Equações de Hermite e Schrodinger

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Trabalho de Cálculo 4
Meu nome é Mayara Regina da Silva de Figueiredo e o tópico de séries e potências
para a resolução de EDO’s da disciplina cálculo 4 pode ser aplicado para definir os
polinômios de Hermite e seus fenômenos microscópicos do oscilador harmônico da
mecânica quântica.
Esta manipulação, portanto, é usada na equação diferencial de Schrodinger, que
descreve o comportamento de sistemas quânticos cuja solução determina a dependência
espacial e temporal da função de onda que rege o movimento de uma partícula. Ou seja,
essa equação utiliza-se da teoria da mecânica quântica clássica e fornece a função de
onda, que descreve as regiões prováveis de existência dos elétrons nos átomos, o que
chamamos de orbitais eletrônicos.
Ao definir a equação de Hermite como
(1)
onde p é uma constante.
São procuradas soluções que se aproximem de 0 e |x| →∞. A fim de facilitar a
resolução da equação, e para valores de x muito grandes, o termo (2p + 1) é
desprezível quando comparado a . Então temos que𝑥2
substituindo essas expressões na equação um, chegamos na equação diferencial de
hermite:
(2)
É possível resolver essa equação utilizando o método de série de potências para as
equações diferenciais em torno do ponto y0= 0. Supondo que a equação 2 tenha uma
solução y da forma
teremos
que ao substituir na equação 2, teremos
então com isso, podemos expressar a relação de recorrência da equação de hermite
O oscilador harmônico quântico unidimensional corresponde a um sistema
“massa-mola” que é definido por uma partícula quântica de massa m sob a ação de um
potencial da forma .𝑉(𝑥) = 1
2 𝑘𝑥2 
A equação de Schrodinger (função de onda), é postulada a fim de satisfazer a
seguinte equação em derivadas parciais:
em que a constante de Planck é definida como ℏ = h/2π. Como utiliza-se o caso
unidimensional, a equação é reescrita de forma que independe do tempo:
(3)
em que sua a solução tem valores positivos para E.
Entretanto, a equação 3 é reescrita ao definir a frequência angular do oscilador
como ω = e atribuir as variáveis adimensionais e :𝑘/𝑚
e ao fazer ajustes necessários, esta equação pode novamente ser reescrita:
(4)
Vemos então que se para a equação 4, chegamos exatamente na
definição para a equação de hermite.