Exercícios Produto Interno Real

Prévia do material em texto

46 Linear Aplicada 1.8 Exercícios 1) Verifique se, produtos abaixo são produtos internos para os espaços vetoriais V dados: a) R² = b) V = > = + c) V = P₂ ; = + e) V = = f) V = = ah+de+bf+cg. g) = R² ; considere os vetores como matrizes coluna 2x1 e A = Logo, = 2) No exercício 1 itens a) e) e g) : a) Dê exemplos, para cada item, de uma base ortogonal para V. b) Determine a norma, respectivamente, dos vetores c) Dê exemplos, para cada item, de uma base ortonormal para V. 3) Mostre que: Em qualquer produto interno de um espaço vetorial V, 4) Dada a base ß 2, do R³, considere o produto interno em relação à essa base. Se = V = e W = (31, -12, 8)', calcule os produtos internos:Produto Interno Real 47 d) Escreva, se possível, vetores e = como combinação linear da base obtida no item b. e) Complete a base obtida no item b para obter uma base ortonormal para o f) Qual é a dimensão de ? Justifique. g) Qual é a relação entre as dimensões de e de Justifique. h) Determine uma equção para S. 6) Considere 0 subespaço S do R⁴ gerado pelos vetores do conjunto: C Trabalhando com produto interno usual no R⁴: a) Ortogonalize usando processo de ortogonalização de Gram- Schmidt, iniciando pelo vetor de C. b) Qual é a dimensão de S? Justifique. c) Ache a projeção ortogonal do vetor = (0,0,1,0) em S. d) Obtenha uma base para complemento ortogonal de S. e) Qual é a dimensão de Justifique. f) Determine uma equação para S. g) vetor v' = (1,1,-1,0) pertence a S? h) Encontre uma base ortonormal ß do R⁴ que contenha uma base de S. i) Dado w' = (3,0,0,0), calcule 7) Dado subespaço gerado do R⁴, usando produto interno usual: a) Encontre uma base ortogonal para S. b) Determine equações para c) Obtenha uma base para d) Obtenha uma base ortogonal para e) Complete a base obtida para s para obter uma base ortogonal para R⁴. 8) Considere R³ com o produto interno usual, os vetores (1,2,3)', e e o plano π de equação a) Determine as projeções ortogonais dos vetores no plano π. b) Determine as projeções ortogonais dos vetores em c) Analise as respostas obtidas. 9) Dado subespaço gerado R³ com produto interno usual: a) Determine uma base ortogonal para S. b) Qual é a dimensão de S? c) Os geradores de S, que foram dados, são linearmente independentes? d) Encontre complemento ortogonal de S. e) Sem resolver sistemas e sem fazer produto vetorial, ache equação para S.48 Álgebra Linear Aplicada 10) Considere R³ com produto interno usual: a) Invente uma base ortogonal ß do R³ diferente da base canônica. b) Escreva os vetores e V como combinação linear de usando os coeficientes de Fourier, se possível. c) Calcule produto interno de и por V na base ß. d) Considerando agora o produto interno em relação à base ß, use 0 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal para R³, a partir da base 2, e) Usando produto interno em relação à base obtenha uma base ortonormal para R³ a partir da base encontrada no item anterior. 11) Dada a base = do R³ considere o produto interno em relação a essa base. a) Mostre que a base canônica do R³ não é ortogonal e verifique quais vetores da base canônica são unitários. b) Ache uma base ortonormal do R³. 12) Considere subespaço C[-π, π] das funções contínuas de [-π, π] CR em R, com produto interno definido por g(t) > f(t) g(t) dt. a) Mostre que esse é um produto interno. b) Dado {1, sen(t) cos(t) verifique se esse é um conjunto ortogonal ou ortonormal. c) Calcule a projeção ortogonal de f(t) no subespaço gerado [1, sen(t), cos(t) 13) Considere espaço vetorial 80 de todos os polinômios de qualquer grau e P₂ C subespaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a dois. Dado produto interno definido por = soma dos produtos dos coeficientes de mesmo grau. a) Mostre que 80 é realmente um espaço vetorial. b) Mostre que esse é um produto interno. c) Encontre uma base ortonormal para P₂. d) A base encontrada no item anterior é ortonormal, quando é usado produto interno do exercício anterior com a integral de zero a um ? (Considere nesse caso domínio dos polinômios com 0 intervalo [0, 1] ) e) A partir do item anterior, use Processo de Ortogonalização de Gram- Schmidt para obter uma base ortonormal paraProduto Interno Real 49 14) Encontre uma base ortonormal para subespaço de P₂, dos polinômios de graus menores ou iguais 2, gerado por com produto interno sobre P₂ definido por50 Álgebra Linear Aplicada 1.9 Respostas de Alguns Exercícios 1) a) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Sim f) Não g) Sugestão: Sim. 2) b) 3, √2. 4) 0, = 1, b) = (3, -5, -1, 3)', 522/22 2, -4, }. c) dim = 3. d) = ; S. e) U f) dim g) dim + dim = dim = 4. h) b) dim S = 3. c) d) e) dim = f) g) Não. h) (0, i) = b) c) 8) A projeção de (1,2,3)' é pertence ao plano, logo sua projeção é próprio (1,-2,1)'. perpendicular ao plano, sua projeção é a origemProduto Interno Real 51 9) a) b) dim S = 2. c) Não. d) e) 11) a) Nenhum deles. b) ß. 12) b) Os três primeiros vetores são ortogonais, mas sen²(t) não é ortogonal em relação aos outros. c) 2 sen (t). 13) a) é subespaço do espaço vetorial das funções reais, logo é um espaço vetorial. c) d) Não. e) { t+ 14) 15) a) Não, A⁻¹ = ½ -2/5 1/14 3/14 0 b) Sim, B⁻¹ = -3/70 c) Não, C⁻¹ = d) Não, D⁻¹ = 0 e) Sim, f) Sim, = 16) b) c) 17) a) y = 9.8 2.7. b) y ≈ 18) y = 1.2 + 1.1.