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<p>A história do cálculo perpassa a busca em descrever o comportamento dos fenômenos físicos.</p><p>É nesse contexto que nossa aula começa. Abordaremos as chamadas taxas relacionadas, que são as</p><p>relações estabelecidas entre as várias taxas de variação de um determinado fenômeno físico.</p><p>É comum que esses modelos matemáticos, que expressam fenômenos da natureza, não sejam</p><p>apresentados por equações explícitas ou simpli�cadas, o que nos leva à necessidade de trabalhar com</p><p>equações implícitas e, consequentemente, seus processos de derivação. Além disso, pela complexidade das</p><p>equações envolvidas nos modelos, apresentaremos as técnicas de derivação para expressões com</p><p>expoentes racionais.</p><p>Esse é o contexto da nossa aula. Bons estudos!</p><p>Sempre que temos uma função escrita na forma y=f(x) dizemos que y é uma função explícita de x, pois</p><p>podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro. Mas, fazer esse tipo de</p><p>ajuste na equação, muitas vezes, não é possível ou é mais complicado quando precisamos resolver um</p><p>problema que envolve derivadas.</p><p>Nesses casos, trabalhamos com o que é chamado a função implícita de x e utilizamos a regra da cadeia</p><p>como técnica de derivação.</p><p>Seja a equação  . Observa-se que y é uma função explícita de x, pois podemos escrever</p><p>, onde  .</p><p>y = x</p><p>2</p><p>− 5 y = f (x)</p><p>f (x) = x</p><p>2</p><p>− 5</p><p>Abordaremos as chamadas taxas relacionadas, que são as relações estabelecidas entre as</p><p>várias taxas de variação de um determinado fenômeno físico.</p><p>35 minutos</p><p> Aula 1 - Derivada implícita e taxa relacionada</p><p> Aula 2 - Máximos e mínimos</p><p> Aula 3 - Concavidade e pontos de in�exão</p><p> Aula 4 - Otimização</p><p> Referências</p><p>167 minutos</p><p>Imprimir</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>1 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Entretanto, a equação  de�ne a mesma função, pois, isolando y, obtemos  .</p><p>Quando escrita na forma  , dizemos que y é uma função em relação a x.</p><p>Dada a equação , determine .</p><p>Para não esquecermos que y é função em relação a x, podemos escrever a equação como</p><p>. Assim, derivando ambos os lados em relação a x, obtemos  ou .</p><p>Caso derivássemos a equação na sua forma explícita,   , obteríamos exatamente o mesmo</p><p>resultado.</p><p>Dada a equação  determine y'.</p><p>Note que a expressão y’ é uma função de x, logo, adotaremos a notação y(x) para evidenciar a necessidade</p><p>da aplicação da regra da cadeia.</p><p>Derivando ambos os lados em relação a x, temos:</p><p>Muitas aplicações necessitam desse tipo de derivação, como, por exemplo, problemas de otimização e</p><p>problemas que envolvem taxas relacionadas. A capacidade de resolver uma derivada de forma implícita</p><p>também nos ajuda a entender o comportamento de algumas funções.</p><p>As taxas relacionadas permitem que avaliemos equações que apresentam mais de uma taxa de variação</p><p>instantânea conectadas entre si por uma mesma variável independente, sendo que essas expressões</p><p>podem estar na forma implícita.</p><p>Dessa forma, novamente temos a regra da cadeia como umas das principais ferramentas de cálculo para</p><p>solucionar problemas que envolvem taxas relacionadas.</p><p>Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t.</p><p>e</p><p>Podemos interpretar as derivadas  e  como as taxas de variação instantânea de x e y em relação a t.</p><p>Em certas aplicações, x e y podem estar relacionadas por uma equação como</p><p>Diferenciando essa equação implicitamente em relação a t, obtemos:</p><p>2x</p><p>2</p><p>− 2y = 10 y = x</p><p>2</p><p>− 5</p><p>2x</p><p>2</p><p>− 2y = 10</p><p>y = x</p><p>2</p><p>− 5</p><p>4x</p><p>2</p><p>− 2y = 6 y' (x)</p><p>4x</p><p>2</p><p>− 2y (x) = 6</p><p>8x − 2y′(x) = 0 y′(x) = 4x</p><p>y = 2x</p><p>2</p><p>− 3</p><p>x</p><p>2</p><p>y + 2y</p><p>3</p><p>= 3x + 2y</p><p>2xy (x) + x</p><p>2</p><p>y' (x) + 6[y (x)]</p><p>2</p><p>y' (x) = 3 + 2y' (x)</p><p>y′(x) [x</p><p>2</p><p>+ 6[y (x)]</p><p>2</p><p>− 2] = 3 − 2xy (x) ⇒ y′(x) =</p><p>3−2xy</p><p>x</p><p>2</p><p>+6y</p><p>2</p><p>−2</p><p>x = f (t)   y = g (t)</p><p>dx</p><p>dt</p><p>dy</p><p>dt</p><p>x</p><p>2</p><p>− y</p><p>3</p><p>− 2x + 7y</p><p>2</p><p>− 2 = 0</p><p>d(x</p><p>2</p><p>)</p><p>dt</p><p>−</p><p>d(y</p><p>3</p><p>)</p><p>dt</p><p>− 2</p><p>d(x)</p><p>dt</p><p>+ 7</p><p>(y</p><p>2</p><p>)</p><p>dt</p><p>−</p><p>d(2)</p><p>dt</p><p>= 0</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>2 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>As derivadas  e  são chamadas de taxas relacionadas, pois estão relacionadas por uma equação. Tal</p><p>equação pode ser usada para achar uma das taxas, quando a outra é conhecida.</p><p>Por exemplo, a velocidade é uma taxa de variação de um deslocamento em relação ao tempo. Assim, é</p><p>possível interpretar as taxas de variação  e  como velocidades instantâneas.</p><p>As derivadas podem representar diferentes taxas de variação, dependendo do contexto .</p><p>Podemos citar, além da velocidade, a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, dentre outras.</p><p>Outro problema muito comum, quando possuímos um modelo matemático que representa algum</p><p>fenômeno da natureza, está no fato de que as equações que o compõem costumam ser bastante</p><p>complexas. Nesse sentido, apresentamos a técnica para derivar equações com expoentes racionais. Na</p><p>verdade, em nada difere um expoente racional de um expoente inteiro e, por isso, podemos aplicar com</p><p>bastante simplicidade a regra da potência dada por:</p><p>Contudo, se o expoente é racional, faz-se:</p><p>Duas variáveis x e y são funções de uma variável  e estão ligadas pela equação</p><p>Se  quando x=1 e y=-1, determine  .</p><p>ou</p><p>Se  , x=1 e y=-1, então</p><p>Com isso, conseguimos relacionar duas variáveis, x e y, em relação ao tempo, t, através de suas taxas de</p><p>variação.</p><p>Como vimos, a derivação implícita é uma técnica de derivação utilizada para calcular a derivada quando não</p><p>2xx' − 3y</p><p>2</p><p>y' − 2x' + 14yy' − 0 = 0</p><p>dx</p><p>dt</p><p>dy</p><p>dt</p><p>dx</p><p>dt</p><p>dy</p><p>dt</p><p>d</p><p>dx</p><p>[x</p><p>n</p><p>] = nx</p><p>n−1</p><p>d</p><p>dx</p><p>[x</p><p>a</p><p>b</p><p>] =</p><p>a</p><p>b</p><p>x</p><p>a</p><p>b</p><p>−1</p><p>√x − 2y</p><p>2</p><p>+ x = 7</p><p>dx</p><p>dt</p><p>= 4</p><p>dy</p><p>dt</p><p>d(x</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>dt</p><p>−</p><p>2d(y</p><p>2</p><p>)</p><p>dt</p><p>+</p><p>d(x)</p><p>dt</p><p>=</p><p>d(7)</p><p>dt</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>′</p><p>− 2 (2yy</p><p>′</p><p>) + x</p><p>′</p><p>=  0</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>dx</p><p>dt</p><p>− 4y</p><p>dy</p><p>dt</p><p>+</p><p>dx</p><p>dt</p><p>=  0</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>+ 1)</p><p>dx</p><p>dt</p><p>=  4y</p><p>dy</p><p>dt</p><p>dy</p><p>dt</p><p>=</p><p>1</p><p>2√x</p><p>+1</p><p>4y</p><p>dx</p><p>dt</p><p>dx</p><p>dt</p><p>= 4</p><p>dy</p><p>dt</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>+1</p><p>4(−1)</p><p>. (4) = −</p><p>3</p><p>2</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>3 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>temos uma expressão apresentada de maneira explícita ou quando o processo de transformação de uma</p><p>expressão implícita em explícita é muito trabalhoso.</p><p>A derivada implícita também pode ser utilizada para obter as derivadas das funções trigonométricas</p><p>inversas. A seguir, veja o processo para obter a derivada de y=arctg(x) usando a derivação implícita.</p><p>Seja a função y=arc tg x, calcule  .</p><p>Solução: para utilizar a derivação implícita, isola-se o x. Então:</p><p>Aplica-se a derivada em relação a x em ambos os lados da equação, da seguinte forma:</p><p>• A derivada do lado esquerdo da expressão é resolvida aplicando a derivada da identidade dada por:</p><p>• A derivada do lado esquerdo da expressão é uma função na variável y, dependente de x. Desse modo, ao</p><p>aplicar a regra da cadeia, obtém-se:</p><p>Por �m, substitui-se os resultados encontrados em  obtendo</p><p>Isolando o termo  , encontramos:</p><p>Ainda podemos usar a relação trigonométrica fundamental dada por  , além da relação</p><p>x=tg y, para simpli�car esse resultado. Assim:</p><p>Portanto, a derivada de  é  .</p><p>Tendo claro que a derivação implícita e a derivação de funções com expoentes racionais são técnicas de</p><p>derivação que podem ser necessárias como ferramenta para resolver problemas que envolvem taxas</p><p>relacionadas, traremos, na sequência, um passo-a-passo que pode auxiliá-lo a  resolver questões dessa</p><p>natureza..</p><p>: represente gra�camente a situação problema, identi�cando as variáveis que serão adotadas na</p><p>construção do modelo matemático (avaliar se pode ser aplicado ao problema).</p><p>: identi�que as taxas de variação que são conhecidas (fornecidas) e a taxa de variação que deve  ser</p><p>encontrada.</p><p>: determine uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa de variação deve ser encontrada,</p><p>com a quantidade cuja taxa de variação é conhecida.</p><p>: derive ambos os lados dessa equação</p><p>em relação à variável tempo, utilizando-se da regra da</p><p>dy</p><p>dx</p><p>x = tg y</p><p>d</p><p>dx</p><p>(x) =</p><p>d</p><p>dx</p><p>(tg y)</p><p>d</p><p>dx</p><p>(x) = 1</p><p>d</p><p>dx</p><p>(tg y) =</p><p>d</p><p>dy</p><p>(tg y).</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= sec²y.</p><p>dy</p><p>dx</p><p>d</p><p>dx</p><p>(x) =</p><p>d</p><p>dx</p><p>(tg y) 1 = sec²y.</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=</p><p>1</p><p>sec²y</p><p>tg²y + 1 = sec</p><p>2</p><p>y</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=</p><p>1</p><p>sec</p><p>2</p><p>y</p><p>=</p><p>1</p><p>tg</p><p>2</p><p>y+1</p><p>=</p><p>1</p><p>x</p><p>2</p><p>+1</p><p>y = arctg x</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=</p><p>1</p><p>x</p><p>2</p><p>+1</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>4 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>cadeia.</p><p>Passo 5: calcule essa derivada em um determinado ponto.</p><p>Um estudo ambiental, realizado em um bairro, sugere que a concentração média diária de monóxido de</p><p>carbono no ar é  partes por milhão quando a população é p milhares de residentes.</p><p>Estima-se que, daqui t anos, a população do bairro será de  mil residentes. Qual será a</p><p>taxa de variação do monóxido de carbono no ar, em função do tempo, daqui a 3 anos?</p><p>desenhe uma �gura e classi�que as quantidades que variam.</p><p>(não se aplica)</p><p>identi�que as taxas de variação que são conhecidas (fornecidas) e a taxa de variação que deve ser</p><p>encontrada.</p><p>• A taxa fornecida: (nenhuma)</p><p>• A taxa a ser encontrada:  para t=3</p><p>• Variáveis do problema: concentração C(p) e população P(t)</p><p>determine uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa de variação deve ser encontrada,</p><p>com a quantidade cuja taxa de variação é conhecida.</p><p>• Concentração média diária de monóxido de carbono no ar:</p><p>• População do bairro</p><p>derive ambos os lados dessa equação em relação à variável tempo, utilizando-se da regra da</p><p>cadeia.</p><p>Precisamos derivar a função  em relação à variável p</p><p>Assim, reescrevendo, tem-se:</p><p>calcule esta derivada em um ponto apropriado para obter a resposta</p><p>Derivando  em função de t, tem-se:</p><p>Substituindo as informações dadas:</p><p>c (p) =</p><p>√</p><p>0,5p</p><p>2</p><p>+ 17</p><p>p (t) = 3,1 + 0,1t</p><p>2</p><p>dc</p><p>dt</p><p>c (p) =</p><p>√</p><p>0,5p</p><p>2</p><p>+ 17</p><p>p (t) = 3,1 + 0,1t</p><p>2</p><p>dc</p><p>dt</p><p>=</p><p>dc</p><p>dp</p><p>.</p><p>dp</p><p>dt</p><p>c (p) =</p><p>√</p><p>0,5p</p><p>2</p><p>+ 17</p><p>c (p) = (0,5p</p><p>2</p><p>+ 17)</p><p>1</p><p>2</p><p>dc</p><p>dp</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(0,5p</p><p>2</p><p>+ 17)</p><p>1</p><p>2</p><p>−1</p><p>. (2.0,5.p</p><p>2−1</p><p>)</p><p>dc</p><p>dp</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(0,5p</p><p>2</p><p>+ 17)</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>. (1.p</p><p>1</p><p>)</p><p>dc</p><p>dp</p><p>=</p><p>p</p><p>2</p><p>(0,5p</p><p>2</p><p>+ 17)</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>p (t) = 3,1 + 0,1t</p><p>2</p><p>dp</p><p>dt</p><p>= 2.0,1.t</p><p>2−1</p><p>dp</p><p>dt</p><p>= 0,2.t</p><p>1</p><p>dc</p><p>dt</p><p>=</p><p>dc</p><p>dp</p><p>dp</p><p>dt</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>5 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>. Aplicando esse resultado para p=3, obtemos</p><p>Como  , então,   .Aplicando esse</p><p>resultado para p=4, obtemos</p><p>Retornando ao problema, tem-se que:</p><p>Tem-se:</p><p>partes por milhão por ano.</p><p>Nesse exemplo, utilizamos os três conceitos principais dessa aula: as taxas relacionadas, a derivação</p><p>implícita e a derivação de funções com expoentes racionais.</p><p>A seguir, traremos dois modelos matemáticos aplicados a situações práticas. Lembre-se que os modelos são</p><p>simpli�cações de estruturas reais, portanto muitas variáveis são desconsideradas no processo de</p><p>simpli�cação.</p><p>Um tumor é modelado por uma esfera de raio r. Se o raio do tumor mede, atualmente, r = 0,5 cm e está</p><p>diminuindo à taxa de 0,01 cm por mês, devido ao tratamento que está sendo aplicado, determine a taxa de</p><p>variação do volume do tumor.</p><p>segundo o enunciado do problema, tem-se a taxa de regressão do tumor dada por dr/dt=-0,01 cm/</p><p>mês (o sinal negativo indica que o raio está diminuindo com o passar do tempo) e o raio da esfera que</p><p>descreve o tumor dado por 0,5 cm. A partir desses dados, deve-se determinar  , ou seja, a taxa de</p><p>variação do volume em relação ao tempo.</p><p>Usando a equação do volume de uma esfera, tem-se:</p><p>Note que o problema está relacionado à variável tempo, portanto é necessário derivar a equação em função</p><p>do tempo. Ainda, é importante lembrar que um número inteiro também pode ser escrito na sua forma</p><p>fracionária e que a regra da potência para derivadas se aplica da mesma maneira para os dois casos. Assim,</p><p>usando a regra da cadeia, tem-se que:</p><p>Substituindo os valores dados, tem-se:</p><p>O volume do tumor está diminuindo a uma velocidade de 0,0314 cm/mês.</p><p>Os trilhos são per�s de aço, dispostos de forma paralela entre si, formando as vias-férreas onde circulam os</p><p>dp</p><p>dt</p><p>= (0,2)t</p><p>1</p><p>dp</p><p>dt</p><p>p=3</p><p>= (0,2)3</p><p>1</p><p>= 0,6</p><p>∣</p><p>p (t) = 3,1 + 0,1t</p><p>2</p><p>p (3) = 3,1 + (0,1)3</p><p>2</p><p>= 4</p><p>dc</p><p>dp</p><p>=</p><p>p</p><p>2</p><p>(0,5p</p><p>2</p><p>+ 17)</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>dc</p><p>dp</p><p>p=4</p><p>=</p><p>4</p><p>2</p><p>((0,5)4</p><p>2</p><p>+ 17)</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>= 0,4</p><p>∣</p><p>dc</p><p>dt</p><p>=</p><p>dc</p><p>dp</p><p>dp</p><p>dt</p><p>dc</p><p>dp</p><p>p=4</p><p>=</p><p>4</p><p>2</p><p>((0,5)4</p><p>2</p><p>+ 17)</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>= 0,4</p><p>∣</p><p>dp</p><p>dt</p><p>t=3</p><p>= (0,2)3</p><p>1</p><p>= 0,6</p><p>∣</p><p>dc</p><p>dt</p><p>= (0,4)(0,6) = 0,24</p><p>dV</p><p>dt</p><p>V (r) =</p><p>4</p><p>3</p><p>πr³</p><p>dV</p><p>dt</p><p>=</p><p>4</p><p>3</p><p>π .3 r</p><p>2</p><p>dr</p><p>dt</p><p>= 4 π r</p><p>2</p><p>dr</p><p>dt</p><p>dV</p><p>dt</p><p>= 4 π (0,5)</p><p>2</p><p>(−0,01) = −0,01π = −0,0314cm/mês</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>6 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>trens. Os trilhos são montados sobre dormentes de madeira ou concreto armado, por isso são feitos com</p><p>um espaçamento para a dilatação, de modo a não envergarem com ganho de calor ou retraírem com a</p><p>queda da temperatura. A dilatação não é um fenômeno visível e varia de acordo com o material e a</p><p>temperatura.</p><p>Suponha que o trilho tenha 10 metros de comprimento e 65,09 mm de largura, sendo seu formato</p><p>aproximado a um retângulo.</p><p>Quando a temperatura atinge  , esse material apresenta uma taxa de variação do comprimento</p><p>e da largura  . Sabendo que a temperatura máxima na região</p><p>analisada atinge, em média,  , determine a taxa de variação da área superior do trilho.</p><p>para resolver esse problema, é necessário determinar a taxa de variação do comprimento em</p><p>relação à temperatura.</p><p>Segundo o enunciado do problema, temos as seguintes informações:</p><p>•  c = 10 m = 100 cm (comprimento do trilho).</p><p>•  l = 65,09 mm = 6,509 cm (largura do trilho).</p><p>•  (taxa de variação da largura em relação à temperatura).</p><p>•  (taxa de variação do comprimento em relação à temperatura).</p><p>Considerando que a área do retângulo é dada por (produto do comprimento pela largura) e tanto o</p><p>comprimento quanto a largura dependem da temperatura, então, para encontrar a taxa de variação da</p><p>área, é necessário determinar a derivada do produto. Assim,</p><p>Substituindo os valores dados na equação acima, tem-se que:</p><p>Logo, a variação da área em relação à temperatura será de 6,609 cm2/Co.</p><p>Dessa forma, percebemos a importância das ferramentas do cálculo diferencial integral para modelar e</p><p>resolver situações práticas ao nosso redor.</p><p>Nesta aula, vamos trazer o conceito de taxas relacionadas e resolveremos uma aplicação sobre esse</p><p>assunto.</p><p>Para isso, necessitamos de algumas técnicas de derivação, também chamadas de ferramentas de cálculo.</p><p>Portanto, veremos o processo de derivação implícita.</p><p>Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car problemas que envolvem taxas relacionadas e saberá resolvê-</p><p>los.</p><p></p><p>40°C</p><p>dc</p><p>dT</p><p>= 0,001 cm/°C</p><p>dl</p><p>dT</p><p>= 0,001 cm/°C</p><p>40°C</p><p>dl</p><p>dT</p><p>= 0,001 cm/℃</p><p>dc</p><p>dT</p><p>= 0,001 cm/°C</p><p>A = cl</p><p>dA</p><p>dT</p><p>=</p><p>dc</p><p>dT</p><p>l + c</p><p>dl</p><p>dT</p><p>dA</p><p>dT</p><p>= 0,001(6,509) + 100(0,001) = 6,609</p><p>Para visualizar o objeto, acesse seu material digital.</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>7 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Sugerimos como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções o software de geometria</p><p>dinâmica Geogebra online.</p><p>Na engenharia existem muitas aplicações que nos levam a questionamentos, tais como: qual o custo mínimo</p><p>de produção, qual a carga máxima que uma viga suporta, qual a velocidade máxima atingida, dentre outros.</p><p>Essa área é descrita, matematicamente, pelo que chamamos de problemas de otimização.</p><p>É comum que em um problema de otimização precisemos determinar pontos de máximo e/ou de mínimo</p><p>da função que descreve o modelo representado. Para isso, é necessário que consigamos identi�car esses</p><p>pontos e avaliar o comportamento da função com relação aos chamados pontos de in�exão, ou seja, pontos</p><p>onde a função muda o seu comportamento. Todos esses conceitos são descritos por meio de derivadas.</p><p>Nesta aula, estudaremos os pontos chamados de máximos e mínimos de uma função e descreveremos os</p><p>testes ou critérios para identi�car tais pontos.</p><p>Vamos, então, ao estudo do cálculo diferencial.</p><p>Gra�camente, quando a derivada de uma função em um ponto especi�cado é igual a zero, temos uma reta</p><p>tangente a essa função que é paralela ao eixo das abscissas. Esse resultado matemático responde a muitos</p><p>questionamentos em modelos de otimização.</p><p>Dessa forma, vamos estudar essa teoria para conseguirmos aplicá-la.</p><p>Para começar, precisamos de�nir alguns conceitos que serão base para a construção dos chamados</p><p>máximos e mínimos de uma função. Partiremos da análise do crescimento ou decrescimento dessa função</p><p>em pontos conhecidos.</p><p>Uma função é dita crescente quando:</p><p>seja y=f(x) uma função de�nida em um intervalo  I. A função f é crescente no intervalo I se:</p><p>sempre que   para todo .</p><p>Figura 1 | Funções crescentes</p><p>f (x</p><p>1</p><p>) < f (x</p><p>2</p><p>) x</p><p>1</p><p>< x</p><p>2</p><p>x</p><p>1</p><p>, x</p><p>2</p><p>∈ I</p><p>Nesta aula, estudaremos os pontos chamados de máximos e mínimos de uma função e</p><p>descreveremos os testes ou critérios para identi�car tais pontos.</p><p>40 minutos</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>8 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Note que as retas tangentes aos pontos x e x possuem o ângulo de inclinação entre 0 e 90º. Qualquer reta</p><p>tangente a f(x)  crescente tem inclinação positiva, ou seja, f'(x)>0.</p><p>Através da relação entre</p><p>temos que  .</p><p>A tangente será positiva quando o ângulo estiver no intervalo entre 0 e 90º. Esse resultado indica que o</p><p>coe�ciente angular será positivo nesses mesmos intervalos.</p><p>Como o coe�ciente angular é a derivada da função no ponto de tangência, pode-se garantir que a função é</p><p>crescente sempre que a derivada da função for positiva.</p><p>Seja  y=f(x) uma função de�nida em um intervalo  I. A função f  é decrescente no intervalo I se f(x )>f(x )</p><p>sempre que x <x , para todo  .</p><p>Figura 2 | Funções decrescentes</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Na Figura 2, as duas funções são decrescentes.</p><p>Note que as retas tangentes aos pontos x e x possuem o ângulo de inclinação entre 90 e 180º. Nesse caso,</p><p>qualquer reta tangente à f(x) decrescente tem inclinação negativa, ou seja, f'(x)<0.</p><p>Considerando  , então, a função f(x) será decrescente sempre que a sua derivada for</p><p>negativa.</p><p>podemos analisar o crescimento e o decrescimento de uma função, no intervalo (a,b),</p><p>através através do sinal da derivada de primeira ordem:</p><p>• Se no intervalo (a,b) tem-se f'(x)>0, então, f é crescente em (a,b).</p><p>• Se no intervalo  (a,b) tem-se f'(x)<0, então, f é decrescente em  (a,b).</p><p>O ponto intermediário entre um intervalo de crescimento e decrescimento de uma função é chamado de</p><p>ponto crítico. Vejamos a seguir essa de�nição.</p><p>1 2</p><p>tg  = m =</p><p>dy</p><p>dx</p><p>(x</p><p>0</p><p>)</p><p>1 2</p><p>1 2 x</p><p>1</p><p>, x</p><p>2</p><p>∈ I</p><p>1 2</p><p>tg  = m =</p><p>dy</p><p>dx</p><p>(x</p><p>0</p><p>)</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>9 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Se x   for um número do domínio da função f e se f’(x ) = 0 ou f’(x ) não existir, então, x será chamado de</p><p>ponto crítico de f.</p><p>Figura 3 | Pontos críticos</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Vamos veri�car a aplicação dessa de�nição nos exemplos abaixo.</p><p>Ache os pontos críticos da função f de�nida por  .</p><p>Derivando, temos que:</p><p>Os pontos críticos serão encontrados fazendo , logo  . Neste exemplo, utilizaremos o</p><p>grá�co da função (sugerimos o uso do software Geogebra para desenhar o grá�co da função. Veja no Saiba</p><p>mais o endereço eletrônico dessa ferramenta) para encontrar as raízes da função de  .</p><p>Para isso, observe a �gura a seguir:</p><p>Figura 4 | Zeros da função f'</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Observe que, quando x = – 1, temos f’(x) = 0 e, quando x = 0, temos que f’(x) não existe. Ambos (– 1 e 0) estão</p><p>no domínio de f; logo, podemos dizer que – 1 e 0 são pontos críticos de f.</p><p>A imagem a seguir apresenta os grá�cos de f(x) e f’(x).</p><p>0 0 0 0</p><p>f (x) = x</p><p>4</p><p>3</p><p>+ 4x</p><p>1</p><p>3</p><p>f′(x) =</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>−2</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>−</p><p>2</p><p>3</p><p>= 0</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>−</p><p>2</p><p>3</p><p>= 0</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>10 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Figura 5 | Grá�co de f e f´</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Note que a identi�cação de x=-1 como ponto crítico permite que calculemos o valor para f(-1)=-3, obtendo,</p><p>com isso, o ponto B=(-1,-3), que é um ponto crítico de f(x).</p><p>Seja  , calcule os pontos críticos de f.</p><p>; assim, se f’(x) = 0, temos que  . Logo, x = –1 e x = –2. Como –1</p><p>e –2 estão no domínio de f, então, podem ser denominados pontos críticos de f.</p><p>Como vimos, a derivada permite avaliar a função quanto ao seu crescimento ou decrescimento em</p><p>intervalos conhecidos. Como consequência, o ponto que divide esses intervalos é chamado ponto crítico da</p><p>função. Mas, será que podemos dizer que esses serão os pontos máximos e mínimos? Veremos na</p><p>sequência a resposta a essa questão.</p><p>Dentro das aplicações que envolvem conceitos matemáticos é comum que precisemos calcular, para uma</p><p>função f em um intervalo pré-determinado, o maior valor de f(x) ou o menor valor para o intervalo.</p><p>Problemas de otimização, por exemplo, usam exatamente esse conceito.</p><p>O maior valor da função nesse intervalo é chamado de valor (ou ponto) máximo absoluto e o menor valor da</p><p>função no intervalo é chamado de valor (ou ponto) mínimo absoluto.</p><p>A função f terá um valor máximo absoluto em um intervalo se existir algum número c no intervalo tal que</p><p>f(c) ≥ f(x) para todo x no intervalo. Nesse caso, f(c) será o valor máximo absoluto de f no intervalo.</p><p>Os dois teoremas que veremos na sequência embasam a aplicação de máximos e mínimos de funções.</p><p>Se f for contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, então, existirá pelo menos um c em ]a, b[ tal que</p><p>f (x) =</p><p>x</p><p>3</p><p>3</p><p>+</p><p>3</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>+ 2x + 1</p><p>f′(x)  =  x</p><p>2</p><p>+  3x  +  2 x</p><p>2</p><p>+  3x  +  2  =  0</p><p>f(b)−f(a)</p><p>b−a</p><p>= f´(c)   ou   f  (b) − f (a) = f′(c) (b − a)</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>11 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Geometricamente, se s é uma reta passando pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), existirá pelo menos um (c, f(c))</p><p>com a < c < b, tal que a reta tangente ao grá�co f, nesse ponto, é paralela à reta s. Como    é o</p><p>coe�ciente angular de s, e f’(c) o de T, então,  . A �gura a seguir apresenta essa</p><p>representação geométrica.</p><p>Figura 6 | Representação geométrica para o Teorema do Valor Médio</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>A demonstração do Teorema do Valor Médio é baseada em um caso particular, conhecido como Teorema de</p><p>Rolle.</p><p>Seja f uma função, tal que:</p><p>•  Ela seja contínua no intervalo fechado [a, b].</p><p>•  Ela seja derivável no intervalo aberto ]a, b[.</p><p>•  f(a) = f(b) = 0.</p><p>Então, existe um número c no intervalo (a, b), tal que f’(c) = 0</p><p>•  Primeiro caso: f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. Então, f’(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), logo, qualquer número entre</p><p>a e b pode ser tomado como c.</p><p>•  Segundo caso: f(x) não se anula para todo x ∈ ]a, b[.</p><p>Como f é contínua no intervalo fechado [a, b], então f tem um valor de máximo e um valor de mínimo</p><p>absoluto em [a, b].</p><p>•  Terceiro caso: f(a) = 0 e f(b) = 0.</p><p>f(x) não é zero Ɐx ∈ (a, b). Logo, f terá um valor máximo absoluto positivo em algum  de (a, b), ou um valor</p><p>mínimo absoluto negativo em algum  de</p><p>(a, b) ou ambos.</p><p>Assim, para  ou , conforme o caso, existe um extremo absoluto em um ponto interior ao intervalo [a, b].</p><p>Logo, o extremo absoluto f(c) é também um extremo relativo e, como</p><p>por hipótese existe f’(c), segue que f’(c)</p><p>= 0.</p><p>f(x) não é zero Ɐx ∈ (a, b). Logo, f terá um valor máximo absoluto positivo em algum  de (a, b), ou um valor</p><p>f(b)−f(a)</p><p>b−a</p><p>f(b)−f(a)</p><p>b−a</p><p>= f′(c)</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>12 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>mínimo absoluto negativo em algum  de</p><p>(a, b) ou ambos.</p><p>Assim, para  ou  , conforme o caso, existe um extremo absoluto em um ponto interior ao</p><p>intervalo [a, b]. Logo, o extremo absoluto f(c) é também um extremo relativo e, como por hipótese existe</p><p>f’(c), segue que f’(c) = 0.</p><p>Figura 7| Máximo e mínimo relativos</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>As de�nições nos mostram como avaliar a existência de valores máximos e mínimos de funções, que podem</p><p>ser observados na Figura 6.</p><p>A função f terá um em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f(x) esteja</p><p>de�nida, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x nesse intervalo.</p><p>A função f terá um em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f(x) esteja</p><p>de�nida, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x nesse intervalo.</p><p>Os grá�cos a seguir representam as de�nições enunciadas.</p><p>Figura 8 | Grá�cos representativos de máximos e mínimos locais, respectivamente</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Vamos veri�car a aplicação dessas de�nições no exemplo a seguir.</p><p>Dada f(x) = 4x – 9x. Analise as condições das hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo</p><p>c = c</p><p>1</p><p>c = c</p><p>2</p><p>3</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>13 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Figura 9 | Grá�co da função f(x) = 4x3 – 9x e representação dos pontos críticos respectivamente máximo e mínimo local</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Note que o intervalo foi escolhido adotando os pontos de máximo e mínimo absolutos dessa função. Assim,</p><p>temos como ponto de máximo absoluto o ponto D e como ponto de mínimo absoluto o ponto E. Para</p><p>calculá-los, basta fazer f'(x)=12x -9=0. Assim, teremos .</p><p>É importante compreender os teoremas que estruturam o conceito de máximos e mínimos da função e, se</p><p>possível, suas demonstrações, pois eles são a base para a resolução dos chamados “problemas de</p><p>otimização” e auxiliam no aprendizado não só desta unidade, mas de todo cálculo diferencial e integral.</p><p>Se a função f tiver um máximo ou mínimo relativo em c, então, f tem um em c. Através da</p><p>aplicação do Teorema do Valor Médio (TVM) é possível encontrar os possíveis c para os quais existe um</p><p>extremo relativo.</p><p>A condição de anulamento da derivada em um ponto c, contido no intervalo (a, b), é necessária, mas não é</p><p>su�ciente para que c seja um extremo relativo. Isso ocorre porque f só terá extremos relativos quando f</p><p>´(x)=0, mas o contrário não é verdadeiro. Ou seja, a derivada de uma função pode resultar em zero, sem que</p><p>esse seja um extremo relativo.</p><p>Vamos veri�car esses resultados no exemplo a seguir.</p><p>Considere . Veri�que se f tem extremo relativo.</p><p>; assim, f’(0) = 0. Dessa forma, a derivada de f no ponto x =0 é igual a zero, mas f não é</p><p>derivável nesse ponto, ou seja, não possui extremo relativo nesse ponto.</p><p>Figura 10: Grá�co das funções f(x), f’(x) e f’’(x)</p><p>[</p><p>−</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>]</p><p>2</p><p>f (x)  =  (x)</p><p>5</p><p>f′(x)  =  5x</p><p>4</p><p>0</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>14 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>A seguir, apresentaremos os chamados testes da primeira e da segunda derivada, que resumem os</p><p>conceitos vistos até o momento.</p><p>Esse critério está relacionado ao comportamento de crescimento e de decrescimento da função.</p><p>Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b], que possui derivada em todo ponto do intervalo</p><p>aberto (a,b), exceto, possivelmente, em um ponto c:</p><p>• Se f'(x)>0 para todo x<c e f'(x)<0 para todo x>c, então, f tem um máximo local em c.</p><p>• Se f'(x)<0 para todo x<c e f'(x)>0 para todo x>c, então, f tem um mínimo local em c.</p><p>Se a função cresce antes de chegar no ponto crítico e decresce após passar pelo ponto crítico, esse ponto</p><p>crítico é um ponto de máximo local da função. De forma análoga, se a função decresce antes de chegar no</p><p>ponto crítico e cresce após passar pelo ponto crítico, esse ponto crítico é um ponto de mínimo local da</p><p>função.</p><p>Figura 11| Teste da primeira derivada</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Se f'(c)=0 no intervalo (a,b), então, c é um provável ponto de máximo ou de mínimo local em (a,b).</p><p>• f"(c) >0 então, f tem um mínimo local em c, no intervalo (a,b).</p><p>• f"(c) <0 então, f tem um máximo local em c, no intervalo (a,b).</p><p>: determine os pontos extremos de , utilizando o teste da derivada segunda.</p><p>Solução: inicialmente, deve-se determinar os pontos críticos. Para isso, deriva-se a função uma vez e iguala-</p><p>se a zero, assim: . As raízes dessa equação são  , que são os pontos críticos.</p><p>f (x) = x</p><p>3</p><p>− 12x</p><p>f′(x) = 3x</p><p>2</p><p>− 12 = 0 {−2,2}</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>15 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Derivando novamente, tem-se :</p><p>Avaliando em x=-2, tem-se , quer dizer que, nesse ponto, a função é côncava</p><p>para baixo, então, esse ponto é um ponto de máximo local da função.</p><p>Avaliando em x=2, tem-se , indicando que nesse ponto a função é côncava para</p><p>cima; então, esse ponto é um ponto de mínimo local da função.</p><p>Figura 12 | Função</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Ambos os critérios podem ser utilizados para determinar máximos e mínimos de função, dependendo da</p><p>facilidade de derivar e de analisar os intervalos.</p><p>Os pontos de extremos locais, máximo e mínimo local, podem ser utilizados para determinar máximos e</p><p>mínimos de funções, mas as aplicações limitam o intervalo em que os valores podem ser analisados. Nesse</p><p>caso, deve-se avaliar os pontos que limitam o intervalo da função.</p><p>Nesta aula, vamos trazer o conceito de máximos e mínimos de funções através dos testes de derivação.</p><p>Resolveremos um problema que permitirá a aplicação do critério da segunda derivada, que possibilitará a</p><p>análise dos pontos de máximo ou mínimos (locais ou globais).</p><p>Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car problemas que envolvem máximos e mínimos, locais e globais,</p><p>e aplicar os testes de derivação .</p><p></p><p>Para reforçar o conteúdo da aula, sugerimos o material intitulado Teste da primeira derivada. Com ele</p><p>você poderá ver mais exemplos a respeito desse tema.</p><p>f</p><p>′′</p><p>(−2) = 6. (−2) = −12 < 0</p><p>f</p><p>′′</p><p>(2) = 6.2 = 12 < 0</p><p>f (x) = x</p><p>3</p><p>− 12x</p><p>Para visualizar o objeto, acesse seu material digital.</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>16 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>Na engenharia existem muitas aplicações que nos levam a questinamentos, como: qual o custo mínimo de</p><p>produção, qual a carga máxima que uma viga suporta, qual a velocidade máxima atingida, dentre outros.</p><p>Essa área é descrita matematicamente pelo que chamamos de problemas de otimização.</p><p>É comum que, em um problema de otimização, precisemos determinar pontos de máximo e/ou de mínimo</p><p>da função que descreve o modelo representado. Para isso, é necessário que consigamos identi�car esses</p><p>pontos e avaliar o comportamento da função com relação aos chamados pontos de in�exão, ou seja, pontos</p><p>onde a função muda o seu comportamento.</p><p>Com a identi�cação dos pontos de in�exão também é possível avaliar a função com relação a concavidades</p><p>formadas</p><p>em subintervalos de seu domínio.</p><p>Nesta aula, identi�caremos essas regiões onde há a mudança de concavidade e também os pontos de</p><p>in�exão, quando existirem.</p><p>Bons estudos.</p><p>Na unidade anterior, aprendemos a identi�car, através da análise da primeira derivada, os intervalos de</p><p>crescimento e/ou decrescimento de uma função.</p><p>Assim, temos que:</p><p>Seja f contínua no intervalo I:</p><p>• Se para todo x interior a I, então, f será estritamente crescente em I.</p><p>• Se   para todo x interior a I, então, f será estritamente decrescente em I.</p><p>Vejamos um rápido exemplo dessa avaliação:</p><p>Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de . Esboce o grá�co de</p><p>f e determine os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função.</p><p>Seja , então, .</p><p>Se �zermos , obteremos as raízes  e .</p><p>Assim, f’(x) > 0 em  e em , e f’(x) < 0 em .</p><p>Como f é contínua, segue que f é estritamente crescente em ]–∞, [ e em ]1,+∞[, e f é estritamente</p><p>decrescente em .</p><p>f′(x)  >  0</p><p>f′(x)  <  0</p><p>f (x)  =  x</p><p>3</p><p>– x</p><p>2</p><p>– x  +  1</p><p>f (x)  =  x</p><p>3</p><p>– x</p><p>2</p><p>– x  +  1 f′(x)  =  3x</p><p>2</p><p>– 2x – 1</p><p>f′(x) = 3x</p><p>2</p><p>− 2x − 1 =  0 x′= −</p><p>1</p><p>3</p><p>x</p><p>′′</p><p>= 1</p><p>]–∞, −</p><p>1</p><p>3</p><p>[  ]1, + ∞[ [−</p><p>1</p><p>3</p><p>,1]</p><p>−</p><p>1</p><p>3</p><p>[−</p><p>1</p><p>3</p><p>,1]</p><p>Nesta aula, identi�caremos essas regiões onde há a mudança de concavidade e também os</p><p>pontos de in�exão, quando existirem.</p><p>35 minutos</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>17 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>A Figura 1 apresenta os grá�cos de f(x) e f’(x)</p><p>Figura 1 | Grá�cos de f e f’</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Para analisar o intervalo de concavidade de uma função y=f(x), ou seja, se a função é côncava para cima ou</p><p>côncava para baixo, utilizamos a derivada de segunda ordem (teste da segunda derivada).</p><p>Se f"(x)>0 no intervalo (a,b), então, a função é côncava para cima em (a,b).</p><p>Se f"(x)<0  no intervalo (a,b), então, a função é côncava para baixo em (a,b).</p><p>Assim, para avaliar a concavidade de uma função, é necessário calcular tanto a derivada de primeira ordem,</p><p>obtendo assim os pontos críticos e os domínios de crescimento (ou decrescimento) da função, quanto</p><p>calcular a derivada de segunda ordem, classi�cando os pontos críticos em máximos e mínimos (se</p><p>existirem).</p><p>A seguir, veremos um exemplo que permite avaliar a concavidade de uma função.</p><p>Usando o teste da segunda derivada, avalie a concavidade de</p><p>:</p><p>Calculando as derivadas de primeira e de segunda ordem de f(x) obtemos:</p><p>e .</p><p>Avaliando a derivada de segunda ordem em x=1 e , ou seja, as raízes de f(x) obtemos:</p><p>• Se no intervalo I , então, a função é côncava para cima em I</p><p>• Se no intervalo I , então, a função é côncava para baixo em I</p><p>Note que não foi possível determinar os extremos para os intervalos I e I , pois ainda precisaremos</p><p>compreender mais uma de�nição para isso. Veremos como calcular esses valores a partir da próxima</p><p>de�nição.</p><p>Temos um ponto de in�exão, x de f(x), tal que f(x ) é contínua, se f"(x )=0 ou f"(x ) não existe.</p><p>É o ponto de in�exão que demarca (delimita) a mudança de concavidade.</p><p>f (x)  =  x</p><p>3</p><p>– x</p><p>2</p><p>– x  +  1</p><p>f′(x)  =  3x</p><p>2</p><p>– 2x – 1 f</p><p>′′</p><p>(x) = 6x − 2</p><p>x = −</p><p>1</p><p>3</p><p>f′′(1) > 0 a a</p><p>f′′(−</p><p>1</p><p>3</p><p>) < 0 a a</p><p>a b</p><p>0 0 0 0</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>18 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Com essa informação, veremos no exemplo a seguir o cálculo para o ponto de in�exão e a determinação</p><p>dos intervalos I e I do</p><p>Seja a função    apresentada no , calcule o ponto de in�exão e os</p><p>intervalos onde a concavidade está voltada para cima, I e para baixo, I .</p><p>Temos que  e</p><p>Como f , então, fazendo f"(x)=0, teremos:</p><p>, logo  é o ponto de in�exão.</p><p>Agora, voltando aos resultados do exemplo anterior, podemos de�nir os intervalos I e I , logo:</p><p>• Se  no intervalo , então, a função é côncava para cima em</p><p>• Se no intervalo , então, a função é côncava para baixo em</p><p>que podem ser observados na Figura 2:</p><p>Figura 2 | Grá�cos de f e f’’</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Vimos nos exemplos acima o cálculo de pontos de in�exão e concavidade de funções com o uso das</p><p>derivadas.</p><p>Vamos montar um esquema de passos para avaliar uma função que será analisada tanto algebricamente</p><p>quanto gra�camente.</p><p>A Tabela 1 determina os passos que serão adotados:</p><p>a b</p><p>f (x)  =  x</p><p>3</p><p>– x</p><p>2</p><p>– x  +  1</p><p>a b</p><p>f′(x)  =  3x</p><p>2</p><p>– 2x – 1 f</p><p>′′</p><p>(x) = 6x − 2</p><p>′′(x) = 6x − 2</p><p>6x − 2 = 0 x =</p><p>1</p><p>3</p><p>a b</p><p>f′′(1) > 0 (</p><p>1</p><p>3</p><p>, +∞) (</p><p>1</p><p>3</p><p>, +∞)</p><p>f′′(−</p><p>1</p><p>3</p><p>) < 0 (−∞,</p><p>1</p><p>3</p><p>) (−∞,</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>Tabela 1 | Passo a passo para avaliação de funções</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>19 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>A seguir, faremos um exemplo seguindo esses passos.</p><p>Dada a função  , determine:</p><p>Os pontos críticos de f(x) são calculados a partir da expressão f'(x)=0.</p><p>1 Encontrar os pontos críticos da função  f Os pontos críticos são todos os valores</p><p>para  x, tais que  f'(x)=0, ou f'(x) não existe.</p><p>2 Determinar os intervalos de crescimento e</p><p>decrescimento da função  f</p><p>Se no intervalo (a,b) tem-se f'(x)>0, então, f</p><p>é crescente em (a,b).</p><p>Se no intervalo (a,b) tem-se f'(x)<0, então, f</p><p>é decrescente em (a,b).</p><p>3 Encontrar os máximos e mínimos locais</p><p>Considere que c é ponto crítico de f, ou</p><p>seja, f'(c)=0 :</p><p>Se f'(x)>0 para todo x<c e f'(x)<0 para todo</p><p>x>c, então, f tem um máximo local em c.</p><p>Se f'(x)>0 para todo x<c e f'(x)>0 para todo</p><p>x>c, então, f tem um mínimo local em c.</p><p>Considere que c é ponto crítico de f, ou</p><p>seja, f'(c)=0 :</p><p>Se f"(c)>0, então, então, f tem um mínimo</p><p>local em c.</p><p>Se f"(c)<0, então, f tem um máximo local</p><p>em c.</p><p>4 Encontrar os pontos de in�exão e determinar os</p><p>intervalos de concavidade para cima e para</p><p>baixo.</p><p>Os pontos de in�exão são todos os valores</p><p>para x , tais que  f"(x)=0, ou f"(x) não existe.</p><p>Se no intervalo (a,b) tem-se f"(x)>0, então f</p><p>é côncava para cima em (a,b).</p><p>Se no intervalo (a,b) tem-se f"(x)<0, então f</p><p>é côncava para baixo em (a,b).</p><p>5 Esboçar o grá�co Usar as características das etapas</p><p>anteriores.</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>1</p><p>f (x) = x</p><p>3</p><p>− 3x + 2</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>20 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Tendo  e fazendo  obtemos x=1 e x=-1. Observamos esses valores no grá�co a</p><p>seguir:</p><p>Lembrando que x=1 e x=-1 são as raízes de f’(x), logo  e G=(-1,f(-1)) são os pontos críticos de f</p><p>apresentados.</p><p>Figura 3 | Pontos críticos de f(x)</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Derivando a função  , tem-se  , lembrando que as raízes de f’’ já foram</p><p>calculadas no passo anterior.</p><p>Tabela 2 | Intervalos da função f(x)</p><p>x*∈I f'(x*)=3(x*)2−3</p><p>(−∞,−1) -2         f'(−2)=9 Crescente</p><p>(−1,1) 0         f'(0)=−3 Decrescente</p><p>(1,∞) 2           Crescente</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Note que os valores  são valores de cada um dos intervalos, escolhidos para veri�cação. Dessa forma,</p><p>quando, por exemplo, assumimos o intervalo  e calculamos para  o valor para</p><p>, conseguimos veri�car o que se a�rma no teste da primeira derivada.</p><p>Note que G=(-1,f(-1))=(-1,4) e B=(1,f(1))=(1,0).</p><p>Figura 4 | Intervalos de crescimento e decrescimento de f(x)</p><p>f</p><p>′</p><p>(x) = 3x</p><p>2</p><p>− 3 3x</p><p>2</p><p>− 3 = 0</p><p>D = (1,f (1))</p><p>f (x) = x</p><p>3</p><p>− 3x + 2 f</p><p>′</p><p>(x) = 3x</p><p>2</p><p>− 3</p><p>f</p><p>′</p><p>(2) = 9</p><p>(−∞, −1) x</p><p>*</p><p>= −2</p><p>f</p><p>′</p><p>(x</p><p>*</p><p>) = f (−2) = 9</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>21 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Conhecidos os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função e, em conjunto,</p><p>usando o teste da segunda derivada, podemos encontrar o ponto de máximo e de mínimo da função f(x).</p><p>Assim, temos f'(x)=6x, logo:</p><p>•  , então x=-1 é ponto de máximo local.</p><p>•  , então x=1 é ponto de mínimo local.</p><p>onde</p><p>x=-1 e x=1 são as raízes de f'(x), portanto, pontos críticos de f(x).</p><p>Figura 5 | Máximo e mínimo local</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Igualando a segunda derivada de f(x) a zero, 6x=0, obtemos o ponto de in�exão.</p><p>Logo, o ponto de in�exão é x=0. Com o ponto de in�exão calculado, determinamos os intervalos que</p><p>apresentam concavidade para cima e para baixo.</p><p>Tabela 3  | Concavidade da função f(x)</p><p>Intervalo x*∈I f''(x*)=6(x*) Conclusão</p><p>(−∞,0) -1   f''(−1)=−6 Concavidade para baixo</p><p>f</p><p>′</p><p>' (−1) = −6 < 0</p><p>f</p><p>′′</p><p>(1) = 6 > 0</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>22 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>(0,∞) 1     Concavidade para cima</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Note que a ferramenta grá�ca (Geogebra) adotada para representar os grá�cos em cada passo, permitiram</p><p>que fôssemos visualizando os resultados. Contudo, nem sempre temos esse tipo de ferramenta disponível.</p><p>Assim, a análise feita nos passos anteriores permite que, ao chegarmos no passo 5, possamos compreender</p><p>a estrutura do grá�co dessa função.</p><p>Figura 6 | Grá�co de f(x)</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Assim, temos as derivadas como uma importante ferramenta de construção de grá�cos de funções e</p><p>análise.</p><p>A seguir, resolveremos uma aplicação com o uso da teoria vista anteriormente.</p><p>Na produção de fármacos, existe a necessidade de se calcular o tempo de resposta de um volume de</p><p>medicamento após sua aplicação e o tempo em que essa quantidade permanece produzindo o efeito</p><p>desejado antes da aplicação de uma nova dose. Essa abordagem é necessária para que possa ser</p><p>computado o volume da próxima dose e o espaçamento entre doses. Para esse cálculo, faz-se um estudo</p><p>que avalia a concentração do medicamento aplicado ao longo do tempo, sendo que a concentração é uma</p><p>unidade que relaciona a massa com o volume (mg/ml).</p><p>Suponha que a concentração S (mg/ml) de um determinado medicamento na corrente sanguínea de um</p><p>paciente possa ser calculada através da expressão:</p><p>onde t é o tempo em horas.</p><p>A função S(t) re�ete um aumento gradual dessa concentração e uma queda acentuada da quandidade de</p><p>f</p><p>′</p><p>(1) = 6</p><p>S (t) = e</p><p>t</p><p>(</p><p>50−e</p><p>t</p><p>50</p><p>),  com  0 ≤ t ≤ 4</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>23 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>medicamento na corrente sanguínea.</p><p>Estime o tempo t para a obtenção do ponto de in�exão. Avalie se essa função possui pontos de máximo e/</p><p>ou mínimo no intervalo  e analise o signi�cado físico desses pontos nesse problema. Avalie</p><p>também a concavidade de S(t) para  .</p><p>Pontos de in�exão são calculados quando a derivada de segunda ordem é nula. Já para a análise de pontos</p><p>de máximo e mínimo precisamos dos testes da primeira e segunda derivadas.</p><p>Assim, o primeiro passo nesse problema é encontrar as funções  e  . Logo:</p><p>Para nos auxiliar no cálculo de raízes de equações exponenciais, já que o foco dessa aula não está neses</p><p>cálculos, usaremos um software de geometria dinâmica que permite o cálculo das raízes e a visualização</p><p>grá�ca dessas funções. Deixamos a descrição desse software no Saiba mais desta unidade.</p><p>Fazendo  teremos  , logo</p><p>Figura 7 | Grá�co de S(t) e S’(t)</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Portanto, temos um ponto crítico para a função S(t) quando t=3,2189</p><p>Calculando a segunda derivada nesse ponto, obtemos:</p><p>, logo, temos um ponto de máximo da função quando</p><p>Agora, precisamos encontrar o ponto de in�exão. Para isso,  .</p><p>, logo</p><p>Figura 8 | Grá�co de S(t) e S’’(t)</p><p>0 ≤ t ≤ 4</p><p>0 ≤ t ≤ 4</p><p>S' (t) S'' (t)</p><p>S</p><p>′</p><p>(t) =</p><p>e</p><p>t</p><p>(25−e</p><p>t</p><p>)</p><p>25</p><p>e S</p><p>′′</p><p>(t) =</p><p>25e</p><p>t</p><p>−2e</p><p>t</p><p>25</p><p>S</p><p>′</p><p>(t) = 0</p><p>e</p><p>t</p><p>(25−e</p><p>t</p><p>)</p><p>25</p><p>= 0 t = 3,2189</p><p>S</p><p>′′</p><p>(3,2189) =</p><p>25e</p><p>3,2189</p><p>−2e</p><p>3,2189</p><p>25</p><p>= −25,0018 < 0</p><p>t = 3,2189</p><p>S</p><p>′′</p><p>(t) = 0</p><p>25e</p><p>t</p><p>−2e</p><p>t</p><p>25</p><p>= 0 t = 2,5257</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>24 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Com isso, podemos concluir que:</p><p>Quando  , temos S=(3,2189)=12,5. Logo a concentração máxima de medicamento na corrente</p><p>sanguínea será encontrada após 3,2189 horas, sendo essa concentração igual a 12,5 mg/ml.</p><p>O ponto de in�exão nos mostra quando a curva de concentração começa a subir. Assim, quando t=2,5257</p><p>horas, a concentração começa a subir até o seu pico máximo, que se dá 3,2189 horas após a aplicação do</p><p>medicamento.</p><p>Nesta aula, vamos trazer o conceito de concavidades e pontos de in�exão de uma função, apresentados no</p><p>contexto de uma aplicação. Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car e resolver problemas que</p><p>envolvem a análise de concavidades e pontos de in�exão, com o uso de derivadas de primeira e segunda</p><p>ordem.</p><p></p><p>Sugerimos como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções o software de</p><p>. Com ele, também é possível calcular as raízes e pontos</p><p>especí�cos de uma função conhecida.</p><p>Também indicamos uma para auxiliar e comparar resultados: Symbolab.</p><p>t = 3,2189</p><p>Para visualizar o objeto, acesse seu material digital.</p><p>Usaremos as técnicas de derivação aprendidas ao longo da disciplina para resolver problemas</p><p>de indeterminação no cálculo do limite de funções.</p><p>42 minutos</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>25 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://pt.symbolab.com/solver/derivative-calculator%20</p><p>https://pt.symbolab.com/solver/derivative-calculator%20</p><p>https://pt.symbolab.com/solver/derivative-calculator%20</p><p>Nesta unidade de aprendizagem, usaremos as técnicas de derivação aprendidas ao longo da disciplina para</p><p>resolver problemas de indeterminação no cálculo do limite de funções. Para esse �m, apresentaremos a</p><p>chamada Regra de L’Hôspital, idealizada pelo matemático Bernoulli.</p><p>Além disso, aplicaremos os conceitos e as técnicas de derivação para resolver problemas de otimização,</p><p>também chamados de aplicações. Nesse contexto utilizaremos, principalmente, os testes da primeira e</p><p>segunda derivadas, análise de pontos críticos, veri�cação da concavidade de funções e pontos de in�exão.</p><p>Misturaremos teoria e prática, aproximando os conceitos teóricos aprendidos com a resolução de</p><p>problemas reais.</p><p>Sejam muito bem-vindos ao estudo do cálculo diferencial!</p><p>Existem sete indeterminações no contexto do cálculo diferencial e integral que, constantemente, são</p><p>discutidas e descrevem limites de funções.</p><p>Duas delas são obtidas a partir de um quociente, sendo  e  suas representações matemáticas. Tem-se</p><p>também a multiplicação  , a subtração  e as potências  ,  e  .</p><p>A seguir apresentamos de qual limite de funções cada uma dessas representações deriva:</p><p>1.  Para  , tem-se  , com   e</p><p>2.  Para  , tem-se</p><p>3.  Para  , tem-se  , c>0; com</p><p>4.  Para  , tem-se  , com  e  ,</p><p>5.  Para  , tem-se  , com   e</p><p>6.  Para  , tem-se  , com  e</p><p>7.  Para  , tem-se  , com  e</p><p>Algumas dessas indeterminações podem ser resolvidas por meio de simpli�cações, como exemplo,</p><p>substituições por produtos notáveis, uso de limites fundamentais ou aplicação de racionalização de</p><p>denominadores. Vejamos a seguir alguns exemplos:</p><p>Determine os limites a seguir:</p><p>Aplicando uma substituição direta na tentativa de resolução desse limite, nota-se que existe uma</p><p>indeterminação do tipo  .</p><p>Dessa forma, utilizaremos o artifício matemático da racionalização de frações.</p><p>Portanto,</p><p>Observe na �gura abaixo que em x=1 a função não tem solução. Esse resultado está apresentado na tabela</p><p>ao lado do grá�co.</p><p>0</p><p>0</p><p>∞</p><p>∞</p><p>0 ⋅ ∞ +∞ − ∞ 0</p><p>0</p><p>∞</p><p>0</p><p>1</p><p>∞</p><p>1</p><p>∞</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f (x) = 1 lim</p><p>x→a</p><p>g (x) = ∞</p><p>0</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>x</p><p>x</p><p>0 ⋅ ∞ lim</p><p>x→a</p><p>c ⋅ f (x) lim</p><p>x→a</p><p>f (x) = ∞</p><p>∞ − ∞ lim</p><p>x→a</p><p>f (x) + g (x) lim</p><p>x→a</p><p>f (x) = ∞ lim</p><p>x→a</p><p>g (x) = −∞</p><p>∞</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f (x) = ∞ lim</p><p>x→a</p><p>g (x) = 0</p><p>∞</p><p>∞</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f (x) = ∞ lim</p><p>x→a</p><p>g (x) = ∞</p><p>0</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f (x) = 0 lim</p><p>x→a</p><p>g (x) = 0</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>x−1</p><p>√</p><p>x−1</p><p>0</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>(x−1)</p><p>(</p><p>√</p><p>x−1)</p><p>(</p><p>√</p><p>x+1)</p><p>(</p><p>√</p><p>x+1)</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>(x−1)(</p><p>√</p><p>x+1)</p><p>(x−1)</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>(</p><p>√</p><p>x+1)</p><p>1</p><p>=</p><p>√</p><p>1 + 1 = 2 lim</p><p>x→1</p><p>x−1</p><p>√</p><p>x−1</p><p>= 2</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>26 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Figura 1 | Grá�co de</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>b.</p><p>Por apresentar indeterminação do tipo  , neste caso, utiliza-se o artifício matemático do limite</p><p>fundamental  , então, deve-se arrumar o limite de modo que possa ser aplicada a substituição:</p><p>Portanto,</p><p>Observe na �gura a seguir que em  a função não tem solução. Esse resultado está apresentado na</p><p>tabela ao lado do grá�co.</p><p>Figura 2 | Grá�co de</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>c.</p><p>Por apresentar indeterminação do tipo  , neste caso, utiliza-se o artifício matemático do limite do termo</p><p>f (x) =</p><p>x−1</p><p>√x−1</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>sen² x</p><p>x²</p><p>0</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>sen x</p><p>x</p><p>= 1</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>sen</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>(</p><p>sen x</p><p>x</p><p>)</p><p>2</p><p>= (lim</p><p>x→0</p><p>sen x</p><p>x</p><p>)</p><p>2</p><p>= 1</p><p>2</p><p>= 1 lim</p><p>x→0</p><p>sen² x</p><p>x²</p><p>= 1.</p><p>x = 0</p><p>f (x) =</p><p>sen² x</p><p>x²</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>2</p><p>+x</p><p>3x</p><p>2</p><p>+7</p><p>. =</p><p>1</p><p>3</p><p>∞</p><p>∞</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>27 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>de maior grau. Portanto deve-se dividir o numerador e o denominador por x :</p><p>Portanto,</p><p>Observe na �gura a seguir que para valores muito grandes de x, a função tende a  . Esse resultado pode</p><p>ser observado analisando o grá�co da função (em azul) que se aproxima da assíntota (cinza tracejada)</p><p>, quando x tende a  .</p><p>Figura 3 | Grá�co de</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Nos três exemplos anteriores conseguimos usar algum artifício algébrico com o objetivo de sair das</p><p>indeterminações do tipo  ou  . Todavia, para alguns limites, nenhum dos artifícios vistos anteriormente</p><p>são su�cientes. Um exemplo é o caso</p><p>O matemático Johann Bernoulli descobriu uma propriedade que permite calcular limites desse tipo. Essa</p><p>descoberta consiste em perceber que, na vizinhança de um ponto, pode-se comparar o quociente de duas</p><p>funções com o quociente de suas derivadas, desde que determinadas hipóteses estejam satisfeitas. Essa</p><p>descoberta foi chamada de Regra de L’Hôspital, por ter sido o Marquês de L’Hôspital (aprendiz de Bernoulli)</p><p>quem a publicou. Segue a de�nição da regra de L’Hôspital.</p><p>Sejam f e g duas funções contínuas e deriváveis em um intervalo I conhecido, com  para todo x.</p><p>Considere ainda que x pertence a uma vizinhança V tal que  , com r>0. Com essas</p><p>condições satisfeitas, duas indeterminações podem ocorrer:</p><p>1.  Indeterminação do tipo  :</p><p>Seja  , com  . Se houver  , �nito ou in�nito, então, existe  e</p><p>2.  Indeterminação do tipo  :</p><p>Seja  , com  . Se houver  , �nito ou in�nito, então existe   e pode ser</p><p>determinado por meio de:</p><p>2</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>2</p><p>+x</p><p>3x</p><p>2</p><p>+7</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>2</p><p>+x</p><p>x</p><p>2</p><p>3x</p><p>2</p><p>+7</p><p>x</p><p>2</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>+</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>3x</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>+</p><p>7</p><p>x</p><p>2</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>1+</p><p>1</p><p>x</p><p>3+</p><p>7</p><p>x</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>2</p><p>+x</p><p>3x</p><p>2</p><p>+7</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>y =</p><p>1</p><p>3</p><p>∞</p><p>f (x) =</p><p>x</p><p>2</p><p>+x</p><p>3x</p><p>2</p><p>+7</p><p>0</p><p>0</p><p>∞</p><p>∞</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>e</p><p>x</p><p>g′(x) ≠ 0</p><p>V = ]a − r, a + r[</p><p>0</p><p>0</p><p>a ∈ I f (a) = g (a) = 0 lim</p><p>x→a</p><p>f'(x)</p><p>g'(x)</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>= lim</p><p>x→a</p><p>f'(x)</p><p>g'(x)</p><p>∞</p><p>∞</p><p>x ≠ a x ∈ V lim</p><p>x→a</p><p>f'(x)</p><p>g'(x)</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>28 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Caso a indeterminação persista repete-se o processo até eliminar a indeterminação.</p><p>No próximo bloco resolveremos exemplos aplicando esta regra.</p><p>Como vimos, a regra de L’Hôspital permite que resolvamos o limite de funções apesar de possíveis</p><p>indeterminações.</p><p>Vimos também que  não pode ser resolvido apenas com técnicas de simpli�cação. Vejamos, então,</p><p>como resolvê-lo aplicando L’Hôspital:</p><p>Resolva o limite</p><p>Aplicando a substituição direta, encontraremos uma indeterminação do tipo  . Portanto é possível aplicar</p><p>a regra de L’Hôspital:</p><p>Logo,  .</p><p>Resolveremos na sequência, alguns dos limites de funções vistos no bloco anterior, mas que agora serão</p><p>resolvidos aplicando a regra de L’Hôspital.</p><p>Determine os limites a seguir, utilizando a regra de L’Hôspital:</p><p>a.</p><p>(indeterminação do tipo  )</p><p>Portanto,  .</p><p>b.</p><p>Solução: (indeterminação do tipo  )</p><p>Nesse ponto, a função ainda apresenta indeterminação do tipo  .Logo, aplica-se a regra de L’Hôspital</p><p>novamente.</p><p>Portanto,  .</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>= lim</p><p>x→a</p><p>f'(x)</p><p>g'(x)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>e</p><p>x</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>e</p><p>x</p><p>∞</p><p>∞</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>e</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>d</p><p>dx</p><p>(x)</p><p>d</p><p>dx</p><p>(e</p><p>x</p><p>)</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>1</p><p>e</p><p>x</p><p>= 0</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>e</p><p>x</p><p>= 0</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>x−1</p><p>√</p><p>x−1</p><p>0</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>x−1</p><p>√</p><p>x−1</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>d</p><p>dx</p><p>(x−1)</p><p>d</p><p>dx</p><p>(</p><p>√</p><p>x−1)</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>1</p><p>1</p><p>2√x</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>1</p><p>= 2</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>x−1</p><p>√</p><p>x−1</p><p>= 2</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>sen² x</p><p>x²</p><p>0</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>sen² x</p><p>x²</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>d</p><p>dx</p><p>(sen² x)</p><p>d</p><p>dx</p><p>(x²)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>2 sen x cos x</p><p>2x</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>sen x cos x</p><p>x</p><p>0</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>sen x cos x</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>d</p><p>dx</p><p>(sen x cos x)</p><p>d</p><p>dx</p><p>(x)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>cos²x+sen</p><p>2</p><p>x</p><p>1</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>1</p><p>1</p><p>= 1</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>sen² x</p><p>x²</p><p>= 1</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>29 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Muitas vezes, o limite a ser calculado apresenta indeterminações do tipo  ,</p><p>que podem ser transformadas em indeterminações do tipo  , para que a regra de L’Hôspital possa</p><p>ser aplicada.</p><p>Os próximos exemplos apresentarão algumas dessas situações.</p><p>Resolva os limites a seguir aplicando a regra de L’Hôspital</p><p>a.</p><p>Esse limite apresenta indeterminação do tipo  , porém, não se pode aplicar a regra de L’Hôspital de</p><p>maneira direta.</p><p>É necessário, em primeiro lugar, preparar o limite de forma que aparece uma indeterminação do tipo  ou</p><p>O primeiro passo para esse limite é reduzir as duas frações à uma única fração:</p><p>Aplicando uma substituição direta, o limite apresentará uma indeterminação do tipo  e, portanto, pode-se</p><p>aplicar a regra de L’Hôspital:</p><p>Nesse ponto, o limite ainda apresenta indeterminação do tipo  . Dessa forma, aplica-se a regra de</p><p>L’Hôspital novamente.</p><p>Portanto,  .</p><p>b.</p><p>Esse limite apresenta indeterminação do tipo  . Portanto, é necessário preparar o limite de forma que</p><p>apareça uma indeterminação do tipo  ou</p><p>Nesse caso, aplica-se o logaritmo em ambos os lados da função  , para transformar a função</p><p>exponencial em um produto:</p><p>Isolando y tem-se:</p><p>Assim,</p><p>∞ − ∞ ,  0.∞  ,  0</p><p>0</p><p>,  1</p><p>∞</p><p>,  ∞</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>e</p><p>∞</p><p>∞</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>[</p><p>x</p><p>x−1</p><p>−</p><p>1</p><p>ln x</p><p>]</p><p>∞ − ∞</p><p>0</p><p>0</p><p>∞</p><p>∞</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>[</p><p>x</p><p>x−1</p><p>−</p><p>1</p><p>ln x</p><p>] = lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>x ln x− (x−1)</p><p>(x−1) ln x</p><p>0</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>x ln x− (x−1)</p><p>(x−1) ln x</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>d</p><p>dx</p><p>(x ln x− (x−1))</p><p>d</p><p>dx</p><p>((x−1) ln x)</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>ln x+1−1</p><p>ln x+</p><p>(x−1)</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>ln x</p><p>ln x+1−</p><p>1</p><p>x</p><p>0</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>ln x</p><p>ln x+1−</p><p>1</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>d</p><p>dx</p><p>(ln x)</p><p>d</p><p>dx</p><p>(ln x+1−</p><p>1</p><p>x</p><p>)</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>1</p><p>x</p><p>1</p><p>x</p><p>+</p><p>1</p><p>x²</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>+</p><p>1</p><p>1²</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>+</p><p>[</p><p>x</p><p>x−1</p><p>−</p><p>1</p><p>ln x</p><p>] =</p><p>1</p><p>2</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>x</p><p>x</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>∞</p><p>∞</p><p>y = x</p><p>x</p><p>ln y = ln x</p><p>x</p><p>y = e</p><p>x ln x</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>x</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>e</p><p>x ln x</p><p>= e</p><p>[ lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>(xln x)]</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>30 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>Esse limite apresenta indeterminação do tipo  , porém, ainda não se pode aplicar a regra de L’Hôspital.</p><p>Reescrevendo o limite como uma divisão, apresenta-se uma das indeterminações que possibilitam aplicar</p><p>essa regra.</p><p>Devido ao limite apresentar uma indeterminação</p><p>do tipo   pode-se aplicar a regra de L’Hôspital:</p><p>Portanto,</p><p>A técnica utilizada nesse exemplo é similar para indeterminações do tipo  e  .</p><p>Os problemas conhecidos como problemas de otimização usam todos os conceitos estudados nesta</p><p>disciplina, mas, principalmente, as técnicas e os conceitos de derivação vistos nas seções anteriores desta</p><p>unidade.</p><p>Vamos resolver alguns desses problemas.</p><p>Lembre-se: existem outras maneiras de se resolver cada uma dessas aplicações. Assim, desde que você opte</p><p>por uma forma matematicamente correta de chegar ao resultado, sua maneira de resolver pode ser</p><p>diferente da apresentada nos exemplos a seguir.</p><p>Uma lata de leite condensado tem o formato de um cilindro reto com a capacidade de 395 gramas que</p><p>equivale, aproximadamente, a um volume de 320 cm .</p><p>O fabricante determina a altura e o raio desse cilindro para que tenha custo mínimo de material.</p><p>Sabe-se que a lata é produzida com alumínio, sendo que o custo para o alumínio usado na tampa e na base</p><p>é de dez centavos por cm e o custo para o material usado na lateral é de cinco centavos por cm .</p><p>Determine a altura e o raio da tampa (e base) para que o fabricante tenha um custo mínimo para a</p><p>produção da lata.</p><p>Para calcular o volume de um cilíndrico reto usa-se a relação</p><p>V = área da base altura =</p><p>onde h é a altura do cilindro e r é o raio da base.</p><p>Temos que nosso cilindro tem volume igual a 320 cm , portanto</p><p>Queremos minimizar o custo do material que está relacionado a área da lata, sendo que o custo do material</p><p>usado para a base do recipiente e para a tampa é de dez centavos por cm e o custo do usado para a parte</p><p>lateral é de cinco centavos por cm .</p><p>Dessa forma, podemos plani�car nossa lata cilíndrica de forma que a área da base (círculo) terá um custo e</p><p>a área da lateral (do retângulo) terá outro custo, que somados nos dão a equação:</p><p>0.∞</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>(x ln x) = lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>ln x</p><p>1</p><p>x</p><p>∞</p><p>∞</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>ln x</p><p>1</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>d</p><p>dx</p><p>(ln x)</p><p>d</p><p>dx</p><p>(</p><p>1</p><p>x</p><p>)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>1</p><p>x</p><p>−</p><p>1</p><p>x²</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>−x</p><p>1</p><p>= 0</p><p>x</p><p>x</p><p>= e</p><p>[ lim</p><p>x→0</p><p>+</p><p>(x ln x )]</p><p>= e</p><p>0</p><p>= 1</p><p>1</p><p>∞</p><p>∞</p><p>0</p><p>3</p><p>2 2</p><p>(π ⋅ r</p><p>2</p><p>) ⋅ h</p><p>3</p><p>V = 320 = πr</p><p>2</p><p>h ⇒ h =</p><p>320</p><p>πr</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>31 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>e</p><p>Figura 4 | Plani�cação de um cilindro circular reto</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Logo, tenho uma função em relação ao raio r. Fazendo  encontramos os pontos críticos para a</p><p>função.</p><p>Fazendo  , encontraremos as raízes de</p><p>Portanto, considere r = 2,9425 cm</p><p>Como desejamos um custo mínimo, precisamos garantir que em r=2,9425 teremos um ponto de mínimo</p><p>local. Assim, fazemos  . Dessa forma, como  , então</p><p>tem-se um ponto de mínimo em C(r) quando r=2,9425.</p><p>Figura 5 | Grá�co das funções C(r), C'(r) e C"(r)</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Logo, sabemos que para obter custo mínimo, sendo  e  , substituindo, teremos então</p><p>A</p><p>base</p><p>=  πr</p><p>2</p><p>A</p><p>lateral</p><p>=  base X altura  =  2πr. h</p><p>C (r) = Custo  =  2 (10 (πr</p><p>2</p><p>))  +  5 (2πrh)</p><p>C (r) = 20 (πr</p><p>2</p><p>) + 5 (2πr (</p><p>320</p><p>r</p><p>2</p><p>π</p><p>)) = 20πr</p><p>2</p><p>+ 3200r</p><p>−1</p><p>C′(r)  =  0</p><p>C′(r)  =  40πr – 3200r</p><p>—2</p><p>40πr − 3200r</p><p>−2</p><p>= 0 C′(r)</p><p>40πr = 3200r</p><p>−2</p><p>40πr</p><p>3</p><p>= 3200</p><p>r</p><p>3</p><p>=</p><p>3200</p><p>40π</p><p>r ≈ 2,9425</p><p>C</p><p>′′</p><p>(r) = 40π + 6400r</p><p>−3</p><p>C</p><p>′′</p><p>(2,9425) = 376,87 > 0</p><p>r = 2,9425 h =</p><p>320</p><p>πr</p><p>2</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>32 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>h=11,77 cm.</p><p>Você pôde perceber que usamos diretamente os conceitos de derivadas para analisar situações do dia a dia</p><p>e, com isso, tirar resultados importantes para a solução de problemas, chamados de problemas de</p><p>otimização.</p><p>Neste vídeo vamos trazer o conceito de otimização. Para isso, selecionamos uma aplicação que dependerá</p><p>de técnicas de derivação vistas ao longo das seções que compõem esta unidade, além de conceitos desta</p><p>seção. Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car problemas de otimização e saberá resolvê-los.</p><p></p><p>Sugerimos como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções o software de geometria</p><p>dinâmica GeoGebra on-line.</p><p>O material Taxas Relacionadas e Máximos, de Araújo é rico em exemplos de problemas de otimização,</p><p>sendo que a maior parte deles está resolvido, auxiliando na prática e �xação do conteúdo. Assim,</p><p>sugerimos que você acess, e tente resolvê-los.</p><p>Para saber um pouco mais sobre a vida de L’Hôspital e Bernoulli, sugerimos dois materiais. O primeiro,</p><p>Guillaume François Antoine Marquis de L'Hospital (1661-1704), e o segundo Johann Bernoulli (1667 -</p><p>1748)</p><p>Para visualizar o objeto, acesse seu material digital.</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. et al.  . v.1. Rio de Janeiro: Grupo A, 2014. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/ . Acesso em: 12 set. 2022</p><p>GUIDORIZZI, H. L.  . v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/.  Acesso em: 12 set. 2022.</p><p>STEWART, J.  . v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/.  Acesso em: 12 set. 2022.</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. et al.  . v.1. Rio de Janeiro: Grupo A, 2014. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/ . Acesso em: 12 set. 2022</p><p>GUIDORIZZI, H. L.  . v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://</p><p>15 minutos</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>33 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/taxarel/listaRelRat.html</p><p>http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/taxarel/listaRelRat.html</p><p>http://ecalculo.if.usp.br/historia/lhospital.htm</p><p>http://ecalculo.if.usp.br/historia/lhospital.htm</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/ . Acesso em: 12 set. 2022.</p><p>HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. - Um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de Janeiro:</p><p>Grupo GEN, 2015. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/</p><p>Acesso em: 19 set. 2022.</p><p>STEWART, J.  . v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/ . Acesso em: 12 set. 2022.</p><p>TESTE da primeira derivada. . UEL. [s. d.]. Disponível em: http://www.uel.br/projetos/</p><p>matessencial/superior/calculo/maxmin/</p><p>mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>Acesso</p><p>em: 15 nov. 2022.</p><p>GUIDORIZZI, H. L.  . v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/ . Acesso em: 12 set. 2022.</p><p>HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. - Um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de Janeiro:</p><p>Grupo GEN, 2015. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/</p><p>Acesso em: 19 set. 2022.</p><p>STEWART, J.  . v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/ . Acesso em: 12 set. 2022.</p><p>CONNALY, HUGHES-HALLETT, GLEASON, et al.</p><p>3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.</p><p>FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. funções, limite, derivação e integração. 6. ed., rev. e ampl.</p><p>São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.</p><p>GOLDSTEIN, L. J. et al.  Porto Alegre: Grupo A, 2012. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788540700970/ . Acesso em: 30 set. 2022.</p><p>GUIDORIZZI, H. L.  . Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/ . Acesso em: 28 set. 2022.</p><p>LIMA, E. L. Rio de Janeiro: SBM, 2011.</p><p>MAOR, E. a história de um número. Record: Rio de Janeiro, 2008.</p><p>STEWART, J.  v. 1. Tradução da 8ª edição norte-americana. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017.</p><p>Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/ . Acesso em: 28 set.</p><p>2022.</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u4_cal_int_dif https://conteudo.colaboraread.com.br/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_E_I...</p><p>34 of 34 8/5/2024, 6:06 PM</p><p>https://storyset.com/</p><p>https://storyset.com/</p><p>https://www.shutterstock.com/pt/</p><p>https://www.shutterstock.com/pt/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788540700970/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788540700970/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788540700970/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788540700970/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/</p>