uma resposta que apresenta uma matriz 3 � 1, motivo pelo qual o gabarito é letra E. 
Para fins didáticos, podemos realizar o produto: 
=� � 7� �� �� � �� �� �8 7���� 8 
� ��. ��� � ��� . � � �. ��. ��� � �. � � �. ��. ��� � ��� . � � �. �� 
� 70238 
Gabarito: Letra E. 
 
 (VUNESP/Pref. Sertãozinho/2018) O produto da matriz ���� � �X\,] � \ – ] pela matriz ���� � ��\,] � \ � ] é a matriz 
a) 70 �3 �23 0 �14 5 0 8 
b) �0 �33 0 � 
c) ��2 �1 04 3 5� 
d) ��11 �14�2 �2 � 
e) � 5 �4 1�1 0 �2� 
Comentários: 
A matriz ���� apresenta a lei de formação bcd � e � f. 
� � �bhh bh� bh�b�h b�� b��� 
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� �1 � 1 1 � 2 1 � 32 � 1 2 � 2 2 � 3� 
� �0 �1 �21 0 �1� 
A matriz ���� apresenta a lei de formação bcd � e � f. 
� � 7thh th�t�h t��t�h t��8 
� 71 � 1 1 � 22 � 1 2 � 23 � 1 3 � 28 
� 72 33 44 58 
Para realizar o produto de ���� com ����, note que: 
• O número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. Portanto, o 
produto é possível. 
• A matriz-produto �� deve apresentar a dimensão 2 � 2: 
Número de linhas da primeira �� � Número de colunas da segunda �� 
Logo, a matriz-produto �� é: 
�� � �� �� ��� � ��� 7� �� �� 
8 
� ��. � � ��� . � � ��� . � �. � � ��� . � � ��� . 
�. � � �. � � ��� . � �. � � �. � � ��� . 
 ! 
��11 �14�2 �2 � 
Gabarito: Letra D. 
 
(VUNESP/MPE SP/2019) Sejam � e � duas matrizes quadradas quaisquer, de mesma ordem, e � um 
número real qualquer. Nessas condições, é correto afirmar que 
a) �� � �� 
b) ��Jh � �� 
c) ���� � ��� � 
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d) ��� Jh � h� �Jh 
e) ��� Jh � �Jh�Jh 
Comentários: 
Pessoal, prestam muita atenção no enunciado. A única informação que ele nos dá é que � e � são duas 
matrizes quadradas quaisquer de mesma ordem e que � é um número real. 
Vamos analisar as alternativas. 
a) �� � ��. ERRADO. 
O produto de matrizes não goza da propriedade comutativa, de modo que não se pode afirmar que �� � ��. 
b) ��J� � ��. ERRADO. 
Não existe divisão de matrizes. 
c) ���� � ��� �. CERTO. 
Trata-se da propriedade associativa entre matrizes e um número real, que é válida quando o produto �� é 
possível. No caso da questão, o produto é possível, pois temos duas matrizes quadradas de mesma ordem. 
d) ��� J� � �� �J�. ERRADO. 
Essa alternativa é uma pegadinha das boas. Note que a propriedade ��� Jh � h� �Jh é válida somente 
quando a matriz � é inversível, isto é, quando ��� � ≠ �. 
O enunciado afirma que � pode ser uma matriz quadrada qualquer. Por esse motivo, o item está ERRADO. 
e) ��� J� � �J��J�. ERRADO. 
O enunciado afirma que � e � são duas matrizes quadradas quaisquer de mesma ordem. Portanto, não 
necessariamente elas são inversíveis. Além disso, a propriedade correta, para � e � inversíveis, é: 
��� Jh � �Jh�Jh 
Gabarito: Letra C. 
 
 (VUNESP/CM Barretos/2010) Considere a matriz real: � � �� �� �� 
O determinante de � vale 
 
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a) 1 
b) 2 
c) �1 
d) �2 
e) 3 
Comentários: 
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, devemos realizar a seguinte operação: 
�Produto dos elementos da diagonal principal � �Produto dos elementos da diagonal secundária 
Logo: det � � §� �� �§ � >� � �? � >� � �? � 9 � 8 � 1 
Gabarito: Letra A. 
 
 (VUNESP/CM Barretos/2010) Para que o determinante da matriz 
� � �C �� �C� 
seja nulo, o valor de C deve ser 
a) 1 ou -1 
b) 2 ou -2 
c) 3 ou -3 
d) 4 ou -4 
e) 5 ou -5 
Comentários: 
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, devemos realizar a seguinte operação: 
�Produto dos elementos da diagonal principal � �Produto dos elementos da diagonal secundária 
Para o determinante ser nulo, devemos ter: det � � 0 
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212
§C �� �C§ � 0 >C � �C? � >� � �? � 0 
2P� � 32 � 0 
2P� � 32 
P� � 16 
P � ±4 
Portanto, o valor de P deve ser 4 ou �4. 
Gabarito: Letra D. 
 
(VUNESP/PC SP/2013) Considere a matriz 
� � ^C � ~� C �� � �_ 
 e a equação em x dada por ��� � � �. 
 Sendo ~ uma constante real, pode-se afirmar sobre a equação que 
a) tem raízes x1 = – 2 e x2 = 2 para k = 0. 
b) é uma equação de 2.º grau. 
c) tem uma raiz real para k ≠ – 0,5. 
d) não possui raízes reais. 
e) sua raiz é dada por 2k + 1 para todo k. 
Comentários: 
Aplicando a regra de Sarrus no determinante de =, temos: 
 9P 1 �0 P 12 1 09 P 10 P2 1 
Parte Negativa Parte Positiva 
det = � >C. C. � � �. �. � � ~. �. �? � >~. C. � � C. �. � � �. �. �? 
det = � >2? � >2�P � P? 
det = � >2? � >P�2� � 1 ? 
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det = � 2 � P�2� � 1 
A equação é dada por det = � 0. 
det = � 0 
2 � P�2� � 1 � 0 
P�2� � 1 � 2 
Se ��~ � � for diferente de zero, isto é, se ~ ≠ ��, 
, podemos "passar para o outro lado da equação" o 
termo �2� � 1 . Nesse caso, temos a seguinte raiz da equação: 
P � 2�2� � 1 
Portanto, é correto afirmar que a equação tem uma raiz real para ~ ≠ ��, 
. 
Gabarito: Letra C. 
 
(VUNESP/Pref. N Odessa/2018) Gertrudes, que é doceira, recebeu três encomendas para festas. Sabe-
se que, em cada uma das encomendas, foram usadas quantidades diferentes de ovos, iguais a C, D e E, tais 
que C � D � ��, C � E � �� e D � E � ��. Desse modo, é correto afirmar que, para a produção dessas 
três encomendas, Gertrudes usou uma quantidade de ovos igual a 
a) 3,5 dúzias. 
b) 4 dúzias. 
c) 4,5 dúzias. 
d) 5 dúzias. 
e) 5,5 dúzias. 
Comentários: 
O total de ovos das três encomendas é dado pela soma C � D � E. Note que a questão apresenta o seguinte 
sistema: 
BP � O � N � 40P � O � N � 30P � O � N � 38 
Ao somar as três equações, ficamos com: 
2P � 2O � 2N � 108 
2�P � O � N � 108 
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�P � O � N �54 
O número de dúzias é: 
5412 � 4,5 dúzias 
Gabarito: Letra C. 
 
(VUNESP/CM Marília/2017) Uma editora enviou para uma biblioteca três pacotes que tinham, 
respectivamente, D, j e E livros em cada um. Sabendo-se que D � j � ��, D � E � �� e j � E � ��, é correto afirmar que os três pacotes tinham, juntos, um número total de livros igual a 
a) 54. 
b) 56. 
c) 58. 
d) 60. 
e) 64. 
Comentários: 
O total de livros dos três pacotes é dado pela soma D � j � E. Note que a questão apresenta o seguinte 
sistema: 
BO � o � N � 40O � O � N � 30P � o � N � 38 
Ao somar as três equações, ficamos com: 
2O � 2o � 2N � 108 
2�O � o � N � 108 
�O � o � N � 54 
Portanto, o total de livros é 54. 
Gabarito: Letra A. 
 
 (VUNESP/TJ SP/2017) Os preços de venda de um mesmo produto nas lojas X, Y e Z são números inteiros 
representados, respectivamente, por C, D e E. Sabendo-se que C � D � ���, C � E � �
� e D � E � �ª�, então a razão 
CD é: 
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212
a) 
�« 
b) 
g¬ 
c) 
�� 
d) 
�­ 
e) 
h� 
Comentários: 
Temos o seguinte sistema de equações lineares: 
BP � O � N � 200P � O � N � 150P � O � N � 190 
Ao somar todas as equações do sistema, ficamos com: 
2P � 2O � 2N � 540 
2�P � O � N � 540 
C � D � E � �T� 
Veja que temos a soma das três incógnitas e cada equação original apresenta sempre duas incógnitas. 
Podemos subtrair cada equação do sistema linear de C � D � E � �T�. 
C � D � E � �T���� �� �P O � N � �150 
 D � ��� 
 C � D � E � �T���� �� P � O � N � �190 
 C � �� 
Logo: 
PO � 80120 � 23 
Gabarito: Letra C. 
 
 
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212
 (VUNESP/CM Itatiba/2015) Nas somas apresentadas, cada uma das quatro letras a, b, c e d representa 
um número formado por um algarismo. X � � � � � ® � �� X � � � � � ª X � � � ® � �� � � � � ® � �� 
Nessas condições, é correto afirmar que 
a) d + a = 8. 
b) c – a = 2. 
c) c + b = 6. 
d) a + b = 5. 
e) d – c = 2. 
Comentários: 
Temos o seguinte sistema linear: 
lb � t � u � ¯ � 14b � t � u � ¯ � 9b � t � u � ¯ � 11b � t � u � ¯ � 12 
Note que podemos obter o valor de b, u e ¯ subtraindo as três últimas equações da primeira. 
�h b � t � u � ¯ � 14��� �� �b � t � u � ¯ � �9 
 ® � 
 
 �h b � t � u � ¯ � 14��� �� �b � t � u � ¯ � �11 
 � � � 
 �h b � t � u � ¯ � 14��� �g b � t � u � ¯ � �12 
 X � � 
A partir da primeira equação, podemos obter t: 
b � t � u � ¯ � 14 
2 � t � 3 � 5 � 14 
t � 14 � 10 
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147
212
� � � 
A partir dos valores obtidos, temos que: 
¯ � u � 5 � 3 
� 2 
O gabarito, portanto, é letra E. 
Gabarito: Letra E. 
 
 (VUNESP/Pref. SJC/2012) 
l√T�ª� C � √��
� D � �� � ���√��
√�T� C � √�
D � �� � T� 
Os valores das incógnitas x e y que satisfazem esse sistema de equações são, respectivamente, 
a) 10 e 8. 
b) 8 e 10. 
c) 12 e 6. 
d) 6 e 12. 
e) 8 e 12. 
Comentários 
Vamos organizar o sistema linear apresentado, removendo as raízes e deixando os termos independentes 
do lado direito da equação. 
l√729L P � √125L O � 2g � 146√225√27L P � √25O � 4� � 74 → l°9�L P � °5�L O � 16 � 146√15�√3�L P � °5�O � 64 � 74 
 
→ B9P � 5O � 146 � 16153 P � 5O � 74 � 64 → S9P � 5O � 1305P � 5O � 10 
Note que, ao somar as duas equações, elimina-se a variável O. Ficamos com: 
14P � 140 
C � �� 
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Substituindo o valor encontrado para P na primeira equação, obtemos: 
9P � 5O � 130 
9.10 � 5O � 130 
5O � 130 � 90 
5O � 40 
D � � 
Logo, os valores das incógnitas P e O são, respectivamente, 10 e 8. 
Gabarito: Letra A. 
 
 (VUNESP/UNCISAL/2009) O sistema a seguir representa as quantias que dois amigos possuem, sendo 
x a quantia de Paulo e y a quantia de Luiz: 
l C � �
 D � �
C � ���� � C � D� 
A diferença entre as duas quantias é igual a 
a) R$ 10.000,00. 
b) R$ 12.000,00. 
c) R$ 15.000,00. 
d) R$ 18.000,00. 
Comentários: 
Vamos organizar o sistema linear, removendo as frações. 
Ao multiplicar a primeira equação por 5 e a segunda equação por 2, ficamos com: 
S 5P � O � 82P � 12.000 � P � O 
Agora vamos deixar as variáveis à esquerda e os termos independentes à direita. 
S 5P � O � 82P � 12.000 � P � O → S 5P � O � 8P � O � 12.000 
Note que a questão pergunta pela diferença entre as duas quantias �C � D . Essa diferença é dada pela 
segunda equação: 
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P � O � 12.000 
Gabarito: Letra B. 
 
 (VUNESP/Pref. Sorocaba/2006) Resolvendo o sistema m CID� � CJD� � ���CJD
 � C � D � � pode-se afirmar que C� � D� 
vale 
a) 122. 
b) 120. 
c) 118. 
d) 116. 
e) 114. 
Comentários: 
Vamos organizar o sistema linear, removendo as frações. 
Ao multiplicar a primeira equação por 6 (2 � 3) e a segunda equação por 5, ficamos com: 
S3�P � O � 2�P � O � �6�4P � O � 5P � 5O � 15 
Agora vamos agrupar as variáveis. 
S3�P � O � 2�P � O � �6�4P � O � 5P � 5O � 15 → S3P � 3O � 2P � 2O � �6�P � 4O � 15 → S P � 5O � �6�P � 4O � 15 
Ao somar as duas equações, removemos a variável P. Ficamos com: 
5O � 4O � �6 � 15 
9O � 9 
D � � 
Substituindo O na primeira equação, temos: 
P � 5D � �6 
P � 5.1 � �6 
C � ��� 
Logo, P� � O� é: 
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��11 � � 1� 
� 121 � 1 
� 122 
Gabarito: Letra A. 
 
 (VUNESP/Pref. Peruíbe/2019) É correto afirmar que o sistema linear SXC � �D � X � ��C � �D � �X 
a) é possível e determinado para qualquer valor de b. 
b) é possível e determinado para b � 1. 
c) é possível e indeterminado para b � 1. 
d) é possível e determinado para b � 2. 
e) é impossível para b � 5. 
Comentários: 
Pelo Teorema de Cramer, temos: 
 
Para o caso em questão, o determinante Q da matriz dos coeficientes é: 
§b 22 4§ � >b � 4? � >2 � 2? � 4b � 4 � 4�b � 1 
Note que o determinante será igual a zero quando: 
4�b � 1 � 0 
b � 1 � 0 
b � 1 
Portanto: 
 
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• Para b � 1, o sistema pode ser SPI ou SI (seriam necessárias mais investigações para determinar se 
é SPI ou SI); 
• Para b ≠ 1, o sistema é possível e determinado (SPD). 
Portanto, o gabarito é letra D: o sistema é possível e determinado para b � 2, pois, nesse caso, o valor de b 
é diferente de 1. 
Gabarito: Letra D. 
 
 (VUNESP/Pref. Cerquilho/2019) Considere o seguinte sistema linear, sendo ~ um parâmetro real: 
� � B C � D � E � ���, �
C � �, �
D � ~E � ��C � �D � � 
O sistema � será: 
 
a) possível e determinado, se � � h«. 
b) possível e indeterminado, se � � h«. 
c) impossível, se � � h«. 
d) impossível, se � ≠ h«. 
e) possível e indeterminado, se � ≠ h«. 
Comentários: 
Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz completa do sistema. 
7 1 1 1 800,15 0,35 � 321 �3 0 0 8 ~G6←�G6I�J�,�
 GK 71 1 1 8000,20 � � 0,15 201 �3 0 0 8 ~GL←�GLI�J� GK
 
71 1 1 800 0,20 � � 0,15 200 �4 �1 �808 ~GL←�GLI��� G6 71 1 1 800 0,20 � � 0,15 20� � ��~ � � ���8 
Note que, se ��~ � � � �, isto é, se ~ � �
, a última equação do sistema linear ficará da seguinte forma: 
�C � �D � �E � ��� 
Logo, o sistema é impossível se ~ � �
. 
Gabarito: Letra C. 
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 (VUNESP/PM SP/2018) O sistema linear B C � �D � �E � ���C � TD � TE � ����C � �D � E � � � �terá solução somente quando o valor 
de � for igual a 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
Comentários: 
Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz completa do sistema. 
7 1 �3 4 �43 �7 7 �8�4 6 �1 � � 18 ~G6←�G6I�J� GK 7 1 �3 4 �40 2 �5 4�4 6 �1 � � 18 ~GL←�GLI�GK
 
71 �3 4 �40 2 �5 40 �6 15 � � 178 ~GL←�GLI�G6 71 �3 4 �40 2 �5 4� � � � � 
8 
--- 
Note que, se � � 5 for diferente de zero, isto é, se � ≠ 5, a última equação do sistema linear ficará da 
seguinte forma: 
�C � �D � �E � � � 
 ≠ 0 
Nesse caso, teríamos um sistema impossível (SI), sem solução. 
--- 
Para o caso em que � � 
, a última equação do sistema fica assim: 
�C � �D � �E � � 
Nesse caso, podemos eliminar a equação do sistema. 
71 �3 4 �40 2 �5 4� � � � 8 ~ �1 �3 4 �40 2 �5 4 � 
Explicitando as variáveis, o sistema linear original, para � � 
, equivale a: 
SP � 3O � 4N � �4P 2O � 5N � 4 
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Trata-se de um sistema escalonado cujo número de equações �2 é menor do que o número de incógnitas �3 . Logo, temos um sistema possível e indeterminado (SPI), que admite infinitas soluções. 
--- 
Portanto, o sistema linear terá solução (infinitas soluções) quando � � 
. 
Gabarito: Letra D. 
 
 
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Questões CESPE 
Texto para as questões 31 e 32 
Um importante algoritmo para a resolução de problemas que envolvem matrizes (por exemplo, resolução 
de sistemas lineares, cálculo da matriz inversa, determinantes etc.) consiste em efetuar operações 
elementares sobre as linhas da matriz. Essas operações incluem multiplicação de uma linha da matriz por 
um número não nulo; adição a uma linha de um múltiplo de outra linha; permutação de linhas. Com relação 
a essas operações, considere a matriz B obtida da matriz � � ^1 0 �22 �1 �22 �1 �1_ depois de efetuada a seguinte 
sequência de operações elementares: substituição da linha 3 pela linha 3 menos a linha 2; substituição da 
linha 2 pela linha 2 menos duas vezes a linha 1. Com base nessas informações, julgue o item que se segue, 
acerca da matriz B. 
 (CESPE/CBM DF/2011) Na linha 3 da matriz B, há apenas um elemento nulo. 
 (CESPE/CBM DF/2011) A soma dos elementos da linha 2 da matriz B é igual a 1. 
Comentários: 
Vamos obter a matriz B por meio das operações propostas. Primeiramente, temos: 
� � ^1 0 �22 �1 �22 �1 �1_ 
• Substituição da linha 3 pela linha 3 menos a linha 2. 
�� � ^ 1 0 �2� �� ��2 � � �1 � ��� �1 � ��� _ 
�� � ^1 0 �22 �1 �20 0 1 _ 
• Substituição da linha 2 pela linha 2 menos duas vezes a linha 1. 
� � ^ � � ��2 � 2 � �� �1 � 2 � �� �2 � 2 � ��� 0 0 1 _ 
� � ^1 0 �20 �1 20 0 1 _ 
Questão 31 
Veja que na linha 3 da matriz B há dois elementos nulos. O gabarito, portanto, é ERRADO. 
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Questão 32 
A soma dos elementos da linha 2 da matriz � é: 0 � ��1 � 2 � 1 
O gabarito, portanto, é CERTO. 
Gabarito: 31 - ERRADO. 32 - CERTO. 
 
 (CESPE/PC-DF/2013) Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um 
empregado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação, para qualquer 
telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha estabelecido limite de R$ 200,00 
e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará com as despesas, julgue o item a seguir. 
Considere que, em uma nova missão, o preço das ligações tenha passado a depender da localidade, mesma 
cidade ou cidade distinta da de origem da ligação, e do tipo de telefone para o qual a ligação tenha sido 
feita, celular, fixo ou rádio. As tabelas abaixo mostram quantas ligações de cada tipo foram feitas e o valor 
de cada uma: 
 
Tabela I: número de ligações realizadas por tipo de telefone 
 
 
Tabela II: preço de cada ligação, em reais 
 
Nessas condições, se � � �� � �T � �� for a matriz formada pelos dados da tabela I, e � � 7�, �� �, 
��, �
 �, ���, �� �, ��8 
for a matriz formada pelos dados da tabela II, então a soma de todas as entradas da matriz A � B será igual 
ao valor total das ligações efetuadas. 
Comentários: 
O preço total a ser pago seria dado pelo seguinte: 
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Mesma cidade: 6 � 0,20 � 3 � 0,15 � 1 � 0,20 � 1,85 
Cidades diferentes: 7 � 0,5 � 1 � 0,30 � 3 � 0,20 � 4,40 
Total: 1,85 � 4,40 � ±$ 6,85 
Porém, na multiplicação de matrizes, vamos ter o seguinte resultado: 
�6 3 17 1 3� � 70,20 0,500,15 0,300,20 0,208 
� � 6 � 0,20 � 3 � 0,15 � 1 � 0,20 6 � 0,5 � 3 � 0,30 � 1 � 0,20 7 � 0,20 � 1 � 0,15 � 3 � 0,20 7 � 0,5 � 1 � 0,30 � 3 � 0,20! 
� �1,85 4,102,15 4,40! 
Vemos que apenas a diagonal principal possui valores condizentes com o anterior, enquanto a diagonal 
secundária corresponde a cobranças cruzadas, isto é, cobrar o preço de ligações de mesma cidade para 
ligações em cidades diferentes, e vice e versa. 
Assim, o valor total das ligações efetuadas será o traço da matriz, isto é, a soma dos elementos da diagonal 
principal. Não se trata da soma de todos os elementos da matriz. 
Gabarito: ERRADO. 
 
 (CESPE/SEDF/2017) Considerando a matriz � � 7� � ��� �� ��� � ��8, julgue o próximo item. 
Se ³ � >³\]?, 1 ≤ i , j ≤ 3, tal que ³ � �� , então ³�� – ³�� ´ 
��. 
Comentários: 
Temos que: µ � �� � � � � 
� 72 0 104 10 200 2 408 � 72 0 104 10 200 2 408 
A questão pergunta pela subtração de dois elementos da matriz µ: µ�� � µ��. Note que não precisamos 
obter a matriz inteira. Lembre-se que: 
O elemento da linha \ e da coluna ] da matriz-produto ³ é obtido por meio da linha \ da 
primeira matriz e da coluna ] da segunda matriz. 
Para obter o elemento µ��, faremos uso da segunda linha da primeira matriz e da segunda coluna da 
segunda matriz. 
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72 0 10� �� ��0 2 408 � 72 � 104 �� 200 � 408 
 µ�� � � � � � �� � �� � �� � � � 140 
 
Para obter o elemento µ��, faremos uso da segunda linha da primeira matriz e da terceira coluna da 
segunda matriz. 
 
72 0 10� �� ��0 2 408 � 72 0 ��4 10 ��0 2 ��8 
 µ�� � � � �� � �� � �� � �� � �� � 1.040 
 
Portanto, µ�� � µ�� � 1040 � 140 � ª��. Trata-se de um número maior do que 500. 
Gabarito: CERTO. 
 
 (CESPE/IBAMA/2013) Julgue o item subsequente, relacionado a problemas aritméticos, geométricos e 
matriciais. 
Considere que � e � sejam matrizes distintas, de ordem � � �, com entradas reais e, em cada matriz, três 
das quatro entradas sejam iguais a zero. Além disso, considere também que � � � � � � � � � � � � ¶, em que ¶ é a matriz nula, isto é, a matriz em que todas as entradas 
são iguaisa zero. Nesse caso, necessariamente, � � ¶ ou � � ¶. 
Comentários: 
 
Temos duas matrizes � e � de ordem 2 em que ao menos três dos quatro elementos (entradas) é igual a 
zero. Além disso, · é a matriz nula (de ordem 2). 
Em resumo, a questão pergunta o seguinte: 
Se B�� � ·�� � ·�� � ·, então necessariamente � ou � é a matriz nula? 
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Pessoal, para responder a essa pergunta, devemos utilizar um contraexemplo. 
Considere � � �0 10 0� e � � �0 20 0�. 
�� � �� �� �� � �� �� �� � ��. � � �. � �. � � �. ��. � � �. � �. � � �. �� � �0 00 0� � · 
�� � �� �� �� � �� �� �� � ��. � � �. � �. � � �. ��. � � �. � �. � � �. �� � �0 00 0� � · 
�� � �� �� �� � �� �� �� � ��. � � �. � �. � � �. ��. � � �. � �. � � �. �� � �0 00 0� � · 
Note que encontramos duas matrizes � e � que desmentem a afirmação do enunciado, pois temos �� � �� � �� � ¶ com � e � diferentes da matriz nula. O gabarito, portanto, é ERRADO. 
Gabarito: ERRADO. 
 
 (CESPE/IFF/2018) Considere que k seja um número real e que o determinante da matriz � � �� ~� ª� 
seja igual a 27. Nesse caso, se � � �� ��ª � � então o determinante da matriz B − A, será igual a: 
a) 30. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 6. 
e) 10. 
Comentários: 
O determinante de B é dado pelo produto dos termos da diagonal principal menos o produto dos termos da 
diagonal secundária: det � � §� ~� ª§ 27 � >� � ª? � >~ � �? 27 � 27 � 3� � � 0 
Logo, a matriz B é dada por: � � �3 03 9� 
A matriz � � � é: � � � � �3 03 9� � �3 �19 6 � 
� �3 � 3 0 � ��1 3 � 9 9 � 6 � 
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� � 0 1�6 3� 
Novamente, para calcular det�� � � , devemos realizar produto dos termos da diagonal principal e subtrair 
o produto dos termos da diagonal secundária: 
 det�� � � � § � ��� �§ det�� � � � >� � �? � >� � ��� ? det�� � � � 0 � ��6 det�� � � � 6 
Gabarito: Letra D. 
 
(CESPE/SEDUC AL/2018) Julgue o item que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares. 
Se X é um número real e se o determinante da matriz º � �X �� X � �� � � � � ���� � � for igual a zero, 
então X � � � ou X � �. 
Comentários: 
A matriz y é dada por: 
y � �b 10 b � 1� � 2 � 0 �1�1 1 � 
� �b 10 b � 1� � � � � 0 � � ��1 � � ��1 � � 1 ! 
� �b 10 b � 1� � � 0 �2�2 2 � 
� �b � 0 1 � 20 � 2 b � 1 � 2� 
� � b �1�2 b � 1� 
Temos que: det y � 0 § X ���� X � �§ � 0 >X � �X � � ? � >��� � ��� ? � 0 b� � b � 2 � 0 
Note que as raízes dessa equação do segundo grau em X são de fato �� e �, pois: 
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��2 � � ��2 � 2 � 0 1� � 1 � 2 � 0 
Logo, se ��� º � �, devemos ter X � �� ou X � �. 
Gabarito: CERTO. 
 
(CESPE/ABIN/2010) Considerando a matriz � � ^� � �� � �� � 
_ e os vetores » � ^C �C �C �_ e � � ^ ���� �� _, 
julgue o item a seguir. 
O determinante de � é igual a – �. 
Comentários: 
Aplicando a regra de Sarrus no determinante de �, temos: 
 91 2 22 0 23 4 59 1 22 03 4 
det � � >�. �. 
 � �. �. � � �. �. �? � >�. �. � � �. �. � � �. �. 
? 
� >0 � 12 � 16? � >0 � 8 � 20? 
� 28 � 28 
� 0 
Gabarito: ERRADO. 
 
 (CESPE/SEDF/2017) Considerando a matriz � � 7� � ��� �� ��� � ��8, julgue o próximo item. 
Se � � �� �, então o determinante de B é maior que 200. 
Comentários: 
Pessoal, para resolver esse problema, podemos obter a matriz � e calcular o seu determinante diretamente 
pela regra de Sarrus. 
Ocorre que, na prova que cobrou essa questão, houve a necessidade de calcular o determinante de �. Então, 
para responder ao item, vamos obter det�� e em seguida obteremos o det�� a partir de det�� . 
Aplicando a regra de Sarrus no determinante de �, temos: 
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92 0 104 10 200 2 409 2 04 100 2 
Parte Negativa Parte Positiva 
��� � � >�. ��. �� � �. ��. � � ��. �. �? � >��. ��. � � �. ��. � � �. �. ��? 
det � � >800 � 0 � 80? � >0 � 80 � 0? 
det � � 880 � 80 
det � � 800 
Sabemos que, ao multiplicar uma matriz de ordem � por uma constante ~, o determinante dessa nova 
matriz fica multiplicado por ~�. det��� � �% det � 
Logo: 
det � � det i12 �k 
� i12k� � det � 
� 18 � 800 � 100 
Portanto, o determinante de B é menor do que 200. 
Gabarito: ERRADO. 
 
(CESPE/SEDUC CE/2013/Adaptada) Considerando a matriz � � 7� � �� � �� � �8, o determinante de �� é 
igual a: 
a) �16. 
b) 0. 
c) 16. 
 
d) 20. 
e) 81. 
Comentários: 
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Temos que: 
det��g � det�� � � � � � � 
Pelo Teorema de Binet, temos: 
det��g � �det � � �det � � �det � � �det � 
det��g � �det � g 
Portanto, para obter o determinante de �g, precisamos obter o determiante de � e elevar à quarta potência. 
Aplicando a regra de Sarrus no determinante de �, temos: 
91 1 01 0 01 0 29 1 11 01 0 
Parte Negativa Parte Positiva 
det � � >�. �. � � �. �. � � �. �. �? � >�. �. � � �. �. � � �. �. �? 
� >0 � 0 � 0? � >0 � 0 � 2? 
� �2 
Logo: 
det��g � �det � g 
� ��2 g 
� 16 
Gabarito: Letra C. 
 
 (CESPE/MS/2008) Se uma matriz quadrada � � ��\] tem dimensão � � � e é tal que ��\] � �, se \ [ ] e ��\] � \ � ], se \ ´ ], então o determinante de � é um número estritamente positivo. 
Comentários: 
Temos uma matriz quadrada � de ordem 3: 
� � 7bhh bh� bh�b�h b�� b��b�h b�� b��8 
Temos que: 
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bcd � S 1 ; ¼½ e [ f e � f; ¼½ e ´ f 
Portanto, se o número da coluna f for maior ou igual do que o número da linha e, o elemento é 1. Caso 
contrário, o elemento é e � f. Nesse caso, a matriz � é: 
� � 7 1 1 12 � 1 1 13 � 1 3 � 2 18 
� � 71 1 11 1 12 1 18 
Note que a matriz � apresenta duas fileiras iguais (linhas 1 e 2, assim como colunas 2 e 3). Portanto, o seu 
determinante é zero. 
Logo, é errado afirmar que o determinante de � é estritamente positivo. 
Gabarito: ERRADO. 
 
Texto para as questões 42, 43 e 44 
 
Considerando as matrizes � � 72 �1 51 0 42 2 08, � � 73 0 03 0 03 0 08 e µ � 71 0 00 1 00 0 58, julgue os itens a seguir. 
 
 (CESPE/SEDU-ES/2012) Como >®¾¿ �?² � ®¾¿ �, então ®¾¿ � � �. 
 (CESPE/SEDU-ES/2012) É correto afirmar que ���>� � � � ³? � ��� �. 
 (CESPE/SEDU-ES/2012) ��� �� � �ª�. 
Comentários: 
Questão 42 
Lembre-se que se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz é formada apenas por zeros, seu determinante é 
nulo. Isso significa que det � � 0 e �det � � � 0� � 0. 
O gabarito, portanto, é ERRADO. 
Questão 43 
Aplicando o teorema de Binet, temos: 
det>� � � � µ? � det � � det � � det µ 
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Como det � � 0, ficamos com: 
det>� � � � µ? � det � � � � det µ 
det>� � � � µ? � � 
Logo, o gabarito da questão é CERTO, pois det>� � � � µ? � det � � 0. 
 
Questão 44 
Temos que det �� � det�� � � . Pelo teorema de Binet: 
det�� � � � det � � det � 
� �det � � 
Note, portanto, que det �� � �det � �. 
Vamos calcular o determinante de A. Pela regra de Sarrus: 
92 �1 51 0 42 2 09 2 �11 02 2 
Parte Negativa Parte Positiva 
det � � >�. �. � � ��� . �. � � 
. �. �? �>
. �. � � �. �. � � ��� . �. �? 
det � � >0 � 8 � 10? � >0 � 16 � 0? 
det � � �14 
Logo: det �� � �det � � � ��14 � � 196 
O gabarito, portanto, é CERTO. 
Gabarito: 42 - ERRADO. 43 - CERTO. 44 - CERTO. 
 
 (CESPE/PETROBRAS/2008) Se A é uma matriz quadrada invertível, então 
a) det>� � �Á? � >det �?², em que �Á é a matriz transposta da matriz �. 
b) det >� � �? � 2 � det �. 
c) det � � det �Á � 0. 
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d) det >� � �Jh? � 0. 
e) det � � det �Jh. 
Comentários: 
Vamos comentar cada alternativa. 
 
a) ��� >� � �¿? � >��� �?², em que �¿ é a matriz transposta da matriz �. CORRETO. 
Pelo teorema de Binet, temos que: det�� � �Á � det � � det �Á 
Note que o determinante da matriz transposta de A é igual ao determinante de A, isto é, det � � det �Á. 
Logo: 
det�� � � � det � � det � 
� �det � � 
 
b) ��� >� � �? � � � ��� �. ERRADO. 
Sabemos que, ao multiplicar uma matriz de ordem � por uma constante ~, o determinante dessa nova 
matriz fica multiplicado por ~�. det��� � �% det � 
Se a matriz A tiver ordem �, temos que: 
det>� � �? � det 2� 
� 2% det � 
 
c) ��� � � ��� �¿ � �. ERRADO. 
Note que o determinante da matriz transposta de A é igual ao determinante de A, isto é, det � � det �Á. 
Logo: 
det � � det � � det � � det � 
� 2 det � 
d) ��� >� � �J�? � �. ERRADO. 
Essa propriedade que envolve a soma de uma matriz A com a sua inversa não existe. Para tanto, podemos 
apresentar um contraexemplo. 
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Suponha � � $�, ou seja, que A é uma matriz identidade de ordem 2. 
� � �1 00 1� 
A inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade, isto é, �Jh � $�. Nesse caso: 
� � �Jh � 2$� 
O determinante de � � �Jh é, portanto: 
det�� � �Jh � det 2$% 
� 2� det $% 
� 2� � 1 
� 4 
 
e) ��� � � ��� �J�. ERRADO. 
O determinante da inversa de A é o inverso do determinante de A, isto é: 
det �Jh � 1det � 
Gabarito: Letra A. 
 
 (CESPE/PETROBRAS/2008) Considere que � � �X �� ®� seja uma matriz invertível, � � �J� seja a 
inversa de � e ³ � � X �� � �X ® � �X�. Nesse caso, é correto afirmar que, para toda matriz �, invertível, 
tem-se que 
a) det � � det �. 
b) det µ � 2 � det �. 
c) det >� � �? � 1. 
d) det >� � �? � 2 � det �. 
e) det >� � �Jh? � 1. 
Comentários: 
Vamos comentar cada uma as alternativas. 
 
 
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a) ��� � � ��� �. ERRADO. 
Como � é a inversa de �, a alternativa está afirmando que det � � det �Jh. Essa propriedade é falsa, pois o 
determinante da inversa de A é o inverso do determinante de A, isto é: 
det �Jh � 1det � 
 
b) ��� ³ � � � ��� �. ERRADO. 
Não existe essa relação entre as matrizes � e µ. Para provar que a alternativa é falsa, vamos mostrar um 
contraexemplo. 
Considere que � é a matriz identidade, com b � ¯ � 1 e t � u � 0. 
� � �b tu ¯� � �1 00 1� 
Nesse caso, a matriz µ seria: 
µ � � b tu � 2b ¯ � 2b� � � 1 00 � 2.1 1 � 2.1� � �1 02 3� 
Note que, para esse exemplo: 
• det � � >1.1? � >0.0? � 1 
• det µ � >1.3? � >0.2? � 3 
Portanto, é errado dizer que det µ � 2 det �. 
 
c) ��� >� � �? � �. CERTO. 
Como � é a inversa de �, a alternativa está afirmando que det�� �Jh � 1. Essa relação é verdadeira, pois, 
pelo teorema de Binet: det�� �Jh � det � � ��� �J� 
� det � � ���� � � 1 
 
d) ��� >� � �? � � � ��� �. ERRADO. 
Essa propriedade não existe. � é a inversa de �, de modo que não se pode afirmar que det�� � �Jh � 2 det �. 
Para provar que a alternativa é falsa, vamos mostrar um contraexemplo. 
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Considere que � é a matriz identidade, com b � ¯ � 1 e t � u � 0. 
� � �1 00 1� 
Temos que: det � � >1.1? � >0.0? ��� � � � 
A inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade, isto é, �Jh � $�. Nesse caso: 
� � �Jh � 2$� 
O determinante de � � �Jh é, portanto: 
����� � �J� � det�2$� 
� 2� det $� 
� 2� � 1 
� � 
Logo, perceba que, para o contraexemplo apresentado, ����� � �J� ≠ 2 � ��� �. 
 
e) ��� >� � �J�? � �. ERRADO. 
Como � é a inversa de �, �Jh é a própria matriz �, pois: 
�Jh � ��Jh Jh � � 
Portanto, a alternativa afirma que det�� � � � 1. Não se pode afirmar isso para qualquer matriz �. Pelo 
teorema de Binet, sabemos que: 
det�� � � � det � � det � 
det�� � � � �det � � 
Gabarito: Letra C. 
 
 (CESPE/IFF/2018) Considere que �, � e ³ sejam matrizes quadradas, de mesma dimensão e com 
entradas reais. Assinale a opção correta a respeito das propriedades dessas matrizes, assumindo que ��� �» é o determinante da matriz » e »¿ é a matriz transporta da matriz ». 
a) Se a matriz � for antissimétrica, isto é, se �Á � ��, então det�� � 0. 
b) Se � não for matriz nula e se �� � �µ, então � � µ. 
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c) Se �� � � ² � �� � � ², então �� � ���. 
d) Se �� ≠ ��, então ¯½Ã��� ≠ ¯½Ã��� . 
e) ¯½Ã�2� � 2¯½Ã�� . 
Comentários: 
 
Vamos analisar cada alternativa. 
a) Se a matriz � for antissimétrica, isto é, se �¿ � ��, então ����� � �. ERRADO. 
Uma matriz é antissimétrica quando �Á � ��. Em outras palavras, uma matriz é antissimétrica quando a 
diagonal principal deve ser nula e os elementos simétricos com relação à diagonal principal são opostos. 
Podemos verificar que a afirmação é falsa com um contraexemplo. Note que a matriz abaixo é antissimétrica 
e o determinante é diferente de zero: 
� � �� ��� � � 
det � � >�. �? � >��� . �? 
� 0 � ��1 
� 1 
 
b) Se � não for matriz nula e se �� � �³, então � � ³. ERRADO. 
Essa relação só é válida se � for uma matriz inversível. Isso porque, se a matriz for inversível, podemos 
multiplicar ambos os lados da equação �� � �µ por �Jh pela esquerda: 
�Jh�� � �Jh�µ 
��Jh� � � ��Jh� µ 
$� � $µ 
� � µ 
Vamos mostrar que a afirmação é falsa com um contraexemplo. Considere � � �1 01 0�, � � �0 01 0� e µ � �0 02 0�. 
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�� � �1 01 0� �0 01 0� � �0 00 0� 
�µ � �1 01 0� �0 02 0� � �0 00 0� 
 
Logo, temos um caso em que � não é a matriz nula, �� � �³ e � é diferente de ³. 
 
c) Se �� � � ² � �� � � ², então �� � ���. CERTO. 
Vamos desenvolver a igualdade: 
�� � � ² � �� � � ² �� � � �� � � � �� � � �� � � �. � � �� � �� � �. � � �. � � �� � �� � �. � 
Simplificando os termos comuns, ficamos com: 
�� � �� � ��� � �� 
�� � �� � ��� � �� 
2�� � �2�� 
�� � ��� 
 
d) Se �� ≠ ��, então ®¾¿��� ≠ ®¾¿��� . ERRADO. 
Para mostrar que essa alternativa está errada, vamos mostrar um contraexemplo. Considere � � �1 01 0� e � � �0 01 0�. 
�� � �1 01 0� �0 01 0� � �0 00 0� 
�� � �0 01 0� �1 01 0� � �0 01 0� 
Note que, para esse contraexemplo, �� ≠ �� e det��� � det��� . 
 
e) ®¾¿��� � �®¾¿�� . ERRADO. 
Sabemos que, ao multiplicar uma matriz de ordem � por uma constante ~, o determinante dessa nova 
matriz fica multiplicado por ~�. Logo: 
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det�2� � 2% det �Gabarito: Letra C. 
 
(CESPE/SEDUC AL/2018) Julgue o item que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares. 
Se P for uma matriz simétrica, então P será inversível. 
Comentários: 
Uma matriz é inversível quando o seu determinante é diferente de zero. 
Não há correlação entre o fato de uma matriz ser simétrica com o fato de ela apresentar determinante 
diferente de zero. 
Para mostrar que a afirmação está errada, pode-se usar como contraexemplo a matriz º � �� �� ��. 
Note que trata-se de uma matriz simétrica, pois yÁ � y � �0 00 0�. Veja, porém, que det y � 0 e, portanto, 
essa matriz não é inversível. 
Gabarito: ERRADO 
 
 (CESPE/Pref. São Cristóvão/2019) Para a matriz � � �� �� � �� � � �� �� � � � � ��, tem-se que ®¾¿�� � �� e, 
consequentemente, � é uma matriz inversível. 
Comentários: 
Temos um determinante de ordem 4. Para calculá-lo, vamos usar o Teorema de Laplace. 
1. Escolher uma fila (linha ou coluna), preferencialmente a que tiver mais zeros: 
Vamos escolher a segunda coluna, pois ela apresenta três zeros. 
� � �1 �1 � �1 1 1 10 �1 � 1 1 0 1� 
 
2. Realizar o produto de cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator 
Lembre-se que o cofator é definido como �cd � ��1 cIdQcd. Devemos, portanto, calcular os seguintes 
produtos: 
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bh��h� b����� b����� bg��g� 
Como bh�, b�� e bg� são iguais a zero, temos: 
• bh��h� � 0 � �h� � 0; 
• b����� � 0 � ��� � 0; 
• bg��g� � 0 � �g� � 0. 
Para calcular b�����, devemos realizar o seguinte procedimento: b����� � b�� � ��1 �I�Q�� 
b����� � 1 � ��1 g Ä� 01 1 �� � 1 1� 0� 0 � � � �Ä 
b����� � 9� �� �� � �� � �9 
 
Aplicando a regra de Sarrus, obtemos: 
91 �1 10 1 11 0 19 1 �10 11 0 
Parte Negativa Parte Positiva 
b����� � >�. �. � � ��� . �. � � �. �. �? � >�. �. � � �. �. � � ��� . �. �? 
b����� � >1 � 1 � 0? � >1 � 0 � 0? � 0 � 1 b����� � �1 
3. Somar os produtos obtidos 
Por fim, para obter o determinante, soma-se os produtos obtidos: 
det � � bh��h� � b����� � b����� � bg��g� 
det � � 0 � ��1 � 0 � 0 
det � � �1 
Temos, portanto, que ��� � � ��. Além disso, a matriz � é inversível, pois o seu determinante é diferente 
de zero. 
Gabarito: CERTO. 
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(CESPE/Pref. São Cristóvão/2019) Com relação a sistemas lineares e análise combinatória, julgue o 
item. 
Para todo sistema linear da forma �» � �, em que � é uma matriz quadrada p � p, » e � são matrizes 
colunas p � �, e ®¾¿�� � �, o sistema não tem solução. 
Comentários: 
Temos um sistema linear na forma matricial �p�p»p�� � �p��, sendo: 
• �: Matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema; 
• »: Matriz das incógnitas; 
• �: Matriz dos termos independentes. 
Segundo o Teorema de Cramer, quando Q � 0, isto é, quando ��� � � �, podemos ter: 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): apresenta infinitas soluções; 
• Sistema Impossível (SI): não apresenta solução. 
 
Portanto, não se pode afirmar que o sistema não tem solução, pois ele pode ser SPI e, consequentemente, 
pode apresentar infinitas soluções. 
Gabarito: ERRADO. 
 
 (CESPE/IFF/2018) Considere que � � �X\] seja uma matriz quadrada de dimensão � � � e de 
entradas reais; que � � ��\ seja uma matriz coluna, de dimensão � � � e de entradas reais, e que » ��C\ seja a matriz das incógnitas, uma matriz coluna de dimensão � � �. Nesse caso, para se resolver o 
sistema matricial �» � �, o método indicado é o denominado 
a) método de diferenças finitas. 
b) método de quadratura de Gauss. 
c) método de Simpson. 
d) método de elementos de contorno. 
e) método de eliminação de Gauss. 
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Comentários: 
Para resolver um sistema linear, pode-se utilizar o método do escalonamento, também conhecido por 
Eliminação Gaussiana ou método de eliminação de Gauss. 
Gabarito: Letra E. 
 
 (CESPE/SEDUC CE/2009/Adaptada) Acerca da matriz � � 7X � � X � � X � �X � � � �X � � � �� 8, em que X é um 
número real, julgue o item a seguir. 
Se X ≠ �, então a equação matricial �» � ¶, em que » � ÅCDEÆ e ¶ � 7���8 é a matriz nula de ordem � � �, 
tem uma única solução. 
Comentários: 
Observe que a equação matricial �Ç � ¶ representa um sistema linear homogêneo, pois se trata de um 
sistema linear em que todos os termos independentes são nulos. 
Pelo Teorema de Cramer, sabemos que se Q ≠ 0, isto é, se ��� � ≠ �, o sistema linear homogêneo 
apresenta solução única, a solução trivial. 
 
Aplicando a Regra de Sarrus no determinante da matriz �, temos: 
 
9b � 1 b � 1 b � 1b � 1 1 2b � 1 1 �2 9 b � 1 b � 1b � 1 1b � 1 1 
Parte Negativa Parte Positiva 
det � � >��� . �X � � � ��X � � � � �X � � �? � >�X � � � � ��X � � � ��� . �X � � �? det � � >3�b � 1 � � 2�b � 1 ? � >��b � 1 � � 2�b � 1 ? det � � 4�b � 1 � � 4�b � 1 
Para termos solução única, devemos ter ��� � ≠ �. 
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4�b � 1 � � 4�b � 1 ≠ 0 4�b � 1 � ≠ 4�b � 1 �b � 1 � ≠ �b � 1 
A igualdade ocorre com b � 1. Portanto, devemos ter X ≠ �. Simplificando ambos os lados por �b � 1), 
temos: 
�b � 1 ≠ 1 X ≠ � 
Logo, para que tenhamos solução única, é necessário que X seja diferente de 1 e também que X seja 
diferente de 2. 
Portanto, é errado dizer que se b ≠ 1, então a equação matricial �Ç � · tem uma única solução. 
Gabarito: ERRADO. 
 
(CESPE/SEDUC AL/2013/Adaptada) O sistema B 
C � 
D � 
E � �. ���
C � �D � �E � �. ����C � 
D � 
E � �. ��� é impossível. 
Comentários: 
Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz completa do sistema. 
75 5 5 30005 4 4 10606 5 5 12608 ~G6←�G6I�J� GK 75 5 5 30000 �1 �1 �19406 5 5 1260 8 ~GL←�GLI�J�
�GK 75 5 5 30000 �1 �1 �19400 �1 �1 �23408 
~GL←�GLI�J� G6 75 5 5 30000 �1 �1 �1940� � � ���� 8 
A última equação do sistema escalonado, dada por �C � �D � �E � ����, indica que estamos diante de 
um sistema impossível (SI). 
Gabarito: CERTO. 
 
 (CESPE/SEDUC AL/2013/Adaptada) O sistema B 
C � 
D � 
E � ����
C � �D � �E � �. ����C � 
D � �E � �. ��� é possível e indeterminado. 
Comentários: 
Vamos escalonar o sistema fazendo uso da matriz completa do sistema. 
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75 5 5 30005 4 4 10604 5 2 11408 ~G6←�G6I�J� GK 75 5 5 30000 �1 �1 �19404 5 2 1140 8 ~GL←�GLI�J�
�GK 75 5 5 30000 �1 �1 �19400 1 �2 �12608 
~GL←�GLI�G6 75 5 5 30000 �1 �1 �19400 0 �3 �32008 
 
Explicitando as variáveis, o sistema linear original equivale a: 
B5P � 5O � 5N � 3000 �O � N � 1 �3N � �3200 
 
Veja que o sistema acima é escalonado, pois o número de incógnitas diminui de equação para equação. 
Trata-se de um sistema escalonado cujo número de equações �3 é igual ao número de incógnitas �3 . 
Logo, temos um sistema possível e determinado (SPD). 
Gabarito: ERRADO. 
 
 (CESPE/IFF/2018) Considere o sistema S de m equações lineares e n incógnitas, mostrado abaixo. X��C� � X��C� � … � X��C� � �� X��C� � X��C� � … � X��C� � �� Xp�C� � Xp�C� � … � Xp�C� � �p 
Nesse sistema, C�, C�, … , C� são as incógnitas, os coeficientes XYZ e os �\ são números reais, para � [ \ [ p e � [ ] [ �. A respeito das propriedades e das soluções do sistema S, assinale a opção 
correta.a) Considere que q � � e que � � �bcd — a matriz dos coeficientes de S — seja tal que ¯½Ã�� � 0. 
Nesse caso, S não possui solução. 
b) Se � � ��h, ��, … , �% e È � �Èh , È�, … , È% são soluções de S e se r é um número real qualquer, então � � È � ��h � Èh, �� � È�, … , �% � È% e É� � �É�h, É��, … , É�% são também soluções de S. 
c) Se q Ê �, então S possui infinitas soluções. 
d) Se q � � e se o sistema homogêneo associado a S — isto é, o sistema com os mesmos coeficientes bcd 
apenas considerando todos os tc � 0 — tiver solução única, então o sistema S também terá solução única. 
e) Se q ´ �, então S não possui solução. 
Comentários: 
Veja que a questão apresenta um sistema linear genérico com p equações e � incógnitas. Vamos comentar 
cada alternativa. 
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a) Considere que p � � e que � � �X\] — a matriz dos coeficientes de S — seja tal que ®¾¿�� � �. 
Nesse caso, S não possui solução. ERRADO. 
A alternativa afirma que, se o número de equações for igual ao número de incógnitas �q � � e se o 
determinante da matriz dos coeficientes for zero �det � � 0), então o sistema não possui soluções. 
Essa afirmativa está errada porque, de acordo com o Teorema de Cramer, se Q � 0, isto é, se det � � 0, 
podemos ter tanto um sistema possível indeterminado (SPI) quanto um sistema impossível (SI). No 
primeiro caso, temos infinitas soluções. 
 
 
b) Se � � ���, ��, … , �� e Ë � �Ë� , Ë�, … , Ë� são soluções de S e se r é um número real qualquer, 
então � � Ë � ��� � Ë�, �� � Ë�, … , �� � Ë� e Ì� � �Ì��, Ì��, … , Ì�� são também soluções de 
S. ERRADO. 
A alternativa afirma três coisas sobre o sistema linear genérico apresentado: 
• O sistema admite ao menos duas soluções e, portanto, admite infinitas soluções. Isso significa que 
estamos diante de um Sistema Possível Indeterminado (SPI). 
• A soma das duas soluções de um SPI gera necessariamente uma nova solução do sistema; e 
• A multiplicação de uma solução do SPI por uma constante Ì qualquer também é solução do sistema. 
Para mostrar que as afirmações estão erradas, vamos mostrar um contraexemplo. Considere o seguinte 
Sistema Possível e Indeterminado (SPI) de uma única equação: 
ÍPh � P� � 1 
Note que �Ph, P� � �1, 0 é solução do sistema e que �Ph, P� � �0, 1 também é. Note, porém, que: 
• �1 � 0, 0 � 1 � �1, 1 não é solução do sistema, pois 1 � 1 ≠ 1; e 
• 5. �1, 0 � �5, 0 não é solução do sistema, pois 5 � 0 ≠ 1. 
A alternativa, portanto, está ERRADA. 
 
c) Se p Ê �, então S possui infinitas soluções. ERRADO. 
Vimos que a questão apresenta um sistema linear genérico com p equações e � incógnitas. 
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A alternativa afirma que se o número de equações é menor do que o número de incógnitas �q Ê � , então 
o sistema apresenta infinitas soluções. 
Trata-se de uma afirmação ERRADA, pois o sistema pode ter um número de equações menor do que o 
número de incógnitas e ser um Sistema Impossível (SI) (sem solução). 
Veja o seguinte contraexemplo: 
S P � O � N � 12P � 2O � 2N � 3 
Note que o número de equações é menor do que o número de incógnitas e o sistema é impossível. Isso 
porque, ao multiplicar a primeira equação por 2, obtém-se: 2P � 2O � 2N � 2 
Essa equação contradiz a segunda equação do sistema, pois 2P � 2O � 2N não pode ser igual a 2 e a 3 ao 
mesmo tempo. 
 
d) Se p � � e se o sistema homogêneo associado a S — isto é, o sistema com os mesmos coeficientes X\] 
apenas considerando todos os �\ � � — tiver solução única, então o sistema S também terá solução única. 
CERTO. 
Se q � �, o sistema tem o mesmo número de equações e de incógnitas. Nesse caso, a matriz dos 
coeficientes �� é quadrada. 
O sistema original � pode ser descrito na forma matricial por: 
�» � � 
O sistema homogêneo associado é dado por: 
�» � ¶ 
Em que · é a matriz nula de ordem � � 1. 
Se o sistema homogêneo associado tiver solução única, esse sistema homogêneo é um Sistema Possível e 
Determinado (SPD). Pelo Teorema de Cramer, temos que Î � ��� � ≠ �. 
Como a matriz dos coeficientes �� é a mesma para o sistema original, esse sistema também será possível 
e determinado (SPD), pois Î � ��� � ≠ �. Logo, o sistema original também terá solução única. 
 
e) Se p ´ �, então S não possui solução. ERRADO. 
Vimos que a questão apresenta um sistema linear genérico com p equações e � incógnitas. 
A alternativa afirma que se o número de equações é maior do que o número de incógnitas �q ´ � , então 
o sistema não possui solução, ou seja, o sistema é impossível (SI). 
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Trata-se de uma afirmação ERRADA, pois nesse caso podemos ter um sistema possível e determinado (SPD), 
um sistema possível e indeterminado (SPI) ou até mesmo um sistema impossível (SI). 
Veja o seguinte contraexemplo: 
B P � O � 12P � 2O � 23P � 3O � 3 
Note que temos um número de equações (3) maior do que o número de incógnitas (2). Note, porém, que ao 
escalonar o sistema ficamos com: 
B P � O � 10P � 0O � 00P � 0O � 0 ~ ÍP � O � 1 
Note, portanto, que esse sistema é possível e indeterminado (SPI), admitindo infinitas soluções. 
Gabarito: Letra D. 
 
 (CESPE/SEDUC AL/2018) Julgue o item que se segue, relativos a matrizes e sistemas lineares. 
Um sistema linear escrito na forma matricial º» � � », em que º é uma matriz � � � de coeficientes 
constantes e » é a matriz das incógnitas, � � �, tem solução única se, e somente se, a matriz º � Ï for 
inversível (Ï é a matriz identidade � � �). 
Comentários: 
 
Sabe-se que um sistema linear pode ser escrito na forma matricial �» � �, sendo: 
• �: Matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema; 
• »: Matriz das incógnitas; 
• �: Matriz dos termos independentes. 
O problema propõe a forma matricial yÇ � �Ç. Vamos organizar essa equação matricial: 
yÇ � �Ç 
yÇ � Ç � · 
Colocando a matriz Ç em evidência: 
�º � Ï » � ¶ 
Comparando a expressão acima com a forma tradicional �» � �, temos que: 
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• �º � Ï é a matriz dos coeficientes; 
• » é a matriz das incógnitas; 
• ¶, que é a matriz nula, é a matriz dos termos independentes. 
Para o sistema ter solução única, ele deve ser um sistema possível e determinado (SPD). Sabemos, pelo 
Teorema de Cramer, que isso ocorre quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. 
Isso significa que ����º � Ï é diferente de zero. 
Sabemos que uma matriz é inversível se, e somente se, essa matriz tem determinante diferente de zero. 
Logo, a matriz º � Ï deve ser inversível. 
Gabarito: CERTO. 
 
 (CESPE/Pref. São Luís/2017) Um sistema linear de 4 equações e 4 incógnitas pode ser escrito na forma 
matricial como �» � �, em que � é a matriz, de ordem � � �, dos coeficientes da equação; » é a matriz 
coluna, de ordem � � �, das incógnitas da equação e � é a matriz coluna, de ordem � � �, dos termos 
independentes da equação. 
Com referência a essas informações, assinale a opção correta. 
a) Se Çh, Ç� e Ç� forem matrizes, de ordem 4 � 1, que são soluções distintas da referida equação matricial, 
então o determinante de � será igual a zero. 
b) Se a matriz � tiver exatamente duas linhas iguais, então o sistema terá exatamente duas soluções distintas. 
c) Se todos os elementos da matriz � forem iguais a zero e o determinante de � for igual a zero, então o 
sistema não terá solução.d) Se uma matriz µ, de ordem 4 � 1, possuir dois elementos positivos e dois negativos e for tal que �µ � �, então o determinante de � será diferente de zero. 
e) Se o determinante da matriz � for igual a zero, então � terá pelo menos duas linhas iguais. 
Comentários: 
Vamos avaliar todas as alternativas da questão. 
a) Se »�, »� e »� forem matrizes, de ordem � � �, que são soluções distintas da referida equação 
matricial, então o determinante de � será igual a zero. CERTO. 
Se o sistema linear �Ç � � apresenta mais de uma solução, então ele apresenta infinitas soluções e é 
classificado como Sistema Possível e Indeterminado (SPI). 
Sabemos, pelo Teorema de Cramer, que este é um caso em que Q � 0, isto é, det � � 0. O gabarito, 
portanto, é letra A. 
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b) Se a matriz � tiver exatamente duas linhas iguais, então o sistema terá exatamente duas soluções 
distintas. ERRADO. 
Um sistema linear pode apresentar solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. 
c) Se todos os elementos da matriz � forem iguais a zero e o determinante de � for igual a zero, então o 
sistema não terá solução. ERRADO. 
Se todos os elementos da matriz B forem iguais a zero, temos um Sistema Linear Homogêneo. Nesse caso, 
se det � � 0, isto é, Q � 0, o sistema apresenta infinitas soluções. 
 
d) Se uma matriz ³, de ordem � � �, possuir dois elementos positivos e dois negativos e for tal que �³ � �, então o determinante de � será diferente de zero. ERRADO. 
A alternativa apresenta uma solução para o sistema �Ç � �, dada pela matriz ³. O fato dessa solução 
apresentar dois elementos positivos e dois elementos negativos em nada influencia o determinante da 
matriz �. Como há a garantia de que temos uma solução, esse sistema pode ser: 
• Possível e Determinado (SPD): apresenta solução única. Nesse caso, Q � det � ≠ 0; 
• Possível e Indeterminado (SPI): apresenta infinitas soluções, dentre elas a matriz µ. Nesse caso, Q � det � � 0. 
Como o sistema pode ser SPI, então não necessariamente o determinante de � será diferente de zero. 
e) Se o determinante da matriz � for igual a zero, então � terá pelo menos duas linhas iguais. ERRADO. 
Da aula de determinantes, sabemos que existem muitas formas de uma matriz � ter determinante zero. 
Esse determinante zero pode ocorrer, por exemplo, por conta de filas iguais (linhas ou colunas), de filas 
proporcionais ou também de filas que são combinações lineares de outras. 
Logo, é errado dizer que se o determinante da matriz � for igual a zero, necessariamente há linhas iguais. 
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Gabarito: Letra A. 
 
 (CESPE/CGE MG/2009) Em um concurso estadual, foram aprovados x candidatos, que serão 
distribuídos para trabalharem em y cidades do estado. Na hipótese de serem encaminhados 2 candidatos 
para cada cidade, sobrarão 70 candidatos para serem distribuídos. Entretanto, no caso de serem 
encaminhados 3 candidatos para cada cidade, será necessário convocar mais 40 candidatos classificados 
nesse concurso. 
Para determinação dos valores C e D, obtém-se um sistema linear de duas equações com incógnitas C e D. 
A ele está associada uma matriz �, formada pelos coeficientes das variáveis das suas equações. Assinale 
a opção correta a respeito da solução desse sistema. 
a) A matriz = tem determinante diferente de zero. 
b) O sistema é homogêneo. 
c) O sistema é compatível e indeterminado. 
d) A matriz = é não-inversível. 
e) A matriz = não pode ser transformada por meio de operações elementares sobre suas linhas na matriz 
identidade 2 por 2. 
Comentários: 
Vamos descrever o problema por meio de equações: 
"Na hipótese de serem encaminhados 2 candidatos para cada cidade, sobrarão 70 candidatos para 
serem distribuídos" 
Isso significa que, se tivéssemos P � 70 candidatos, poderíamos encaminhar 2 para cada cidade. Logo: 
O � P � 702 
2O � P � 70 
C � �D � T� 
"...no caso de serem encaminhados 3 candidatos para cada cidade, será necessário convocar mais 40 
candidatos classificados nesse concurso." 
Isso significa que, se tivéssemos P � 40 candidatos, poderíamos encaminhar 3 para cada cidade. Logo: 
O � P � 403 
3O � P � 40 
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C � �D � ��� 
O sistema linear obtido para se determinar P e O é: 
S P � 2O � 70P � 3O � �40 
Na forma matricial, podemos escrever: 
�1 �21 �3� �PO� � � 70�40� 
Vamos analisar as alternativas. 
a) A matriz � tem determinante diferente de zero. CERTO. 
Como = é a matriz dos coeficientes, então: 
det = � §1 �21 �3§ 
� >1 � ��3 ? � >��2 � 1? 
� �3 � ��2 
� �1 
Portanto, o determinante de = é diferente de zero. Logo, o gabarito é letra A. 
b) O sistema é homogêneo. ERRADO. 
O sistema não é homogêneo, pois a matriz dos termos independentes, � 70�40�, não é nula. 
c) O sistema é compatível e indeterminado. ERRADO. 
O sistema é possível e determinado, pois Q � det = ≠ 0. 
d) A matriz � é não-inversível. ERRADO. 
A matriz = apresenta determinante diferente de zero. Portanto, ela é inversível. 
e) A matriz � não pode ser transformada por meio de operações elementares sobre suas linhas na matriz 
identidade � por �. ERRADO. 
Temos a matriz =: 
�1 �21 �3� 
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Se fizermos �� � ��1 �� � �h, ficamos com: 
�1 �20 1 � 
Fazendo �h � �h � 2��, ficamos com: 
�1 00 1� 
Portanto, a matriz = pode ser transformada na matriz identidade 2 por 2. 
Gabarito: Letra A. 
 
 (CESPE/PETROBRAS/2008/Adaptada) Considerando que A seja a matriz formada pelos coeficientes do 
sistema SXC � �D � Ð�C � ®D � Ñ, que Ò � �CD� e que, Ó � �ÐÑ� assinale a opção correta. 
a) Se as componentes de Ô forem nulas e o determinante de � for igual a zero, então o sistema terá infinitas 
soluções. 
b) O sistema pode ser representado matricialmente por �Ô � Õ. 
c) O determinante de � é igual a b¯ � tu. 
d) A substituição dos elementos u e ¯, da segunda linha �, por 2b e 2t, respectivamente, o determinante da 
nova matriz será igual a 4bt. 
Comentários: 
Temos que a matriz dos coeficientes é dada por � � �b tu ¯�. Além disso, Ó é a matriz dos termos 
independentes e Ò é a matriz das incógnitas. 
Vamos analisar as alternativas. 
a) Se as componentes de Ó forem nulas e o determinante de � for igual a zero, então o sistema terá 
infinitas soluções. CERTO. 
Se as componentes de Ô forem nulas, temos um sistema homogêneo. Nesse caso, se Q � det � � 0, temos 
um sistema possível e indeterminado (SPI), que admite infinitas soluções. O gabarito, portanto, é letra A. 
 
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b) O sistema pode ser representado matricialmente por �Ó � Ò. ERRADO. 
O sistema pode ser representado por �Õ � Ô, pois Ó é a matriz dos coeficientes, que deve estar na equação 
sem multiplicar outra matriz. 
c) O determinante de � é igual a X® � ��. ERRADO. 
O determinante de � é b¯ � tu. 
d) A substituição dos elementos � e ®, da segunda linha �, por �X e ��, respectivamente, o determinante 
da nova matriz será igual a �X�. ERRADO. 
Nesse caso, o determinante seria zero, pois teríamos duas linhas proporcionais: 
§ b t2b 2t§ � >b. 2t? � >t. 2b? � 2bt � 2bt � 0 
Gabarito: Letra A. 
 
Texto para as questões 60, 61 e 62. 
 
Considerando o sistemalinear B P � O � N � 02P � 3O � 2N � 2�P � 2O � 2N � �11, julgue os itens que se segue. 
 (CESPE/SGA AC/2008) D ´ C. 
(CESPE/SGA AC/2008) Todas as soluções do sistema são números naturais. 
 (CESPE/SGA AC/2008) E � C � |D| 
Comentários: 
Antes de resolver os itens da questão, vamos escalonar a matriz completa do sistema e obter a solução. 
7 1 �1 �1 02 3 2 2�1 2 �2 �118 ~G6←�G6I�J� GK 7 1 �1 �1 00 5 4 2�1 2 �2 �118 ~GL←�GLI�GK 71 �1 �1 00 5 4 20 1 �3 �118 
~GL←�GLI�J�
�GK U1 �1 �1 00 5 4 20 0 � 195 � 575 V 
Logo, temos o seguinte sistema linear equivalente: 
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l P � O � N � 0 5O � 4N � 2 � 195 N � � 575 
Da terceira equação, temos: 
� 195 N � � 575 
N � 5719 
E � � 
Da segunda equação, temos: 
5O � 4E � 2 
5O � 4 � 3 � 2 
5O � 2 � 12 
5O � �10 
D � �� 
Da primeira equação, temos: 
P � D � E � 0 
P � O � N 
P � �2 � 3 
C � � 
Portanto, a solução do sistema é �P, O, N � �1, �2, 3 . Vamos analisar os itens. 
Questão 60 
Item ERRADO. O ´ P é uma afirmação falsa, pois, �� não é maior do que 1. 
Questão 61 
Item ERRADO. O não é um número natural, pois O � �2. 
Questão 62 
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Item CERTO. Temos que a expressão é uma igualdade verdadeira, pois N � 3 e P � |O| também é igual a 3. 
N � P � |O| 
3 � 1 � |�2| 
3 � 1 � 2 
3 � 3 
Gabarito: 60 - ERRADO. 61 - ERRADO. 62 - CERTO. 
 
Texto para as questões 63 e 64. 
m bP � 2O � N � 0P � b�O � 3N � 02P � 3O � 5N � 0 
Considerando o sistema homogêneo de equações lineares apresentado acima, em que a é uma constante 
real, julgue os itens que se segue. 
 (CESPE/INPE/2008) Para X � ��, a única solução do sistema é C � D � E � �. 
 (CESPE/INPE/2008) Independentemente do valor de a, o sistema tem apenas a solução C � D � E � �. 
Comentários: 
Note que estamos diante de um sistema linear homogêneo, pois todos os termos independentes são zero. 
Nesse caso, segundo o Teorema de Cramer, temos: 
 
Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes, isto é, o determinante Q � 9b 2 11 b� 32 3 59. 
9b 2 11 b� 32 3 59 b 21 b�2 3 
Parte Negativa Parte Positiva 
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Q � >X. X�. 
 � �. �. � � �. �. �? � >�. X�. � � X. �. � � �. �. 
? 
Q � >5b� � 12 � 3? � >2b� � 9b � 10? 
Q � 5b� � 2b� � 9b � 5 
Vamos analisar as alternativas. 
Questão 63 
Se b � �1, o determinante da matriz dos coeficientes é: 
Q � 5b� � 2b� � 9b � 5 
Q � 5��1 � � 2��1 � � 9. ��1 � 5 
Q � �5 � 2 � 9 � 5 
Q � 7 
Como Q ≠ 0, o sistema é possível e determinado (SPD), admitindo solução única. Como estamos lidando 
com um sistema homogêneo, a solução única é a solução trivial, dada por P � O � N � 0. O gabarito, 
portanto, é CERTO. 
Questão 64 
Quando Q � 0, isto é, quando: 
5b� � 2b� � 9b � 5 � 0 
O sistema linear em questão é possível e indeterminado (SPI). Nesse caso, o sistema admite infinitas 
soluções, dentre as quais a solução trivial P � O � N � 0. O gabarito, portanto, é ERRADO. 
Observação: necessariamente existe um valor real de b que é raiz daquela equação, pois todo polinômio de 
grau ímpar admite solução real. O assunto polinômios não faz parte dessa aula. Caso faça parte do seu edital, 
o tema será visto em outra aula. 
Gabarito: 63 - CERTO. 64 - ERRADO. 
 
 (CESPE/PM DF/2007) Julgue o seguinte item com relação a geometria do plano cartesiano, modelos 
periódicos e modelos lineares. 
 Considere o seguinte sistema de equações lineares homogêneo. 
BC � XD � �E � �XC � D � E � �C � D � E � � 
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Nesse caso, é correto afirmar que, se X � �� ou se X � ��, então esse sistema só admite a solução C � D � E � �. 
Comentários: 
Note que estamos diante de um sistema linear homogêneo, pois todos os termos independentes são zero. 
Nesse caso, segundo o Teorema de Cramer, temos: 
 
Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes, isto é, o determinante Q � 91 b �2b 1 11 �1 �19. 
91 b �2b 1 11 �1 �19 1 bb 11 �1 
Parte Negativa Parte Positiva 
Q � >�. �. ��� � X. �. � � ��� . X. ��� ? � >��� . �. � � �. �. ��� � X. X. ��� ? 
Q � >�1 � b � 2b? � >�2 � 1 � b�? 
Q � 3b � 2 � b� 
Q � b� � 3b � 2 
Note que, para X � �� e para X � ��, temos � �: 
X � �� → Q � ��1 � � 3. ��1 � 2 Q � 1 � 3 � 2 Q � 0 
 X � �� → Q � ��2 � � 3. ��2 � 2 Q � 4 � 6 � 2 Q � 0 
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Portanto, para X � �� e para X � ��, o sistema é possível e indeterminado (SPI), admitindo infinitas 
soluções. O gabarito, portanto, é ERRADO. 
Gabarito: ERRADO. 
 
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LISTA DE QUESTÕES 
Questões FGV 
 (FGV/Pref. Salvador/2019) Considere as matrizes ���� e ����. 
Sobre essas matrizes é correto afirmar que 
a) Existe a soma � � � e é uma matriz 4 � 5. 
b) Existe o produto �� e é uma matriz 4 � 6. 
c) Existe o produto �� e é uma matriz 4 � 6. 
d) Não existe o produto ��. 
e) Não existe o produto ��. 
 
 (FGV/SAD PE/2009) Considere a matriz � � 
 � ��� ��� e seja � um número natural maior que �. Na 
matriz ���, o elemento que ocupa a 1ª linha e 2ª coluna é: 
a) �1 
b) 0 
c) 1 
d) � 
e) 2� 
 
 (FGV/SAD PE/2009) O determinante da matriz �� � �� � �� � �� é: 
a) 22 
b) 9 
c) 0 
d) �6 
e) �10 
(FGV/ALERO/2018) Considere o sistema linear 
�� � �� � �� � ����� � �� � � � ����� � � � �� � ��� 
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212
O valor de � é: 
a) 20. 
b) 22. 
c) 24. 
d) 26. 
e) 28. 
 
(FGV/Pref. SP/2016) Em uma aula, o professor ofereceu a seus alunos o seguinte problema: 
O salário de Paulo é depositado em um banco todo mês. Após juntar o dobro do seu salário e depois de 
pagar a mensalidade da faculdade ficou com 5 mil reais. Dois meses depois, ele tinha em sua conta o valor 
do seu salário e mais o valor de 3 mensalidades da faculdade, o que totalizou 6 mil reais. Paulo constatou 
ainda que se somasse o dobro de seu salário ao valor da mensalidade, resultaria 7 mil reais. 
Encontre um modelo que represente a situação: nomeie � o valor do salário de Paulo e � o valor da 
mensalidade da faculdade. 
Foram três as soluções encontradas por seus alunos: 
• A primeira exibia o sistema de equações �� � � � �� � �� � � como modelo para o problema. 
• A segunda, exibia o sistema de equações ��� � � � �� � �� � ��� � � � ! como modelo para o problema. 
• A terceira solução encontrada exibia a equação � � �"�� � �# � � como modelo para o cálculo do 
salário. 
Todos encontraram como solução para o salário 3 mil reais e para a mensalidade da faculdade, mil reais. 
Com base no caso apresentado, assinale a afirmativa correta. 
a)Os valores do salário e da mensalidade encontrados não estão corretos. 
b) O modelo correto para o problema foi encontrado apenas na primeira solução, já que são equações com 
duas variáveis. 
c) O modelo correto para o problema foi encontrado apenasna segunda solução, já que são equações com 
duas variáveis. 
 
d) O modelo correto para o cálculo da mensalidade foi encontrado apenas na terceira solução, pois essa é 
uma equação com apenas uma variável. 
e) Todos os modelos encontrados estão corretos, embora o terceiro modelo encontre apenas o valor do 
salário, já que a equação tem apenas uma variável. 
 
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193
212
Questões FCC 
(FCC/PM SE/2005) matriz ($%&), tal que � ' ( ' �, � ' ) ' � e $() � ( � ), é igual a 
a) *2 3 4 53 4 6 84 5 8 9/ 
b) 02 3 42 3 422 33 441 
c) 02 3 43 4 545 56 671 
d) *2 3 4 53 4 5 64 5 6 7/ 
e) *2 3 4 52 3 4 52 3 4 5/ 
 
(FCC/IBMEC/2019) Sejam x, y, z e w os números reais que satisfazem a seguinte equação matricial: 
3� � �� � � 4�� � 4 � � �5 � 
� �� �� 
Então, a soma x + y + z + w é igual a 
a) �1 
b) 0 
c) 2 
d) 5 
e) 3 
 
 (FCC/TRT 11/2017) Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem 2 em que 
� � 6 7� ��7� � �7 �� � �8 
e 
� � 9�7 � � ���� ��: . 
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212
Se � � �, então considerando os valores reais de 7 e � que tornam verdadeira esta igualdade, verifica-
se que 7� é igual a 
a) 3 
b) 4 
c) 2 
d) 6 
e) 1 
 
(FCC/SEDU ES/2018) A multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa em geral, porém, 
existem exemplos de matrizes que comutam na multiplicação. Um exemplo de duas matrizes que 
comutam na multiplicação é: 
a) 91 23 4: e 94 32 1: 
b) 91 12 2: e 92 21 1: 
c) 91 20 1: e 93 20 3: 
d) 91 11 0: e 91 11 1: 
e) 91 72 1: e 90 10 0: 
 
 (FCC/PM SE/2005) A solução real da equação <�� �� �� � �� � �< � � é 
a) 1 
b) 0 
c) �1 
d) �2 
e) �3 
 
(FCC/IBMEC/2019) Considere o seguinte sistema linear, nas incógnitas � e �: 
 � � �� � ���� � =� � � 
O valor de k para que este sistema seja impossível (isto é, não tenha soluções) é 
a) − 4 
b) 0 
c) 4 
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212
d) − 2 
e) 1 
 
 (FCC/TRT 11/2017) O sistema de equações lineares �� � �� � ���� � �� � �� é equivalente ao sistema 
��� � �� � ���� � �� � ��>� � ?� � >�, em que � e � são as incógnitas reais dos sistemas. Se @ � "� � �# e ? é um parâmetro 
real, então 
a) S = 2,00K 
b) S = 0,80K 
c) S = 0,75K 
d) S = 1,25K 
e) S = 1,50K 
 (FCC/SEE MG/2012) Se a, b e c são soluções do sistema � $ � �A � !�$ � B � ��$ � �A � �B � �, então a soma "$ � A � B# 
vale 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
 
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212
Questões VUNESP 
 (VUNESP/EsFCEx/2021) Considere as matrizes � � 9$ �� A: e � � 9�� �� ��:. Se � � �� � ��, então o 
valor de $ C A é igual a: 
a) �3 
b) �2 
c) �1 
d) 3 
e) 5 
 
 (VUNESP/PC-SP/2014) Considere as matrizes D � �� �� �� � �� �� �� e E � ����� �. Em relação a DE, que é 
o produto da matriz D pela matriz E, é correto afirmar que 
a) FG � * 2 1 20 �1 1�6 �4 1/ 
b) FG � *�2 �1 10 1 12 �2 23/ 
c) FG � "0 2 3# 
d) FG � *�2 1 �10 0 02 �4 4 / 
e) FG � *023/ 
 
 (VUNESP/Pref. Sertãozinho/2018) O produto da matriz ���� � "$(,)# � ( – ) pela matriz ���� � "A(,)# � ( � ) é a matriz 
a) �0 �3 �23 0 �14 5 0 � 
b) 90 �33 0 : 
c) 9�2 �1 04 3 5: 
d) 9�11 �14�2 �2 : 
e) 9 5 �4 1�1 0 �2: 
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212
(VUNESP/MPE SP/2019) Sejam � e � duas matrizes quadradas quaisquer, de mesma ordem, e J um 
número real qualquer. Nessas condições, é correto afirmar que 
a) �� � �� 
b) ��KL � MN 
c) O"��# � "O�#� 
d) "O�#KL � LP �KL 
e) "��#KL � �KL�KL 
 
(VUNESP/CM Barretos/2010) Considere a matriz real: � � 9� �� �: 
O determinante de � vale 
a) 1 
b) 2 
c) �1 
d) �2 
e) 3 
 
 (VUNESP/CM Barretos/2010) Para que o determinante da matriz 
� � 9� �> ��: 
seja nulo, o valor de � deve ser 
a) 1 ou -1 
b) 2 ou -2 
c) 3 ou -3 
d) 4 ou -4 
e) 5 ou -5 
 
(VUNESP/PC SP/2013) Considere a matriz 
D � *� � =� � �� � �/ 
 e a equação em x dada por QRS D � �. 
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==275324==
 Sendo = uma constante real, pode-se afirmar sobre a equação que 
a) tem raízes x1 = – 2 e x2 = 2 para k = 0. 
b) é uma equação de 2.º grau. 
c) tem uma raiz real para k ≠ – 0,5. 
d) não possui raízes reais. 
e) sua raiz é dada por 2k + 1 para todo k. 
 
(VUNESP/Pref. N Odessa/2018) Gertrudes, que é doceira, recebeu três encomendas para festas. Sabe-
se que, em cada uma das encomendas, foram usadas quantidades diferentes de ovos, iguais a �, � e �, tais 
que � � � � ��, � � � � �� e � � � � �>. Desse modo, é correto afirmar que, para a produção dessas 
três encomendas, Gertrudes usou uma quantidade de ovos igual a 
a) 3,5 dúzias. 
b) 4 dúzias. 
c) 4,5 dúzias. 
d) 5 dúzias. 
e) 5,5 dúzias. 
 
(VUNESP/CM Marília/2017) Uma editora enviou para uma biblioteca três pacotes que tinham, 
respectivamente, �, 4 e � livros em cada um. Sabendo-se que � � 4 � ��, � � � � �� e 4 � � � �>, é correto afirmar que os três pacotes tinham, juntos, um número total de livros igual a 
a) 54. 
b) 56. 
c) 58. 
d) 60. 
e) 64. 
 
 (VUNESP/TJ SP/2017) Os preços de venda de um mesmo produto nas lojas X, Y e Z são números inteiros 
representados, respectivamente, por �, � e �. Sabendo-se que � � � � ���, � � � � ��� e � � � � �T�, então a razão 
�� é: 
a) 
UV 
b) 
WX 
c) 
YU 
 
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d) 
UZ 
e) 
LU 
 
 (VUNESP/CM Itatiba/2015) Nas somas apresentadas, cada uma das quatro letras a, b, c e d representa 
um número formado por um algarismo. $ � A � B � [ � �� $ � A � B � T $ � A � [ � �� A � B � [ � �� 
Nessas condições, é correto afirmar que 
a) d + a = 8. 
b) c – a = 2. 
c) c + b = 6. 
d) a + b = 5. 
e) d – c = 2. 
 
 (VUNESP/Pref. SJC/2012) 
\√!�T� � � √���� � � �� � ���√���√�!� � � √��� � �� � !� 
Os valores das incógnitas x e y que satisfazem esse sistema de equações são, respectivamente, 
a) 10 e 8. 
b) 8 e 10. 
c) 12 e 6. 
d) 6 e 12. 
e) 8 e 12. 
 
 (VUNESP/UNCISAL/2009) O sistema a seguir representa as quantias que dois amigos possuem, sendo 
x a quantia de Paulo e y a quantia de Luiz: 
\ � � �� � � >�� � ���� � � � �� 
A diferença entre as duas quantias é igual a 
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a) R$ 10.000,00. 
b) R$ 12.000,00. 
c) R$ 15.000,00. 
d) R$ 18.000,00. 
 
 (VUNESP/Pref. Sorocaba/2006) Resolvendo o sistema ^ �_�� � �K�� � ����K�� � � � � � � pode-se afirmar que �� � �� 
vale 
a) 122. 
b) 120. 
c) 118. 
d) 116. 
e) 114. 
 
 (VUNESP/Pref. Peruíbe/2019) É correto afirmar que o sistema linear $� � �� � $ � ��� � �� � �$ 
a) é possível e determinado para qualquer valor de `. 
b) é possível e determinado para ` � 1. 
c) é possível e indeterminado para ` � 1. 
d) é possível e determinado para ` � 2. 
e) é impossível para ` � 5. 
 
 (VUNESP/Pref. Cerquilho/2019) Considere o seguinte sistema linear, sendo = um parâmetro real:@ � � � � � � � � >��, ��� � �, ��� � =� � ��� � �� � � 
O sistema @ será: 
 
a) possível e determinado, se a � LV. 
b) possível e indeterminado, se a � LV. 
c) impossível, se a � LV. 
d) impossível, se a b LV. 
e) possível e indeterminado, se a b LV. 
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 (VUNESP/PM SP/2018) O sistema linear � � � �� � �� � ���� � !� � !� � �>��� � �� � � � J � �terá solução somente quando o valor 
de J for igual a 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
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212
Questões CESPE 
Texto para as questões 31 e 32 
Um importante algoritmo para a resolução de problemas que envolvem matrizes (por exemplo, resolução 
de sistemas lineares, cálculo da matriz inversa, determinantes etc.) consiste em efetuar operações 
elementares sobre as linhas da matriz. Essas operações incluem multiplicação de uma linha da matriz por 
um número não nulo; adição a uma linha de um múltiplo de outra linha; permutação de linhas. Com relação 
a essas operações, considere a matriz B obtida da matriz � � *1 0 �22 �1 �22 �1 �1/ depois de efetuada a seguinte 
sequência de operações elementares: substituição da linha 3 pela linha 3 menos a linha 2; substituição da 
linha 2 pela linha 2 menos duas vezes a linha 1. Com base nessas informações, julgue o item que se segue, 
acerca da matriz B. 
 (CESPE/CBM DF/2011) Na linha 3 da matriz B, há apenas um elemento nulo. 
 (CESPE/CBM DF/2011) A soma dos elementos da linha 2 da matriz B é igual a 1. 
 
 (CESPE/PC-DF/2013) Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um 
empregado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação, para qualquer 
telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha estabelecido limite de R$ 200,00 
e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará com as despesas, julgue o item a seguir. 
Considere que, em uma nova missão, o preço das ligações tenha passado a depender da localidade, mesma 
cidade ou cidade distinta da de origem da ligação, e do tipo de telefone para o qual a ligação tenha sido 
feita, celular, fixo ou rádio. As tabelas abaixo mostram quantas ligações de cada tipo foram feitas e o valor 
de cada uma: 
 
Tabela I: número de ligações realizadas por tipo de telefone 
 
 
Tabela II: preço de cada ligação, em reais 
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212
Nessas condições, se � � 9� � �! � �: for a matriz formada pelos dados da tabela I, e � � ��, �� �, ���, �� �, ���, �� �, ��� 
for a matriz formada pelos dados da tabela II, então a soma de todas as entradas da matriz A � B será igual 
ao valor total das ligações efetuadas. 
 
 (CESPE/SEDF/2017) Considerando a matriz � � �� � ��� �� ��� � ���, julgue o próximo item. 
Se c � dc()e, 1 ≤ i , j ≤ 3, tal que c � �� , então c�� – c�� f ���. 
 
 (CESPE/IBAMA/2013) Julgue o item subsequente, relacionado a problemas aritméticos, geométricos e 
matriciais. 
Considere que � e � sejam matrizes distintas, de ordem � � �, com entradas reais e, em cada matriz, três 
das quatro entradas sejam iguais a zero. Além disso, considere também que � � � � � � � � � � � � g, em que g é a matriz nula, isto é, a matriz em que todas as entradas 
são iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, � � g ou � � g. 
 
 (CESPE/IFF/2018) Considere que k seja um número real e que o determinante da matriz � � 9� =� T: 
seja igual a 27. Nesse caso, se � � 9� ��T � : então o determinante da matriz B − A, será igual a: 
a) 30. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 6. 
e) 10. 
 
(CESPE/SEDUC AL/2018) Julgue o item que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares. 
Se $ é um número real e se o determinante da matriz h � 9$ �� $ � �: � � 9 � ���� � : for igual a zero, 
então $ � � � ou $ � �. 
 
(CESPE/ABIN/2010) Considerando a matriz � � *� � �� � �� � �/ e os vetores i � *� �� �� �/ e A � * A�A� A� /, 
julgue o item a seguir. 
O determinante de � é igual a – �. 
 
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 (CESPE/SEDF/2017) Considerando a matriz � � �� � ��� �� ��� � ���, julgue o próximo item. 
Se � � �� �, então o determinante de B é maior que 200. 
 
(CESPE/SEDUC CE/2013/Adaptada) Considerando a matriz � � �� � �� � �� � ��, o determinante de �� é 
igual a: 
a) �16. 
b) 0. 
c) 16. 
d) 20. 
e) 81. 
 
 (CESPE/MS/2008) Se uma matriz quadrada � � "J()# tem dimensão � � � e é tal que "J()# � �, se ( ' ) e "J()# � ( � ), se ( f ), então o determinante de � é um número estritamente positivo. 
 
Texto para as questões 42, 43 e 44 
 
Considerando as matrizes � � �2 �1 51 0 42 2 0�, � � �3 0 03 0 03 0 0� e j � �1 0 00 1 00 0 5�, julgue os itens a seguir. 
 
 (CESPE/SEDU-ES/2012) Como d[kl �e² � [kl �, então [kl � � �. 
 (CESPE/SEDU-ES/2012) É correto afirmar que QRSd� � � � ce � QRS �. 
 (CESPE/SEDU-ES/2012) QRS �� � �T�. 
 
(CESPE/PETROBRAS/2008) Se A é uma matriz quadrada invertível, então 
a) detd� � �qe � ddet �e², em que �q é a matriz transposta da matriz �. 
b) det d� � �e � 2 � det �. 
c) det � � det �q � 0. 
d) det d� � �KLe � 0. 
e) det � � det �KL. 
 
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205
212
 (CESPE/PETROBRAS/2008) Considere que � � 
$ AB [� seja uma matriz invertível, � � �K� seja a 
inversa de � e c � 
 $ AB � �$ [ � �$�. Nesse caso, é correto afirmar que, para toda matriz �, invertível, 
tem-se que 
a) det � � det �. 
b) det j � 2 � det �. 
c) det d� � �e � 1. 
d) det d� � �e � 2 � det �. 
e) det d� � �KLe � 1. 
 
 (CESPE/IFF/2018) Considere que �, � e c sejam matrizes quadradas, de mesma dimensão e com 
entradas reais. Assinale a opção correta a respeito das propriedades dessas matrizes, assumindo que QRS "i# é o determinante da matriz i e il é a matriz transporta da matriz i. 
a) Se a matriz � for antissimétrica, isto é, se �q � ��, então det"�# � 0. 
b) Se � não for matriz nula e se �� � �j, então � � j. 
c) Se "� � �#² � "� � �#², então �� � ���. 
d) Se �� b ��, então rst"��# b rst"��#. 
e) rst"2�# � 2rst"�#. 
 
(CESPE/SEDUC AL/2018) Julgue o item que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares. 
Se P for uma matriz simétrica, então P será inversível. 
 
 (CESPE/Pref. São Cristóvão/2019) Para a matriz � � u� �� � �� � � �� �� � � � � �v, tem-se que [kl"�# � �� e, 
consequentemente, � é uma matriz inversível. 
 
(CESPE/Pref. São Cristóvão/2019) Com relação a sistemas lineares e análise combinatória, julgue o 
item. 
Para todo sistema linear da forma �i � �, em que � é uma matriz quadrada 7 � 7, i e � são matrizes 
colunas 7 � �, e [kl"�# � �, o sistema não tem solução. 
 
 
 
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206
212
 (CESPE/IFF/2018) Considere que � � "$()# seja uma matriz quadrada de dimensão � � � e de 
entradas reais; que � � "A(# seja uma matriz coluna, de dimensão � � � e de entradas reais, e que i �"�(# seja a matriz das incógnitas, uma matriz coluna de dimensão � � �. Nesse caso, para se resolver o 
sistema matricial �i � �, o método indicado é o denominado 
a) método de diferenças finitas. 
b) método de quadratura de Gauss. 
c) método de Simpson.d) método de elementos de contorno. 
e) método de eliminação de Gauss. 
 
 (CESPE/SEDUC CE/2009/Adaptada) Acerca da matriz � � �$ � � $ � � $ � �$ � � � �$ � � � �� �, em que $ é um 
número real, julgue o item a seguir. 
Se $ b �, então a equação matricial �i � g, em que i � w���x e g � ����� é a matriz nula de ordem � � �, 
tem uma única solução. 
 
(CESPE/SEDUC AL/2013/Adaptada) O sistema � �� � �� � �� � �. ����� � �� � �� � �. ����� � �� � �� � �. ��� é impossível. 
 
 (CESPE/SEDUC AL/2013/Adaptada) O sistema � �� � �� � �� � ������ � �� � �� � �. ����� � �� � �� � �. ��� é possível e indeterminado. 
 
 (CESPE/IFF/2018) Considere o sistema S de m equações lineares e n incógnitas, mostrado abaixo. $���� � $���� � … � $���� � A� $���� � $���� � … � $���� � A� $7��� � $7��� � … � $7��� � A7 
Nesse sistema, ��, ��, … , �� são as incógnitas, os coeficientes $%& e os A( são números reais, para � ' ( ' 7 e � ' ) ' �. A respeito das propriedades e das soluções do sistema S, assinale a opção 
correta. 
a) Considere que z � � e que � � "`{|# — a matriz dos coeficientes de S — seja tal que rst"�# � 0. 
Nesse caso, S não possui solução. 
b) Se O � "OL, OY, … , O}# e ~ � "~L , ~Y, … , ~}# são soluções de S e se r é um número real qualquer, então O � ~ � "OL � ~L, OY � ~Y, … , O} � ~}# e �O � "�OL, �OY, … , �O}# são também soluções de S. 
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207
212
c) Se z � �, então S possui infinitas soluções. 
d) Se z � � e se o sistema homogêneo associado a S — isto é, o sistema com os mesmos coeficientes `{| 
apenas considerando todos os �{ � 0 — tiver solução única, então o sistema S também terá solução única. 
 
 (CESPE/SEDUC AL/2018) Julgue o item que se segue, relativos a matrizes e sistemas lineares. 
Um sistema linear escrito na forma matricial hi � � i, em que h é uma matriz � � � de coeficientes 
constantes e i é a matriz das incógnitas, � � �, tem solução única se, e somente se, a matriz h � � for 
inversível (� é a matriz identidade � � �). 
 
 (CESPE/Pref. São Luís/2017) Um sistema linear de 4 equações e 4 incógnitas pode ser escrito na forma 
matricial como �i � �, em que � é a matriz, de ordem � � �, dos coeficientes da equação; i é a matriz 
coluna, de ordem � � �, das incógnitas da equação e � é a matriz coluna, de ordem � � �, dos termos 
independentes da equação. 
Com referência a essas informações, assinale a opção correta. 
a) Se �L, �Y e �U forem matrizes, de ordem 4 � 1, que são soluções distintas da referida equação matricial, 
então o determinante de � será igual a zero. 
b) Se a matriz � tiver exatamente duas linhas iguais, então o sistema terá exatamente duas soluções distintas. 
c) Se todos os elementos da matriz � forem iguais a zero e o determinante de � for igual a zero, então o 
sistema não terá solução. 
d) Se uma matriz j, de ordem 4 � 1, possuir dois elementos positivos e dois negativos e for tal que �j � �, então o determinante de � será diferente de zero. 
e) Se o determinante da matriz � for igual a zero, então � terá pelo menos duas linhas iguais. 
 
 (CESPE/CGE MG/2009) Em um concurso estadual, foram aprovados x candidatos, que serão 
distribuídos para trabalharem em y cidades do estado. Na hipótese de serem encaminhados 2 candidatos 
para cada cidade, sobrarão 70 candidatos para serem distribuídos. Entretanto, no caso de serem 
encaminhados 3 candidatos para cada cidade, será necessário convocar mais 40 candidatos classificados 
nesse concurso. 
Para determinação dos valores � e �, obtém-se um sistema linear de duas equações com incógnitas � e �. 
A ele está associada uma matriz D, formada pelos coeficientes das variáveis das suas equações. Assinale 
a opção correta a respeito da solução desse sistema. 
a) A matriz F tem determinante diferente de zero. 
b) O sistema é homogêneo. 
c) O sistema é compatível e indeterminado. 
 
 
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d) A matriz F é não-inversível. 
e) A matriz F não pode ser transformada por meio de operações elementares sobre suas linhas na matriz 
identidade 2 por 2. 
 
 (CESPE/PETROBRAS/2008/Adaptada) Considerando que A seja a matriz formada pelos coeficientes do 
sistema $� � A� � �B� � [� � �, que � � 
��� e que, � � 
��� assinale a opção correta. 
a) Se as componentes de � forem nulas e o determinante de � for igual a zero, então o sistema terá infinitas 
soluções. 
b) O sistema pode ser representado matricialmente por �� � �. 
c) O determinante de � é igual a `r � ��. 
d) A substituição dos elementos � e r, da segunda linha �, por 2` e 2�, respectivamente, o determinante da 
nova matriz será igual a 4`�. 
 
Texto para as questões 60, 61 e 62. 
 
Considerando o sistema linear � � � � � � � 02� � 3� � 2� � 2�� � 2� � 2� � �11, julgue os itens que se segue. 
 (CESPE/SGA AC/2008) � f �. 
(CESPE/SGA AC/2008) Todas as soluções do sistema são números naturais. 
 (CESPE/SGA AC/2008) � � � � |�| 
 
Texto para as questões 63 e 64. 
^ `� � 2� � � � 0� � `Y� � 3� � 02� � 3� � 5� � 0 
Considerando o sistema homogêneo de equações lineares apresentado acima, em que a é uma constante 
real, julgue os itens que se segue. 
 (CESPE/INPE/2008) Para $ � ��, a única solução do sistema é � � � � � � �. 
 (CESPE/INPE/2008) Independentemente do valor de a, o sistema tem apenas a solução � � � � � � �. 
 
 
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 (CESPE/PM DF/2007) Julgue o seguinte item com relação a geometria do plano cartesiano, modelos 
periódicos e modelos lineares. 
 Considere o seguinte sistema de equações lineares homogêneo. 
�� � $� � �� � �$� � � � � � �� � � � � � � 
Nesse caso, é correto afirmar que, se $ � �� ou se $ � ��, então esse sistema só admite a solução � � � � � � �. 
 
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GABARITO 
 LETRA D 
 LETRA B 
 LETRA D 
 LETRA C 
 LETRA E 
 LETRA D 
 LETRA C 
 LETRA C 
 LETRA C 
 LETRA A 
LETRA A 
 LETRA D 
 LETRA D 
 LETRA A 
 LETRA E 
 LETRA D 
 LETRA C 
 LETRA A 
 LETRA D 
 LETRA C 
LETRA C 
 LETRA A 
 LETRA C 
 LETRA E 
 LETRA A 
 LETRA B 
 LETRA A 
 LETRA D 
 LETRA C 
 LETRA D 
 ERRADO 
 CERTO 
 ERRADO 
 CERTO 
 ERRADO 
 LETRA D 
 CERTO 
 ERRADO 
 ERRADO 
 LETRA C 
 ERRADO 
 ERRADO 
 CERTO 
 CERTO 
 LETRA A 
 LETRA C 
 LETRA C 
 ERRADO 
 CERTO 
 ERRADO 
 LETRA E 
 ERRADO 
 CERTO 
 ERRADO 
 LETRA D 
 CERTO 
 LETRA A 
 LETRA A 
 LETRA A 
 ERRADO 
 ERRADO 
 CERTO 
 CERTO 
 ERRADO 
 ERRADO 
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