Crescimento e Decrescimento de Funções

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 17: Crescimento e Decrescimento de Funções e Teste da Primeira Derivada.
Objetivos da Aula
� De�nir funções crescentes e decrescentes;
� Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função;
� Apresentar e utilizar o teste da primeira derivada para determinar extremos relativos.
1 Funções Crescentes e Decrescentes
Segue a de�nição abaixo:
De�nição 1. Sejam f : A→ B uma função, A,B ⊂ R e x1, x2 ∈ Df . De�nimos que f é uma
(i) função não-decrescente se x1 < x2 implica que f(x1) ≤ f(x2);
(ii) função crescente se x1 < x2 implica que f(x1) < f(x2);
(iii) função não-crescente se x1 < x2 implica que f(x1) ≥ f(x2);
(iv) função decrescente se x1 < x2 implica que f(x1) > f(x2).
Seguem abaixo alguns exemplos.
Figura 1: Exemplo de uma função não-decrescente.
1
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Figura 2: Exemplo de uma função crescente.
Figura 3: Exemplo de uma função não-crescente.
Figura 4: Exemplo de uma função decrescente.
Existem funções que não são crescentes e nem decrescentes em todo o seu domínio, ou seja, uma função
pode ser crescente em uma parte do seu domínio e decrescente em outra parte. Um exemplo de função
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com essa propriedade é a função quadrática, dada por f(x) = x2 +
1
2
; note que para x < 0 a função é
decrescente e para x > 0 a função é crescente, como podemos ver no grá�co de f .
Figura 5: Grá�co da função f(x) = x2 +
1
2
.
2 Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Uma das aplicações do Teorema do Valor Médio é demonstrar o teorema que nos permite obter os
intervalos de crescimento e de decrescimento de uma função. Tal resultado nos diz que podemos determinar
esses intervalos apenas analisando o sinal de sua derivada.
Teorema 1. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no aberto (a, b), então:
(a) se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em (a, b).
(b) se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em (a, b).
Exemplo 1. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x2 +
1
2
.
Solução: Derivando a função, temos f ′(x) = 2x. Como f ′(x) = 2x > 0 para todo x > 0, então f(x)
cresce no intervalo (0,+∞). De forma análoga, como f ′(x) = 2x < 0 para todo x < 0, então f(x)
decresce no intervalo (−∞, 0).
�
Exemplo 2. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x3.
Solução: Derivando a função, temos f ′(x) = 3x2. Como x2 ≥ 0 para todo x, o intervalo de crescimento
é R = (−∞,+∞). Desta forma não temos intervalo de decrescimento.
�
Exemplo 3. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 3x4−4x3−12x2+5.
Solução: Derivando a função, temos:
f ′(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x− 2)(x+ 1).
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Para fazer o estudo do sinal, utilizamos o seguinte quadro abaixo:
Desse modo, f é decrescente em (−∞,−1) ∪ (0, 2) e crescente em (−1, 0) ∪ (2,+∞). Observe
gra�camente:
Figura 6: Grá�co da função f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5.
�
Exemplo 4. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 2 cosx + cos2 x,
x ∈ [0, 2π].
Solução: Note que
f ′(x) = −2 sen(x)− 2 cos(x) sen(x).
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Para estudar o sinal de f ′, podemos determinar os pontos em [0, 2π] tais que
f ′(x) > 0
−2 sen(x)− 2 cos(x) sen(x) > 0
sen(x) + cos(x) sen(x) < 0
sen(x)(1 + cos(x)) < 0.
Note que 1+ cos(x) ≥ 0 para todo x ∈ [0, 2π], logo, para que f ′(x) < 0, devemos obter os pontos nos
quais o seno de x é negativo. Dessa forma,
f ′(x) > 0 se π < x < 2π.
Analogamente, obtermos que
f ′(x) < 0 se 0 < x < π,
e assim, temos que f é decrescente em (0, π) e crescente em (π, 2π), como pode ser mostrado no grá�co
abaixo:
Figura 7: Grá�co da função f(x) = 2 cosx+ cos2 x.
�
Exemplo 5. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 4x2 +
1
x
.
Solução: Note que
f ′(x) = 8x− 1
x2
=
8x3 − 1
x2
.
Como x2 ≥ 0 para todo x ∈ R, então o sinal de f ′ é determinado pela função que está no numerador.
Fatorando, temos que
8x3 − 1 = (2x)3 − 13 = (2x− 1)(4x2 + 2x+ 1).
Como o segundo fator é um polinômio irredutível de grau 2 e com concavidade para cima, então podemos
concluir que 4x2 + 2x + 1 > 0 para todo x ∈ R. Logo, o sinal de f ′ é determinado pelo fator 2x − 1,
que pode ser entendido como uma reta que passa pelos pontos (0,−1) e
(
1
2
, 0
)
. Perceba que f ′ não está
de�nida em zero. Logo, o sinal de f ′ e os intervalos de crescimentos são dados pelo quadro a seguir:
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Sendo assim, a função f decresce no intervalo (−∞, 0) ∪
(
0,
1
2
)
e cresce no intervalo
(
1
2
,+∞
)
.
Observe gra�camente:
Figura 8: Grá�co da função f(x) = 4x2 +
1
x
.
�
3 Teste da Primeira Derivada
Mostramos anteriormente que se f tem um máximo ou mínimo local em x = c, então c deve ser um
número crítico de f , mas nem todo número crítico dá origem a um máximo ou mínimo. Consequentemente,
necessitamos de um teste que nos diga se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um certo ponto
crítico.
Teorema 2. Suponha que c seja um número crítico de uma função derivável f .
1. Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em x = c, então f tem um máximo local em x = c.
2. Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em x = c, então f tem um mínimo local em x = c.
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Exemplo 6. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x
e seus extremos relativos.
Solução: Derivando f , obtemos f ′(x) = 6x2 + 6x− 36 = 6(x− 2)(x+ 3). Os números críticos ocorrem
quando f ′(x) = 0, logo x = 2 e x = −3. Fazendo o estudo do sinal de f ′, obtemos:
Assim, temos que:
� f é crescente no intervalo (−∞,−3) ∪ (2,+∞);
� f é decrescente no intervalo (−3, 2).
Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, podemos concluir que x = −3 é um máximo relativo de f
e x = 2 é um mínimo relativo. Os valores da função nestes pontos, isto é, f(−3) = 81 é dito um valor
máximo relativo de f e f(2) = −44 um valor mínimo relativo. Veja um esboço do grá�co de f abaixo:
Figura 9: Grá�co da função f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x.
�
Exemplo 7. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x2e−x e seus
extremos relativos.
Solução: Calculando f ′, temos que
f ′(x) = (x2)′e−x + x2(e−x)′ = 2xe−x − x2e−x = (2− x)xe−x.
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Logo, como f ′ está de�nida para todo x ∈ R, então os seus pontos críticos são os zeros da sua derivada.
Desse modo, como e−x > 0 para todo x ∈ R, apenas o fator (2− x)x determinará o sinal de f ′. Fazendo
o estudo do sinal de f ′, obtemos:
Desse modo, temos que:
� f é decrescente no intervalo (−∞, 0) ∪ (2,+∞);
� f é crescente no intervalo (0, 2).
Pelo Teste da Primeira Derivada segue que x = 0 é mínimo local e x = 2 é máximo local. Gra�camente,
temos:
Figura 10: Grá�co da função f(x) = x2e−x.
�
Exemplo 8. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x
x2+1
e seus
extremos relativos.
Solução: Derivando f , temos que
f ′(x) =
(x)′(x2 + 1)− x(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
=
x2 + 1− 2x2
(x2 + 1)2
=
1− x2
(x2 + 1)2
.
Note que (x2 + 1)2 > 0 para todo x ∈ R. Logo, apenas a função g(x) = 1− x2 determinará o sinal de
f ′. Dessa forma, utilizando o quadro abaixo:
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obtemos que:
� f é decrescente no intervalo (−∞,−1) ∪ (1,+∞);
� f é crescente no intervalo (−1, 1).
Pelo Teste da Primeira Derivada segue que x = −1 é mínimo local e x = 1 é máximo local. Gra�camente,
temos:
Figura 11: Grá�co da função f(x) =
x
x2 + 1
.
�
Exemplo 9. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) =
√
x e seus extremos
relativos, se existirem.
Solução: Note que
f ′(x)=
1
2
√
x
.
Agora, note que em x = 0 a função f ′ não está de�nida, porém, a função f está, pois f(0) = 0. Logo,
x = 0 é um ponto crítico da função f . E, observe que f ′(x) > 0. Logo, a função f é estritamente crescente
para x > 0. Como o teste da primeira derivada necessita do sinal de f ′ antes e depois do ponto crítico,
não podemos aplicá-lo nesse exemplo. Mas perceba que se a função f é estritamente crescente, então para
todo x > 0 teremos que f(x) > f(0) e assim, constatamos que x = 0 é mínimo global da função f .
Gra�camente, podemos veri�car esse fato no grá�co da função raiz quadrada:
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Figura 12: Grá�co da função f(x) =
√
x.
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 262-264 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 269-271 do livro texto.
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