RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES 7 5 E 7 6 - CAP 7 - MA12 (1)

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RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES 7.5 E 7.6 –
CAP. 7
MA12
(Marcos Aurélio)
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Uma moeda, com probabilidade 
1
3
de dar cara, é lançada 40 vezes.
(a) Explique por que a probabilidade 𝑝𝑘 de se obter k caras nos 40 
lançamentos é dada por:
𝑝𝑘 = 𝐶40,𝑘∙(
1
3
)𝑘∙ (
2
3
)40−𝑘 , para k = 0,1,2,...,40.
(b) Calcule para que valores de k tem-se 𝑝𝑘+1> 𝑝𝑘
(c) Utilize (b) para obter o valor de k para o qual a probabilidade de se 
obter k caras é máxima.
QUESTÃO 7.5
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 M
A
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2
RESOLUÇÃO
(a) Devemos ter k caras e 40 − k coroas em 40
lançamentos. Mas, para cada lançamento a
PROBABILIDADE de dar cara é
1
3
e de dar coroa é
2
3
. Assim,
numa ordem específica, a PROBABILIDADE de obtermos k
caras e 40 – k coroas é:
(
1
3
)𝑘 ∙ (
2
3
)40−𝑘.
Além disso, temos que o número de modos (ou ordem) que
podem sair as k caras é o número de modos de se escolher
k elementos entre os 40, isto é: 𝐶40,𝑘
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RESOLUÇÃO
Portanto, a PROBABILIDADE de dar k caras em 40 lançamentos é
dado por:
𝑝𝑘 = 𝐶40,𝑘∙(
1
3
)𝑘 ∙ (
2
3
)40−𝑘, com k = 0, 1, 2, ... , 40.
b) 𝑝𝑘+1> 𝑝𝑘 se, e somente se,
40!
(𝑘+1)! 40−(𝑘+1) !
∙(
1
3
)𝑘+1 ∙ (
2
3
)40−(𝑘+1) > 
40!
𝑘! 40−𝑘 !
∙ (
1
3
)𝑘 ∙ (
2
3
)40−𝑘 ֞
40!
(𝑘+1)! 40−𝑘−1 !
∙ (
1
3
)𝑘+1∙ (
2
3
)40−𝑘−1 > 
40!
𝑘! 40−𝑘 !
∙ (
1
3
)𝑘 ∙ (
2
3
)40−𝑘֞
P
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 M
A
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2
RESOLUÇÃO
40!
𝑘+1 𝑘! 39 − 𝑘 !
∙ (
1
3
)𝑘∙(
1
3
) ∙(
2
3
)40−𝑘∙(
2
3
)−1 >
40!
𝑘! 40−𝑘 39 −𝑘 !
∙(
1
3
)𝑘∙(
2
3
)40−𝑘֞
1
𝑘+1
∙(
1
3
)∙(
2
3
)−1∙(
2
3
) > 
1
40−𝑘
∙(
2
3
) ֞
1
𝑘+1
∙(
1
3
) > 
1
40−𝑘
∙2 ∙ (
1
3
) ֞
1
𝑘+1
> 
2
40 −𝑘
֞ 2k + 2 < 40 – k ֞ 3k < 38 ֞ k < 
38
3
= 12,666...
Como k é inteiro, isto é equivalente a k ≤ 12.
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RESOLUÇÃO
(c) Provamos em (b) que 𝑝𝑘< 𝑝𝑘+1 se, e somente se, k ≤ 12. Daí, temos 
𝑝0 < 𝑝1 < 𝑝2 <...< 𝑝12 < 𝑝13.
Assim, se k > 12, então 𝑝𝑘≥ 𝑝𝑘+1. Logo, temos 𝑝13 ≥ 𝑝14 ≥...≥ 𝑝40.
Portanto, o valor máximo, ocorre, quando k = 13
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2
Determine a probabilidade de obter ao menos
a) Um seis em 4 lançamentos de um dado;
b) Um duplo seis em 24 lançamentos de um par de dados.
QUESTÃO 7.6
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2
a) A probabilidade de nenhum seis em quatro lançamentos é:
(
5
6
)4 ≡ 0,4823. 
A probabilidade de pelo menos um seis é:
1 - (
5
6
)4 ≡ 1 - 0,4823 = 0,5177
RESOLUÇÃO
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M
A
T
 M
A
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2
b) A probabilidade de nenhum duplo seis em 24 lançamentos de
um par de dados é:
(
35
36
)24 ≡ 0,5086. 
A probabilidade de pelo menos um duplo seis é:
1 - (
35
36
)24 ≡ 1 - 0,5086 = 0,4914
RESOLUÇÃO