Unidade de medida de volume

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Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
T917f Tuler, Marcelo.
 Fundamentos de topografia [recurso eletrônico] / Marcelo 
 Tuler, Sérgio Saraiva. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : 
 Bookman, 2014.
 Editado também como livro impresso em 2014.
 ISBN 978-85-8260-120-4
 1. Levantamento topográfico. 2. Topografia. I. Saraiva, 
 Sérgio. II. Título. 
CDU 528.425 
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Unidade de medida de volume
A unidade padrão é o metro cúbico (m3), que corresponde a um cubo de 1 � 1 � 1 m.
Há ainda as seguintes unidades volumétricas:
 • 1 litro � 1 dm3 • 1 jarda cúbica � 0,7645 m3
Exemplo 2.6 
1 m3 � 1m � 1m � 1m � 10 dm � 10 dm � 10 dm � 1.000 dm3 ou, ainda, 1.000 litros
� 100 cm � 100 cm � 100 cm � 1.000.000 cm3
Exemplo 2.7 Calcule a capacidade, em litros e em m3, de uma caixa 
d'água com as seguintes dimensões (largura � 4 m; 
comprimento � 100 dm; altura � 500 cm).
Solução:
Capacidade � largura � comprimento � altura � 4,000 m � 10,000 m � 5,000 m � 200 m3
Capacidade � 200 m3 � 200.000 litros
Exemplo 2.8 Calcule a capacidade, em m3, de um motoscraper (tipo de 
trator articulado) que transporta 24 jardas cúbicas por viagem.
Solução:
1 jarda cúbica � 0,7645 m3
24 jardas cúbicas � 18,348 m3
Capacidade � 18,348 m3
Unidade de medida angular
As unidades de medidas dos ângulos e arcos utilizados em Topografia podem ser sexagesimais 
(grau), centesimais (grado) e o radiano.
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Sistema sexagesimal
É o sistema mais utilizado na Topografia. No sistema sexagesimal, o círculo trigonométrico é 
dividido em 360 partes, tendo como unidade básica o grau 
(Fig. 2.2).
Círculo: 360o
Unidade básica: 1o
Submúltiplos:
Minuto: 60’ � 1o
Segundo: 3.600” � 1o
Logo: 1o � 60’ � 3.600”
Geralmente, a origem da medição é na direção Norte, em sen-
tido horário. As modalidades de ângulos horizontais e verticais 
utilizados na Topografia são comentados na seção “Goniologia”.
Exemplo 2.9 30o 49’ 32,5” (lê-se trinta graus, quarenta e nove minutos e trinta e 
dois vírgula cinco segundos).
De posse dos ângulos, podem-se executar as seguintes operações algébricas:
a) Adição
 • Adicionar as unidades comuns.
Exemplo 2.10 Some 50o 20’ 30” e 20o 45’ 43”.
Solução:
50o 20’ 30”
� 20o 45’ 43”
70o 65’ 73”
� 71o 06’ 13”
Logo, 70o 65’ 73” � 70o 66’ 13” � 71o 06’ 13”.
b) Subtração
 • Subtrair as unidades comuns.
270°
0° = 360°
90°
180°
Figura 2.2 Sistema sexagesimal.
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Exemplo 2.11 Subtraia 50o 20’ 30” e 10o 42’ 40”.
Solução:
50o 20’ 30” 50o 19’ 90” 49o 79’ 90”
� 10o 42’ 40” 10o 42’ 40” 10o 42’ 40”
39o 37’ 50”
c) Multiplicação
 • Multiplicar apenas por números adimensionais.
 • Não multiplicar ângulos por ângulos.
Exemplo 2.12 Multiplique 20o 20’ 30” por 5.
Solução:
20o 20’ 30”
� 5
100o 100’ 150”
Corretamente, tem-se 101o 42’ 30”.
d) Divisão
 • Dividir apenas por números adimensionais.
 • Não dividir ângulos por ângulos.
Exemplo 2.13 Divida 80o 40’ 20” por 4.
Solução:
As relações trigonométricas envolvendo unidades de grau, minuto e segundo devem antes ser 
transformadas em frações decimais de graus (“decimalizadas”), por exemplo:
sen 30o 30’ � sen 30,30o (erro muito comum em operações trigonométricas),
pois sen 30o 30’ � 0,507538362921
 sen 30,30o � 0,504527623815.
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A decimalização já existe na maioria das calculadoras científicas, devendo ser executada antes 
de qualquer operação matemática relacionada a ângulos sexagesimais.
Exemplo 2.14 Decimalize e calcule:
a) 30o 30’
b) 20o 06’ 18”
c) tg (30o 20’ 01,20”)
Solução:
a) 60’ equivalem a 1o, então 30’ equivalem a 0,5o. Logo:
30o 30’ � 30o � 0,5o � 30,5o
b) 60’ equivale a 1o, então 06’ equivalem a 0,1o; e 3600” equivalem a 1o, então 18” 
equivalem a 0,005o. Logo:
20o 06’ 18” � 20o � 0,1o � 0,005o � 20,105o
c) tg (30o 20’ 01,20”) � tg (30,3336666667) � 0,585141328646
Sistema centesimal e radiano
O sistema centesimal já foi empregado na Topografia, mas já não é tão comum na atualidade. 
No sistema centesimal, o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes, tendo como uni-
dade básica o grado (Fig. 2.3).
Círculo – 400gr Unidade básica: 1gr
Submúltiplos: Centigrado: 100 centrigados � 1gr; Decimiligrados � 10.000 decimiligrados � 1gr.
300gr
0gr = 400gr
100gr
200gr
Figura 2.3 Sistema centesimal.
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Exemplo 2.15 382,4839gr (lê-se trezentos e oitenta e dois grados, 
quarenta e oito centigrados e trinta e nove decimiligrados).
O radiano é o ângulo central correspondente a um arco de comprimento igual ao raio 
(Fig. 2.4). É muito utilizado na construção de rotinas automatizadas e algoritmos matemáticos.
2 � � � R → 360o
a → 	
Logo, 1 radiano � 57o 17’ 45” � 	.
R
a
	
Figura 2.4 Sistema radiano.
No Quadro 2.2, apresentamos a conversão de sistemas de unidades de medidas angulares 
vistos anteriormente.
Quadro 2.2 Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares
Graus Grados Radianos
0o 0gr 0 rd
90o 100gr
�/2 rd
180o 200gr
� rd
270o 300gr 3�/2 rd
360o 400gr 2� rd
Geralmente, é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares, princi-
palmente ao confeccionar um programa de cálculo. Alguns equipamentos modernos (es-
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tações totais, p. ex.) possibilitam a tomada dessas grandezas em quaisquer dos sistemas 
mencionados acima.
Exemplo 2.16 Transforme:
a) 358o (para grado) � 397,7g
b) 120o (para grado) � 133,3g
c) 76o (para grado) � 84,4g
d) 104g (para grau) � 93,60 � 93o 36’
e) 96g (para grau) � 86o 24’
f ) 78g (para grau) � 70o 12’
g) 100o (para radiano) � 1,74 rd
h) 2 rd (para grau) � 114o 36’
O Quadro 2.3 ilustra outros sistemas de unidades frequentemente utilizados nas medições em 
geral.
Quadro 2.3 Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI)
Grandeza Nome Símbolo Definição
Comprimento Metro m “[...] distância percorrida pela 
luz no vácuo em 1/299.792.458 
do segundo.” (Instituto Nacional 
de Metrologia, Qualidade e 
Tecnologia, 2012)
Massa Quilograma kg “[...] um protótipo (determinado 
cilindro de platina e irídio) que 
corresponde ao peso de 1 litro de 
água que foi, de 1889 em diante, 
considerando a unidade de massa.” 
(Instituto Nacional de Metrologia, 
Qualidade e Tecnologia, 2012)
Tempo Segundo s “[...] duração de 9.192.631.770 
períodos da radiação 
correspondente à transição 
entre os dois níveis hiperfinos do 
estado fundamental do átomo 
de césio 133.” (Instituto Nacional 
de Metrologia, Qualidade e 
Tecnologia, 2012)
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Quadro 2.3 Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI) (Continuação)
Grandeza Nome Símbolo Definição
Corrente 
elétrica
Ampère A “[...] corrente constante que, 
mantida em dois condutores 
retilíneos paralelos de 
comprimento infinito e seção 
circular transversal desprezível, 
situados no vácuo e distantes um 
do outro 1 metro, produziria entre 
esses condutores uma força igual 
a 2 � 10�7 Newton por metro.” 
(Instituto Nacional de Metrologia, 
Qualidade e Tecnologia, 2012)
Área Metro quadrado m2 –
Volume Metro cúbico m3 –
Frequência Hertz Hz s�1
Densidade Grama por 
centímetrocúbico ou 
tonelada por 
metro cúbico
g/cm3
ton/m3
–
Velocidade Metro por 
segundo
m/s –
Aceleração Metro por 
segundo 
quadrado
m/s2 –
Força Newton N kg � m/s2
Pressão Pascal Pa N/m2
Trabalho/
Energia
Joule J N � m
Temperatura Kelvin K –
Potência Watt W J/s
Fonte: Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (2012).
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