Mecânica Vetorial - Rade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
Cinemática e Dinâmica 
para a Engenharia 
 
 
 
 
Domingos Alves Rade 
 
2009 
 
ÍNDICE 
CAPÍTULO 1 – CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
1.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 
Grandezas cinemáticas fundamentais: posição, deslocamento, velocidade e 
aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Velocidade e aceleração angulares de uma linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7
1.4 Derivadas de funções vetoriais em relação a grandezas escalares . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Movimento retilíneo da partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Interpretações geométricas no movimento retilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Casos particulares de movimento retilíneo. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 20
1.6 Movimento retilíneo vinculado de várias partículas . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Movimento curvilíneo plano de partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.2 Componentes normal-tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7.3 Coordenadas polares. Componentes radial-transversal . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8 Movimento curvilíneo espacial da partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.1 Coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.2. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.3 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8.4 Transformações de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.9 Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.9.1 Movimento relativo plano. Eixos de referência em translação . . . . . . . . . . 48
1.9.2 Movimento relativo plano. Eixos de referência em rotação . . . . . . . . . . . . . 50
1.9.3 Movimento relativo plano. Eixos de referência em movimento plano geral 56
1.9.4 Movimento relativo espacial. Eixos de referência em translação . . . . . . . . 60
1.9.5 Movimento relativo espacial. Eixos de referência em rotação. . . . . . . . . . . 62
1.9.6 Movimento relativo espacial. Eixos de referência em movimento geral . . . 63
1.10 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 Movimento de translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3. Movimento de rotação em torno de um eixo fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Movimento plano geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.1 Velocidades absolutas e relativas no movimento plano geral. . . . . . . . . . . . 72
2.4.2 Centro instantâneo de rotação no movimento plano geral . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4.3 Acelerações absolutas e relativas no movimento plano geral . . . . . . . . . . . 81
2.5 Movimento com um ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6 Movimento Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.1 Velocidades absolutas e relativas no movimento geral . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6.2 Acelerações absolutas e relativas no movimentl geral . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DA PARTÍCULA 
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 As leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Equações do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.2 Componentes normal-tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.3 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.4 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4 A 2ª Lei de Newton e os sistemas de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 As quatro forças de inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6 Equilíbrio dinâmico. Princípio de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.7 Diagramas de corpo livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7.1 Força gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7.2 Força eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7.3 Força magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.74 Forças de contato entre superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7.5 Forças exercidas por fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7.6 Forças exercidas por cabos flexíveis e barras rígidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.7.7 Forças exercidas por molas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.7.8 Forças exercidas por amortecedores viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.8 Resolução numérica das equações do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.9 Quantidade de movimento linear da partícula. Princípio do impulso 
quantidade de movimento linear. Conservação do movimento linear. . . . . . . . . 115
3.10 Quantidade de movimento angular da partícula. Princípio do impulso – 
quantidade de movimento angular. Conservação da quantidade do movimento 
angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 116
3.11 Métodos de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.11.1 Trabalho de uma força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.11.2 Potência de uma força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.11.3 Princípio do trabalho-energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.11.4 Forças conservativas. Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.11.5 Princípio da conservação da energia mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.12 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
CAPÍTULO 4 – DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2 Forças externas e internas. Forças efetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular do 
sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 Movimento do centro de massa do sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.5 Quantidade de movimento angular do sistema de partículas em relação ao 
centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6 Princípio do impulso-quantidade de movimento linear para o sistema de 
partículas. Conservação da quantidade de movimento linear . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.7 Princípio do impulso-quantidade de movimento angular para o sistema de 
partículas. Conservação da quantidade de movimento angular . . . . . . . . . . . . . 140
4.8 Princípio do trabalho-energia cinética para os sistemas de partículas . . . . . . . . 142
4.9 Princípio da conservação da energia mecância para os sistemas de partículas . 145
4.10 Colisões de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.10.1 Colisões Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.10.2 Colisões oblíquas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.11 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
CAPÍTULO 5 – PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2 Posição do centro de massa de um corpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2.1 Posição do centro de massa de corpos de geometria composta . . . . . . . . . 156
5.3 Momento de inércia de massa de um corpo rígido em relação a um eixo. Raio 
de giração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.4 Teorema dos eixos paralelos para os momentos de inércia de massa . . . . . . . . . 159
5.5 Momentos de inércia de massa expressos em coordenadas cartesianas . . . . . . . 161
5.6 Momentos de inércia de massa em relação a um eixo orientado 
arbitrariamente. Produtos de inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.7 Teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia e produtos de inércia 
expressos em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.8 Momentos e produtos de inércia de corpos de geometria composta . . . . . . . . . 171
5.9 Eixos principais de inércia e momentos principais de inércia . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.10 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS 
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2 Quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular de 
corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.4 Equações de Euler para o movimento de corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.5 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento de 
translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.6 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento plano . . . . . 186
6.7 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento com um 
ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
188
6.8 Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento de rotação 
em torno de um eixo fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.9 Energia cinética de corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.9.1 Energia cinética no movimento de translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.9.2 Energia cinética para corpos rígidos em movimento plano . . . . . . . . . . . 193
6.9.3 Energia cinética no movimento com um ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.9.4 Energia cinética no movimento de rotação em torno de um eixo fixo . . . . 194
6.10 Princípio do trabalho-energia cinética para os corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.11 Princípio da conservação da energia mecânica para os corpos rígidos . . . . . . . . 197
6.12 Princípio do impulso-quantidade de movimento para os corpos rígidos. 
Conservação da quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.13 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
CAPÍTULO 7 – FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.2 Princípios do Trabalho Virtual Aplciado a Sistemas de Partículas . . . . . . . . . . 201
7.3 Princípio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4 O Princípio de Hamilton Estendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.5 Número de graus de liberdade e coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.6 Equações de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
APÊNDICE A – TRANSFORMAÇÃO DE COOORDENADAS. PROBLEMA DE 
AUTOVALOR ASSOCIADO À DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS 
PRINCIPAIS DE INÉRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE INERCIA . . . . . . . . . . . . . . 218
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
 
Cinemática da Partícula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
1 
CAPÍTULO 1 
 
CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
 
 
1.1 - Introdução 
 
 A Cinemática trata da descrição do movimento de uma partícula, 
relacionando sua posição, velocidade e aceleração com o tempo, sem levar em conta 
os agentes que dão origem ao movimento, que são as forças. 
 Entende-se por partícula ou ponto material, um corpo cuja forma e dimensões 
não são relevantes para a caracterização de seu movimento. Deve-se notar que, 
segundo esta conceituação, partículas não são necessariamente corpos de pequenas 
dimensões. Assim, por exemplo, um avião cujo movimento é monitorado por uma 
estação de radar, conforme ilustrado na Figura 1.1(a), pode ser considerado como 
uma partícula porque, na medição efetuada pelo radar, não se faz distinção entre os 
movimentos de diferentes pontos do avião. Por outro lado, se estivermos 
interessados em caracterizar, por exemplo, as acelerações dos diferentes pontos da 
asa do avião ao longo de sua envergadura, durante uma manobra de rolamento 
(rotação em torno do eixo longitudinal), teremos que considerar as posições destes 
pontos em relação ao eixo do longitudinal do avião, como mostra a Figura 1.1(b). 
Neste caso, o modelo de partícula não mais se aplica e, se admitirmos ainda que o 
avião não se deforma, podemostratar o avião como um corpo rígido. Assim sendo, a 
modelagem de um dado corpo como partícula ou como corpo rígido depende, 
fundamentalmente, do tipo de problema que estamos tratando e das informações 
que estamos buscando mediante a resolução do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.1 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
2 
Este capítulo tem dois objetivos principais: 
1º) conceituar as grandezas cinemáticas utilizadas para caracterizar o 
movimento de uma partícula: posição, velocidade e aceleração. 
2º) estabelecer as equações que permitem calcular posição, velocidade e 
aceleração instantâneas da partícula, empregando sistemas de referência fixos e 
móveis e diferentes tipos de sistemas de coordenadas em duas e três dimensões. 
Este estudo é motivado pelo fato que a escolha adequada do sistema de referência 
pode facilitar enormemente a resolução de problemas práticos de Engenharia. 
É importante ressaltar que o assunto abordado neste capítulo constitui uma 
etapa fundamental na resolução de problemas de dinâmica da partícula, além se 
aplicar diretamente ao estudo da cinemática e dinâmica dos sistemas de partículas 
e dos corpos rígidos, que serão enfocados em capítulos subseqüentes do curso. 
 
 
1.2 � Grandezas cinemáticas fundamentais: posição, deslocamento, 
velocidade e aceleração 
 
 No estudo da Mecânica, a completa caracterização das grandezas cinemáticas 
- posição, velocidade e aceleração - requer o estabelecimento de um sistema de 
referência em relação ao qual estas grandezas são medidas e ao qual associamos um 
observador do movimento. 
A escolha do sistema de referência é arbitrária, podendo ele ser fixo ou móvel. 
No primeiro caso, o movimento é dito absoluto e, no segundo caso, relativo. 
Muito freqüentemente, o sistema de referência é representado por um 
conjunto de eixos orientados, perpendiculares entre si, aos quais se associa uma 
base de vetores unitários. A forma mais comum é o sistema de eixos cartesianos 
Oxyz, com sua base canônica de vetores unitários ( k,j,i ). 
Quando a partícula se movimenta, o conjunto dos pontos que ela ocupa define 
a chamada trajetória da partícula. Quando a trajetória for uma curva, seja ela plana 
ou reversa, seu movimento é denominado movimento curvilíneo. Conforme mostra a 
Figura 1.2(a), a posição de uma partícula sobre sua trajetória, indicada por um 
ponto P, em relação a um sistema de referência Oxyz, fica completamente 
determinada pelo vetor posição tr , que tem sua origem coincidente com a origem 
do sistema de referência e sua extremidade coincidente com a posição 
instantaneamente ocupada pela partícula. 
É evidente que, à medida em que a partícula se desloca, o vetor tr varia em 
módulo e/ou direção, sendo, portanto, uma função vetorial do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 1.2 
 
 Considerando a Figura 1.2(b), designemos por trr e ttrr os 
vetores posição correspondentes às posições P e P , ocupadas pela partícula em dois 
instantes subseqüentes t e tt , respectivamente. O vetor r , chamado vetor 
deslocamento, representa a variação da posição da partícula durante o intervalo de 
tempo t . Este vetor indica, portanto, a variação no módulo e na direção do vetor 
posição. Do triângulo de vetores mostrado na Figura 1.2(b), podemos escrever 
rrr . 
 Em Mecânica, estamos freqüentemente interessados em avaliar a rapidez 
com que o vetor posição varia com o tempo. Esta rapidez é expressa pela grandeza 
cinemática chamada velocidade. 
Com base na situação ilustrada na Figura 1.2(b), define-se a velocidade 
vetorial média entre os instantes t e tt como sendo o vetor expresso sob forma: 
 
 
t
r
vm (1.1) 
 
 Sendo t uma quantidade escalar positiva, observamos que, segundo a 
definição (1.1), mv é um vetor que tem a direção e o sentido do vetor deslocamento 
r , ou seja, tem a direção da secante à trajetória, interceptando-a nos pontos P e 
P , conforme mostrado na Figura 1.3. Além disso, o módulo de mv é igual ao módulo 
de r dividido por t . No Sistema Internacional de Unidades (S.I.), a velocidade 
vetorial média tem unidades de m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
trajetória da partícula 
O
x
z
y
tr
P
O
x
z
y
r
r
r
P
P
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.3 
 
 A velocidade vetorial instantânea, ou vetor velocidade, é definida segundo: 
 
 
dt
trd
t
r
vtv
t
m
t 00
limlim sm (1.2) 
 
 Observamos, na Figura 1.3(a), que quando t tende a zero, os pontos P e P 
se aproximam e a direção de mv tende a assumir a direção da tangente à trajetória. 
Assim, concluímos que o vetor velocidade tv tem sempre a direção da tangente à 
trajetória no ponto correspondente à posição instantaneamente ocupada pela 
partícula. O sentido de tv é determinado pelo sentido do movimento da partícula 
ao longo da trajetória, como mostra a Figura 1.3(b). Nesta figura, t e n designam as 
direções tangencial e normal à trajetória, respectivamente. 
 É importante ressaltar que, no caso geral, o vetor velocidade não é 
perpendicular ao vetor posição. 
 A velocidade escalar, denotada por v, é definida como sendo o módulo do vetor 
velocidade, ou seja: 
 
 
t
'PP
lim
t
tr
limtvtv
tt 00
, sm (1.3) 
 
onde PP indica o comprimento do segmento de reta que liga as posições P e P , 
conforme indicado na Figura 1.3(a). 
Para definir uma forma alternativa, e mais conveniente, da velocidade 
escalar instantânea, introduzimos a coordenada curvilínea ts , medida ao longo da 
trajetória, a partir de uma origem arbitrária 'O , com uma orientação positiva e 
outra negativa, também escolhidas arbitrariamente, como mostrado na Figura 1.4. 
Observamos que quando t tende a zero o comprimento da corda 'PP se aproxima 
do comprimento do arco de trajetória PP , que tem comprimento s . Assim, 
podemos escrever: 
O
x
z
y
r
P
P
mv
r
r
t
O
x
z
y
P
v
n
r
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
5 
 
 
dt
tds
t
s
tv
t 0
lim sm (1.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 
 
 Na equação (1.4), podemos verificar que um valor de tv positivo indica que 
0ds (ou seja, s é crescente), o que significa que a partícula se desloca 
instantaneamente no sentido positivo adotado para medir a coordenada s. Por outro 
lado, tv negativo indica que s é decrescente, ou seja, a partícula se desloca no 
sentido contrário à orientação positiva adotada para medir a coordenada s. 
 No estudo da Cinemática, também nos interessamos freqüentemente em 
avaliar a rapidez com que a velocidade da partícula varia com o tempo. A grandeza 
que quantifica esta rapidez é a aceleração. 
Sejam v e v os vetores velocidade da partícula em dois instantes 
subseqüentes t e tt , respectivamente, e vvv , o vetor que representa a 
variação do vetor velocidade (em módulo e direção) entre estes dois instantes, 
conforme ilustra a Figura 1.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
x
z
y
r
r
r
P
s
s
O
+
P
D.A. RADECINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.5 
 
 A aceleração vetorial média entre os instantes t e tt é definida como sendo 
o vetor dado por: 
 
 
t
v
t
vv
am (1.5) 
 
Vale notar que ma tem a direção e o sentido do vetor v e seu módulo é igual 
ao módulo de v dividido por t . No S.I., ma tem unidades de m/s2. 
 A aceleração vetorial instantânea, ou vetor aceleração, é assim definida: 
 
 
dt
tvd
t
v
ata
t
m
t 00
limlim [m/s2] (1.6) 
 
 Em virtude da equação (1.2), podemos escrever (1.6) sob a forma: 
 
 
2
2
dt
trd
ta [m/s2] (1.7) 
 
É importante observar que a direção do vetor aceleração instantânea não 
coincide, no caso geral de movimento curvilíneo, com as direções normal ou 
tangencial da trajetória, como podemos observar na Figura 1.6. Tudo o que se pode 
afirmar a respeito da direção do vetor aceleração é que ele deve apontar para o lado 
côncavo da trajetória, onde se localiza o centro de curvatura da trajetória, como será 
demonstrado mais adiante. 
 
 
 
P(t) 
P´(t+ t) 
v 
v 
t 
t´ 
v 
v 
v
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 
 
 
1.3 � Velocidade e aceleração angulares de uma linha 
 
 Conforme será visto mais adiante, muitas vezes buscaremos expressar o 
movimento de uma partícula em termos do movimento de um segmento de reta que 
liga esta partícula a um outro ponto do espaço. Assim sendo, é importante definir as 
grandezas cinemáticas associadas à posição, velocidade e aceleração angulares de 
um segmento de reta. 
 Consideremos o segmento de reta OP que se movimenta sobre um plano 
que, por conveniência, fazemos coincidir com o plano x-y, conforme ilustrado na 
Figura 1.7. A orientação instantânea de OP é determinada pelo ângulo formado 
entre este segmento e uma direção de referência arbitrariamente escolhida. O sinal 
de é determinado pelo sentido de rotação, conforme convenção adotada. 
 Define-se a velocidade angular instantânea do segmento OP, denotada por , 
como sendo a taxa de variação do ângulo com o tempo, ou seja: 
 
 
dt
d
t
lim
0
 (1.8) 
 
 No Sistema Internacional de Unidades, a velocidade angular tem unidades de 
rad/s. 
 Um valor positivo de indica que o segmento OP está girando no sentido 
convencionado como positivo para medir o ângulo . Um valor negativo de 
significa que OP está girando no sentido contrário àquele convencionado como 
positivo para medir o ângulo . 
 
 
 
 
 
 
t
O
x
z
y
P
a
n
r
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.7 
 É conveniente definir o vetor velocidade angular, , com as seguintes 
características: 
a) seu módulo é dado por . 
b) sua direção é perpendicular ao plano definido pelo segmento OP e pela 
reta que estabelece a direção de referência. 
c) seu sentido é determinado pelo sentido de rotação de OP, de acordo com a 
regra de mão direita, conforme ilustrado na Figura 1.7. 
Assim, para a situação ilustrada na Figura 1.7, em relação ao conjunto de 
eixos de referência Oxyz, podemos expressar o vetor velocidade angular de OP sob a 
forma: 
 
k [rad/s] (1.9) 
 
A aceleração angular do segmento OP, designada por , expressa a rapidez 
com que a velocidade angular varia, ou seja: 
 
2
2
dt
d
dt
d
, ou (1.10) 
 
 No Sistema Internacional de Unidades, a aceleração angular tem unidades de 
rad/s2. 
 Um valor positivo de indica uma das seguintes situações: 
o segmento OP está girando no sentido convencionado como positivo 
para medir o ângulo ( 0 ), com velocidade angular de módulo 
crescente. 
o segmento OP está girando no contrário ao convencionado como 
positivo para medir o ângulo ( 0 ) com velocidade angular de 
módulo decrescente. 
O 
P 
 
direção de referência 
 
x 
y 
z 
+ 
 
i 
j k 
k
k
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
9 
No caso em que o plano , sobre o qual se movimenta o segmento OP, não 
varia sua orientação, o vetor aceleração angular é obtido por derivação de (1.9), 
considerando o vetor k como invariável. Neste caso, temos: 
 
 k (1.11) 
 
 No estudo da cinemática dos corpos rígidos é usual atribuirmos a estes corpos 
as grandezas cinemáticas velocidade angular e aceleração angular, devendo ser 
entendido que, de acordo com as definições apresentadas acima, trata-se, a rigor, da 
velocidade angular e da aceleração angular de um segmento de reta que podemos 
imaginar desenhado sobre o corpo rígido para caracterizar sua posição angular em 
relação a uma direção de referência. Assim, na situação ilustrada na Figura 1.8, 
podemos dizer que o avião está efetuando uma manobra de rolamento com 
velocidade angular k e aceleração angular k , estando estes vetores 
direcionados segundo o eixo perpendicular ao plano da figura. Observe-se que 
indica a posição angular do avião (a qual se confunde com a posição do segmento 
OP), em relação à direção de referência adotada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8 
 
Nos caso mais geral em que o segmento de reta OP se movimenta sobre um 
plano orientado arbitrariamente em relação aos eixos de referência, conforme 
mostrado na Figura 1.9, podemos expressar os vetores velocidade angular e 
aceleração angular sob as formas: 
 
nw (1.12.a) 
 
n , (1.12.b) 
 
onde n designa o vetor unitário normal ao plano . 
 Em termos de suas componentes nas direções dos eixos cartesianos indicados, 
estes vetores podem ser expressos segundo: 
direção de referência 
O
P
,
x 
y 
i 
j 
k
k
k 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
10 
 
 kji zyx (1.13) 
 
com: 
 
 inix (1.14.a) 
 
jnjy (1.14.b) 
 
knkz (1.14.c) 
 
e: 
 
 kji zyx (1.15) 
 
 
com: 
 
 inix (1.16.a) 
 
jnjy (1.16.b) 
 
knkz (1.16.c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.9 
O
x
z
y
P
n
direção de referência 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
11 
As equações (1.12) a (1.16) mostram que, sendo vetores, a velocidade angular 
e a aceleração angular gozam de todas as propriedades atribuídas a grandezas 
vetoriais, dentre as quais a comutatividade da soma abba . Entretanto, 
rotações finitas não podem ser tratadas como vetores, uma vez que não satisfazem a 
comutatividade da soma, o que significa que a posição angular final resultante de 
uma seqüência de rotações sucessivas depende da ordem em que são realizadas 
estas rotações. Este fato é ilustrado na Figura 1.10, que mostra um objeto sofrendo 
duas rotações sucessivas de 90º, em torno do eixo Oy e em torno do eixo Oz, ficando 
evidenciado que a posição final do objeto depende da ordem de realização destas 
rotações, ou seja: 
 
yzzyEm conclusão, podemos anunciar que rotações finitas não são grandezas 
vetoriais e que variações infinitesimais da posição angular e, por conseqüência, 
velocidades angulares e acelerações angulares, são quantidades vetoriais, podendo-
se aplicar a elas todas as operações vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posição inicial Rotação em torno de Oy: 
j2y (rad) 
Rotação em torno de Oz: 
k2z (rad) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posição inicial Rotação em torno de Oz 
k2z (rad) 
Rotação em torno de Oy 
j2y (rad) 
 
 
Figura 1.10 
1.4 � Derivadas de funções vetoriais em relação a grandezas escalares 
 
 Vimos, nas seções anteriores, que os vetores velocidade e aceleração da 
partícula são definidos como sendo, respectivamente, as derivadas de primeira e 
segunda ordem do vetor posição da partícula em relação ao tempo. De forma 
análoga, o vetor aceleração angular é definido como sendo a derivada do vetor 
velocidade angular em relação ao tempo. Assim, para podermos efetuar uma análise 
cinemática completa, devemos ter pleno conhecimento da definição e das principais 
propriedades da derivada de funções vetoriais em relação a uma quantidade escalar. 
A título de revisão sumarizamos, a seguir, a definição e as propriedades da 
derivada de funções vetoriais em relação a variáveis escalares. Para tanto, 
expressamos a dependência funcional de uma grandeza vetorial qualquer, Q , em 
relação a uma quantidade escalar qualquer, u, sob a forma uQQ . O fato de Q 
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
13 
ser função de u significa que tanto o módulo quanto a direção de Q variam quando o 
valor do escalar u é alterado, conforme ilustrado na Figura 1.11(a) 
 A derivada primeira de Q em relação a u é definida segundo: 
 
 
u
Q
du
Qd
u 0
lim , (1.17) 
 
Notemos que a derivada de um vetor é também um vetor que tem a direção 
da tangente à trajetória desenvolvida pela extremidade do vetor Q , como mostrado 
na Figura 1.11(b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.11 
 
 Considerando duas quantidades vetoriais uQQ e uRR e uma 
grandeza escalar uSS , todas elas funções de uma grandeza escalar u, partindo 
da definição (1.17) podemos facilmente verificar as seguintes propriedades: 
 
 1ª) derivada da soma de dois vetores: 
 
du
Rd
du
Qd
du
RQd
 (1.18) 
 
 2ª) derivada do produto de uma função escalar por uma função vetorial: 
 
du
Qd
SQ
du
dS
du
QSd
 (1.19) 
 
 
 
 
O
x
z
y
uQ
QuuQ
O
x
z
y
uQ
t
du
Qd
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
14 
 3ª) derivada do produto escalar entre dois vetores: 
 
du
Rd
QR
du
Qd
du
RQd
 (1.20) 
 
 4ª) derivada do produto vetorial entre dois vetores: 
 
du
Rd
QR
du
Qd
du
RQd
 (1.21) 
 
 É importante observar que, como o produto vetorial não é comutativo, a 
ordem das operações indicadas em (1.21) deve ser preservada. 
 Uma outra observação importante a ser feita é que, para manter a 
consistência das operações vetoriais envolvendo o produto vetorial, convém sempre 
empregar um sistema tri-ortogonal de eixos dextrógiro, tal como o mostrado na 
Figura 1.12(a), cujos eixos são orientados de modo a satisfazer as seguintes relações 
entre os vetores unitários: 
 
 kji ikj jik jki ijk kij 
 
Estas relações podem ser verificadas empregando a regra da mão direita para 
o produto vetorial, que é ilustrada na Figura 1.12(b). 
 O diagrama mnemônico para o produto vetorial entre os vetores unitários de 
sistemas de eixos dextrógiros é mostrado na Figura 1.12(c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) (c) 
 
 
Figura 1.12 
 
 
 
 
i 
j k 
+
y 
z 
j 
k 
x i 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
15 
 5ª) Derivada temporal de um vetor rotativo 
 
 Consideremos a Figura 1.13 que mostra o vetor Q que gira no plano x-y com 
velocidade angular k , em torno do eixo z (perpendicular ao plano da figura), 
mantendo seu módulo constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 
 
 Busquemos primeiramente determinar a derivada de Q em relação ao 
ângulo . Para isto, projetamos o vetor Q nas direções dos eixos x e y: 
 
 jsenicosQQ (1.22) 
 
 Admitindo que o sistema Oxy seja fixo, os vetores unitários i e j são 
constantes em módulo e direção e têm, portanto, derivadas nulas. Empregando as 
propriedades (1.18) e (1.19), a derivação da equação acima em relação a conduz a: 
 
 
d
jd
senjcos
d
id
cosisenQ
d
Qd
 
 
 = jcosisenQ (1.23) 
 
 Esta última equação mostra que o vetor 
d
Qd
 é obtido pela rotação do vetor Q 
de 90o no sentido de giro do ângulo , como pode ser visto na Figura 1.13. 
 Para obter a derivada de Q em relação ao tempo, empregamos a regra da 
cadeia da derivação. Levando em conta que 
dt
d
, escrevemos: 
 
 
d
Qd
dt
d
d
Qd
dt
Qd
 (1.24) 
 
 Introduzindo a relação (1.24) em (1.23), obtemos: 
y 
d
Qd
 
j 
x 
i 
 
 
 
Q 
dt
Qd
 
O 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
16 
 
dt
Qd
jcosisenQ (1.25) 
 
Utilizando a representação vetorial para a velocidade angular, k , e 
levando em conta a Equação (1.22), podemos escrever (1.25) sob a forma: 
 
Q
dt
Qd
 (1.26) 
 
 Conforme indicado na Figura 1.13, a direção e o sentido do vetor 
dt
Qd
 são 
obtidos pela rotação do vetor Q de 90o no sentido de giro do ângulo . 
 
 
1.5 - Movimento retilíneo da partícula 
 
 Quando a trajetória desenvolvida pela partícula é uma linha reta, o 
movimento é denominado movimento retilíneo. Neste tipo de movimento, todas as 
grandezas cinemáticas (posição, deslocamento, velocidade e aceleração) são vetores 
que têm, necessariamente, a direção da trajetória. Tem-se, então, um movimento 
dito unidimensional. Neste caso, pode-se simplificar a análise cinemática, operando 
exclusivamente com grandezas cinemáticas escalares. 
 Consideremos a partícula P que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, 
conforme mostrado na Figura 1.14. Por conveniência, escolhemos o eixo de 
referência Ox com sua direção coincidente com a trajetória, com sua origem e 
sentido escolhidos arbitrariamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.14 
 
 O vetor posição da partícula, medido em relação à origem O, é dado por: 
 
 itxtr [m] (1.27) 
 
 Empregando a relação (1.2), e observando que o vetor unitário i não varia 
com o tempo, derivamos a Equação (1.27) para obter a velocidade vetorial 
instantânea da partícula: 
 
O i P x 
0v 0v 
D.A. RADECINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
17 
 itxi
dt
tdx
dt
trd
tv [m/s] (1.28) 
 
 A velocidade escalar instantânea é dada por: 
 
 tx
dt
tdx
tv [m/s] (1.29) 
 
 Da análise da Equação (1.29), conclui-se que: 
 
um valor positivo da velocidade escalar indica x(t) é uma função crescente do 
tempo, o que significa que a partícula movimenta-se no sentido da orientação 
positiva do eixo x. 
 
um valor negativo da velocidade escalar indica x(t) é uma função decrescente 
do tempo, o que significa que a partícula movimenta-se no sentido oposto ao 
da orientação positiva do eixo x. 
 
Estas duas situações estão indicadas na Figura 1.14. 
 Empregando a relação (1.7), derivamos a Equação (1.28) para obter a 
aceleração vetorial instantânea da partícula, considerando, mais uma vez, que o 
vetor unitário i é constante: 
 
 itxi
dt
txd
dt
tvd
ta
2
2
 [m/s2] (1.30) 
 
 A aceleração escalar instantânea é dada por: 
 
 tx
dt
txd
dt
tdv
ta
2
2
 [m/s2] (1.31) 
 
 
Da Equação (1.31), podemos concluir que: 
 
um valor positivo da aceleração escalar indica v(t) é uma função crescente do 
tempo, o que pode ocorrer em duas situações: a partícula se movimenta no 
sentido positivo do eixo x, com velocidade de módulo crescente (movimento 
dito acelerado), ou a partícula se movimenta no sentido oposto ao da 
orientação positiva do eixo x, com velocidade de módulo decrescente 
(movimento dito retardado). 
 
um valor negativo da aceleração escalar indica v(t) é uma função decrescente 
do tempo. Isso pode ocorrer em duas situações: a partícula se movimenta no 
sentido positivo do eixo x, com velocidade de módulo decrescente (movimento 
retardado), ou a partícula se movimenta no sentido oposto ao da orientação 
positiva do eixo x, com velocidade de módulo crescente (movimento 
acelerado). 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
18 
 
no movimento retilíneo, a aceleração será nula quando o módulo da 
velocidade for constante. Neste caso, o movimento é denominado movimento 
retilíneo uniforme (MRU). 
 
Estas situações estão ilustradas na Figura 1.15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.15 
O P(t) x P(t+dt) 
v(t) v(t+dt) 
O P(t) x P(t+dt) 
v(t) v(t+dt) 
a(t)>0 
a(t)>0 
O P(t) x P(t+dt) 
v(t) v(t+dt) 
O P(t) x P(t+dt) 
v(t) v(t+dt) 
a(t)<0 
a(t)<0 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
19 
1.5.1 � Interpretações geométricas no movimento retilíneo
 
As equações (1.27) a (1.31) estabelecem relações entre as grandezas 
cinemáticas no movimento retilíneo através de equações diferenciais, o que nos 
permite utilizar as interpretações gráficas das operações de derivação e integração 
para resolver problemas de cinemática do movimento retilíneo. 
A Equação (1.29) estabelece a relação entre a posição e a velocidade no 
movimento retilíneo. A interpretação geométrica da derivada, apresentada na 
Figura 1.16(a), nos permite afirmar que, dispondo do gráfico da função x(t), a 
velocidade da partícula, em um instante qualquer, é dada pela inclinação da reta 
tangente à curva x t. Por outro lado, multiplicando ambos os lados da Equação 
(1.29) por dt e integrando a equação resultante entre dois instantes quaisquer 1t e 
2t , obtemos: 
 
dttvxxxxdxdttv
t
t
x
x
t
t
2
1
2
1
2
1
1212 (1.32) 
 
onde: 11 txx , 22 txx 
 
 Assim, com base em (1.32), concluímos que a variação de posição da partícula 
entre dois instantes t1 e t2 é dado pela área sob a curva v t, delimitada pelas 
abscissas correspondentes a t1 e t2, como pode ser visto na Figura 1.16(b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.16 
 
A Equação (1.31) estabelece a relação entre a velocidade e a aceleração no 
movimento retilíneo. Mais uma vez, a interpretação geométrica da derivada, 
apresentada na Figura 1.17(a), nos permite afirmar que, dispondo do gráfico da 
função v(t), a aceleração da partícula, em um instante t qualquer, é dada pela 
inclinação da reta tangente à curva v t. 
Multiplicando ambos os lados da Equação (1.31) por dt e integrando a 
equação resultante entre dois instantes quaisquer 1t e 2t , obtemos: 
t
x
t
tvtg
t
v
12 txtxA
t1 t2
A 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
20 
 
12
2
1
2
1
vvdvdtta
v
v
t
t
 (1.33) 
 
onde: 11 tvv , 22 tvv 
 
 Assim, com base em (1.33), concluímos que a variação da velocidade da 
partícula entre dois instantes t1 e t2 é dado pela área sob a curva a t, delimitada 
pelas abscissas correspondentes a t1 e t2, como pode ser visto na Figura 1.17(b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.17 
 
 
1.5.2 � Casos particulares de movimento retilíneo 
 
a) Aceleração constante e não nula 
 
Quando a aceleração da partícula em movimento retilíneo é constante e não 
nula, temos o chamado Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV). 
Neste caso, a Equação (1.33) pode ser integrada diretamente. Fazendo, por 
conveniência, 0t1 e tt2 , escrevemos: 
 
atvtvvvtadvdta
v
v
t
00
0 0
 (1.34) 
 
Combinando as equações (1.32) e (1.34), temos: 
 
2
000
2
0
x
0x
t
0
at
2
1
tvxtxxxat
2
1
tvdxdttv (1.35) 
 
t
v
t t
a
t1 t2
A 
tatg
12 tvtvA
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
21 
Aplicando a regra da cadeia da derivação à Equação (1.31), e levando em 
conta (1.29), escrevemos: 
 
dx
dv
v
dt
dx
dx
dv
dt
dv
a (1.36) 
 
Multiplicando a Equação (1.36) por dx e integrando ambos os lados da 
equação resultante, temos: 
 
0
2
0
22
0
2
0
v
0v
x
0x
xxa2vvvv
2
1
xxavdvadx (1.37) 
Os gráficos das curvas representadas pelas equações (1.34) e (1.35) são 
mostrados na Figura 1.18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.18 
t
x
x0
0 00 vtg t
v
v0
atg0a
t
x
x0
0 00 vtg
t
v
v0
atg
0a
0a
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
22 
b) aceleração nula constante 
 
Quando a aceleração da partícula em movimento retilíneo é constante e igual 
a zero temos o chamado Movimento Retilíneo Uniforme (MRU). Neste caso, as 
equações (1.34) e (1.35) podem ser particularizadas fazendo a=0, o que resulta em: 
 
0vtv (velocidade constante) (1.38) 
 
tvxtx 00 (1.39) 
 
Os gráficos das curvas representadas pelas equações (1.38) e (1.39) são 
mostrados na Figura 1.19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.19 
 
t
v
v0
t
x
v0
t
v
v0
t
x
x0
0vtg
0ov
0ov
0vtg
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
23 
1.6 - Movimento retilíneo vinculado de várias partículas 
 
São muito freqüentes na Engenharia situações envolvendo movimentos 
retilíneos simultâneos de várias partículas, havendo uma dependência entre estes 
movimentos em virtude da existência de ligações mecânicas entre as partículas. 
Uma destas situações é ilustrada na Figura 1.20, na qual os movimentos dos corpos 
A e B são vinculados pela existência de um cabo e um conjunto de polias. Neste tipo 
de problema, busca-se relacionar as velocidades e acelerações das partículas 
envolvidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.20 
 
Desprezando as dimensões das polias e admitindo que o cabo seja 
inextensível (de comprimento constante), expressamos seucomprimento em 
função das coordenadas medidas a partir das referências indicadas na Figura 1.20: 
 
BA2A1 yxx2xx 
 
ou, levando em conta que , 1x e 2x são constantes: 
 
cteyx3yx3x2x BABA21 
 
Derivando a equação acima duas vezes sucessivamente em relação ao tempo, 
obtemos a seguintes relações entre as velocidades e acelerações das partículas A e 
B: 
 
 AB
BA v3v0
dt
dy
dt
dx
3 AB2
B
2
2
A
2
a3a0
dt
yd
dt
xd
3 
 
 
A 
B 
referência 
referência 
2x
1x
Ax
By
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
24 
1.7 - Movimento curvilíneo plano da partícula 
 
 Quando uma partícula descreve uma trajetória curva localizada sobre um 
plano fixo, seu movimento é denominado movimento curvilíneo plano. A resolução 
prática de problemas requer a escolha de um sistema de coordenadas adequado, em 
relação ao qual serão expressas as grandezas cinemáticas. No caso de movimento 
curvilíneo plano, estudaremos os seguintes sistemas de coordenadas: 
 
a) coordenadas cartesianas (x-y); 
 b) componentes normal-tangencial (n-t); 
 c) coordenadas polares (r- ). 
 
 A escolha do sistema de coordenadas mais adequado para o tratamento de um 
dado problema pode facilitar muito sua resolução. A escolha deve ser feita levando 
em conta a natureza do movimento e os dados disponíveis. 
Serão deduzidas, a seguir, as expressões para as componentes das grandezas 
cinemáticas - posição, velocidade e aceleração - empregando cada um destes 
sistemas de coordenadas. 
 
 
 1.7.1 - Coordenadas cartesianas (x-y) 
 
 As coordenadas cartesianas são aquelas com as quais geralmente temos mais 
familiaridade, sendo particularmente adequadas ao estudo de movimentos cujas 
componentes em duas direções mutuamente perpendiculares são independentes. É o 
caso, por exemplo, do movimento de projéteis no campo gravitacional terrestre 
(movimento balístico). 
 Consideremos o sistema de referência Oxy, mostrado na Figura 1.21, a partir 
do qual é observado o movimento de uma partícula, cuja posição instantânea é 
indicada pelo ponto P. Aos eixos Ox e Oy são associados os vetores unitários i e j , 
respectivamente. Admitiremos, por enquanto, que este sistema de eixos seja fixo. 
Mais adiante, neste capítulo, estaremos utilizando sistemas de referência móveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.21 
O x
y
v
P 
r
a
t 
n 
ya
xa
yv
xv
i
j
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
25 
 A posição P da partícula, em um instante t qualquer, é determinada pelo seu 
vetor posição r t , cujas componentes nas direções dos eixos coordenados são dadas 
pelas duas funções escalares x(t) e y(t). Assim, podemos escrever: 
 
 jtyitxtr 
 
 Levando em conta a equação (1.2) e também as propriedades (1.18) e (1.19), 
derivando o vetor posição em relação ao tempo, a velocidade da partícula é expressa 
segundo: 
 
 
dt
jd
tyj
dt
tdy
dt
id
txi
dt
tdx
dt
trd
tv (1.40) 
 
Lembrando que o sistema Oxy é fixo, os vetores unitários i e j não variam 
com o tempo. Assim, as derivadas que aparecem na segunda e na quarta parcelas no 
lado direito de (1.40) se anulam, o que resulta em: 
 
 j
dt
tdy
i
dt
tdx
tv (1.41) 
 
ou: 
 
 jtvitvtvtvtv yxyx 1.42) 
 
onde: 
 
 tx
dt
tdx
tvx e ty
dt
tdy
tvy 
 
são as componentes do vetor velocidade nas direções dos eixos coordenados Ox e Oy, 
respectivamente, conforme indicado na Figura 1.21. 
Empregando a regra de Pitágoras, o módulo da velocidade é dada pela 
expressão: 
 
2222 tytxvvtv yx (1.43) 
 
Considerando a definição (1.6) e admitindo mais uma vez a invariabilidade 
dos vetores i e j , por derivação da equação (1.41) em relação ao tempo obtemos a 
seguinte expressão para a aceleração instantânea da partícula: 
 
 j
dt
tyd
i
dt
txd
ta
2
2
2
2
 (1.44) 
 
ou: 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
26 
 jtaitatatata yxyx , (1.45) 
 
com: 
 
tx
dt
txd
tax 2
2
 e ty
dt
tyd
tay 2
2
 
 
 O módulo do vetor aceleração é dado pela expressão: 
 
2222 tytxaata yx (1.46) 
 
As duas componentes retangulares da aceleração são ilustradas na 
Figura 1.21. 
 As equações (1.41) e (1.44) mostram que, considerando um sistema de 
referência fixo, as componentes retangulares dos vetores velocidade e aceleração são 
obtidas simplesmente derivando sucessivamente as componentes do vetor posição 
em relação ao tempo. Como veremos mais adiante, quando utilizamos sistemas de 
referência móveis, termos adicionais, associados ao movimento do sistema de 
referência, são acrescidos a estas equações. 
 Vale observar que as funções txx e tyy , que são as componentes do 
vetor posição da partícula, constituem as equações paramétricas da trajétoria, tendo 
o tempo t como parâmetro. Eliminando o tempo nestas duas funções, podemos obter 
a equação da trajetória na forma cartesiana usual xyy . 
 
 
 1.7.2 - Componentes normal-tangencial (n-t) 
 
 Com referência à Figura 1.22, seja P a posição, num dado instante t, da 
partícula que se move em uma trajetória curvilínea plana. Definimos a seguinte 
base de vetores unitários: 
 
vetor unitário tangente, ti , que tem a direção da tangente à trajetória, com 
o sentido do movimento. 
vetor unitário normal, ni , que tem a direção da normal à trajetória, 
apontando para o centro de curvatura da mesma, indicado pelo ponto C. 
vetor unitário k , perpendicular ao plano do movimento, que satisfaz a 
relação nt iik . 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.22 
 
Lembrando que o vetor velocidade é tangente à trajetória, com o sentido do 
movimento, escrevemos: 
 
 titvtv (1.47) 
 
 Derivando a equação (1.47) em relação ao tempo, levando em conta as 
propriedades (1.18) e (1.19), expressamos o vetor aceleração sob a forma: 
 
 
dt
id
tvi
dt
tdv
dt
tvd
ta t
t (1.48) 
 
 Podemos observar na Figura 1.22 que embora o vetor ti conserve seu módulo 
unitário invariável, sua direção varia com o tempo. Durante o movimento da 
partícula entre as posições P e P este vetor gira de um ângulo . Assim, a 
derivada 
dt
id t , que aparece no lado direito da equação (1.48), pode ser calculada 
empregando a propriedade da derivada de um vetor rotativo, expressa pela equação 
(1.26). Assim procedendo, obtemos: 
 
 tt
t iki
dt
id
, (1.49) 
 
onde k designa a velocidade angular do segmento CP . 
 Na equação acima, notamos que: 
 
 nt iik 
 
t 
C 
n 
P 
P 
ni
ti
s
tini
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
28 
 Além disso, convém utilizar a regra da cadeia da derivaçãopara expressar , 
fazendo intervir a coordenada curvilínea ts , definida na Seção 1.2 (ver Figura 1.4). 
Assim procedendo, obtemos: 
 
 n
t i
dt
ds
ds
d
dt
id
 (1.50) 
 
 Lembrando que: 
 
 
dt
ds
v e 
1
ds
d
, 
 
onde é o raio de curvatura da trajetória, a equação (1.50) pode ser posta sob a 
forma: 
 
n
t i
v
dt
id
 (1.51) 
 
Introduzindo finalmente (1.51) em (1.48), obtemos: 
 
 ntnt aai
v
i
dt
dv
ta
2
 (1.52) 
 
e: 
 
222
22 v
dt
dv
aatata nt (1.53) 
 
 As componentes da aceleração, presentes na equação (1.52) estão ilustradas 
na Figura 1.23 e possuem as seguintes características: 
 
tt i
dt
dv
a é a componente tangencial da aceleração e representa a taxa de 
variação do módulo do vetor velocidade. Observe-se que, sendo 
dt
ds
v , a 
quantidade 
2
2
dt
sd
dt
dv
 será positiva quando a partícula estiver se 
movimentando no sentido dos s positivos com velocidade de módulo 
crescente ou quando estiver se movimentando no sentido dos s negativos 
com velocidade de módulo decrescente. Neste caso, a componente ta terá o 
mesmo sentido do vetor velocidade v . Por outro lado, 
dt
dv
 será negativa 
quando a partícula se movimentar no sentido dos s positivos com 
velocidade de módulo decrescente ou quando se movimentar no sentido 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
29 
dos s negativos com velocidade de módulo crescente. Neste caso, a 
componente ta terá sentido oposto ao do vetor velocidade v . 
nn i
v
a
2
 é a componente normal da aceleração, que está associada à 
variação na direção do vetor velocidade. Como a quantidade 
2v
 é sempre 
positiva, a componente na tem sempre o mesmo sentido do vetor ni , ou 
seja, ela sempre aponta para o centro de curvatura da trajetória, 
independentemente do sentido do movimento da partícula ao longo da 
trajetória. 
 
 Em termos da coordenada s(t), as componentes tangencial e normal da 
aceleração se escrevem: 
 
 tt i
dt
sd
a
2
2
 (1.54) 
 
 nn i
dt
tds
ta
21
 (1.55) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
t 
P 
na
0
dt
dv
at
0
dt
dv
at
n 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
30 
 1.7.3 - Coordenadas polares. Componentes radial-transversal (r - ) 
 
 No sistema de coordenadas polares, ilustrado na Figura 1.24, a posição da 
partícula P num instante qualquer t é determinada pela quantidade escalar r , que 
define a distância entre a partícula e a origem O, chamada pólo, e pelo ângulo , 
medido em radianos, formado entre o segmento OP e uma direção de referência 
arbitrária. Por convenção, este ângulo será considerado positivo quando medido no 
sentido anti-horário, a partir da direção de referência. 
 A direção OP é chamada direção radial (ou direção r) e a direção 
perpendicular a OP é a direção transversal (ou direção ). A estas duas direções 
associamos uma base de vetores unitários ortogonais ri e i , sendo que ri tem o 
sentido de O para P e i tem o sentido correspondente aos positivos. Conforme 
podemos ver na Figura 1.24, as direções destes vetores variam à medida que a 
partícula se movimenta ao longo da trajetória, embora seus módulos permaneçam 
constantes. Assim, poderemos tratar estes vetores unitários como vetores rotativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.24 
 
 Visando expressar a velocidade e a aceleração da partícula em termos das 
coordenadas polares, vamos primeiramente obter as derivadas dos vetores unitários 
ri e i em relação ao tempo. Para tanto, utilizamos a equação (1.26), que nos 
permite escrever: 
 
rr
r iki
dt
id
 (1.56) 
 
iki
dt
id
, (1.57) 
dir. radial (r) 
 
 
O dir. de referência 
P 
dir. transversal ( ) 
r 
ri
i
ri
i
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
31 
onde indica o vetor velocidade angular do segmento OP e k designa o vetor 
unitário, perpendicular ao plano do movimento, saindo do plano da Figura 1.24, de 
modo a satisfazer a relação kiir . Ainda com auxílio da Figura 1.24, e da regra 
da mão direita para o produto vetorial, verificamos as relações: 
 
 iik r (1.58) 
 
riik (1.59) 
 
Introduzindo as equações (1.58) e (1.59) em (1.56) e (1.57), obtemos: 
 
i
dt
id r (1.60) 
 
ridt
id
 (1.61) 
 
Observando a Figura 1.24, notamos que o vetor posição da partícula, em um 
instante qualquer, se escreve: 
 
 rirtr (1.62) 
 
 Obtemos a velocidade da partícula derivando tr em relação ao tempo: 
 
 
dt
id
ri
dt
dr
dt
rd
tv r
r (1.63) 
 
 Introduzindo a equação (1.60) em (1.63), obtemos: 
 
 
 irirv r (1.64.a)
 
ou: 
 
ivivvvv rrr , (1.64.b) 
 
onde: 
 
� rr irv é a componente radial da velocidade 
 
� irv é a componente transversal da velocidade 
 
Estas componentes da velocidade são mostradas na Figura 1.25. 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.25 
 
 Como rv e v são duas componentes de v em direções perpendiculares, o 
módulo da velocidade escalar é dado pela expressão: 
 
22 vvv r 222 rr (1.65) 
 
 Obtemos o vetor aceleração derivando o vetor velocidade, dado pela equação 
(1.64.a), em relação ao tempo: 
 
 
dt
id
ririr
dt
id
rira r
r 
 
 Utilizando as equações (1.60) e (1.61), após algumas manipulações algébricas, 
a equação acima pode ser posta sob a forma: 
 
 irrirra r 22 (1.66) 
 
ou: 
 
iaiaaaa rrr , 
 
onde: 
 
� rr irra 2 é a componente radial da aceleração 
 
 
O 
P 
r 
r 
 
t 
rv 
v 
v 
a 
ra 
a 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
33 
� irra 2 é a componente transversal da aceleração. 
 
 Estas duas componentes da aceleração estão mostradas na Figura 1.25. 
 É usual expressar as componentes da velocidade e da aceleração da partícula 
em termos da velocidade angular ( ) e aceleração angular ( ) da linha 
OP. Assim, podemos escrever: 
 
irirv r (1.67) 
 
a r r i r r ir
2 2 (1.68) 
 
Um casoparticular importante a ser considerado é aquele em que a partícula 
descreve uma trajetória circular (movimento circular), como ilustrado na Figura 
1.26. Se escolhermos o pólo do sistema de coordenadas polares coincidente com o 
centro da trajetória, teremos, neste caso, a direção radial coincidente com a direção 
normal à trajetória e a direção transversal coincidente com a direção tangente à 
trajetória. Sendo o raio da trajetória constante, temos 0rr e as equações (1.67) 
e (1.68) tornam-se: 
 
irv (1.69) 
 
irira r
2 (1.70) 
 
 É muito conveniente, nas duas últimas equações acima, expressar a 
velocidade angular e a aceleração angular como vetores perpendiculares ao plano do 
movimento, de acordo com as equações (1.9) e (1.11), repetidas abaixo: 
 
 k , k 
 
 Definindo ainda o vetor posição OPr , podemos facilmente verificar, 
utilizando as propriedades do produto vetorial, que os vetores velocidade e 
aceleração no movimento circular podem ser expressos sob as formas: 
 
 rv (1.71) 
 
rra (1.72) 
 
onde rar e ra são as componentes transversal (tangencial) e 
radial (normal) da aceleração, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.26 
 
 
1.8 - Movimento curvilíneo espacial da partícula 
 
 O movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curva reversa é 
conhecido como movimento curvilíneo espacial. Diferentemente do movimento 
curvilíneo plano, que envolve apenas duas componentes, o movimento espacial se 
caracteriza por três componentes de movimento. 
Do ponto de vista teórico, o movimento espacial de uma partícula pode ser 
considerado, em cada instante, como sendo um movimento curvilíneo plano que 
ocorre em um plano que contém o ponto da trajetória ocupado instantaneamente 
pela partícula e os pontos imediatamente vizinhos. Este plano é chamado plano 
osculador. Podemos entender o plano osculador como sendo o plano que mais se 
ajusta à trajetória, no ponto instantaneamente ocupado pela partícula. A velocidade 
v e a aceleração a da partícula são vetores localizados sobre o plano osculador. 
Deste modo, podemos estender ao movimento espacial os conceitos de componentes 
tangencial e normal da aceleração. Para tanto, são definidos os seguintes vetores 
unitários, que são mostrados na Figura 1.27: 
 
ti : vetor unitário tangente à trajetória, contido no plano osculador, com o 
sentido do movimento. 
ni : vetor unitário normal, perpendicular a ti , contido no plano osculador, e 
que aponta para o centro de curvatura da trajetória C, que também se 
encontra sobre este plano. A direção definida por ni é chamada normal 
principal e o raio de curvatura , contido no plano osculador, é denominado 
raio principal de curvatura. 
i
j
k
t 
r n 
 
 
 
v
ra
a
r 
O 
P 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
35 
bi : vetor unitário perpendicular ao plano osculador, que completa o triedro 
de vetores unitários, sendo definido segundo: 
 
ntb iii (1.73) 
 
 A direção perpendicular ao plano osculador, definida por bi , é chamada 
direção bi-normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.27 
 
 Uma vez definidos estes vetores, podemos expressar os vetores velocidade e 
aceleração em termos de componentes tangencial e normal sob as formas (conforme 
Seção 1.6.2): 
 
 tivv 
 
 nt i
v
i
dt
dv
a
2
 
 
É importante observar que v e a não têm componentes na direção da 
bi-normal. 
 Embora seja importante sob o ponto de vista teórico, a descrição do 
movimento espacial em termos dos vetores unitários ti , ni e bi não é muito 
adequada à resolução de problemas práticos, uma vez que as variações destes 
vetores com o tempo depende da forma da trajetória. Assim, para a descrição da 
cinemática do movimento espacial são utilizados, com maior freqüência, os sistemas 
de coordenadas apresentados a seguir. 
O
x
z
y t
n
b
P
ti bi
ni
C
plano osculador 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
36 
 
1.8.1 - Coordenadas cartesianas (x-y-z) 
 
 A extensão das equações já apresentadas para o movimento curvilíneo plano 
na Seção 1.7.1 para o caso de movimento espacial é imediata, requerendo 
simplesmente a inclusão da coordenada z e do vetor unitário correspondente k , 
como mostrado na Figura 1.28. Aqui, mais uma vez, o sistema de referência Oxyz é 
admitido ser fixo, sendo os vetores unitários k,j,i invariantes com o tempo. 
 
 
y
z
x
O
P x,y,z( )
axay
az
vx
vy
vz
j
 
 
Figura 1.28 
 
 Os vetores posição, velocidade e aceleração de uma partícula que descreve um 
movimento curvilíneo espacial, em relação ao sistema de eixos fixos Oxyz, são dados 
por: 
 
 � vetor posição 
 
 ktzjtyitxtr (1.74.a) 
 
222 tztytxtr (1.74.b) 
 
 � vetor velocidade 
 
 ktzjtyitxtv (1.75.a) 
 
222 tztytxtv (1.75.b) 
 
 � vetor aceleração 
 
 ktzjtyitxta (1.76.a) 
 
222 tztytxta (1.76.b) 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
37 
 
As componentes destes vetores são ilustradas na Figura 1.28. 
 
 1.8.2 - Coordenadas cilíndricas (r- -z) 
 
 O sistema de coordenadas cilíndricas é obtido pelo acréscimo da coordenada z 
e do vetor unitário correspondente k ao sistema de coordenadas polares 
anteriormente apresentado na Seção 1.6.3. Observemos, na Figura 1.29, que no 
plano x-y localizam-se as coordenadas r e do sistema de coordenadas polares, 
sendo considerado positivo quando é observado girando no sentido anti-horário, a 
partir da extremidade do eixo z. A Figura 1.29 mostra ainda o sistema de vetores 
unitários ri , i e k , associados às direções radial, transversal e ao eixo z, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.29 
 
 Considerando as coordenadas e os vetores unitários mostrados na 
Figura 1.29, podemos escrever o vetor posição da partícula P sob a seguinte forma 
(notemos que, com o intuito de evitar ambigüidade, o vetor posição, até aqui 
denotado por r será, nesta seção, denotado por Pr ): 
 
 kzirr rP (1.77) 
 
Obtemos o vetor velocidade derivando o vetor posição em relação ao tempo: 
 
 
dt
kd
zkz
dt
id
rir
dt
rd
v r
r
P 
 
 Lembrando que i
dt
id r (conforme a equação (1.60)) e observando que o 
vetor unitário k permanece constante durante o movimento da partícula, tendo 
derivada temporal nula, obtemos as seguintes expressões para o vetor velocidade e 
seu módulo: 
x 
Pr
z 
y 
P 
O 
k
i
ri
r 
r 
 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
38 
 
 
 
zvvrv
r kzirirv (1.78.a) 
 
 2
z
22
r vvvv(1.78.b) 
 
 Derivando a equação (1.78.a) em relação ao tempo e empregando as equações 
(1.60) e (1.61), obtemos as seguintes expressões para o vetor aceleração e seu 
módulo: 
 
zr aaa
r kzirrirra 22 (1.79.a) 
 
 
 2
z
22
r aaaa (1.79.b) 
 
 
1.8.3 - Coordenadas esféricas (R- - ) 
 
No sistema de coordenadas esféricas, a posição da partícula no espaço fica 
determinada pela coordenada linear R e pelas coordenadas angulares e , 
definidas na Figura 1.30, na qual é também representado um sistema auxiliar de 
eixos cartesianos Oxyz. 
 
A base de vetores unitários é constituída pelos vetores : 
 
Ri : vetor unitário na direção OP com o sentido de O para P. 
i : vetor unitário perpendicular ao plano OPP�, orientado no sentido de 
crescente (apontando no sentido anti-horário, quando observado da 
extremidade do eixo z). 
i : vetor unitário perpendicular aos dois primeiros, contido no plano OPP�, 
orientado no sentido de crescente (no sentido de elevação do segmento 
OP em relação ao plano xy). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.30 
 
Com base na Figura 1.30, expressamos o vetor posição da partícula P 
segundo: 
 
 RiRr (1.80) 
 
Para obter a expressão da velocidade de P derivamos o vetor posição em 
relação ao tempo: 
 
dt
id
RiRv R
R (1.81) 
 
O problema agora consiste em expressar a derivada do vetor Ri em relação ao 
tempo. Para isso, utilizaremos o sistema auxiliar de coordenadas cartesianas Oxyz, 
suposto fixo, e sua base de vetores unitários k,j,i . Podemos então escrever: 
 
kkijjiiiii RRRR 
 
Na equação acima, iiR , jiR e kiR representam as projeções do vetor 
unitário Ri nas direções do eixo x, y e z, respectivamente . Com auxílio da 
Figura 1.30, podemos verificar facilmente que: 
 
 coscosiiR (1.82.a) 
 
cossenjiR (1.82.b) 
 
x 
r
z 
y 
P 
O 
i
Ri
R 
 
 
i 
R 
P� 
 
j
k
i
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
40 
 
senkiR (1.82.c) 
 
Introduzindo as relações (1.82) em (1.81), obtemos: 
 
ksenjcossenicoscosiR (1.83.a) 
 
Por procedimento similar, obtemos as seguintes expressões para os dois 
outros vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas em termos dos vetores 
unitários do sistema de coordenadas cartesianas auxiliar: 
 
jcosiseni (1.83.b) 
 
kcosjsensenisencosi (1.83.c) 
 
Podemos agora expressar a derivada indicada em (1.81), computando a 
derivada de (1.83.a), levando em conta que os vetores unitários k,j,i são 
constantes: 
 
kcosjsensencoscosisencoscossen
dt
id R 
 
Levando em conta novamente as relações (1.83.b) e (1.83.c), escrevemos a 
última equação acima sob a forma: 
 
icosi
dt
id R (1.84) 
 
Introduzindo (1.84) em (1.81), obtemos a seguinte expressão para o vetor 
velocidade da partícula em termos de suas componentes esféricas: 
 
vvRv
R iRiRiRv cos (1.85) 
 
222
R vvvv (1.86) 
 
Visando obter a expressão da aceleração, derivamos o vetor velocidade, dado 
por (1.85) em relação ao tempo, obtendo: 
 
dt
id
cosRisenRicosRicosR
dt
id
RiRa R
R 
 
dt
id
RiRiR (1.87) 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
41 
 
Computamos as derivadas 
dt
id
 e 
dt
id
, que aparecem em (1.87), a partir de 
(1.83.b) e (1.83.c): 
 
jsenicos
dt
id
 (1.88.a) 
 
ksenjcossensencosicoscossensen
dt
id
 
 (1.88.b) 
 
Introduzindo as equações (1.88) em (1.87) e fazendo uso das relações (1.83), 
obtemos a seguinte expressão para o vetor aceleração da partícula em termos de 
coordenadas esféricas: 
 
aaaa R (1.89) 
 
com: 
 
 RR iRRRa 222 cos (1.90.a) 
 
 
 isenRcosRcosRa 22 (1.90.b) 
 
 
icossenRRRa 22 (1.90.c) 
 
 
222
R aaaa (1.91) 
 
 
 
1.8.4 - Transformações de coordenadas 
 
Uma vez apresentados os diversos sistemas de coordenados usualmente 
empregados no estudo da cinemática da partícula, é importante conhecer as relações 
algébricas que permitem obter as componentes de um dado vetor, expressas em um 
dado sistema de coordenadas, a partir das componentes do mesmo vetor expressas 
em um outro sistema de coordenadas. Estas relações, chamadas transformações de 
coordenadas, serão desenvolvidas a seguir sob a forma de operações matriciais, 
muito adequadas para implementação computacional. 
 
 
 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
42 
 
Coordenadas cartesianas coordenadas cilíndricas 
 
A Figura 1.31 mostra os sistemas de coordenadas retangulares e cilíndricas 
com os seus respectivos vetores unitários, anteriormente definidos nas seções 1.7.1 e 
1.7.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.31 
 
Considerando o vetor Q (representando uma grandeza vetorial qualquer, que 
pode ser os vetores posição, velocidade ou aceleração), podemos igualar as 
expressões deste vetor em termos dos dois sistemas de coordenadas: 
 
kQjQiQQ zyx = kQiQiQ zrr (1.92) 
 
Visando obter expressões relacionando as componentes de Q no sistema de 
coordenadas cartesianas, zyx QQQ ,, , com as componentes de Q no sistema de 
coordenadas cilíndricas, zr QQQ ,, , buscaremos expressar os vetores unitários 
kiir ,, como funções dos vetores kji ,, . Para tanto, projetamos cada um dos 
vetores do primeiro grupo nas direções dos eixos z,y,x . Com auxílio da Figura 
1.31, obtemos as relações: 
 
kjiir 0sencos (1.93.a) 
 
kjii 0cossen (1.93.b) 
 
kjik 00 (1.93.c) 
x 
y 
z 
i
r 
i
k
j
k
ri
Q
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
43 
 
Introduzindo as equações (1.93) na equação (1.92) e agrupando os coeficientes 
dos vetores unitários kji ,, no lado direito da equação resultante, temos: 
 
kQjQQiQQkQjQiQ zrrzyx cossensencos 
 
Em virtude da independência linear da base de vetores kji ,, podemos 
igualar os coeficientes de cada um destes vetores em ambos os lados da equação 
acima, obtendo: 
 
sencos QQQ rx 
 
cossen QQQ ry 
 
zz QQ 
 
Estas três últimas equações podem ser postas sob a seguinte forma matricial: 
 
z
r
z
y
x
Q
Q
Q
Q
Q
Q
100
0cossen
0sencos
, (1.94)
 
ou ainda, sob a forma compacta: 
 
 zr
zr
xyzxyz QTQ , (1.95) 
 
onde: 
 
100
0cossen
0sencos
zr
xyzT . (1.96) 
 
 Na equação (1.95), a matriz zr
xyzT é a matriz de transformação que permite 
transformar as componentes zr QQQ ,, nas componentes zyx QQQ ,, . 
 Pré-multiplicando (1.95) por 
1zr
xyzT , obtemos a seguinte expressão para a 
transformação inversa, ou seja, das componentes zyx QQQ ,, nas 
componentes zr QQQ ,, : 
 
 xyz
xyz
zrzr QTQ , (1.97) 
 
onde: 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
44 
 
1000cossen
0sencos
1zr
xyz
xyz
zr TT (1.98) 
 
Comparando as expressões (1.96) e (1.98) constatamos que a matriz de 
transformação zr
xyzT é uma matriz ortogonal (que satisfaz a relação 
1zr
xyzT = 
Tzr
xyzT . 
As transformações (1.95) e (1.97) podem ser usadas para transformar as 
componentes dos vetores posição, velocidade e aceleração da partícula de um para 
outro dos dois sistemas de coordenadas considerados, bastando para isso substituir 
o vetor Q pelo vetor correspondente. 
Vale também observar que as equações acima aplicam-se facilmente às 
transformações entre coordenadas polares e cartesianas para o movimento plano, 
bastando para isso eliminar a coordenada z na formulação. 
 
 
Coordenadas cartesianas coordenadas esféricas 
 
O mesmo procedimento detalhado na seção anterior será utilizado para a 
obtenção das relações de transformação entre as componentes de um vetor 
expressas em coordenadas cartesianas e as componentes do mesmo vetor expressas 
em coordenadas esféricas. 
A Figura 1.32 mostra ambos os sistemas de coordenadas com os seus 
respectivos vetores unitários, conforme anteriormente detalhado nas seções 1.7.1 e 
1.7.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.32 
 
 
x 
y 
z 
i
k
j
k
i
Ri
i
R Q
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
45 
 
Igualando as expressões do vetor Q nos dois sistemas de coordenadas, 
temos: 
 
kQjQiQQ zyx iQiQiQ RR (1.99) 
 
Com base na Figura 1.32, podemos facilmente obter as seguintes expressões 
relacionando os vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas i,i,iR 
com os vetores unitários do coordenadas cartesianas k,j,i : 
 
kjiiR sensencoscoscos (1.100.a) 
 
kjii 0cossen (1.100.b) 
 
kjii cossensencossen (1.100.c) 
 
Introduzindo as equações (1.100) na equação (1.99) e seguindo o procedimento 
detalhado na seção anterior, obtemos as seguintes expressões matriciais para a 
transformação de coordenadas: 
 
Q
Q
Q
Q
Q
Q R
z
y
x
cos0sen
sensencossencos
cossensencoscos
, (1.101) 
ou: 
 
 R
R
xyzxyz QTQ , (1.102) 
 
com: 
 
cos0sen
sensencossencos
cossensencoscos
R
xyzT (1.103) 
 
 Para a transformação inversa, obtemos a expressão: 
 
 xyz
xyz
RR QTQ , (1.104) 
 
onde: 
 
cossensencossen
0cossen
sensencoscoscos
1R
xyz
xyz
R TT (1.105) 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
46 
 
 
Coordenadas cilíndricas coordenadas esféricas 
 
Podemos obter as matrizes de transformação entre os sistemas de 
coordenadas cilíndricas e esféricas empregando as matrizes de transformação 
deduzidas nas duas seções precedentes, tomando o sistema de coordenadas 
cartesianas como sistema intermediário nas transformações. Assim, podemos 
empregar os esquemas de transformação abaixo: 
 
 
esféricas cilíndricas 
= 
esféricas cartesianas cilíndricas 
 
 
cilíndricas esféricas 
= 
cilíndricas cartesianas esféricas 
 
 
Para a primeira transformação, combinamos as equações (1.97) e (1.102), 
repetidas abaixo: 
 
xyz
xyz
zrzr QTQ 
 
R
R
xyzxyz QTQ , 
 
o que resulta em: 
 
R
R
xyz
xyz
zrzr QTTQ . (1.106) 
 
Assim, podemos escrever: 
 
R
R
zrzr QTQ , (1.107) 
 
onde: 
 
R
xyz
xyz
zr
R
zr TTT (1.108) 
 
 
Introduzindo as matrizes de transformação dadas em (1.98) e (1.103) na 
equação (1.108), obtemos: 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
47 
 
cossen
sencos
T R
zr
0
010
0
 (1.109) 
 
Para a obtenção da matriz da transformação inversa, basta inverter a 
equação (1.107): 
 
zr
R
xyz
xyz
zrzr
zr
RR QTTQTQ
1
, 
 
donde: 
 
zr
xyz
xyz
R
xyz
zr
R
xyz
zr
R TTTTT
11
 (1.110) 
 
Introduzindo as matrizes de transformação dadas em (1.105) e (1.96), na 
equação (1.110), temos: 
 
cossen
sencos
T zr
R
0
010
0
 (1.111) 
 
 
1.9 - Movimento Relativo 
 
Nas seções anteriores deste capítulo os sistemas de referência utilizados 
foram considerados fixos e as grandezas cinemáticas observadas a partir deles 
foram admitidas absolutas. Em grande número de casos, os sistemas de referência 
empregados estão animados de algum tipo de movimento. Assim, por exemplo, os 
sistemas de referência que adotamos fixos à Terra são, na verdade, sistemas móveis, 
uma vez que a Terra está desenvolvendo um movimento complexo no espaço. Na 
maioria dos problemas de Engenharia, o movimento da Terra pode ser 
negligenciado (por exemplo, no estudo do movimento dos componentes de uma 
máquina ou mecanismo). Em outros problemas, contudo, a consideração do 
movimento do planeta é de fundamental importância. Tal é o caso, por exemplo, de 
problemas envolvendo o movimento de satélites artificiais e de correntes marítimas 
e atmosféricas. 
No estudo de qualquer tipo de problema, podemos escolher livremente os 
sistemas de referência a serem empregados - fixos ou móveis. Freqüentemente, 
soluções mais simples podem ser obtidas com o emprego de sistemas de referência 
móveis. 
O movimento em relação aos sistemas de referência móveis é usualmente 
chamado movimento relativo. Para facilitar o entendimento, estudaremos 
primeiramente o movimento relativo plano (em duas dimensões) e, em seguida, o 
movimento relativo espacial (em três dimensões). Consideraremos também, 
separadamente, os diversos tipos de movimento que os sistemas de referência 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
48 
 
móveis podem apresentar, em ordem crescente de complexidade: translação, rotação 
e movimento geral (translação + rotação). 
 
 
1.9.1 - Movimento relativo plano. Eixos de referência em translação 
 
Consideremos o movimento curvilíneo plano de duas partículas A e P, cujas 
posições são mostradas na Figura 1.33. São mostrados dois sistemas de eixos: OXY 
e Axy, este último com sua origem posicionada sobre a partícula A. 
 Admitiremos que o sistema OXY seja fixo e que quando a partícula A se 
desloca, os eixos x e y também se movam, conservando, porém, suas direções 
constantes em relação ao sistema fixo OXY. Podemos admitir, sem perda de 
generalidade, que os eixos dos dois sistemas permaneçam sempre paralelos. 
Dizemos, neste caso, que o sistema móvel Axy está em movimento de translação em 
relação ao sistema OXY. 
Os vetores Ar e Pr definem, respectivamente, as posições das partículas A e 
P em relação ao sistema de eixos fixos OXY e o vetor A/Pr define a posição da 
partícula P em relação ao sistema Axy, ou seja, a posição da partícula P em relação 
à partícula A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.33 
 
 
x 
y Y 
X 
P 
A 
O 
A/Pr
Pr
Ar
i
i
j
j
PXAX
AY
PY
A/Px
A/Py
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
49 
 
Buscaremos estabelecer relações entre as posições, velocidades e acelerações 
observadas no sistema fixo, consideradas absolutas, e a correspondentes observadas 
no sistema móvel, consideradas relativas. 
Do triângulo de vetores mostrado na Figura 1.33, extraímos a relação: 
 
A/PAP rrr (1.112) 
 
Como os dois sistemas de eixos permanecemparalelos, podemos associar a 
ambos uma única base de vetores unitários (i , j ). Deste modo, os vetores que 
figuram na equação (1.112) podem ser decompostos da seguinte forma: 
 
 jYiXr AAA (1.113.a) 
 
 jYiXr PPP (1.113.b) 
 
 jyixr A/PA/PA/P (1.113.c) 
 
 Substituindo as equações acima na equação (1.112) e igualando os 
coeficientes dos vetores unitários em ambos os lados da equação vetorial resultante, 
obtemos as seguintes equações escalares: 
 
 A/PAP xXX (1.114.a) 
 
A/PAP yYY (1.114.b) 
 
 Derivando a equação (1.112) em relação ao tempo temos: 
 
A/PAP rrr 
ou: 
 
 A/PAP vvv , (1.115) 
 
onde Pv e Av são as velocidades absolutas (em relação ao sistema fixo) das 
partículas A e P, respectivamente, e A/Pv é a velocidade de P em relação a A (ou a 
velocidade de P em relação ao sistema móvel). 
 Para obter Av , Pv e A/Pv derivamos as equações (1.113), levando em conta 
mais uma vez, que os vetores i e j são invariáveis: 
 
 jYiXv AAA (1.116.a) 
 
jYiXv PPP (1.116.b) 
 
jyixv A/PA/PA/P (1.116.c) 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
50 
Substituindo as equações (1.116) na equação (1.115) e igualando os 
coeficientes dos vetores unitários de ambos os lados da equação vetorial resultante, 
temos as seguintes relações entre as componentes das velocidades absolutas de P e 
A e as componentes da velocidade de P em relação a A: 
 
A/PAP xXX (1.117.a) 
 
A/PPP yYY (1.117.b) 
 
Seguindo procedimento análogo, para as acelerações absolutas e relativas, 
após derivação de (1.115) em relação ao tempo, escrevemos: 
 
A/PAP aaa , (1.118) 
 
com: 
jYiXa AAA (1.119.a) 
 
jYiXa PPP (1.119.b) 
 
jyixa A/PA/PA/P (1.119.c) 
 
 Substituindo as equações (1.119) em (1.118), obtemos as seguintes relações 
entre as componentes das acelerações absolutas das partículas A e P e a aceleração 
de P em relação a A: 
 
A/PAP xXX (1.120.a) 
 
A/PAP yYY (1.120.b) 
 
É importante ressaltar que, embora o desenvolvimento apresentado tenha 
sido feito em termos de componentes cartesianas, o conceito de movimento relativo 
pode ser estendido a qualquer outro tipo de sistema de coordenadas anteriormente 
estudados neste capítulo. 
 
1.9.2 - Movimento relativo plano - eixos de referência em rotação 
 
Com relação à Figura 1.34, consideremos dois sistemas de referência com 
origem comum O: o sistema fixo OXY, e o sistema Oxy, que executa um movimento 
de rotação em torno de O, com velocidade angular instantânea k , podendo o 
módulo de ser constante ou variável com o tempo. Vale lembrar que, de acordo 
com o exposto na Seção 1.3, a velocidade angular é tratada como um vetor 
perpendicular ao plano x-y, sendo seu módulo dado por , onde é o ângulo 
compreendido entre os eixos dos dois sistemas de referência, como indicado na 
Figura 1.34. Nesta mesma figura são também mostradas as bases de vetores 
unitários ( I , J ), associados aos eixos fixos OXY e ( i , j ), associados aos eixos Oxy, 
respectivamente. 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.34 
 
Considerando uma grandeza vetorial qualquer tQ , mostrada na Figura 
1.34, é fácil perceber que dois observadores, um posicionado no sistema fixo e outro 
no sistema móvel verão, de maneiras diferentes, a variação da quantidade tQ com 
o tempo. Designando por 
OXY
Q a derivada temporal de tQ em relação ao 
sistema fixo OXY e 
Oxy
Q a derivada temporal de tQ em relação ao sistema 
rotativo Oxy, pretendemos, inicialmente, obter a relação existente entre estas duas 
derivadas. Para tanto, expressamos tQ em termos de suas componentes nas 
direções dos eixos rotativos Ox e Oy: 
 
jtQitQtQ yx (1.121) 
 
Um observador posicionado no sistema rotativo observa os vetores i e j 
invariáveis. Assim, derivando a expressão acima em relação ao tempo, considerando 
os vetores i e j constantes, obtemos a derivada temporal 
Oxy
Q em relação ao 
sistema rotativo, ou seja: 
 
jQiQQ yx
Oxy
 (1.122) 
 
Por outro lado, um observador no sistema fixo OXY observa variações nas 
direções dos vetores i e j quando o sistema móvel gira em torno do ponto O. Assim, 
para obter a derivada temporal de tQ em relação ao sistema de referência fixo 
OXY, derivamos (1.121) em relação ao tempo considerando os vetores i e j 
variáveis, obtendo: 
 
x 
Y 
X 
O 
tQ
I
j
y 
i
J tQx
tQy
 
k
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
52 
 
dt
jd
Q
dt
id
QjQiQQ yxyx
OXY
 (1.123) 
 
 Utilizando a equação (1.122), a última equação acima pode ser escrita sob a 
forma: 
 
 
dt
jd
Q
dt
id
QQQ yx
OxyOXY
 (1.124) 
 
Levando em conta que os vetores unitários i e j estão girando em torno de 
O com velocidade angular , as derivadas 
dt
id
 e 
dt
jd
 são obtidas empregando a 
equação (1.26), que expressa a derivada temporal de um vetor rotativo: 
 
i
dt
id
 (1.125) 
 
j
dt
jd
 (1.126) 
 
Introduzindo as relações (1.125) e (1.126) na equação (1.124), a equação 
resultante pode ser posta sob a forma: 
 
 jQiQQQ yx
OxyOXY
 , (1.127) 
 
ou ainda, levando em conta a relação (1.121): 
 
QQQ
OxyOXY
 (1.128) 
 
A equação (1.128) estabelece a relação entre a derivada temporal calculada 
em relação ao sistema fixo e a derivada temporal calculada em relação ao sistema 
rotativo. 
Consideremos agora o movimento de uma partícula P observado por dois 
observadores distintos posicionados nos dois sistemas de referência empregados. 
Designando por tr o vetor posição da partícula, temos que OXYr representa a 
velocidade de P em relação ao sistema fixo (velocidade absoluta de P), enquanto 
Oxyr representa a velocidade de P em relação ao sistema rotativo. A equação 
(1.128), com Q substituído por r , nos dá:rrrv OxyOXYp (1.129) 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
53 
Para melhor entendimento do significado dos vetores presentes na equação 
(1.129), consideremos, como exemplo, a situação ilustrada na Figura 1.35. 
Observamos uma placa plana que gira em torno do ponto fixo O, com velocidade 
angular instantânea k , a qual varia com aceleração angular instantânea 
k . A placa dispõe de uma ranhura dentro da qual se move uma 
partícula P. Evidentemente, o movimento absoluto de P é resultante da composição 
de seu movimento dentro da ranhura com o movimento de rotação da placa. 
Consideremos um sistema de referência de orientação fixa, OXY, e um 
sistema Oxy, solidário à placa. Este último está animado de movimento de rotação 
em torno do ponto O, com a mesma velocidade e aceleração angulares da placa. 
 
 
Y
y
x
X
trajetória de P'
O
v rP '
v rrel Oxy
 
 
 
Figura 1.35 
 
Para um observador no sistema Oxy, ou seja, posicionado sobre a placa, a 
partícula P descreve a trajetória determinada pela ranhura, movendo-se com a 
velocidade Oxyr , que é um vetor contido no plano da placa, com a direção da 
tangente à ranhura na posição ocupada instantaneamente por P. Designaremos esta 
velocidade em relação a Oxy por relv (velocidade relativa ao sistema rotativo, ou em 
relação à placa). 
Designando por 'P um ponto que coincide instantaneamente com P e 
pertence à placa (ou ao sistema rotativo, solidário a ela), vemos que 'P descreve, em 
relação ao sistema fixo OXY, um movimento circular com centro em O, sendo este 
movimento determinado pela rotação da linha OP em torno de O, com velocidade 
angular . Com base na equação (1.71), que representa a velocidade no movimento 
circular, concluímos que o vetor rv 'p representa a velocidade deste ponto 'P , 
em relação ao sistema OXY. Este vetor é tangente à trajetória circular, mostrada 
em linha tracejada na Figura 1.35, ou seja, ele é perpendicular ao vetor r . 
Com base nestas interpretações, podemos escrever (1.129) sob a forma: 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
54 
rel'PP vvv , (1.130) 
 
onde: 
 
OXYP rv é a velocidade de P em relação ao sistema fixo. 
 
Oxyrel rv é a velocidade de P em relação ao sistema rotativo. 
rv 'P é a velocidade, em relação ao sistema fixo, do ponto 'P , que 
coincide instantaneamente com P, e pertence ao sistema rotativo. 
 
Passemos agora ao estudo das acelerações. A aceleração absoluta de P é dada 
pela derivada temporal de Pv em relação a OXY. Computando a derivada temporal 
de (1.129) em relação a OXY, obtemos: 
 
OXYOXYOxyOXYOxyOXYPP r
dt
d
r
dt
d
rr
dt
d
va 
 
OXYOXYOXYOxy r
dt
d
r
dt
d
r
dt
d
 (1.131) 
 
Utilizamos, em seguida, a equação (1.128) para desenvolver cada uma das 
parcelas da equação acima, conforme as equações abaixo: 
 
OxyOxyOXYOxy rrr
dt
d
 
 
OxyOXYdt
d
 
 
rrrrr
dt
d
OxyOxyOXY . 
 
Substituindo as três últimas equações em (1.131), obtemos, após rearranjo: 
 
OxyOxyP rrrra 2 (1.132) 
 
De forma similar ao que foi feito para as componentes da velocidade, as 
componentes de aceleração, figurando na equação acima, podem ser interpretados 
com o auxílio da Figura 1.36 e da equação (1.132) escrita sob a forma: 
 
c
Pa
nPtPrelP aaaaa
'
'' (1.133) 
 
onde: 
 
D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
55 
Oxyrel ra é a aceleração de P em relação ao sistema de referência 
rotativo Oxy e está associada ao movimento de P ao longo da ranhura. 
Sendo esta ranhura curvilínea, rela pode, no caso mais geral, ser 
decomposta em duas componentes: 
 
- 
dt
vd
a rel
trel , tangente à ranhura. 
 
-
2
rel
nrel
v
a , normal à ranhura, apontando para o seu centro de 
curvatura. Aqui, designa o raio de curvatura da ranhura. 
 
ra t'P é a componente tangencial da aceleração, em relação ao 
sistema fixo OXY, do ponto 'P , coincidente com P e pertencente ao 
sistema rotativo (ou à placa). 
 
ra n'P é a componente normal da aceleração do ponto 'P , em 
relação a OXY; 
 
relOxyc vra 22 é a chamada aceleração de Coriolis. Esta 
componente está associada à variação na direção do vetor velocidade 
relativa relv , provocada pela rotação do sistema de referência móvel. 
 
Y
y
x
XO
C
arel t arel
aP t'
arel n
aC
aP n'
aP '
 
 
 
Figura 1.36 
 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
56 
 
A análise apresentada acima mostra que o principal interesse no uso de um 
sistema de referência rotativo como sistema de referência auxiliar para o cálculo da 
velocidade e aceleração absolutas de uma partícula reside no fato de que este 
procedimento permite decompor o movimento complexo da partícula em termos de 
dois movimento mais simples: o movimento da partícula em relação ao sistema 
móvel e o movimento do ponto 'P pertencente ao sistema móvel. 
 
 
1.9.3 - Movimento relativo plano. Eixos de referência em movimento plano 
geral 
 
Consideremos a Figura 1.37 que mostra o movimento plano de duas 
partículas A e P, sendo empregados dois sistemas de referência: um sistema fixo 
OXY e outro sistema móvel, Axy. A origem deste último descreve uma trajetória 
curvilínea plana e, ao mesmo tempo, seus eixos giram com velocidade angular 
instantânea k e aceleração angular k . Dizemos, neste caso, que o 
sistema Axy está animado de movimento plano geral (translação superposta a uma 
rotação em torno de A). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.37 
 
Sendo Ar , Pr e APr / os vetores posição mostrados na figura acima, podemos 
escrever: 
 
APAP rrr / (1.134) 
 
Para obter a relação envolvendo velocidades absolutas e relativas das duas 
partículas A e P, computamos a derivada temporal dos vetores presentes em (1.134) 
em relação ao sistema fixo: 
 
OXYA/POXYAOXYPP rrrv (1.135) 
x 
y Y 
X 
P 
A 
O 
APr /
Pr
Ar
k
k
 D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
57 
 
Usando a equação (1.128), podemos desenvolver o último termo da equação 
acima sob a forma: 
 
A/PAxyA/POXYA/P rrr , 
 
e a equação (1.135) fica: 
 
AxyA/PA/PAP rrvv , (1.136) 
ou: 
 
relAPAP vvvv / , 
 
Os vetores presentes na Equação (1.136) podem ser interpretados com o 
auxílio da Figura 1.38, que mostra uma placa que se movimenta no plano da figura, 
dispondo de uma ranhura dentro da qual se move uma partícula P. São utilizados os 
seguintes sistemas de referência: o sistema fixo OXY, o sistema Axy, com origem no 
ponto A da placa, e solidário a ela, e o sistema auxiliar 11yAx que tem sua origem no 
ponto A e conserva sua direção invariável (está em movimento de translação). 
Nesta situação, tem-se a seguinte interpretação: 
 
OXYAA rv é a velocidade da partícula A (origem do sistema de 
referência rotativo) em relação ao sistema fixo. 
A/PA/'P rv é a velocidade, em relação ao sistema de referência 
auxiliar 11yAx , do ponto P que coincide instantaneamente com P, e 
pertence ao sistema rotativo (ou à placa).. A trajetória de P em relação a 
este sistema de referência é a trajetória circular indicada em linha 
pontilhada na Figura 1.38. 
AxyAPrel rv / é a velocidade de P em relação ao sistema móvel Axy, 
sendo associada ao movimento da partícula ao longo da ranhura existente 
na placa. 
 
 
 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
58 
vA
vA
vrel
vrel
vP'
vP
r vP A P A/ '/
vP A'/
Y
y
x
XO
A
rA
rP A/
 
 
Figura 1.38 
 
 
No que diz respeito às acelerações, derivando a equação (1.136) em relação ao 
tempo, considerando o sistema de referência fixo, obtemos: 
 
OXYAxyA/POXYA/pA/PAP r
dt
d
rraa (1.137) 
 
Usando uma vez mais a relação (1.128), podemos desenvolver da seguinte 
forma os dois últimos termos da equação acima: 
 
A/PAxyA/POXYA/P rrr = A/PAxyA/P rr 
 
AxyA/PAxyA/POXYAxyA/P rrr
dt
d
 
 
 
Introduzindo estes desenvolvimentos em (1.137), escrevemos: 
 
relA/pA/PArelP vrraaa 2 (1.138) 
 
ou: 
 
CnA/PtA/PArelP aaaaaa , (1.139) 
 
onde, a cada uma das componentes, ilustradas na Figura 1.39, é dada a seguinte 
interpretação: 
 
1x
1y
 D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
59 
AxyAPrel ra / é a aceleração de P em relação ao sistema de referência 
móvel Axy e está associada ao movimento de P ao longo da ranhura 
existente na placa. Sendo esta ranhura curvilínea, rela pode, no caso mais 
geral, ser decomposta em duas componentes: 
 
- 
dt
vd
a rel
trel , tangente à ranhura. 
 
- 
2
rel
nrel
v
a , normal à ranhura, apontando para o seu centro da 
curvatura. Aqui, designa o raio de curvatura da ranhura. 
 
A/PtA/'P ra é a componente tangencial da aceleração, em relação 
ao sistema auxiliar 11 yAx (que está em movimento de translação), do 
ponto 'P , coincidente com P e pertencente ao sistema móvel Axy. 
 
A/PnA/'P ra é a componente normal da aceleração do ponto 
'P , em relação a ao sistema auxiliar 11 yAx . 
 
relc va 2 é a aceleração de Coriolis. 
 
 
Y
y
x
X
C
O
A
rA
aA rP A/
aP A n'/
arel n
aC
arel t
aP A t'/
vrel
 
 
 
Figura 1.39 
 
 
 
1x
1y
 D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
60 
 
1.9.4 - Movimento relativo espacial. Eixos de referência em translação 
 
Os conceitos e a formulação apresentados na Seção 1.8.1 para o movimento 
relativo plano podem ser estendidos para o movimento relativo espacial sem 
dificuldades, bastando introduzir uma terceira coordenada z e o vetor unitário 
correspondente k , conforme ilustrado na Figura 1.40. 
 
 
Figura 1.40 
 
Para a situação ilustrada na Figura 1.40, podemos escrever: 
 
A/PAP rrr (1.140) 
 
com: 
 
 kZjYiXr AAAA (1.141.a) 
 
 kZjYiXr PPPP (1.141.b) 
 
 kzjyixr A/PA/PA/PA/P (1.141.c) 
 
 A substituição das equações (1.141) em (1.140) resulta em: 
 
 A/PAP xXX (1.142.a) 
 
A/PAP yYY (1.142.b) 
 
A/PAP zZZ (1.142.c) 
 
x 
y Y 
X 
P 
A 
O 
APr /
Pr
Ar
Z 
z 
i
j
k
i
j
k
 D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
61 
Derivando a equação (1.140) em relação ao tempo, obtemos a seguinte relação 
envolvendo velocidades absolutas de A e P e a velocidade de P em relação a A: 
 
A/PAP vvv , (1.143) 
 
onde: 
 
 kZjYiXv AAAA (1.144.a) 
 
 kZjYiXv PPPP (1.144.b) 
 
kzjyixv A/PA/PA/PA/P (1.144.c) 
 
 Introduzindo as equações (1.144) em (1.143), obtemos as seguintes relações 
entre as componentes destas velocidades: 
 
A/PAP XXX (1.145.a) 
 
A/PAP yYY (1.145.b) 
 
A/PAP zZZ (1.145.c) 
 
De maneira análoga, para as acelerações, escrevemos: 
 
A/PAP aaa (1.146) 
 
com: 
 
kZjYiXa AAAA (1.147.a) 
 
kZjYiXa PPPP (1.147.b) 
 
kzjyixa A/PA/PA/PA/P (1.147.c) 
 
As seguintes relações entre as componentes destas acelerações se verificam: 
 
A/PAP xXX (1.148.a) 
 
A/PAP yYY (1.148.b) 
 
A/PAP zZZ (1.148.c) 
 
 
 
 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
62 
1.9.5 - Movimento relativo espacial. Eixos de referência em rotação 
 
Consideremos os dois sistemas de referência mostrados na Figura 1.41: o 
sistema fixo OXYZ, e o sistema Oxyz, que gira instantaneamente em torno do eixo 
OA, com velocidade angular , orientada segundo este eixo. 
Pode-se deduzir, seguindo o procedimento empregado na Seção 1.8.2, a 
seguinte relação entre as derivadas temporais de uma grandeza vetorial tQ , 
expressas nos dois sistemas de referência: 
 
QQQ
OxyzOXYZ
 (1.149) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.41 
 
Deve-se observar que, no caso geral em três dimensões, temos 
kji zyx (ao invés de simplesmente kz , como acontece no caso 
plano, considerado na Seção 1.8.2). Com essa ressalva, as demais equações 
deduzidas na Seção 1.8.2 podem ser diretamente estendidas ao caso tridimensional, 
sendo re-apresentadas a seguir: 
 
relPOxyzP vvrrv (1.150) 
 
OxyzOxyzP rrrra 2 relCnPtP aaaa (1.151) 
 
 
 
 
 
 
x 
Y 
X O 
tQ
y 
z Z 
A 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
63 
 
1.9.6 - Movimento relativo espacial. Eixos de referência em movimento 
 geral 
 
Considerando a situação mostrada na Figura 1.42, apresentamos aqui as 
equações deduzidas na Seção 1.8.3, já adaptadas para o caso tridimensional. 
 
relA/PAAxyzA/PA/PAP vvvrrvv (1.152)AxyzA/PAxyzA/PA/PA/PP rrra 2 
 
 relCnA/PtA/PA aaaaa (1.153) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y Y 
X 
P 
A 
O 
APr /
Pr
Ar
,
Z 
z 
1y 
1x 
1z 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
64 
 
 
1.10 � Bibliografia 
 
BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros � 
Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. 
HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-
Prentice Hall, 2005. 
KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. 
SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição. 
Pearson�Prentice Hall, 2003. 
SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics, 
Prentice-Hall, 1999. 
TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de 
Janeiro, 1997. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 
 
Cinemática do Corpo Rígido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
65 
CAPÍTULO 2 
 
CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
 
 
2.1 - Introdução 
 
 Neste capítulo nos ocuparemos em descrever as grandezas cinemáticas: 
posição, velocidade e aceleração em sistemas mecânicos constituídos de um ou mais 
corpos rígidos. 
 A hipótese de rigidez ideal, que será adotada, implica que a distância entre 
dois pontos quaisquer do corpo permanece inalterada durante o movimento. Com 
relação a esta hipótese, vale lembrar que, de acordo com a Resistência dos 
Materiais, todos os corpos se deformam quando submetidos à ação de esforços. 
Admitiremos, todavia, que estas deformações sejam suficientemente pequenas para 
que possam ser desprezadas quando comparadas às amplitudes dos deslocamentos 
que surgem durante o movimento. A dinâmica de sólidos levando em conta as 
deformações é objeto da disciplina Vibrações Mecânicas. 
 Por uma razão didática, convém classificar os movimentos que os corpos 
rígidos podem desenvolver seguindo a ordem crescente de complexidade. Como 
poderá ser observado, nas situações práticas, o tipo de movimento que um dado 
corpo rígido desenvolverá será determinado pela existência de restrições físicas que 
delimitam os �graus de liberdade� de que o corpo dispõe para se mover. 
 Em geral, é a seguinte a classificação utilizada para os movimentos dos 
corpos rígidos: 
 
a) movimento de translação 
b) movimento de rotação em torno de um eixo fixo 
c) movimento plano geral 
d) movimento com um ponto fixo 
e) movimento geral 
 
Apresentamos, a seguir, as definições e exemplos de cada um destes tipos de 
movimento. Desenvolvemos ainda as expressões para os vetores posição, velocidade 
e aceleração para pontos genéricos de um corpo rígido, considerando cada um destes 
tipos de movimento, separadamente. 
 
2.2 � Movimento de translação 
 
O movimento de translação fica caracterizado quando todos os pontos do 
corpo rígido descrevem trajetórias paralelas que podem ser retilíneas ou curvilíneas, 
como mostra a Figura 2.1. No primeiro caso, o movimento é dito de translação 
retilínea e, no segundo caso, translação curvilínea. 
Um outro fato que caracteriza o movimento de translação é que todo e 
qualquer segmento de reta ligando dois pontos quaisquer do corpo rígido mantém 
sua orientação inalterada durante o movimento. Em conseqüência, no movimento de 
translação, a velocidade angular e a aceleração angular do corpo rígido são nulas. 
Neste ponto, é importante ressaltar que, coerentemente com as definições de 
velocidade angular e aceleração angular de uma linha, estabelecidas na Seção 1.3, 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
66 
entende-se por aceleração angular e aceleração angular de um corpo rígido a 
velocidade angular e aceleração angular de todo e qualquer segmento de reta 
ligando dois pontos quaisquer do corpo rígido. No caso da translação, estas 
grandezas angulares são nulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) translação retilínea (b) translação curivilínea 
 
Figura 2.1 
 
 
A Figura 2.2 mostra um exemplo de sistema mecânico denominado 
mecanismo de quatro barras em que a barra ACBD desenvolve movimento de 
translação curvilínea. Observemos que a ocorrência do movimento de translação é 
imposto pela existência das duas barras rígidas paralelas BE e CF. 
 
 
 
 
Figura 2.2 
 
 
Consideremos a situação mais geral mostrada na Figura 2.3, em que são 
observados os movimentos de dois pontos quaisquer A e B de um corpo rígido que 
descreve movimento de translação. É utilizado um sistema de referência fixo OXYZ . 
 
 
 
A 
B 
A 
B 
A 
B 
A 
B 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 
 
 Designamos por Ar e Br , respectivamente, os vetores posição de A e B em 
relação ao sistema de referência OXYZ , e por A/Br o vetor posição de B em relação 
a A. 
 Do triângulo de vetores mostrados na Figura 2.3 extraímos a relação: 
 
 A/BAB rrr (2.1) 
 
 Para obter uma expressão relacionando as velocidades de A e B, derivamos 
(2.1) em relação ao tempo: 
 
 A/BAB rrr 
 
 Na última expressão acima, temos AA vr , BB vr , que são respectivamente 
as velocidades dos pontos A e B em relação ao sistema de referência fixo OXYZ. 
Além disso, 0A/Br , pois, devido a hipótese de rigidez do corpo, o módulo de A/Br 
não varia e, de acordo com a definição do movimento de translação, a direção deste 
vetor também permanece constante. Assim temos, para o movimento de translação: 
 
 AB vv (2.2) 
 
 Derivando (2.2) em relação ao tempo, obtemos a seguinte expressão 
relacionando as acelerações de A e B: 
 
 AB aa (2.3) 
 
Concluímos, pois, que no movimento de translação, todos os pontos do corpo 
possuem mesma velocidade e mesma aceleração. 
 
O
X
Y
Z
B
A
Br A/Br
Ar
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
68 
2.3 � Movimento de rotação em torno de um eixo fixo 
 
 Um exemplo de movimento de rotação em torno de um eixo fixo é ilustrado na 
Figura 2.4, onde observamos que este tipo de movimento é determinado pela 
existência de dois mancais em A e B, que restringem o movimento do corpo, 
permitindo apenas a ocorrência da rotação em torno do eixo que passa pelos pontos 
A e B. 
 
 
Figura 2.4 
 
Na Figura 2.5 vemos que, na rotação em torno de um eixo fixo OO , todos os 
pontos do corpo rígido descrevem trajetórias circulares concêntricas, posicionadas 
em planos paralelos entre si, perpendiculares ao eixo de rotação. Os centros destas 
trajetórias localizam-se sobre o eixo de rotação, podendo este eixo interceptar ou não 
o corpo rígido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 2.5 
 
Consideremos a situação mais geral de um corpo rígido desenvolvendo 
movimento de rotação em torno de um eixo fixo, conforme ilustrado na Figura 2.6. 
Designando por o ângulo que define a posição angular do corpo rígido em relação 
Q
P
O
O
Q
P
O
O
 D.A. RADECINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
69 
a uma direção de referência arbitrária, a velocidade angular do corpo rígido é dada 
por . 
De acordo com o exposto na Seção 1.3, o vetor velocidade angular do corpo 
rígido, , tem módulo , sua direção é a do eixo de rotação, e seu sentido é 
determinado pelo movimento da mão direita. 
O vetor aceleração angular, é obtido pela derivação de em relação ao 
tempo, ou seja: 
 
dt
d
 
 
Como no movimento de rotação em torno de um eixo fixo a direção de é 
constante, o vetor também tem a direção do eixo de rotação e seu módulo vale 
. Quanto ao sentido de , dois casos são possíveis: 
 
 terá o mesmo sentido de quando o módulo de aumentar com 
tempo. 
 
 terá o sentido oposto ao de quando o módulo de diminuir com o 
tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 
 
 
 
Para descrever o movimento de um ponto qualquer do corpo rígido em 
movimento de rotação em torno de um eixo fixo, designado por P na Figura 2.6, 
i
j
k
X
Y
Z
P
O
dir. referência 
P
r
O
O
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
70 
escolhemos por conveniência um sistema de referência fixo OXYZ , cujo eixo 
OZ coincide com o eixo de rotação 'OO . 
Desta forma, escrevemos os vetores velocidade angular e aceleração angular 
do corpo rígido sob a forma: 
 
k k 
 
Para o ponto genérico do corpo rígido, P, cujo vetor posição é indicado por r , 
temos que sua trajetória é uma circunferência de raio 'PP , posicionada sobre um 
plano perpendicular ao eixo de rotação. Com base no estudo já efetuado sobre a 
cinemática do movimento circular (ver Seção 1.6.3), sobre a velocidade de P 
podemos afirmar: 
 
seu módulo é dado por senr'PPvP , onde é o ângulo formado 
entre os vetores k e r . 
Pv está contido no plano da trajetória circular, sendo sua direção 
perpendicular ao segmento 'PP e seu sentido determinado pelo sentido da 
rotação do corpo rígido, conforme mostrado na Figura 2.7. 
 
Introduzindo o produto vetorial, podemos facilmente verificar que essas 
propriedades do vetor velocidade são satisfeitas se o escrevemos sob a forma: 
 
 rvP (2.4) 
 
A aceleração do ponto P é obtida por derivação de (2.4) em relação ao tempo: 
 
rrva PP 
 
Lembrando que: e rvr P , a última equação acima pode ser 
escrita sob a forma : 
 
rraP (2.5) 
 
ou : 
 
 nPtPP aaa , 
 
onde: 
 
ra tP é a componente tangencial da aceleração de P, sendo um vetor 
que está contido no plano da trajetória de P, sua direção é perpendicular 
ao segmento 'PP e seu sentido é determinado pelo sentido de . Seu 
módulo é dado por ta 'PP . 
ra nP é a componente normal da aceleração de P. Este vetor 
está contido no plano da trajetória de P, sendo a sua direção a do segmento 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
71 
'PP e seu sentido de P para 'P . O módulo de nPa é dado por 
'PPa nP
2 . 
 
As duas componentes de aceleração estão representadas na Figura 2.7. 
É importante notar que, em virtude das propriedades do produto vetorial, o 
vetor r , que aparece nas equações (2.4) e (2.5), pode ser substituído por qualquer 
vetor cuja a origem esteja localizada sobre o eixo de rotação e cuja extremidade 
coincida com o ponto P, sem que os valores da velocidade e da aceleração de P sejam 
alterados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P
O
O
tPa
nPa
Pv
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
72 
2.4 � Movimento plano geral 
 
 O que caracteriza o movimento plano geral é o fato de a única restrição 
cinemática existente é que todos os pontos do corpo rígido devem descrever 
trajetórias localizadas sobre planos paralelos entre si, sendo que estas trajetórias: 
 
a) não são retas ou curvas paralelas, o que implica que o movimento não é 
puramente de translação, e; 
b) não são círculos concêntricos, de modo que o movimento não é de rotação 
em torno de um eixo fixo. 
 
Veremos a seguir que, sob o ponto de da vista cinemática, o movimento plano 
geral pode ser considerado como sendo resultante da superposição de uma 
translação e de uma rotação em torno de um eixo fixo. Na Figura 2.8 temos um 
exemplo prático de um sistema denominado biela-cursor-manivela, em que a barra 
BC (biela) desenvolve movimento plano geral, enquanto a manivela AB descreve um 
movimento de rotação em torno do eixo perpendicular ao plano da figura passando 
pelo ponto O, e o cursor A descreve movimento de translação, determinado pela 
existência das duas paredes horizontais paralelas que impedem a sua rotação. 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 
 
 
 
 2.4.1 - Velocidades absolutas e relativas no movimento plano geral 
 
 Consideremos a Figura 2.9, na qual é ilustrado o movimento plano geral de 
um corpo rígido. Analisaremos os movimentos de dois pontos quaisquer A e B 
indicados na figura. Designamos ainda por e , respectivamente, os vetores 
velocidade angular e aceleração angular instantâneos do corpo rígido, que têm a 
direção perpendicular ao plano do movimento. 
 
 
 
 
 
 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 
 
 São utilizados dois sistemas de referência: o sistema OXY , suposto fixo, e o 
sistema móvel Axy , que tem sua origem no ponto A, e as direções de seus eixos 
invariáveis (admitiremos que os eixos de Axy sejam paralelos aos eixos de OXY , 
como mostrado na Figura 2.9). Neste caso, Axy estará em movimento de translação. 
 Adaptando a equação (1.136) à situação presente, escrevemos: 
 
 relBA/BAB vrvv 
 
 No caso em questão temos: 
 
0 (a velocidade angular do sistema móvel Axy é nula uma vez que 
este está animado de movimento de translação) 
 
A/BrelB rv . Vale lembrar que relBv representa a velocidade do 
ponto B em relação ao sistema móvel Axy . Em relação a este sistema, que 
foi escolhido de orientação fixa, o ponto B executará a trajetória circular de 
raio A/Br , indicada na Figura 2.13 com linha tracejada. Neste movimento, 
a velocidade em relação a Axy é dada por A/Br . Este vetor é 
perpendicular a A/Br , e o seu sentido é determinado pelo sentido de , 
como indicado na Figura 2.9. 
 
Podemos então escrever: 
 
A/BAB rvv (2.6) 
 
Da equação vetorial (2.6) podem ser obtidas duas equações escalares, 
mediante a decomposição dos vetores em duas direções ortogonais quaisquer. A 
A
B
X
Y
y
x
O
Ar
A/Br
Br
A/Br
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
74 
resolução destas equações permite determinar até duas incógnitas relativas às 
velocidades dos pontos do corpo rígido. 
Alternativamente, pode-se resolver os problemas construindo o triângulo de 
vetores representando a equação (2.6), empregando, em seguida, relações 
trigonométricas para a obtenção das equações que permitirão determinar as 
incógnitas. 
Conforme já havíamos anunciado anteriormente nesta seção, a equação (2.6) 
conduz à seguinte interpretação: 
 
"Sob o ponto de vista da cinemática, o movimento plano de um corpo rígido 
pode ser considerado com o sendo resultante da superposição de uma translação, 
segundo um ponto de referência, e uma rotação em torno de um eixo perpendicular 
ao plano de movimento, passandopelo ponto de referência". 
 
Na parcela de translação, todos os pontos do corpo rígido estarão animados da 
mesma velocidade do ponto de referência. Na parcela de rotação, os pontos do corpo 
rígido estarão executando movimentos circulares, com velocidade angular , em 
torno de um eixo perpendicular ao plano do movimento, passando pelo ponto de 
referência. 
A escolha do ponto de referência é arbitrária. Na equação (2.6) o ponto A foi 
escolhido como ponto de referência. Se o ponto B tivesse sido escolhido teríamos 
escrito: 
 
 B/ABA rvv (2.7) 
 
 Tanto (2.6) quanto (2.7) conduzem aos mesmos resultados. As duas situações 
são ilustradas nas Figuras 2.10 e 2.11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A/BAB rvv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Av
Bv
A/BrelB rv
=
Av
A
B
Bv
mov. plano geral 
+
Av
A
B
Av
translação �segundo A� 
A/BrelB rv
A
B
rotação �em torno de A� 
+
A/Br
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B/ABA rvv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 
 
 
 
 
=
+
A
B
translação �segundo B� 
mov. plano geral 
Av
A
B
Bv
A
B
rotação �em torno de B� 
B/Ar
B/ArelA rv
+
Bv
Bv
Av
Bv
B/ArelA rv
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
77 
2.4.2 - Centro instantâneo de rotação no movimento plano geral 
 
 Nesta seção, apresentamos um segundo método destinado à análise de 
velocidades de corpos rígidos em movimento plano geral. Vamos mostrar que é 
sempre possível determinar um ponto, chamado Centro Instantâneo de Rotação 
(C.I.R.), de modo que as velocidades dos pontos do corpo rígido em movimento plano 
geral são as mesmas que surgiriam se o corpo estivesse executando um movimento 
de rotação em torno de um eixo fixo, perpendicular ao plano do movimento, 
passando pelo C.I.R. 
Desta forma, uma vez determinada a posição do C.I.R., a velocidade de um 
ponto P qualquer do corpo rígido pode ser expressa simplesmente segundo: 
 
 'rvP , 
 
onde é a velocidade angular do corpo rígido e 'r é o vetor cuja origem coincide 
com o C.I.R. e cuja a extremidade coincide com a posição do ponto P. 
 A demonstração da existência do C.I.R. é feita a seguir, com o auxílio da 
Figura 2.12. Escolhendo arbitrariamente um ponto A do corpo rígido, cuja 
velocidade Av é conhecida, podemos sempre determinar um ponto C, posicionado 
sobre reta perpendicular à direção de Av , situado a uma distância 'rA do ponto A, 
dada por: 
 
 A
A
v
'r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.12 
 
Definindo o vetor CA'rA , perpendicular a Av , escrevemos: 
 
 'rv AA , (2.8) 
 
 Uma vez definida a posição de C, devemos mostrar que, para um outro ponto 
qualquer B, também poderemos escrever: 
 
 'rv BB (2.9) 
C
Av
A
B
Bv
Br
Ar
A/Br
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
78 
 
onde CB'rB , como indicado na Figura 2.12. 
 Introduzindo a relação (2.8) em (2.6), temos: 
 
 A/BAB r'rv , 
 
ou: 
 
 A/BAB r'rv 
 
 Na Figura 2.12 vemos que A/BAB r'r'r , de modo que a última equação 
acima torna-se: 
 
 'rv BB 
 
 Este resultado demonstra que a distribuição das velocidades no movimento 
plano geral é a mesma que surgiria se o corpo rígido estivesse executando um 
movimento de rotação com velocidade angular , em torno de um eixo fixo 
perpendicular ao plano do movimento, passando pelo ponto C, que é o C.I.R.. 
 É importante notar que a posição do C.I.R. varia com o tempo. Na resolução 
de problemas práticos, a determinação da posição do C.I.R., em cada instante, é 
feita utilizando as regras que apresentamos a seguir. Estas regras são derivadas da 
definição do C.I.R. e das propriedades decorrentes de sua definição. 
 
1a regra: São conhecidas as direções das velocidades de dois pontos A e B, Av e Bv , 
respectivamente, sendo estas velocidades representadas por vetores não paralelos 
entre si. Neste caso, o C.I.R. é determinado pela interseção da reta perpendicular a 
Av , passando por A, com a reta perpendicular a Bv , passando por B, como mostrado 
na Figura 2.13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13 
 
 
 
A
B
Bv
C
Av
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
79 
2a regra: São dadas as velocidades Av e Bv de dois pontos A e B, sendo estas 
velocidades perpendiculares ao segmento AB . Neste caso, o C.I.R. é determinado 
pela interseção da reta que passa por A e B com a reta que liga as extremidades dos 
vetores Av e Bv . As três situações possíveis são ilustradas na Figura 2.14. No caso 
(c) o C.I.R. está no infinito, configurando o caso de translação, sendo a velocidade 
angular instantaneamente nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
Figura 2.14 
 
3a regra: Quando pudermos identificar o ponto do corpo rígido cuja velocidade é 
instantaneamente nula, este ponto é o centro instantâneo de rotação. Um exemplo 
clássico é o caso de um corpo que rola, sem escorregamento, sobre uma superfície 
fixa, como mostrado na Figura 2.15. Como não há movimento relativo entre a 
superfície e o ponto C do corpo em contato com ela, este ponto tem velocidade 
instantânea nula, sendo, portanto, o C.I.R. Nesta mesma figura são mostrados os 
vetores velocidade de alguns pontos do disco. 
 
A
B
Bv
Av
C.I.R. no , = 0 
A
B
BvC
Av
A
B
BvC
Av
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 
 
A posição do centro instantâneo de rotação pode também ser determinada 
analiticamente a partir dos vetores posição e velocidade de um ponto qualquer do 
corpo rígido e da velocidade angular. 
Considerando o ponto C (que é o C.I.R.) e um ponto qualquer A, ambos 
ilustrados na Figura 2.16, podemos escrever: 
 
C/ACA rvv . 
 
Levando em conta que 0Cv , a equação acima fica reduzida a: 
 
C/AA rv 
 
Computando o produto vetorial de ambos os lados da equação acima pelo 
vetor velocidade angular , e utilizando a conhecida igualdade para o produto 
triplo, escrevemos: 
 
C/AC/AC/AA rrrv 
 
Levando ainda em conta que 0C/Ar , obtemos a expressão: 
 
A
C/A
v
r 
 
e a posição do C.I.R., em relação ao sistema de eixos OXY é finalmente computada 
segundo: 
 
 C/AAA/CAC rrrrr
 
r2
C
r2
r2
r
r
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
81 
ou: 
2
A
AC
v
rr (2.10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.16 
 
 
2.4.3 - Acelerações absolutas e relativas no movimento plano geral 
 
Consideremos a situação ilustrada na Figura 2.17, em que são ilustrados dois 
sistemas de referência com as mesmas características daqueles anteriormente 
mostrados na Figura 2.9, ou seja, o sistema OXY é fixoe o sistema Axy tem sua 
origem no ponto A do corpo rígido, conservando sua orientação invariável 
(movimento de translação). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.17 
 
A
B
X
Y
y
O
A/Br
A/B
t
relB ra
x
A/B
n
relB ra
C
Av
A
C/Ar
Ar
Cr
X
Y
O
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
82 
 
Com base na equação (1.138), adaptada à situação presente, escrevemos: 
 
relBrelBA/BA/BAB avrraa 2 (2.11) 
 
No caso em questão, temos: 
 
0 , uma vez que o sistema de referência móvel Axy está em movimento 
de translação. 
 
A/BA/B
n
relB
t
relBrelB rraaa 
 
Assim, a equação (2.11) fica: 
 
A/BA/BAB rraa (2.12) 
 
As incógnitas de problemas envolvendo acelerações de corpo rígido em 
movimento plano podem ser determinadas de duas formas: 
 
a) decompondo os vetores que figuram na equação (2.12) em duas direções 
perpendiculares e resolvendo o sistema de duas equações escalares 
resultantes. 
 
b) construindo o quadrilátero de vetores que representam a equação (2.12) e 
empregando relações geométricas, obtemos as equações que, uma vez 
resolvidas, nos fornecerão os valores das incógnitas do problema. Esta 
segunda forma de resolução é geralmente mais complicada que a primeira. 
 
Vale notar que o conceito de centro instantâneo de rotação não pode ser usado 
para a determinação das acelerações, pois, no caso geral, o C.I.R. não possui 
aceleração nula. Embora seja possível determinar o Centro de Aceleração Nula, o 
equivalente do C.I.R. para as acelerações, isto não é tarefa simples, de modo que 
utilizaremos, em nosso curso, apenas o método das acelerações absolutas e relativas 
para resolver problemas relativos a acelerações de corpos rígidos em movimento 
plano. 
Similarmente ao que havia sido mostrado no estudo das velocidades absolutas 
e relativas, a distribuição das acelerações no movimento plano geral dos corpos 
rígidos pode ser entendida com sendo resultante da superposição de uma translação, 
segundo um ponto de referência, e de um movimento de rotação em torno de um eixo 
fixo, perpendicular ao plano de movimento, passando pelo ponto de referência. 
Seguindo esta interpretação, a situação correspondente à equação (2.11) é ilustrada 
na Figura 2.18. 
 
 
 
 
 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A/BA/BAB rraa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.18 
 
 
2.5 - Movimento com um ponto fixo 
 
No movimento com um ponto fixo, a única restrição imposta ao movimento é a 
de que um único ponto do corpo rígido deve permanecer imóvel no espaço. A Figura 
2.19 mostra o exemplo deste tipo de movimento, no qual o ponto A é mantido fixo. 
 
Aa
A
B
mov. plano geral 
Ba
+
A
B
Aa
translação �segundo A� 
Aa
A/B
t
relB ra
A
B
rotação �em torno de A� 
A/B
n
relB ra
A/Br
Ba
Aa
t
relBa
n
relBa
+=
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
84 
 
 
Figura 2.19 
 
A cinemática do movimento com um ponto O fixo é fundamentada no 
Teorema de Euler, que pode ser enunciado como segue (omitiremos aqui a 
demonstração do teorema): 
 
 "O movimento de um corpo rígido com um ponto fixo O pode ser considerado, 
em cada instante, como sendo um movimento de rotação em torno de um eixo que 
passa pelo ponto O". 
 
 O eixo a que se refere o Teorema de Euler é denominado eixo instantâneo de 
rotação. Ao contrário do que ocorre no movimento de rotação em torno de um eixo 
fixo, estudado na Seção 2.2, a direção do eixo instantâneo de rotação varia 
continuamente com o tempo. 
 Assim, conforme indicado na Figura 2.20, em cada instante, o vetor 
velocidade angular do corpo rígido, , tem a direção do eixo instantâneo de rotação. 
Como esta direção varia, o vetor aceleração angular, , não tem a mesma direção do 
vetor velocidade angular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.20 
O
PO
w
r
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
85 
 Com base no Teorema de Euler, podemos utilizar a expressões relativas ao 
movimento de rotação em torno de um eixo fixo (ver Seção 2.2) para expressar a 
velocidade e a aceleração de um ponto genérico P do corpo rígido, cuja a posição é 
indicada por r na Figura 2.20. 
 
 rvP (2.13) 
 
 rraP (2.14) 
 
 Conforme discutido na Seção 2.2, nas equações (2.13) e (2.14) r pode ser 
qualquer vetor que vai do eixo instantâneo de rotação até o ponto P. Como a 
orientação instantânea deste eixo é geralmente desconhecida, sabendo-se apenas 
que ele passa pelo ponto O, toma-se por conveniência OPr , como mostrado na 
Figura 2.20. 
 
 
2.6 - Movimento geral 
 
 O movimento geral constitui uma extensão, ao caso tridimensional, do 
movimento plano geral, já examinado na Seção 2.3. 
A Figura 2.21 mostra um exemplo de um mecanismo tridimensional no qual a 
barra AB descreve movimento geral. 
 
Figura 2.21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
B
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
86 
 
 2.6.1 - Velocidades absolutas e relativas no movimento geral 
 
 Consideremos a Figura 2.22, na qual é representado um corpo rígido em 
movimento geral, em três dimensões, sendo analisados os movimentos de dois 
pontos quaisquer do corpo rígido, A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.22 
 
 
São representados dois sistemas de referência: OXYZ , fixo, e Axyz , móvel, 
com origem no ponto A do corpo rígido, com orientação invariável (em movimento de 
translação). 
 Adaptando a equação (1.127) à situação presente, podemos escrever: 
 
 relBA/BAB vrvv (2.15) 
 
 No caso em questão, temos: 
 
0 , pois o sistema Axyz está em movimento de translação. 
 
A/BrelB rv . Isto porque em relação ao sistema Axyz , o ponto B 
estará executando um movimento com o ponto A fixo. De acordo com a 
equação (2.13), neste movimento, a velocidade em relação a Axyz é dada 
por A/Br . 
 
Assim, a equação (2.15) fica: 
 
A
B
X 
Y 
y
x 
O 
Ar
A/Br
Br
Z 
z 
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
87 
 A/BAB rvv (2.16) 
 
A equação vetorial (2.15) pode ser substituída por três equações escalares 
mediante a decomposição dos vetores que nela figuram em termos de suas 
componentes em três direções mutuamente perpendiculares. O conjunto de 
equações pode então ser resolvido para as incógnitas do problema. 
A equação (2.16) expressa o Teorema de Chasles, que pode ser enunciado da 
seguinte forma: 
 
"Sob o ponto de vista da cinemática, o movimento geral de um corpo rígido em 
três dimensões pode ser considerado como sendo resultado da combinação de uma 
translação, segundo um ponto de referência, e um movimento com o ponto de 
referência fixo". 
 
O leitor deve verificar a semelhança desta interpretação com aquela dada à 
equação (2.7), referente ao movimento plano geral. 
Aqui, também, a escolha do ponto de referência é arbitrária. Na ilustração da 
Figura 2.23 o ponto A é o escolhido como ponto de referência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A/BAB rvv 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.23 
=
+Av
A
B
Av
translação �segundo A� 
Av
A
B
Bv
movimento geral 
+
A/BrelB rv
A
B
movimento com o ponto A fixo 
A/Br
 D.A. RADE CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
88 
 
Embora o conceito de Centro Instantâneo de Rotação possa ser associado ao 
movimento geral, a determinação de sua posição é dificultada pelo fato de se 
trabalhar em três dimensões. Assim, em nosso curso, utilizaremos apenas o método 
das velocidades absolutas e relativas para resolver problemas envolvendo 
velocidades de corpos rígidos em movimento geral. 
 
 
 2.6.2 - Acelerações absolutas e relativas no movimento geral 
 
 Considerando novamente a Figura 2.22 e adaptando a equação (1.128), 
podemos escrever: 
 
 relBrelBA/BA/BAB avrraa 2 , (2.17) 
 
com: 
 
0 , pois o sistema de referência Axyz está em movimento de 
translação. 
A/BA/BrelB rra . Isto porque, em relação ao sistema 
Axyz , o ponto B executa um movimento com um ponto fixo. Neste 
movimento, a aceleração de B é dada pela equação (2.13). 
 
Assim, a equação (2.17) fica: 
 
A/BA/BAB rraa (2.18) 
 
A equação vetorial (2.18) pode ser desmembrada em três equações escalares 
mediante a decomposição dos vetores que nela figuram em termos de suas 
componentes em três direções mutuamente perpendiculares. O conjunto de 
equações pode então ser resolvido para as incógnitas do problema. 
 
 
2.7 Bibliografia 
 
 
BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros � 
Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. 
HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-
Prentice Hall, 2005. 
KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. 
SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição. 
Pearson�Prentice Hall, 2003. 
SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics, 
Prentice-Hall, 1999. 
TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de 
Janeiro, 1997. 
ANOTAÇÕES 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 
 
Dinâmica da Partícula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
89 
CAPÍTULO 3 
 
DINÂMICA DA PARTÍCULA 
 
 
3.1 - Introdução 
 
 Nos capítulos anteriores nos ocupamos em descrever o movimento de uma 
partícula e dos pontos de um corpo rígido, relacionando sua posição, velocidade e 
aceleração com o tempo sem levar em conta os efeitos que dão origem ao movimento, 
que são as forças. 
Neste capítulo, dedicado à dinâmica da partícula, buscamos obter as relações 
entre as forças que atuam sobre a partícula e o movimento resultante. Estas 
relações são estabelecidas pelas chamadas equações do movimento. 
 Enfocaremos dois métodos destinados à obtenção das equações do movimento: 
 
a) Método baseado na utilização das Leis de Newton, que emprega as 
grandezas vetoriais força e aceleração (ou, equivalentemente, força e 
quantidade de movimento). 
 
b) Método baseado no Princípio do Trabalho-Energia Cinética, que utiliza as 
grandezas escalares trabalho e energia cinética. 
 
 
3.2 - As leis de Newton 
 
 Toda a Mecânica Clássica está alicerçada em um conjunto de três leis 
fundamentais que são conhecidas como as Leis de Newton, que podem ser 
enunciadas da seguinte forma: 
 
 1a Lei (Lei da Inércia): �Uma partícula permanecerá em repouso, ou em 
movimento retilíneo uniforme, a menos que seja diferente de zero a resultante das 
forças que atuam sobre ela�. 
 
 A 1a Lei, enunciada desta forma, conduz à definição newtoniana de força, 
segundo o qual �força� é qualquer agente capaz de retirar a partícula do estado de 
repouso ou de movimento retilíneo uniforme. 
 
 2a Lei ( amF ): �Se a resultante das forças que atuam sobre uma 
partícula não for nula, a partícula desenvolverá uma aceleração que terá a mesma 
direção e o mesmo sentido da força resultante, sendo o seu módulo proporcional ao 
módulo da força resultante�. 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
90 
 3a Lei (Lei da Ação e Reação): �Se uma partícula 1P estiver exercendo 
sobre uma partícula 2P uma força designada por f21 , a partícula 2P também 
exercerá, sobre a partícula 1P , uma força f12 , sendo estas duas força colineares,, de 
módulos iguais e sentidos opostos (ou seja, 2112 ff ). Estas duas forças têm a 
direção da reta que liga as duas partículas�. 
 
 As leis de Newton são, na verdade, axiomas e, como tal, não possuem 
demonstração formal, sendo sua validade comprovada pela observação 
experimental. 
 A 1a Lei de Newton expressa um importante conceito que se mostra, às vezes, 
de difícil assimilação. É o conceito de que pode haver movimento sem que haja força 
resultante atuando sobre a partícula. Com efeito, a 1ª Lei de Newton estabelece que, 
não havendo força resultante, a partícula poderá estar tanto em repouso quanto em 
movimento retilíneo uniforme, sendo que estas duas situações caracterizam a 
condição de equilíbrio da partícula. A única distinção entre as duas situações ocorre 
quando a partícula estiver sujeita a restrições cinemáticas que impedem o seu 
movimento. Neste caso, a única situação de equilíbrio possível é a de repouso. 
 Trataremos agora, com maior profundidade, a 2a Lei de Newton, que constitui 
a base para a obtenção das equações do movimento da partícula as quais, por sua 
vez, compõem os modelos matemáticos que serão empregados na resolução de 
problemas de dinâmica da partícula. 
 Imaginemos a seguinte experiência: tomemos uma partícula qualquer, 
mostrada na Figura 3.1, e apliquemos sobre ela um conjunto de n forças conhecidas 
F1 , F2 , ... Fn , cuja resultante designada por F F F Fn1 2 , é também 
conhecida. Neste ponto, é importante ressaltar que, uma vez adotado o conceito de 
partícula, que é assimilada a um ponto do espaço, todas as forças aplicadas são 
consideradas concorrentes neste ponto. 
Observando o movimento da partícula com um equipamento experimental 
adequado, verificamos que ela desenvolve uma aceleração a , que tem a mesma 
direção e o mesmo sentido que F , como mostra a Figura 3.1(a). Observe-se que o 
deslocamento ou a velocidade da partícula não terão, necessariamente, a mesma 
direção e sentido da força resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 3.1 
F1
F2
Fn
F
a F1
F2
Fn
F
a
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
91 
 Visando comprovar este resultado e testar a sua generalidade, repetimos a 
experiência, aplicando à mesma partícula um outro conjunto de forças F1 , F2 , ... 
Fp , cuja resultante é F F F Fp1 2 . Assim fazendo, verificamos 
novamente que a partícula desenvolve uma aceleração a que tem a mesma 
direção e o mesmo sentido de F , como se vê na Figura 3.1(b). 
 De posse dos valores dos módulos das acelerações a e a e dos valores 
dos módulos das forças resultantes, F e F , verificamos ainda que existe 
uma proporcionalidade entre os valores dos módulos das forças resultantes e dos 
módulos das acelerações , ou seja: 
 
C
a
F
a
F
 (constante) 
 
Na equação acima, a constante de proporcionalidade C é uma característica 
intrínseca da partícula que indica a sua inércia, isto é, sua capacidade de resistir a 
variações no seu estado de movimento. 
Observe-se que quanto maior for o valor de C, maior será o valor do módulo da força 
resultante necessário para conferir uma dada aceleração à partícula. A massa m, 
que é uma quantidade escalar positiva,é usualmente empregada como medida 
quantitativa da inércia da partícula. 
 Assim, os resultados de nossa experiência poderiam ser representados por 
uma única equação: 
 
F ma (3.1) 
 
onde F designa, genericamente, a resultante das forças que atuam sobre a 
partícula e a é a aceleração desenvolvida pela mesma. 
 Como foi visto no primeiro capítulo, não há sentido em falar em aceleração 
sem que seja claramente especificado o sistema de referência em relação ao qual ela 
está sendo medida. Isso porque, como já sabemos, os valores das grandezas 
cinemáticas dependem do estado de movimento do sistema de referência empregado 
na observação do movimento. Assim, para a utilização da equação (3.1), o 
estabelecimento de um sistema de referência é fundamental. 
A importante questão da escolha do sistema de referência será discutida mais 
adiante. Por enquanto, informamos que, na concepção clássica da Mecânica 
Newtoniana, a Segunda Lei de Newton, expressa por (3.1), deve ser usada 
empregando um tipo de sistema de referência chamado sistema de referência 
inercial, entendido como aquele no qual é válida a Primeira Lei de Newton, ou seja, 
um sistema de referência em relação ao qual observamos a partícula em repouso ou 
movimento retilíneo uniforme quando a resultante das forças atuantes sobre ela for 
nula. Seguindo uma corrente mais moderna de pensamento, mostraremos mais 
adiante que a Segunda Lei de Newton pode ser utilizada empregando qualquer tipo 
de sistema de referência, inercial ou não inercial, desde que se considere que não 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
92 
apenas a aceleração, mas também as forças aplicadas à partícula, dependem do 
sistema de referência empregado. 
 
3.3 - Equações do movimento 
 
 A equação (3.1) pode ser interpretada como a representação simbólica da 2ª 
Lei de Newton, requerendo ainda esclarecimentos sobre a forma de sua 
operacionalização na resolução de problemas práticos. Assim, para utilização 
prática da 2a Lei de Newton, tanto a força resultante quanto a aceleração, que 
aparecem em ambos os lados da equação (3.1) devem ser expressas em termos de 
suas componentes nas direções de um sistema de eixos coordenados previamente 
escolhido. Assim procedendo, a equação vetorial (3.1) pode ser substituída por um 
conjunto de equações diferenciais escalares, chamadas equações do movimento, as 
quais poderão então ser resolvidas matematicamente ou numericamente. 
Apresentaremos, a seguir, as equações do movimento expressas nos diversos 
sistemas de coordenadas estudados no Capítulo 1. 
 
 
 3.3.1 - Coordenadas cartesianas (x-y-z) 
 
 Consideremos um sistema de eixos cartesianos Oxyz, ao qual se associam os 
vetores unitários i , j e k , conforme detalhado na Seção 1.6.1. Podemos expressar 
tanto a força resultante sobre a partícula quanto sua aceleração em termos de suas 
componentes nas direções destes eixos: 
 
ktFjtFitFtF zyx 
 
a x i y i z i 
 
Substituindo as duas equações acima na equação (3.1), temos: 
 
 ktFjtFitF zyx m x i y i z i 
 
Levando em conta a independência linear dos vetores unitários, da equação 
vetorial acima extraímos as três equações escalares seguintes: 
 
 xmtFx (3.3.a) 
 
 ymtFy (3.3.b) 
 
 zmtFz (3.3.c) 
 
 As equações diferenciais (3.3) são as equações do movimento expressas em 
coordenadas cartesianas. Observa-se que elas relacionam as componentes da força 
resultante atuante sobre a partícula e as componentes da aceleração que a partícula 
desenvolve. 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
93 
Nos casos em que as componentes da força resultante são constantes ou são 
funções conhecidas explícitas do tempo, as componentes da aceleração podem ser 
calculadas diretamente a partir de (3.2). Em seguida, por integrações sucessivas 
destas componentes de aceleração, dispondo de um conjunto de condições iniciais 
(em velocidade e posição), determinam-se as componentes da velocidade e do vetor 
posição instantâneos da partícula em função do tempo, conforme indicam as 
seguintes equações: 
 
ktajtaitata zyx 
 
com: 
 
 tF
m
ta xx
1
 (3.4.a) 
 
 tF
m
ta yy
1
 (3.4.b) 
 
 tF
m
ta zy
1
 (3.4.c) 
 
 
ktvjtvitvtv zyx 
 
com: 
 
 
t
xxx dttF
m
vv
0
1
0 (3.5.a) 
 
 
t
yyy dttF
m
vv
0
1
0 (3.5.b) 
 
 
t
zzz dttF
m
vv
0
1
0 (3.5.c) 
 
 
ktrjtritrtr zyx 
 
com: 
 
 
t t
xxx dttF
m
tvxtxtr
0 0
1
00 (3.6.a) 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
94 
 
t t
yyy dttF
m
tvytytr
0 0
1
00 (3.6.b) 
 
 
t t
zzz dttF
m
tvztztr
0 0
1
00 (3.6.c) 
 
Vale observar que, em vários tipos de problemas práticos, as componentes da 
força resultante podem ser funções complicadas, envolvendo o tempo, a posição e a 
velocidade. Nestes casos, a resolução analítica das equações do movimento torna-se 
difícil, ou mesmo impossível, sendo requeridos métodos numéricos aproximados de 
resolução, conforme detalhado mais adiante. 
 Como casos particulares das equações do movimento apresentadas acima, 
temos o movimento retilíneo, no qual apenas a equações relativas à coordenada x 
devem ser consideradas, e o movimento curvilíneo plano, em que apenas as 
equações referentes às componentes x e y devem ser consideradas. 
 Por procedimento similar, obtemos as equações do movimento formuladas nos 
demais sistemas de coordenadas apresentados o Capítulo 1, as quais são 
apresentadas a seguir: 
 
 3.3.2 - Componentes normal-tangencial 
 
 
dt
dv
mtFt (3.7.a) 
 
2v
mtFn (3.7.b) 
 
 3.3.3 - Coordenadas cilíndricas 
 
 
2rrmtFr (3.8.a) 
 
rrmtF 2 (3.8.b) 
 
zmtFz (3.8.c) 
 
 
Observe-se que as duas primeiras equações (3.8) constituem as equações do 
movimento expressas nos sistema de coordenadas polares, utilizadas na descrição 
do movimento plano, conforme apresentado na Seção 1.6.3. 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
95 
 3.3.4 - Coordenadas esféricas 
 
 
 222 cosRRRmtFR (3.9.a) 
 
 tF senRcosRcosRm 22 (3.9.b) 
 
 mtF cossenRRR 22 (3.9.c) 
 
 Deve ser observado que as equações do movimento em alguns sistemas de 
coordenadas mostram-se complicadas, ocorrendo freqüentemente o acoplamento 
entre as diversas coordenadas. Nestes casos, são necessários procedimentos 
especiais, analíticos ou numéricos, para sua resolução. 
 
 
3.4 - A 2a Lei de Newton e os sistemas de referência 
 
 Na seção anterior, havíamos alertado o leitor para o fato de que, quando 
empregamos a 2a Lei de Newton, expressa pela equação (3.1), é absolutamentenecessária a escolha de um sistema de referência em relação ao qual se observa o 
movimento da partícula. A maioria dos textos de Dinâmica afirmam que a 2a Lei de 
Newton só pode ser usada se utilizarmos um tipo particular de sistemas de 
referência, chamados sistemas de referencia inerciais, cuja definição formal será 
feita um pouco mais adiante. Por outro lado, alguns outros autores optam pela idéia 
de que a 2a Lei de Newton pode ser utilizada empregando qualquer sistema de 
referência, inercial ou não inercial, desde que admitamos que não apenas a 
aceleração da partícula, mas também as forças que sobre ela atuam, dependam do 
sistema de referência utilizado (ver, por exemplo, o trabalho do Prof. Maia, 
relacionado na lista de referências ao final deste capítulo). Neste capítulo, 
exploramos a segunda linha de pensamento e mostraremos a seguir, com um 
exemplo, a argumentação que justifica esta escolha. 
 Imaginemos que um vagão esteja se movendo sobre trilhos horizontais 
retilíneos, com uma aceleração constante a em relação à Terra, como mostrado na 
Figura 3.3. Imaginemos ainda que dentro do vagão exista uma mesa horizontal, cujo 
tampo é perfeitamente liso e, sobre a mesa encontra-se uma esfera, que está ligada 
à parede do vagão por uma mola. 
 
I N
 
 
Figura 3.2 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
96 
 Consideremos dois observadores: um observador I, que se encontra fora do 
vagão e que portanto utiliza um sistema de referência fixo (neste exemplo, 
estaremos desprezando o movimento da Terra), e outro observador N, que se 
encontra dentro do vagão e que utiliza, portanto, um sistema de referência 
acelerado, que está animado da mesma aceleração a do vagão. O observador dentro 
do vagão N observa a esfera em repouso sobre a mesa, estando a mola distendida. 
Por outro lado, o observador I observa a esfera se movendo com a mesma velocidade 
e aceleração do vagão 
 Se perguntarmos a I e a N quais são as forças que atuam sobre a esfera, com 
base em suas observações, obteremos as seguintes respostas: 
 O observador I dirá que sobre a esfera atuam seu peso W , exercido pelo 
campo gravitacional terrestre e a força N exercida pelo tampo da mesa (como 
veremos mais adiante, na ausência de atrito, esta força é normal à superfície de 
contato). Além disso, observando que a mola se encontra distendida, ele constatará 
a existência da força T , exercida pela mola sobre a esfera. 
As forças observadas por I são mostradas na Figura 3.3. 
 
I
 
 
Figura 3.3 
 
 Como o observador I observa a esfera mover-se com a mesma aceleração do 
vagão, ele escreverá a 2a Lei de Newton sob a forma: 
 
F W N T ma 
 
 Como não há movimento na direção vertical, W N 0 . Da equação acima 
resulta, para o observador I: 
 
 T ma 
 
 Por outro lado, o observador N, estando dentro do vagão, verá a esfera em 
repouso sobre a mesa e dirá que a resultante das forças que atuam sobre a esfera é 
nula. As forças que N identifica são o peso W , a reação normal do tampo da mesa 
N e a força da mola T . Entretanto, estas três forças não podem ter resultante 
nula, pois W e N se anulam na direção vertical mas a força T , sozinha, não pode 
garantir o equilíbrio da esfera na direção horizontal. N concluirá então, com base 
na sua observação de equilíbrio, que além de W , N e T existe uma outra força 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
97 
que equilibra a força T , como se vê na Figura 3.4. Assim, N escreverá a 2a Lei de 
Newton sob forma: 
 
F W N T T0 
 
N
 
 
Figura 3.4 
 
 Se fizermos diversos experimentos variando o valor da aceleração do vagão, 
constataremos que a deformação da mola, e portanto o valor das forças T e são 
diretamente proporcionais ao valor da aceleração do vagão. 
 Com base neste exemplo, podemos fazer as seguintes observações: 
 O conjunto de forças observadas depende do sistema de referência utilizado 
ou, mais precisamente, do estado de movimento deste sistema de referência. No 
nosso exemplo, a força é observada pelo observador N, mas não pelo observador I. 
Todavia, não há motivo para pensarmos que um dos observadores esteja fazendo 
uma observação mais correta ou mais adequada que o outro. Ambos fazem 
constatações fisicamente verdadeiras. Assim antes de responder à pergunta �Quais 
são as forças que atuam sobre uma dada partícula ?�, devemos nos informar, 
perguntando: �Em relação a que sistema de referência ?�. 
 Considerando ainda a experiência descrita acima, verificamos a existência de 
dois tipos de forças: o primeiro tipo compreende as forças W , N e T que são 
observadas tanto por I quanto por N. Estas forças têm sua existência atribuída, por 
ambos observadores, às ações exercidas sobre a esfera por corpos vizinhos que são a 
Terra, a mesa e a mola, respectivamente. 
 O segundo tipo de força compreende a força , observada somente por N, que 
não pode ser atribuída à ação de nenhum corpo vizinho. 
A existência destes dois tipos de força sugere a seguinte classificação para as 
forças: 
 
Forças de interação: são aquelas exercidas entre os corpos e que são 
independentes do referencial. No exemplo estudado, as forças W , N e T 
são forças de interação. 
 
Forças de inércia: são aquelas que não são causadas pela ação de outros 
corpos, sendo geradas pelo estado de movimento do referencial em que se 
encontra o observador. A este tipo de força não se aplica a 3a Lei de 
Newton (Ação e Reação). No nosso exemplo, é uma força de inércia. 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
98 
 Com base na existência destes dois tipos de forças, os sistemas de referência 
são classificados da seguinte forma: 
 
Referenciais galineanos ou inerciais: são aqueles em relação aos quais 
observamos exclusivamente forças de interação. 
 
Referenciais não inerciais: são aqueles em relação aos quais observamos 
pelo menos uma força de inércia. 
 
 Com base nas definições acima, concluímos que, se entendermos as forças no 
sentido newtoniano (apenas forças de interação), nos sistemas de referência 
inerciais aplica-se a Primeira Lei de Newton, ou seja, quando a resultante da forças 
de interação for nula, a partícula será observada em repouso ou em movimento 
retilíneo uniforme a partir de um observador neste tipo de sistema. Por outro lado, 
em um sistema de referência não inercial, se a resultante da forças de interação 
atuantes sobre uma partícula for nula, esta partícula não será necessariamente 
vista em repouso ou movimento retilíneo uniforme. 
 A caracterização de um dado sistema de referência como inercial ou não 
inercial só pode ser feita com base na experimentação. A experiência revela que um 
sistema de referência ligado às estrelas mais distantes do firmamento, bem como 
qualquer outro sistema que estejam em repouso ou em movimento retilíneo 
uniforme em relação a ele, são inerciais. 
 Alguns autores costumam chamar as forças de inércia de �forças fictícias�, 
para diferenciá-las das �forças verdadeiras�, que seriam as forças de interação. Esta 
denominação parece levar à conclusão de que as forças de inércia são forças 
aparentes e que na verdade elas não existem. Pelo contrário, as forças de inércia 
agem da mesma forma que as de interação, deformando corpos, ferindo as pessoas, 
realizando trabalho, etc. Em algumas situações é até mesmo impossível dizer se 
uma dada força é de interação ou de inércia, com base, exclusivamente, nos seus 
efeitos. 
 As forças de interação existem em grande número, podendo ser classificadas 
em forças de contato (força de atrito, reações de superfícies, forças exercidas barras, 
fios, etc.) e forças de campo (forças de origemgravitacional e eletromagnética). 
Algumas delas serão estudadas em detalhe mais adiante. Por outro lado, as forças 
de inércia são apenas quatro, como será mostrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
99 
3.5 - As quatro forças de inércia 
 
 Consideremos uma partícula P, de massa m, que se move no espaço, e dois 
sistemas de referência: o sistema OXYZ, suposto inercial, ao qual associamos o 
observador I e o sistema Axyz, que descreve um movimento geral 
(translação + rotação) em relação a OXYZ , estando animado de velocidade angular 
instantânea e aceleração angular instantânea . A este sistema de referência 
móvel que, conforme veremos, é não inercial, associamos o observador N, como 
mostra a Figura 3.5. 
 
 
y
z
x
O
rP A/
rP
rA
Y
X
Z
Pm
A
I
N
 
 
Figura 3.5 
 
 Na Seção 1.7.6, havíamos obtido a seguinte expressão, relacionando a 
aceleração de relativa a OXYZ, Pa , com a aceleração de P relativa a Axyz,arel : 
 
relrelA/PA/PAP av2rraa (3.10) 
 
Assim, a diferença entre as acelerações observadas a partir dos dois sistemas 
de referência é dada pela expressão: 
 
 relA/PA/PAPrel v2rraaa (3.11) 
 
 A 2a Lei de Newton, escrita pelo observador I, fica: 
 
F maPint (3.12) 
 
onde Fint designa a resultante das forças de interação atuantes sobre P, que são, 
como já vimos, as únicas forças observadas pelo observador I. 
 Por outro lado, o observador não inercial N identifica, além das forças de 
interação, as forças de inércia, e escreve a 2a Lei de Newton sob a forma : 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
100 
F F maine relint , (3.13) 
 
onde Fine designa a resultante das forças de inércia. 
 
 Substituindo (3.12) em (3.13), temos : 
 
F m a aine rel P 
 
 Introduzindo a equação (3.11) na equação acima, obtemos: 
 
relA/PA/PAine v2mrmrmamF 
 
 A equação acima mostra que Fine é constituída pela adição de quatro 
vetores, cada um dos quais corresponde a uma das força de inércia. 
Utilizando a notação e a terminologia proposta por Cornelius Lanczos, 
escrevemos: 
 
 CCFine onde: 
 
 Aam é a força de Einstein (3.14.a) 
 
 A/prm é a força de Euler (3.14.b) 
 
 A/prmC é a força Centrífuga (3.14.c) 
 
 relv2mC é a força de Coriolis (3.14.d) 
 
 Nas expressões acima, observamos que as forças de inércia dependem 
essencialmente do estado de movimento do sistema de referência não inercial, ou 
seja, da aceleração de sua origem, Aa , de sua velocidade angular, , e de sua 
aceleração angular , além da posição e da velocidade da partícula em relação ao 
sistema de referência não inercial, dadas pelos vetores APr / e relv , 
respectivamente. 
Como o sistema Axyz foi admitido estar animado do movimento mais geral 
possível, podemos concluir que não existem forças de inércia além das quatro 
descritas acima. 
Sob o ponto de vista físico, as forças de inércia são responsáveis pela 
ocorrência de interessantes fenômenos, dentre os quais aqueles ligados aos efeitos 
de rotação da Terra. 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
101 
3.6 - Equilíbrio dinâmico. Princípio de d�Alembert 
 
 Consideremos uma partícula P, de massa m, cujo movimento é observado a 
partir dos dois sistemas de referência mostrados na Figura 3.6. O sistema OXYZ é 
inercial e o sistema Pxyz é preso à partícula P, encontrando-se, portanto, em 
movimento geral, sendo, então, um sistema de referência não inercial. 
 
y
z
x
O X
Z
Y
P
m
rP
 
 
Figura 3.6 
 
 Em relação ao sistema inercial, escrevemos a 2a Lei de Newton para a 
partícula sob forma: 
 
PamFint 
 
 Para um observador no sistema de referência não inercial, P está em repouso 
e a 2a Lei de Newton é expressa por este observador sob a forma: 
 
 0int reline amFF (3.15) 
 
 Das forças de inércia, a única que não se anula é a força de Einstein. Isto pode 
ser verificado analisando as equações (3.10) e comparando as Figuras 3.5 e 3.6, 
levando ainda em conta que quando a origem do sistema móvel coincide com a 
posição da partícula, temos 0A/Pr e relv =0. Assim, a Eq. (3.11) fica: 
 
 0F 
 
ou: 
 
0PamF (3.16) 
 
 A última das equações mostra que, para um observador no sistema Pxyz, a 
partícula encontra-se em equilíbrio sob a ação das forças de interação, cuja a 
resultante é intF e da força de Einstein, dada por Pam . Este estado de 
equilíbrio observado pelo observador não inercial é chamado equilíbrio dinâmico. A 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
102 
transformação aparente da 2a Lei de Newton em uma equação de equilíbrio é 
conhecida como Princípio de d�Alembert. 
Em alguns textos de Dinâmica, o princípio de d�Alembert é freqüentemente 
utilizado para a obtenção das equações de movimento. Deve ser observado, 
entretanto, que a utilização deste princípio não conduz a nenhuma simplificação do 
problema, sendo estritamente equivalente ao emprego das equações do movimento 
nas formas apresentadas na Seção 3.3. Por esta razão, o Princípio de d�Alembert não 
será utilizado subseqüentemente neste texto 
 
3.7 - Diagramas de corpo livre 
 
Para utilizar corretamente a 2a Lei de Newton, devemos ser capazes de 
realizar dois procedimentos básicos. O primeiro é a análise cinemática do 
movimento da partícula, na qual os conceitos e métodos apresentados no Capítulo 1 
são utilizados para formular a aceleração da partícula, que está representada no 
lado direito da equação (3.1). O segundo procedimento diz respeito à formulação do 
termo F , que aparece no lado esquerdo de (3.1), e representa a resultante de 
todas as forças que atuam sobre a partícula. A formulação de F é feita através 
do "isolamento" da partícula do resto do Universo e a representação de todas as 
forças que sobre ela atuam, incluindo as forças de interação e as forças de inércia 
(lembramos que estas últimas só intervêm caso um sistema de referência móvel 
esteja sendo utilizado). O segundo procedimento é denominado elaboração do 
Diagrama de Corpo Livre (DCL) da partícula. 
No processo de elaboração do DCL devemos empregar todas as informações 
disponíveis sobre cada uma das forças que atuam sobre a partícula, em termos de 
seu módulo, direção e sentido. Evidentemente, algumas destas características 
podem ser desconhecidas, devendo ser incluídas entre as incógnitas a serem 
determinadas no processo de resolução do problema. 
Conforme vimos na Seção 3.5, as forças de inércia ocorrem em número 
máximo de quatro. Por outro lado, as forças de interação são muito numerosas, 
podendo ser geradas por diferentes tipos de interação. 
Com o intuito de auxiliar o estudante na elaboração do DCL, apresentamos a 
seguir as características de alguns dos principais tipos de forças de interação 
usualmente encontradas em problemasde Engenharia. 
 
 
3.7.1 - Força gravitacional 
 
Segundo a Lei da Gravitação Universal de Newton, as forças gravitacionais 
exercidas entre duas partículas de massa 1m e 2m são forças de atração. De acordo 
com a 3a Lei de Newton, elas formam um par de ação-reação e atuam na direção da 
reta que liga as duas partículas, como ilustrado na Figura 3.7. Os módulos destas 
forças são dados pela expressão: 
 
2
21
R
mm
KfG , (3.17) 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
103 
onde K é a constante universal da gravitação, cujo valor, no Sistema Internacional 
de Unidades é K=6,673 10 11 m3 kg 1 s 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.7 
 
No caso de uma partícula de massa m, próxima à superfície da Terra, a 
equação (3.17) é empregada para definir o peso da partícula, sob a forma: 
 
mgW , (3.18) 
 
com: 
 
 
2
T
T
R
Km
g (3.19) 
 
Na equação acima, Tm =5,976 1024 kg é a massa da Terra e TR =6,371 106 m 
é o raio médio da Terra. Introduzindo tais valores em (3.19), obtém-se g 9,825 m.s-
2. 
Em aplicações que requerem maior precisão na avaliação da aceleração da 
gravidade, fatores de correção devem introduzidos, levando em consideração a 
rotação da Terra e o achatamento do planeta nos pólos. Assim, a Fórmula 
Internacional da Gravidade, que leva em conta as correções, é: 
 
 200000590005288401780499 22 sen,sen,,g [m/s2] 
 
onde designa a latitude em radianos. 
O valor padrão, adotado internacionalmente para a aceleração da gravidade 
ao nível do mar é aquele correspondente à latitude de 45o, sendo o seu valor 
g=9,81 m/s3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gf
1m
2m
R
Gf
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
104 
3.7.2 - Força eletrostática 
 
As forças exercidas entre duas partículas com cargas elétricas 1q e 2q podem 
ser de atração ou repulsão, dependendo dos sinais das cargas das partículas: se as 
cargas forem de mesmos sinais, as forças serão de repulsão; se as cargas forem de 
sinais contrários, haverá forças de atração. De acordo com a 3a Lei de Newton, em 
ambos os casos, as forças aparecem em pares de ação-reação e atuam na direção da 
reta que liga as duas partículas, como ilustra a Figura 3.8 para o caso de forças de 
atração. 
Segundo a Lei de Coulomb, os módulos das forças elétricas são dados pela 
expressão: 
 
2
21
04
1
R
qq
fE , (3.20) 
 
onde 0 é a constante de permissividade no vácuo, cujo valor, no Sistema 
Internacional de Unidades é 0 =8,85418 10 12 C2 N 1 m 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.8 
 
 
Em uma situação mais geral, uma partícula carregada eletricamente com 
carga q , posicionada em um campo elétrico E (que, no S.I. tem unidades de N/C) 
fica sujeita a uma força elétrica dada por: 
 
EqFE , (3.21) 
 
sendo esta força tangente à linha de força do campo elétrico que passa pelo ponto 
instantaneamente ocupado pela partícula, conforme ilustrado na Figura 3.9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.9 
2q
Ef
1q
R
Ef
q 
EEF
t 
linha de força
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
105 
3.7.3 Força magnética 
 
 Uma partícula carregada eletricamente com carga q, movimentando-se com 
velocidade instantânea v em um campo magnético representado pelo vetor indução 
magnética, B , fica sujeita a uma força magnética dada por: 
 
 BvqFB . (3.22) 
 
Conforme podemos ver na Figura 3.10, esta força é perpendicular ao plano 
definido pelos vetores v e B . Observe que B tem a direção tangente à linha de 
indução do campo magnético, ao passo que v é tangente à trajetória da partícula. 
No Sistema Internacional de Unidades, a indução magnética B tem unidades 
de N/(C·m/s), que recebe a denominação de weber/m2 ou tesla. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v
B
t 
t 
BF
trajetória 
linha de indução 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
106 
 3.7.4 Forças de contato entre superfícies 
 
Consideremos a situação ilustrada na Figura 3.11 na qual é mostrado um 
bloco posicionado sobre um plano inclinado de um ângulo em relação à horizontal. 
 A força de contato exercida pelo plano sobre o bloco é designada por f C , 
tendo sua direção definida pelo ângulo em relação ao plano inclinado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.11 
 
 A força de contato Cf pode ser decomposta em duas componentes, conforme 
ilustrado na figura acima: 
 
 � a componente perpendicular à superfície de contato, denotada por N , 
denominada componente normal da força de contato. 
 
 � a componente tangencial à superfície de contato, denotada por f , 
denominada força de atrito. 
 
 A força normal surge devido à impossibilidade de interpenetração entre os 
dois corpos em contato e atua no sentido de �obrigar� o bloco a se posicionar sobre o 
plano inclinado. Por esta razão, a força normal é também denominada força de 
restrição. Sempre que o movimento de um corpo for restringido por outro, uma força 
de restrição estará presente. 
 A força de atrito resulta da existência de imperfeições geométricas nas 
superfícies em contato. Quando os dois corpos tendem a se mover um em relação ao 
outro, estas imperfeições interagem, resultando numa resistência ao movimento 
relativo. Do ponto de vista macroscópico, esta resistência é representada pela força 
de atrito f . 
No caso em que as duas superfícies em contato são perfeitamente lisas, a força 
de atrito não existe e a força de contato entre as duas limita-se à força normal. 
Cf
N
f
W
n 
t 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
107 
 A modelagem teórica do atrito é muito complexa, sendo que as leis que o 
regem, e que são utilizadas nas aplicações práticas, foram estabelecidas através de 
estudos experimentais realizados pelo cientista francês Coulomb. 
 A primeira observação a ser feita é a de que, no estudo das leis do atrito, 
devemos distinguir dois tipos de regime: estático e dinâmico. 
 O atrito estático ocorre quando não há movimento relativo entre as duas 
superfícies em contato, havendo, porém, outras forças aplicadas que tendem a 
promover este movimento. Na Figura 3.11, por exemplo, a componente do peso 
paralela ao plano inclinado está atuando no sentido de puxar o bloco para baixo. 
 As seguintes leis, verificadas experimentalmente, se aplicam ao atrito 
estático: 
 
 1a) a força de atrito estático só aparece quando há tendência de movimento 
relativo entre as superfícies em contato. Assim, se na situação ilustrada na 
Figura 3.11, o plano estivesse posicionado horizontalmente, não haveria nenhuma 
força na direção horizontal favorecendo o movimento relativo entre o bloco e o plano 
e a força de atrito não estaria presente. 
 
 2a) a força de atrito agindo sobre um dos corpos em contato tem sempre o 
sentido oposto ao do movimento relativo que este corpo tende a apresentar em 
relação ao outro corpo. Considerando mais uma vez a Figura 3.11, observamos que, 
como o bloco tem tendência de se mover para baixo, a força de atrito que o plano 
exerce sobre ele tem o sentido para cima. Evidentemente, devido à 3a Lei de 
Newton, aparece também uma força de atrito de reação, atuando sobre o plano 
inclinado, no sentido de puxá-lo para baixo. 
 
 3a) o módulo da força de atrito estático não é pré-determinado, podendo 
assumir um valor qualquer compreendido entre zero e um valormáximo, a partir do 
qual o atrito não será suficiente para impedir o movimento relativo entre as 
superfícies. Este valor máximo é dado por: 
 
 Nf estmax (3.23) 
 
 O fator est , denominado coeficiente de atrito estático é uma constante 
adimensional que depende fundamentalmente do acabamento superficial 
(rugosidade) das superfícies em contato. Quanto mais lisas forem as superfícies, 
menor será o valor de est . O valor deste coeficiente pode ser reduzido se aplicarmos 
algum tipo de lubrificante entre as superfícies em contato, o que se faz 
freqüentemente em numerosas situações práticas com o objetivo de reduzir o atrito. 
 Vale ressaltar que a Equação (3.23) só pode ser utilizada na situação de 
iminência de movimento relativo entre as superfícies em contato. 
Utilizando mais uma vez a situação ilustrada na Figura 3.11, vamos mostrar 
como podemos determinar o coeficiente de atrito estático realizando uma 
experiência simples. 
Aumentemos lentamente a inclinação do plano, até que o bloco comece a 
deslizar para baixo e registremos o valor do ângulo de inclinação correspondente do 
plano, max . Nesta situação de movimento iminente, aplicando a 2ª Lei de Newton 
para as componentes das forças nas direções t e n, temos: 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
108 
 
� direção t: 0sen maxmax Wf maxsenmgNest 
 
� direção n: levando em conta (3.19) ,temos maxcosmgN 
 
Combinando as duas equações acima, obtemos: 
 
maxtanest 
 
O atrito dinâmico ou cinético passa a existir a partir do momento em que as 
duas superfícies possuem movimento relativo uma em relação à outra. Com base em 
estudos experimentais, as seguintes leis foram estabelecidas para o atrito dinâmico: 
 
1ª) só existe atrito dinâmico quando duas superfícies deslizam, uma em 
relação à outra, pressionadas uma contra a outra. 
 
2ª) o sentido da força de atrito dinâmico exercido sobre um corpo A por um 
corpo B tem o sentido oposto ao do movimento de A em relação a B. Ao mesmo 
tempo, a força de atrito exercida sobre B por A tem o sentido oposto ao do 
movimento de B em relação a A (ver Figura 3.12). 
 
3ª) o módulo da força de atrito dinâmico é dado por: 
 
Nf dindin (3.24) 
 
onde din é uma constante adimensional denominada coeficiente de atrito dinâmico 
ou de atrito cinético, que depende fundamentalmente do acabamento superficial das 
superfícies em contato. 
 Geralmente, o valor do coeficiente de atrito dinâmico é menor que o do 
coeficiente de atrito estático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
Bv
Av
f
f
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
109 
3.7.5 � Forças exercidas por fluidos 
 
De acordo com o Princípio de Arquimedes, um corpo imerso num fluido estará 
sujeito a uma força, denominada empuxo, que atua na direção vertical, com sentido 
de baixo para cima, sendo seu módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. 
Assim, com relação à Figura 3.13 (a), designando por a densidade do fluido 
(com unidades de massa por volume) e iV o volume imerso do corpo, o empuxo tem 
seu módulo dado por: 
 
iVgQ (3.25) 
 
Além disso, quando um corpo se movimenta imerso num fluido, sofre também 
a ação de forças que se opõem ao seu avanço (ver Figura 3.13(b)). Estas forças são 
geradas pela viscosidade do fluido e são denominadas forças de arrasto. Sua 
resultante, denotada por R , é um vetor que têm o sentido oposto ao da velocidade 
do corpo em relação ao fluido, sendo seu módulo dado por: 
 
nCvR , (3.26) 
 
onde C e n são constantes que dependem fundamentalmente da forma do corpo e da 
viscosidade do fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 3.13 
 
 
 
 
 
 
 
iV
Q
v
R
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
110 
3.7.6 Forças exercidas por cabos flexíveis e barras rígidas 
 
 Os cabos flexíveis, como linhas, cordas, fios e cordões tem como característica 
o fato de não oferecerem resistência à flexão nem ao cisalhamento, sendo capazes 
apenas de transmitir esforços axiais de tração. Desta forma, quando um cabo 
flexível é conectado a um outro corpo, seu efeito mecânico resume-se à tendência de 
puxar este último, com uma força que tem a direção do cabo, conforme mostrado na 
Figura 3.14 (a). 
As barras rígidas, por outro lado, são capazes de transmitir três tipos de 
esforços: momento fletor ( M ), esforço cisalhante (V ) e esforço normal ( N ), como 
ilustrado na Figura 3.14(b). Entretanto, quando se considera uma partícula 
conectada a uma barra rígida, admite-se que a conexão seja feita através de um 
único ponto. Neste caso, a transmissão de momento fletor é fisicamente impossível, 
de modo que apenas os esforços normal e cisalhante devem ser considerados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 3.14 
 
 
3.7.7 Forças exercidas por molas 
 
 Molas são elementos freqüentemente encontrados em diversos tipos de 
sistemas mecânicos. Devido à sua característica de elasticidade, quando uma mola é 
deformada por ações externas, surge uma força elástica eF que atua no sentido de 
restituir a mola ao seu estado indeformado, como mostra a Figura 3.15(a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 3.15 
 
N N N N
V
V
MM
x
eF
mola linear 
mola não linear 
ktg
x 
eF
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
111 
 Dependendo das propriedades mecânicas do material que constitui a mola e 
de sua geometria, ela pode apresentar comportamento linear ou não linear. Dizemos 
que uma mola é linear quando se verifica a proporcionalidade entre o seu 
alongamento e a força elástica, de acordo com a relação: 
 
 kxFe , (3.27) 
 
onde k é denominado constante elástica ou constante de rigidez da mola. No S.I., 
esta constante tem unidades de [N/m] e seu valor numérico é dado pela inclinação 
da reta mostrada no diagrama xFe , conforme mostrado na Figura 3.15(b). Na 
equação (3.23), x designa o alongamento da mola em relação à sua posição 
indeformada. 
 As molas não lineares obedecem relações xFe não lineares, conforme 
podemos ver na Figura 3.15(b), sendo estas relações geralmente do tipo exponencial, 
dadas por: 
 
 n
e kxF (3.28) 
 
onde n é uma constante adimensional. 
 
 
 3.7.8 Forças exercidas por amortecedores viscosos 
 
 Amortecedores são dispositivos destinados a atenuar o movimento de 
componentes de sistemas mecânicos, proporcionando dissipação de energia. A 
denominação amortecedores viscosos tem origem no fato de que, usualmente, a 
dissipação é obtida pelo movimento de um pistão dentro de um cilindro preenchido 
com um fluido de alta viscosidade, como o óleo. 
 O funcionamento de um amortecedor viscoso é ilustrado na Figura 3.16(a). 
Quando as extremidades do amortecedor são deslocadas, surge uma força de 
amortecimento que é função da velocidade de deslocamento e que se opõe ao 
movimento. De modo semelhante ao que ocorre para as molas, apresentadas na 
seção anterior, os amortecedores viscosos também podempossuir comportamento 
linear ou não linear. 
 No caso de comportamento linear, existe proporcionalidade entre o módulo da 
velocidade, x , e o módulo da força de amortecimento, aF , de acordo com a relação: 
 
 xcFa , (3.29) 
 
onde c é denominado coeficiente de amortecimento viscoso. Esta constante tem, no 
S.I., unidades de [N.s/m] e seu valor numérico é dado pela inclinação da reta no 
diagrama xFa , conforme mostrado na Figura 3.16(b). 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
 
Figura 3.16 
 
 
 Os amortecedores não lineares obedecem relações xFa não lineares, 
conforme ilustrado na Figura 3.16(b), sendo estas relações geralmente do tipo 
exponencial, dadas por: 
 
 n
a xcF (3.30) 
 
onde n é uma constante adimensional. 
amortecedor não linear 
x
aF
amortecedor linear 
ctg
x 
aF 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
113 
3.8 � Resolução numérica das equações do movimento 
 
Uma vez obtidas as equações diferenciais do movimento de uma partícula, 
usando um sistema de coordenadas previamente selecionado (ver Seção 3.3)), estas 
equações devem ser resolvidas (integradas), para a obtenção do movimento 
resultante da partícula, em termos de componentes de velocidade e do vetor posição. 
Nas situações mais simples, as equações do movimento se apresentam sob a forma 
de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes, 
cuja solução analítica pode ser obtida empregando as técnicas bem conhecidas do 
Cálculo Diferencial e Integral. Contudo, na maioria dos casos, as equações 
diferenciais do movimento são complicadas (muitas vezes não lineares), requerendo 
técnicas numéricas aproximadas para a sua resolução. 
Existem diversos métodos de integração numérica de equações diferenciais, 
cujos fundamentos e algoritmos podem ser encontrados em textos sobre Cálculo 
Numérico. De modo geral, estes métodos são baseados no procedimento de 
discretização da variável tempo em intervalos uniformes ou não uniformes, seguida 
do emprego de aproximações numéricas das derivadas presentes na equação 
diferencial. A solução do problema é obtida apenas naqueles instantes de tempo 
discretos em que o intervalo de tempo de interesse foi fracionado. 
Dentre as numerosas variantes de métodos de integração numérica, os mais 
utilizados são aqueles da família Runge-Kutta, sendo o método de Runge-Kutta de 
4ª ordem um dos mais utilizados. Os fundamentos deste método, que será 
empregado nos exemplos a serem apresentados, são sumarizados a seguir. 
Suponhamos que desejemos resolver um sistema de n equações diferenciais 
ordinárias de primeira ordem, lineares ou não lineares, expresso sob a seguinte 
forma: 
 
t,tXFtX , (3.31) 
 
com as condições iniciais: 
 
 AX 0 , (3.32) 
 
onde F,X e A são vetores pertencentes ao nR , conforme detalhado abaixo: 
 
tx
tx
tx
tX
n
2
1
 
na
a
a
A 2
1
 
nn
n
n
x,,x,x,tf
x,,x,x,tf
x,,x,x,tf
F
21
212
211
 (3.33) 
 
Neste ponto, é importante lembrar que todo sistema de equações diferenciais 
de ordem qualquer pode ser reformulado em termos de um sistema de equações de 
primeira ordem da forma (3.33), mediante uma mudança de variáveis conveniente. 
Os métodos da família Runge-Kutta são baseados nas aproximações por 
séries de Taylor, mas apresentam a vantagem de dispensar as avaliações explícitas 
das derivadas das funções ni x,,x,x,tf 21 , i=1 a n. A idéia básica é utilizar 
combinações de valores das funções ni x,,x,x,tf 21 para aproximar as funções 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
114 
txi , i=1 a n. Estas combinações são então feitas de modo a coincidir, da melhor 
maneira possível, com expansões em séries de Taylor das funções txi , i=1 a n. A 
ordem das séries empregadas é que define a ordem do método de Runge-Kutta. O 
método de Euler corresponde ao método de Runge-Kutta de 1ª ordem. 
À medida que a ordem das aproximações aumenta, geralmente obtém-se 
melhor precisão na integração. Todavia, o esforço computacional também aumenta 
significativamente. Um equilíbrio conveniente entre a precisão e o esforço 
computacional é proporcionado pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem, cujo 
algoritmo é sumarizado a seguir: 
Para obter uma solução aproximada de 4ª ordem do sistema de equações 
(3.33) no intervalo fT;T0 , este intervalo é dividido em um número p de sub-
intervalos de mesma largura h: 
 
p
TT
h f 0 
 
 Em seguida, são geradas iterativamente as seqüências: 
 
 iiiiii KKKK
h
XX 43211 22
6
 (3.34) 
 
 htt ii 1 , i = 0,1, ..., p-1 
 
com: 
 
iii X,tFK1 (3.35.a) 
 
iiii K
h
X,
h
tFK 12 22
 (3.35.b) 
 
iiii K
h
X,
h
tFK 23 22
 (3.35.c) 
 
iiii KhX,htFK 34 (3.35.d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
115 
3.9 - Quantidade de movimento linear da partícula. Princípio do impulso 
quantidade de movimento linear. Conservação do momento linear. 
 
 A quantidade de movimento linear, ou momento linear de uma partícula de 
massa m, é definida como sendo o vetor: 
 
 vmL (3.36) 
 
 Sendo m uma quantidade escalar positiva, concluímos que L é um vetor que 
possui a mesma direção (tangente à trajetória) e o mesmo sentido que o vetor 
velocidade, conforme mostra a Figura 3.17. No S.I., o momento linear tem unidades 
de smkg ou sN . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.17 
 
 Substituindo, na equação (3.1) a relação 
dt
vd
a , a 2a Lei de Newton pode ser 
expressa sob a forma: 
 
 
dt
vd
mF 
 
 Admitindo, por enquanto, que m seja constante, e levando em conta a 
definição (3.53), a equação acima pode ser escrita segundo: 
 
 vm
dt
d
F , 
ou: 
 
 
dt
Ld
F (3.37) 
 
 A equação (3.37) é uma forma alternativa de expressar a 2a Lei de Newton. 
Ela traduz o Princípio do Momento Linear, ou 1º Princípio de Euler, e nos mostra 
que: 
 
a) a resultante das forças que atuam sobre uma partícula é igual taxa de 
variação, no tempo, de sua quantidade de movimento linear. 
 
t 
v
L
P 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
116 
b) se a resultante das forças que atuam sobre a partícula for nula, seu vetor 
quantidade de movimento, e portanto, seu vetor velocidade, serão 
constantes. Neste caso, dizemos que há conservação do momento linear. 
Isto significa que a partícula permanecerá em repouso ou estará animada 
de movimento retilíneo uniforme. Este resultado é também estabelecido 
pela 1a Lei de Newton. 
 
Multiplicando ambos os lados de (3.37) por dt e integrando a equação 
resultante entre dois instantes de tempo quaisquer 1t e 2t , temos: 
 
2
1
12
t
t
dtFLL , (3.38) 
ou: 
 
 LILL 2112, (3.39) 
 
onde o vetor: 
 
2
1
21
t
t
L dtFI (3.40) 
 
é o chamado impulso linear da força resultante. 
 A equação (3.38) expressa o Princípio do Impulso�Quantidade de Movimento 
Linear. Sua utilização é particularmente conveniente na resolução de problemas 
envolvendo explicitamente o tempo. 
 
 
3.10 - Quantidade de movimento angular da partícula. Princípio do 
impulso-quantidade de movimento angular. Conservação da 
quantidade de movimento angular. 
 
 A quantidade de movimento angular ou momento angular de uma partícula 
de massa m, em relação a um dado ponto O, designada por OH , é definida como 
sendo o momento do vetor quantidade de movimento linear, L , em relação ao ponto 
O. Sendo r o vetor posição da partícula em relação ao ponto O, indicado na Figura 
3.18, OH é dado pela expressão: 
 
vmrLrHO (3.41) 
 
 No S.I., o momento angular tem unidades de sm.kg 2 . 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.18 
 
 
 Derivando a equação (3.41) em relação ao tempo, temos: 
 
amrvmvvmrvmrHO 
 
 Levando em conta que a primeira parcela do lado direito da equação acima é 
nulo (produto vetorial de dois vetores paralelos) e que, de acordo com a 2a Lei de 
Newton, amF , a equação acima fica: 
 
FrHO , 
ou: 
 
OO MH , (3.42) 
 
onde FrMO representa o momento resultante, em relação ao ponto O, das 
forças que atuam sobre a partícula. 
A equação (3.42) mostra que o momento das forças que atuam sobre a 
partícula, em relação ao ponto O, se iguala à taxa de variação, no tempo, do 
momento angular da partícula em relação a O. Este resultado é conhecido como 
Princípio do Momento Angular ou 2º Princípio de Euler. 
 Quando não houver nenhuma força atuando sobre a partícula ou quando a 
resultante das forças tiver a direção OP, teremos 0OM e, portanto, 0OH . 
Isto implica ainda que cteHO . Neste caso, dizemos que há conservação do 
momento angular. 
Multiplicando ambos os lados da equação (3.42) por dt e integrando a 
equação resultante entre dois instantes quaisquer 1t e 2t , obtemos: 
 
t 
v
LP 
x 
y 
z 
O 
r
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
118 
 
2
1
12
t
t
OOO dtMHH , (3.43) 
 
ou: 
 
A
OO IHH 2112 , (3.44) 
 
onde o vetor: 
 
 dtMI
t
t
O
A
2
1
21 (3.45) 
 
é o chamado impulso angular da força resultante, em relação ao ponto O. 
 A equação (3.43) expressa o Princípio do Impulso-Quantidade de Movimento 
Angular. 
 
 
3.11 � Métodos de energia 
 
 Nas seções anteriores deste capítulo, as equações do movimento de uma 
partícula foram formuladas a partir da 2ª Lei de Newton, que é expressa em termos 
das grandezas vetoriais força resultante, F , e aceleração, a . Nesta seção e nas 
seguintes, estudaremos um outro tipo de métodos destinados à análise dinâmica de 
uma partícula, que são, em sua essência, equivalentes à 2ª Lei de Newton mas que, 
ao invés de operarem com grandezas vetoriais, trabalham com grandezas escalares 
que são o trabalho de uma força e a energia. Estes métodos são usualmente 
denominados métodos de energia.. 
 
 
3.11.1 - Trabalho de uma força. 
 
 Com relação à situação ilustrada na Figura 3.19, o trabalho que uma força 
qualquer, F , realiza durante um deslocamento elementar rd de seu ponto de 
aplicação é definido pelo seguinte produto escalar: 
 
cosrdFrdFdW F mN. (3.46) 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
119 
rd
nF
tF t
X
Y
s
ds
nC
1
2
O
'O 
 
Figura 3.19 
 
Observando ainda que cosFFt é a componente da força na direção 
tangente à trajetória e que rdds , a equação (3.46) pode ser escrita sob a forma: 
 
 dsFdW t
F (3.47) 
 
Observamos, portanto, que apenas a componente tangencial da força F 
realiza trabalho. 
De acordo com (3.46), a interpretação de sinais para FdW é a seguinte: 
 
FdW > 0 cos > 0. Neste caso, é um ângulo agudo (< 90o). Isto 
significa que a componente tangencial de F tem o mesmo sentido do vetor 
deslocamento elementar rd (ou do vetor velocidade). 
 
FdW = 0 = 90o. Neste caso a força F não tem componente tangencial. 
 
FdW < 0 cos < 0. Nesta situação, é um ângulo obtuso (> 90o) e a 
componente tangencial de F tem sentido oposto ao de rd ou do vetor 
velociadade v . 
 
O trabalho da força F , realizado durante o movimento de seu ponto de 
aplicação entre duas posições 1P e 2P , indicadas na Figura 3.19, é dada pela soma 
algébrica (com os devidos sinais) dos trabalhos elementares: 
 
 
2
1
2
1
21
s
s
t
r
r
F dsFrdFW (3.48) 
 
 Decompondo os vetores F e rd em suas componentes cartesianas segundo: 
 
 kFjFiFF zyx 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
120 
 
kdzjdyidxrd , 
 
as equações (3.46) e (3.48) conduzem às seguintes expressões para o trabalho da 
força F : 
 
 dzFdyFdxFdW zyx
F (3.49.a) 
 
 
2
1
21 dzFdyFdxFW zyx
F (3.49.b) 
 
Vale observar que o trabalho de uma força, expresso sob a forma (3.48) 
corresponde, matematicamente, a uma integral de linha, ou integral curvilínea, 
calculada sobre a curva representando a trajetória da partícula. 
 
 
3.11.2 � Potência de uma força 
 
 Em diversas situações práticas de Engenharia, é importante quantificar a 
rapidez com que uma dada força realiza trabalho. Esta rapidez é caracterizada pela 
potência instantânea, definida da seguinte forma: 
 
 
dt
dW
P
F
F W
s
m
N. (3.50) 
 
Introduzindo (3.46) nesta última equação, temos: 
 
vF
dt
rd
FP F (3.51) 
 
 
3.12.3 - Princípio do trabalho-energia cinética 
 
 Partindo das equações de movimento para uma partícula de massa m, obtida 
por aplicação da 2ª Lei de Newton para componentes na direção tangente à 
trajetória (ver equação (3.5.a)), e empregando a regra da cadeia da derivação, 
podemos escrever: 
 
 
ds
dv
mv
dt
ds
ds
dv
m
dt
dv
mFt 
 
 Multiplicando ambos os lados dessa última equação por ds e procedendo à 
integração na coordenada s , entre duas posições 1 e 2, temos: 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
121 
 2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
mvmvdsF
s
s
t (3.52) 
 
 Levando em conta a equação (3.48) reconhecemos, no lado esquerdo da 
equação acima, o trabalho da força resultante que atua sobre a partícula: 
 
 
2
1
21
s
s
t
F dsFW (3.53) 
 
 Por outro lado, a grandeza: 
 
,mvT 2
2
1(3.54) 
é definida como sendo a energia cinética da partícula. 
Com estas definições, a equação (2.52) pode ser escrita sob a forma: 
 
 1221 TTW F (3.55) 
 
 A equação (3.55) expressa o Princípio do Trabalho-Energia Cinética (PTE), 
que estabelece que �o trabalho da força resultante atuando sobre a partícula iguala-
se à variação da energia cinética da partícula�. 
 Em conseqüência, pode-se afirmar que se o trabalho for positivo durante o 
movimento da partícula entre as posições 1 e 2, a energia cinética da partícula 
(e, portanto, sua velocidade) será maior na posição 2 que na posição 1. 
 Da mesma forma, se o trabalho entre as posições 1 e 2 for negativo, a energia 
cinética da partícula será menor na posição 2 que na posição 1. 
As seguintes observações devem ser destacadas: 
De acordo com o desenvolvimento apresentado, nota-se que o PTE foi 
obtido a partir da 2a Lei de Newton, o que faz com que estes dois princípios 
sejam equivalentes na sua essência. Entretanto, do ponto de vista da 
utilização prática, há uma importante diferença entre ambos: a 2a Lei de 
Newton é expressa em termos de grandeza vetoriais (força e aceleração ou 
momento linear), ao passo que o PTE é baseado em grandezas escalares 
(trabalho e energia cinética). O uso do PTE pode conduzir à resolução 
mais cômoda de problemas, sobretudo aqueles envolvendo conjuntos de 
partículas, uma vez que este princípio pode ser aplicado globalmente ao 
conjunto, bastando para isso que se adicionem os trabalhos das forças 
resultantes sobre cada partícula, o mesmo podendo ser feito com suas 
energias cinéticas. Este procedimento será abordado no próximo capítulo. 
De acordo com a formulação desenvolvida, nota-se que apenas as forças 
que realizam trabalho são consideradas no PTE. Caso se deseje, por 
exemplo, determinar uma força que não realiza trabalho (uma força 
normal à trajetória, por exemplo), o PTE não é suficiente, devendo ser 
combinado com a 2a Lei de Newton. 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
122 
 3.11.4 - Forças conservativas. Energia Potencial 
 
 Uma força é dita conservativa quando o seu trabalho, realizado durante o 
deslocamento de seu ponto de aplicação entre duas posições quaisquer 1 e 2, for 
independente do caminho percorrido entre estas duas posições, sendo determinado 
apenas pelas coordenadas destas duas posições (ver Figura 3.20). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.20 
 
Lembrando que o trabalho de uma força é uma integral de linha, do Cálculo 
Diferencial sabemos que a condição necessária e suficiente para que o trabalho seja 
independente do caminho percorrido é que a integral de linha computada em um 
percurso fechado qualquer seja nula, ou seja: 
 
 0dzFdyFdxFrdF zyx (3.56) 
 
 Outro conjunto de condições necessárias e suficientes para que uma força seja 
conservativa é o seguinte: 
 
x
F
y
F yx (3.57.a) 
 
 
x
F
z
F zx (3.57.b) 
 
 
y
F
z
F zy (3.57.c) 
 
 Além disso, o trabalho de uma força conservativa pode ser expresso como o 
diferencial total de uma função escalar, que depende apenas das coordenadas 
espaciais. Assim, o trabalho elementar de uma força conservativa F pode ser 
expresso segundo: 
 
 z,y,xdVdW F , (3.58) 
 
1 
2 
P 
F 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
123 
e o trabalho realizado entre duas posições 1 e 2 é dado por: 
 
 222111
2
1
21
,,,, zyxVzyxVrdFW
r
r
F (3.59) 
 
A função zyxV ,, é chamada função potencial ou energia potencial. 
 
 Desenvolvendo a equação (3.58), podemos escrever, em termos de 
coordenadas cartesianas: 
 
 dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dzFdyFdxF zyx 
 
 Sendo os incrementos dx , dy e dz considerados arbitrários e independentes, 
a última equação acima conduz às relações para as componentes cartesianas de uma 
força conservativa: 
 
 
x
V
Fx (3.60.a) 
 
y
V
Fy (3.60.b) 
 
z
V
Fz , (3.60.c) 
 
 
Desta forma, uma força conservativa pode ser expressa da seguinte forma, em 
termos da energia potencial: 
 
 k
z
V
j
y
V
i
x
V
F (3.61) 
 
 Introduzindo o operador gradiente (operador del), definido segundo: 
 
 k
z
j
y
i
x
, (3.62) 
 
a equação (3.61) pode ser escrita sob a forma mais compacta: 
 
 VF (3.63) 
 
 A equação (3.63) mostra que, uma vez conhecida a função potencial zyxV ,, , 
as componentes da força conservativa associada a esta função podem ser calculadas 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
124 
simplesmente computando as derivadas parciais de zyxV ,, em relação às 
coordenadas espaciais. 
 Inversamente, dadas as componentes de uma força conservativa, podemos 
determinar a função potencial a ela associada a partir da equação (3.59): 
 
 
2
1
111222 dzFdyFdxFz,y,xVz,y,xV zyx , (3.64) 
 
onde, geralmente, um valor arbitrário é atribuído a 111 ,, zyxV . 
 Dois exemplos importantes de forças conservativas são a força peso e a força 
elástica gerada por molas lineares ou não lineares, que examinamos a seguir. 
 
 � Força peso 
 
 Consideremos a situação mostrada na Figura 3.21, em que uma partícula de 
massa m é movimentada de um ponto 1 a um ponto 2, ambos localizados próximos 
da superfície da Terra, percorrendo uma trajetória arbitrária. Nesta mesma figura, 
designamos por 1z e 2z , as elevações dos pontos 1 e 2, respectivamente, medidas em 
relação a um nível horizontal de referência escolhido arbitrariamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.21 
 
 Estamos interessados em computar o trabalho realizado pela força peso 
durante o percurso da partícula entre os pontos 1 e 3. Para tanto, utilizamos as 
seguintes representações em coordenadas cartesianas: 
kmgW
kdzjdyidxrd
Introduzindo as duas expressões acima na equação (3.49.b), temos: 
 
 2
2
1
121
mgzmgzdzmgW W (3.65)
x 
y 
z 
2 
1 
nível de referência 1z 
1z 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
125 
 A expressão acima mostra que o trabalho da força peso independe do caminho 
percorrido entre as posições 1 e 2 e depende apenas da diferença entre as elevações 
destes dois pontos. Isto demonstra que a força peso é uma força conservativa. 
 
 Se definirmos a energia potencial gravitacional como sendo: 
 
 mgzzVg , (3.66) 
 
o trabalho da força peso pode ser expresso sob a forma: 
 
 ggg
W VzVzVW 2121
 (3.67) 
 
 
 � Força elástica de molas lineares e não lineares 
 
 Para uma mola de comportamento não linear, mostrada na Figura 3.22(a), a 
força de restituição elástica é dada pela equação (3.28), repetida abaixo: 
 
 n
e xkF , 
 
onde x é o alongamento, medido em relação à posição indeformada da mola. 
 O trabalhoda força elástica, realizado quando a mola é alongada de 1x a 2x 
é obtido a partir de (3.49.b): 
 
 1
1
1
2 1
1
1
12
1
21
nn
x
x
nF xk
n
xk
n
dxxkW e (3.68) 
 
 A equação acima mostra que o trabalho da força elástica independe do 
caminho percorrido entre as posições 1 e 2 e depende apenas dos alongamentos da 
mola nestas duas posições. Isto demonstra que a força de restituição elástica é uma 
força conservativa. Observe que o trabalho da força elástica é dado pela área sob a 
curva xFe , conforme indicado na Figura 3.22(b). 
 Se definirmos a energia potencial elástica como sendo: 
 
 1
1
1 n
e xk
n
xV , (3.69) 
 
o trabalho da força elástica pode ser expresso sob a forma: 
 
 eee
eF VxVxVW 2121
 (3.70) 
 
 Os resultados apresentados podem ser particularizados para o caso de molas 
lineares, bastando fazer n=1 nas equações acima. 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
126 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 Figura 3.22 
 
 
3.11.5 - Princípio da conservação da energia mecânica 
 
 Partindo da equação (3.55), e admitindo que sobre a partícula atuem 
simultaneamente forças conservativas e não conservativas, escrevemos: 
 
 122121 TTWW ncFcF (3.71) 
 
 Onde cFW 21 designa o trabalho da resultante das forças conservativas e 
ncFW 21 designa o trabalho da resultante das forças não conservativas. Associando 
às forças conservativas suas respectivas funções potenciais, escrevemos, em 
conformidade com (3.59): 
 
 2121 VVW cF (3.72) 
 
Introduzindo (3.72) em (3.71), obtemos: 
 
 12112221 EEVTVTW cnF
, (3.73) 
 
onde a quantidade: 
 
 VTE (3.74) 
 
é definida como sendo a energia mecânica da partícula. 
 A equação (3.73) mostra que o trabalho da resultante das forças não 
conservativas é igual à variação da energia mecânica da partícula, de modo que: 
 
Se 021
FncW , E diminui (energia é dissipada). 
 
Se 021
FncW , E aumenta (energia é introduzida no sistema). 
Nos casos em que todas as forças que realizam trabalho são conservativas, ou 
quando as forças não conservativas têm resultante nula, de (3.73) decorre: 
x 
eF x
eF
1x 2x
D.A. RADE DINÂMICA DA PARTÍCULA 
127 
 
 02121 EEW cnF 21 EE (3.75) 
 
 Neste caso ocorre a conservação da energia mecânica do sistema. 
 Uma observação importante a ser feita em relação ao uso dos princípios do 
trabalho-energia cinética e da conservação da energia mecânica diz respeito à 
possibilidade de utilizar estes princípios tanto em relação a sistemas de referência 
inerciais quanto a sistemas não inerciais. 
Com efeito, na Seção 3.4 verificamos que a 2ª Lei de Newton pode ser 
utilizada tanto para observadores inerciais quanto não inerciais, bastando, no 
segundo caso, que se considerem, nos diagramas de corpo livre, além das forças de 
interação, as forças de inércia. Como os princípios do trabalho-energia cinética e da 
conservação da energia mecânica são derivados diretamente da 2ª Lei de Newton, 
podemos concluir que estes princípios valem tanto para sistemas inerciais quanto 
não inerciais. No caso do uso de sistemas não inerciais, devemos computar os 
trabalhos ou as energias potenciais das forças de interação e das forças de inércia. 
 
 
3.12 - Bibliografia 
 
 
BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros � 
Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. 
FOWLES, G.R. CASSIDAY, G.L., Analytical Mechanics, Sixth Edition, Harcourt 
Brace College Publishers, 1998. 
HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-
Prentice Hall, 2005. 
KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. 
MAIA, L. P. M., Mecânica Clássica, vol. 2, Editora da Universidade Federal do 
Rio de Janeiro, 1977. 
TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de 
Janeiro, 1997. 
SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição. 
Pearson�Prentice Hall, 2003. 
SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics, 
Prentice-Hall, 1999. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 
 
Dinâmica do Sistema de Partículas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
128 
CAPÍTULO 4 
 
DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
 
 
4.1 - Introdução 
 
 No Capítulo 3 estudamos a dinâmica de uma única partícula isolada. Neste 
capítulo estaremos considerando a dinâmica de um conjunto formado por um 
número qualquer n de partículas que interagem umas com as outras. 
 Diversos problemas práticos podem ser tratados como sendo problemas 
envolvendo sistemas discretos, ou seja, contendo um número finito de partículas. 
Podemos citar, por exemplo, os problemas tratando do movimento de corpos celestes 
e de satélites artificiais. Além disso, os conceitos pertinentes aos sistemas discretos 
de partículas podem ser estendidos aos sistemas contínuos, que podemos imaginar 
serem constituídos de um número infinito de partículas. Como exemplos 
importantes de sistemas contínuos em Engenharia Mecânica, podemos mencionar 
os fluidos e os corpos rígidos. Estes últimos serão tratados em capítulos 
subseqüentes de nosso curso. 
 
 
4.2 - Forças externas e internas. Forças efetivas 
 
 A Figura 4.1 mostra um sistema contendo n partículas nPPP ...,,, 21 , com 
massas nmmm ...,,, 21 , respectivamente. As posições das partículas em relação ao 
sistema de referência Oxyz são determinadas pelos vetores posição nr...,r,r 21 , 
respectivamente. As forças atuantes em cada uma das partículas podem ser 
divididas em dois grupos: 
 
Forças externas: são aquelas, exercidas sobre as partículas do sistema, por 
outros corpos que não pertencem ao sistema considerado. Com relação à 
Figura 4.1, designamos por iF , i = 1 a n, a resultante das forças externas 
que atuam sobre a partícula iP . 
 
Forças internas: são aquelas que resultam da interação entre as partículas 
que formam o sistema. Designaremos por ijf a força interna exercida sobre 
a partícula iP pela partícula jP e jif designa a força exercida sobre jP por 
iP . 
 
Devemos observar que as forças internas e externas podem representar ações 
de diversas naturezas físicas (forças elétrostáticas, magnéticas, gravitacionais, de 
contato, etc.). 
No que diz respeito às forças internas, a 3a Lei de Newton (ver Seção 3.2) 
estabelece que: 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
129 
jiij ff (4.1) 
 
e que estas duas forças têm a direção da reta que liga iP e jP . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 
 
 Para cada uma das n partículas, escrevemos a 2a Lei de Newton sob a forma: 
 
ii
n
ij
j
iji rmfF
1
 i = 1 a n, (4.2) 
 
onde 
n
ij
j
ijf
1
 é a resultante das forças internas atuantes sobre iP . 
 
 Adicionando as n equaçõesdo tipo (4.2), obtemos: 
 
 
n
i
n
i
ii
n
ij
j
ij
n
i
i rmfF
1 111
 (4.3) 
 
 A segunda parcela do lado esquerdo de (4.3) representa a resultante de todas 
as forças internas atuantes em todas as partículas do sistema. Levando em conta a 
equação (4.1), que estabelece que a soma das forças internas é nula para cada par de 
ação-reação, concluímos que a resultante de todas as forças internas é nula, ou seja: 
 
Y 
X 
O 
ir
Z 
1r jr
nr
11 mP
ii mP
jj mP
nn mP
ijf
jif
iF
jF
ji rr
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
130 
 
n
i
n
ij
j
ijf
1 1
0 , (4.4) 
de modo que a equação (4.3) fica: 
 
 
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i amrmF
111
 (4.5) 
 
 Tomemos agora os momentos, em relação a O, de todos os vetores figurando 
em ambos os lados de (4.2): 
 
 iii
n
j
ijiii rmrfrFr
1
, i = 1 a n (4.6) 
 
 Adicionando as n equações do tipo (4.6), temos a relação: 
 
 
n
i
iii
n
i
n
j
iji
n
i
ii rmrfrFr
11 11
 (4.7) 
 
 Vamos mostrar que o momento resultante de todas as forças internas em 
relação ao ponto O, representado pela segunda parcela do lado esquerdo de (4.7) é 
nulo, ou seja: 
 
 0
1 111
n
i
n
j
iji
n
j
ij
n
i
i frfr . (4.8) 
 
 Para tanto, basta mostrar que os momentos resultantes de cada par de forças 
internas em relação ao ponto O é nulo. Considerando a situação apresentada na 
Figura 4.2, o momento resultante do par de forças internas jiij f,f em relação a O é 
dado por: 
 
 jijiji
ij
O frfrM 
 
 Levando em conta (4.1), temos: 
 
 jijiijjiji
ij
O frrfrfrM 
 
 Na Figura 4.2 observamos que os vetores ji rr e jif são vetores paralelos, 
de modo que 0jiji frr . 
 Como o momento em relação a O é nulo para cada par de forças internas 
jiij ff , , podemos concluir que o momento resultante de todas as forças internas, em 
relação a O, é nulo. Fica assim demonstrada (4.8), de modo que (4.7) assume a 
forma: 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
131 
 
 
n
i
iii
n
i
iii
n
i
ii amrrmrFr
111
 (4.9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 
 
 
 As equações (4.5) e (4.9), em conjunto, estabelecem a equipolência entre dois 
sistemas de vetores: o sistema constituído pelos vetores das resultantes das forças 
externas iF , i = 1 a n e o sistema constituído pelos vetores iiam . Estes últimos 
serão denominados forças efetivas. 
É importante lembrar que dois sistemas de vetores são ditos equipolentes 
quando ambos têm o mesmo vetor resultante e o mesmo momento resultante, em 
relação a um ponto qualquer O. Além disso, a igualdade dos momentos em relação a 
um dado ponto O implica a igualdade dos momentos em relação a todo e qualquer 
outro ponto do espaço. 
 Isto pode ser demonstrado com o auxílio da Figura 4.3, onde mostraremos que 
se (4.9) é válida para os momentos em relação a O, também será válida para os 
momentos tomados em relação a um outro ponto qualquer A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y 
X 
O 
ir
Z 
jr
ii mP
jj mP
ijf
jif
ji rr
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
132 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 
 
 Partindo da igualdade dos momentos em relação ao ponto O, expressa através 
da equação (4.9), e introduzindo a relação: 
 
 Aii rrr , 
 
obtemos: 
 
 ii
n
i
Aii
n
i
Ai amrrFrr
11
 
 
 
n
i
iiAii
n
i
i
n
i
iAi
n
i
i amramrFrFr
1111
 
 
 Levando em conta a relação (4.5), temos: 
 
 
n
i
iiA
n
i
iii
n
i
iiAi
n
i
i amramramrFr
1111
, 
 
donde: 
 
 ii
n
i
ii
n
i
i amrFr
11
 
Y 
X 
O 
ir
Z 
Ar
iP
iF
ir
A 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
133 
 
 Esta última equação, similar a (4.9), mostra que há também a igualdade dos 
momentos resultantes das forças externas e das forças efetivas, tomados em relação 
ao ponto A. 
 
4.3 - Quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular 
do sistema de partículas. 
 
 A quantidade de movimento linear (ou momento linear) do sistema de 
partículas é definida como sendo a soma vetorial das quantidades de movimento 
lineares de cada uma das partículas que compõem o sistema, ou seja: 
 
 
n
i
iivmL
1
 
s
m
kg (4.10) 
 
 De forma análoga, a quantidade de movimento angular (ou momento 
angular) do sistema de partículas em relação a O é definida como sendo a soma dos 
vetores quantidade de movimento angulares das partículas em relação ao mesmo 
ponto O: 
 
 ii
n
i
iO vmrH
1
 
s
m
kg
2
 (4.11) 
 
 Derivando (4.10) em relação ao tempo, temos: 
 
 
n
i
n
i
iiii amvmL
1 1
 
 
 Levando em conta a relação (4.5), esta última equação conduz a: 
 
 
n
i
iFL
1
, (4.12.a) 
 
ou, de forma simplificada: 
 
FL , (4.12.b) 
onde 
n
i
iFF
1
 designa a resultante de todas as forças externas. 
 A equação (4.12.b) nos mostra que a resultante das forças externas atuantes 
sobre as partículas do sistema se iguala à taxa de variação temporal da quantidade 
de movimento linear do sistema. O leitor deve observar a semelhança entre esta 
equação e a equação (3.54), que expressa o 1º Princípio de Euler para uma única 
partícula. Assim, podemos interpretar a equação (4.12.b) como sendo o 1º Princípio 
de Euler para os sistemas de partículas. 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
134 
 Caso a resultante das forças externas seja nula, de (4.12.b) decorre: 
 
 cteLL 0 (4.13) 
 
 Neste caso, (4.13) expressa a conservação da quantidade de movimento linear 
do sistema de partículas. 
 Derivando (4.11) em relação ao tempo, temos: 
 
 
n
i
iii
n
i
iii
n
i
iii
n
i
iiiO amrvmvvmrvmrH
1111
 
 
 Levando em conta (4.9), esta última equação se escreve: 
 
 O
n
i
iiO MFrH
1
, (4.14) 
 
onde OM
n
i
ii Fr
1
designa o momento resultante de todas as forças externas, 
em relação ao ponto O. 
A equação (4.14) indica que o momento resultante das forças externas em 
relação ao ponto O é igual à taxa de variação, no tempo, da quantidade de 
movimento angular do sistema em relação ao ponto O. Podemos observar a 
semelhança entre a equação (4.14) e a equação (3.59), sendo que esta última 
expressa o 2º Princípio de Euler para uma partícula isolada. Assim, (4.14) pode ser 
considerada a expressão do 2º Princípio de Euler para o sistema de partículas. 
Quando o momento resultante das forças externas em relação a O é nulo, 
temos: 
 
 cteHH OO 0 (4.15) 
 
 Neste caso, dizemos que há Conservação da Quantidade de Movimento 
Angular do sistema. 
4.4 - Movimento do centro de massa do sistema de partículas 
 
 Com relação à Figura 4.4, definimos o centrode massa do sistema de 
partículas como sendo o ponto G do espaço, cuja posição é dada por: 
 
n
i
iin
i
i
G rm
m
r
1
1
1
, (4.16.a) 
 
ou: 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
135 
 
n
i
iiG rm
M
r
1
,
1
 (4.16.b) 
 
onde 
n
i
imM
1
 é a massa total do sistema de partículas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 
 
 
 Observamos, nas equações (4.16), que o vetor posição do centro de massa 
nada mais é que a média ponderada dos vetores posição das partículas do sistema, 
sendo tomados como pesos as massas das partículas. 
 Devemos notar que a posição do centro de massa não coincide 
necessariamente, com a posição de uma das partículas do sistema. Vale também 
observar que, à medida que as partículas do sistema se movimentam, a posição do 
centro de massa varia, de modo que a G podemos associar um vetor velocidade, Gv , 
e um vetor aceleração, Ga , que podem ser obtidos em termos das velocidades e 
acelerações das partículas derivando sucessivamente (4.16.b) em relação ao tempo: 
 
n
i
iiG vm
M
v
1
1
 (4.17) 
 
n
i
iiG am
M
a
1
1
 (4.18) 
 
Y 
X 
O 
2r
Z 
1r Gr
nr
11 mP
22 mP
nn mP
G 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
136 
Como veremos a seguir, o centro de massa apresenta algumas propriedades 
que tornam muito conveniente sua introdução no estudo da dinâmica dos sistemas 
de partículas. 
Com base na equação (4.10), podemos escrever (4.17) sob a forma: 
 
 L
M
vG
1
, 
 
donde concluímos que o vetor quantidade de movimento linear do sistema de 
partículas, L , anteriormente definido através da equação (4.10), pode também ser 
expresso segundo: 
 
 GvML (4.19) 
 
 Derivando (4.19) em relação ao tempo e fazendo uso de (4.12.a), temos: 
 
 
n
i
Gi aMF
1
, 
 
ou, de forma simplificada: 
 
 GaMF , (4.20) 
onde F designa a resultante das forças externas. 
 A equação (4.20) pode ser interpretada como sendo a equação do movimento 
do centro de massa. Ela indica que o ponto G se movimenta como se ele fosse uma 
partícula que concentrasse toda a massa do sistema bem como todas as forças 
externas atuantes sobre as partículas do sistema. 
 
 
4.5 - Quantidade de movimento angular do sistema de partículas em 
relação ao centro de massa 
 
Na Figura 4.5 são indicados dois sistemas de referência: o sistema OXYZ, 
suposto fixo, e o sistema móvel ''' zyGx , com origem no centro de massa dos sistema 
da partículas. O sistema ''' zyGx é denominado sistema de referência baricêntrico. 
Admitiremos que as direções dos eixos 'Gx , 'Gy e 'Gz permaneçam invariáveis. 
Assim, o sistema de referência baricêntrico estará animado de movimento de 
translação e sua origem terá, em relação ao sistema de referência fixo OXYZ, 
velocidade e aceleração dadas pelas equações (4.17) e (4.18), respectivamente. 
 Os vetores ir e iv designam, respectivamente, o vetor posição e o vetor 
velocidade da partícula iP em relação ao sistema de referência baricêntrico. 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
137 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 
 
 
Definimos a quantidade de movimento angular do sistema de partículas em 
relação ao sistema baricêntrico como sendo a soma vetorial dos momentos, em 
relação ao centro de massa, dos vetores quantidade de movimento linear, relativos a 
sistema baricêntrico, ou seja: 
 
 
n
i
iiiG vmrH
1
 (4.21) 
 
 Derivando (3.21) em relação ao tempo, temos: 
 
 
n
i
iii
n
i
iiiG vmrvmrH
11
 
O 
ir
Y 
X 
Z 
ii mP
y 
x 
z 
ir
Gr
iv
G 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
138 
 Lembrando que ii vr e 'ii av , a equação acima torna-se: 
 
 
n
i
iiiG amrH
1
 (4.22) 
 
Podemos ainda escrever a seguinte expressão envolvendo a aceleração da 
partícula iP em relação ao sistema OXYZ, ia , e a aceleração desta partícula em 
relação ao sistema baricêntrico, ia : 
 
Gii aaa , 
 
donde: 
 
Gii aaa , (4.23) 
 
 Introduzindo (4.23) em (4.22), obtemos: 
 
 G
n
i
ii
n
i
iiiG armamrH
11
 (4.24) 
 
 Desenvolveremos, a seguir, cada um dos termos que se apresentam do lado 
direito da equação (4.24). 
Seguindo o mesmo desenvolvimento que conduziu à equação (4.9), para o 
primeiro termo, escrevemos: 
 
Gi
n
i
i
n
i
iii MFramr
11
, (4.25) 
 
onde GM designa o momento resultante das forças externas em relação ao centro 
de massa. 
No que diz respeito ao segundo termo, com base na definição da posição do 
centro de massa, dada por (4.16.b), escrevemos: 
 
0
1
G
n
i
ii rMrm , (4.26) 
 
Este resultado decorre do fato que Gr indica a posição do centro de massa em 
relação à origem do sistema ''' zyGx , ou seja, 0GGrG . 
 
Assim, levando em conta (4.25) e (4.26), a equação (4.24) torna-se: 
 
 GG MH (4.27) 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
139 
É importante observar a similaridade entre as relações (4.14) e (4.27). Esta 
última estabelece que o momento resultante das forças externas em relação ao 
centro de massa se iguala à taxa de variação, com o tempo, da quantidade de 
movimento angular em relação em sistema de referência baricêntrico. Concluímos 
que relações deste tipo podem ser escritas considerando quer um ponto fixo, O, quer 
o centro de massa, G. Contudo, estas relações não se aplicam se considerarmos os 
momentos das forças externas e as quantidades de movimento angulares tomadas 
em relação a um ponto qualquer, movimentando-se arbitrariamente. 
Vamos agora demonstrar que a definição adotada para a quantidade de 
movimento angular, expressa por (4.21), é idêntica à seguinte definição alternativa: 
 
n
i
iiiG vmrH
1
 (4.28) 
 
Devemos observar que, nesta nova definição, a quantidade de movimento 
angular é dada pela soma dos momentos, em relação a G, das quantidades de 
movimento lineares em relativas ao sistema fixo OXYZ. Em (4.28), iv representa a 
velocidade da partícula iP em relação ao sistema fixo OXYZ, ao passo que, em 
(4.21), 'iv é a velocidade de iP em relação ao sistema de referência baricêntrico 
''' zyGx . 
 Partindo de (4.28), e introduzindo a seguinte relação entre as velocidades 
absoluta e relativa da partícula iP : 
 
 Gii vvv , 
 
obtemos: 
 
 G
n
i
iiii
n
i
iG vrmvmrH
11
 
 
Levando em conta a equação (4.26), a equação acima torna-se: 
 
 ii
n
i
iG vmrH
1
 
 
Fica assimdemostrado que a relações (4.28) e (4.21) são idênticas. 
 Uma vez definidos OH e GH , através das equações (4.11) e (4.28), 
respectivamente, buscaremos, em seguida, obter uma relação entre estas duas 
quantidades. Partindo da equação (4.11) e empregando a relação iGi rrr 
(ver Figura 4.5), escrevemos: 
 
 
n
i
iii
n
i
iiG
n
i
iiiG
n
i
iiiO vmrvmrvmrrvmrH
1111
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
140 
 Levando em conta as equações (4.17) e (4.28), a última equação acima pode 
ser escrita sob a forma: 
 
 GGGO HvMrH (4.29.a) 
 
 Considerando ainda a relação (4.19), a equação (4.29.a) pode ser escrita 
segundo: 
 
GGO HLrH (4.29.b) 
 
 
4.6 - Princípio do impulso-quantidade de movimento linear para o sistema 
de partículas. Conservação da quantidade de movimento linear. 
 
 Integrando a equação (4.12) entre dois instantes de tempo 1t e 2t , obtemos a 
seguinte relação: 
 
 
2
1
12
t
t
dtFLL , (4.30) 
 
ou: 
 
 LILL 2112 , (4.31) 
 
onde: 
 
LI 21
2
1
t
t
dtF (4.32) 
 
é o impulso linear das forças externas. 
 As equações (4.30) e (4.31) expressam o Princípio do Impulso-Quantidade de 
Movimento Linear para o sistema de partículas. 
 
 
4.7 - Princípio do impulso-quantidade de movimento angular para o 
sistema de partículas. Conservação da quantidade de movimento 
angular 
 
 Integrando as equações (4.14) e (4.27) entre dois instantes de tempo 1t e 2t , 
obtemos, respectivamente, as seguintes equações: 
 
 
2
1
12
t
t
OOO dtMHH (4.33) 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
141 
 
2
1
12
t
t
GGG dtMHH (4.34) 
 
ou: 
 
 O
OO IHH 2112 (4.35) 
 
 G
GG IHH 2112 (4.36) 
 
Nestas duas últimas equações, são definidos o impulso angular das forças 
externas, em relação ao ponto O: 
 
OI 21
2
1
t
t
O dtM (4.37) 
 
e o impulso angular das forças externas, em relação ao ponto G: 
 
GI 21
2
1
t
t
G dtM (4.38) 
 
As equações (4.35) e (4.36) expressam o Princípio do Impulso-Quantidade de 
Movimento Angular para os sistemas de partículas. 
As equações (4.30.a) e (4.33), em conjunto, podem ser interpretadas com o 
auxílio da Figura 4.6, que mostra que o sistema de vetores quantidade de 
movimento no instante 1t e os vetores impulso linear e angular das forças externas 
formam um sistema de vetores equipolente ao sistema de vetores quantidade de 
movimento no instante 2t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
142 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 
 
 A mesma interpretação pode ser dada ao conjunto das equações (4.30.a) e 
(4.34), considerando os sistemas de quantidade de movimento e impulsos em relação 
ao centro de massa do sistema de partículas. 
 
 
4.8 - Princípio do trabalho-energia cinética para os sistemas de partículas. 
 
 Definimos a energia cinética do sistema de partículas como sendo a soma das 
energias cinéticas de todas as partículas que formam o sistema, ou seja: 
 
 
n
i
ii
n
i
iii vmvvmT
1
2
1 2
1
2
1
, (4.39) 
 
onde iv representa a velocidade da partícula iP em relação ao sistema de referência 
fixo. 
 Aqui, é mais uma vez interessante fazer intervir o movimento do centro de 
massa. Para tanto, introduzimos, em (4.39), a relação Gii vvv , obtendo: 
Y 
X 
O 
Z 
111vm 
122vm 
1nnvm 
Y 
X 
O 
Z 
211vm 
222vm 
2nnvm 
+
=
Y 
X 
O 
Z 
2
1
t
t
OdtM 
2
1
t
t
dtF 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
143 
 
 Gi
n
i
Gii vvvvmT
1 2
1
 
 
GG
n
i
iG
n
i
iiii
n
i
i vvmvvmvvm
111 2
1
2
1
 (4.40) 
 
Na equação acima, temos que: 
 
n
i
iivm
1
0 . (4.41) 
 
Esta última relação pode ser verificada derivando a equação (4.26) em relação 
ao tempo. Assim, a equação (4.40) pode ser escrita sob a forma: 
 
 
n
i
iiG vmMvT
1
22
2
1
2
1
 (4.42) 
 
A expressão acima indica que, alternativamente à forma (4.39), a energia 
cinética do sistema de partículas pode ser expressa como a soma da �energia cinética 
do centro de massa�, dada pelo termo 2
2
1
GMv e a �energia cinética em relação ao 
centro de massa�, dada por 
n
i
iivm
1
2
2
1
. 
Uma vez definida a energia cinética do sistema de partículas, lembramos que, 
para cada uma das partículas do sistema, o Princípio do Trabalho-Energia Cinética 
permite escrever: 
 
2
12
1 i
i vm iW 21
2
22
1 i
i vm i = 1,2,...,n (4.43) 
 
onde iW 21 representa o trabalho da força resultante que atua sobre iP , incluindo 
as forças externas e as forças internas.. 
 Adicionando as n equações (4.45), obtemos: 
 
 
2
2
1
21
1
2
1 2
1
2
1 i
i
n
i
i
n
i
i
i vmWvm 
 
 Utilizando a definição da energia cinética para o sistema de partículas, dada 
por (4.39), a última equação acima pode ser posta sob a forma: 
 
 2211 TWT (4.44) 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
144 
onde 21W
n
i
iW
1
21 indica o trabalho da resultante de todas as forças atuantes 
sobre as partículas do sistema. 
 A equação (4.44) expressa o Princípio do Trabalho-Energia Cinética para o 
sistema de partículas. 
 É importante notar que, no caso geral, devemos incluir em 21W tanto os 
trabalhos das forças externas quanto os trabalhos das forças internas. Com efeito, no 
caso geral, embora as forças internas ocorram em pares de ação-reação, elas podem 
produzir trabalho resultante não nulo porque seus pontos de aplicação não têm, 
necessariamente, o mesmo deslocamento. Isto pode ser observado com o auxílio da 
Figura 4.7. Para o par de forças internas jiij f,f , o trabalho elementar da resultante 
será: 
 
 jiijjjiiij
ij rdrdfrdfrdfdW . (4.45) 
 
 Observamos que trabalho resultante das forças internas somente será nulo 
quando houver restrições cinemáticas fazendo com que as componentes dos 
deslocamentos de duas partículas quaisquer iP e jP na direção da reta que liga as 
duas partículas sejam iguais. É o caso dos corpos rígidos, que serão estudados mais 
adiante no curso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 
 
 
 
 
 
 
Y 
X 
O 
ir
Z 
jr
ii mP
jj mP
ijf
jif
jrd
ird
D.A. RADEDINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
145 
4.9 - Princípio da conservação da energia mecânica para os sistemas de 
partículas. 
 
 No caso em que todas as forças externas e internas são conservativas, 
podemos associar a cada uma delas uma função potencial, de modo que podemos 
escrever: 
 
 2121 VVW (4.46) 
 
 Introduzindo (4.46) em (4.44) e simplificando a notação, escrevemos: 
 
 2211 VTVT , (4.47) 
 
ou: 
 
21 EE , (4.48) 
 
onde EVT é a energia mecânica do sistema de partículas. 
 
 A equação (4.39) expressa o Princípio da Conservação da Energia Mecânica 
para os sistemas de partículas. 
 
 
4.10 � Colisões de partículas 
 
 Uma colisão, choque ou impacto entre duas partículas ocorre quando estas, 
estando em movimento, entram em contato durante um curto intervalo de tempo, 
aplicando, uma sobre a outra, forças de amplitude relativamente elevada (forças 
impulsivas). As colisões podem ser classificadas da seguinte forma: 
 
colisão central: ocorre quando as direções das velocidades das duas 
partículas coincidem com a linha que liga as duas partículas, como ilustrado 
na Figura 4.8(a). Esta linha é denominada linha de colisão e o plano 
perpendicular a esta linha, passando pelo ponto de contato entre os dois 
corpos é chamado plano de contato. 
colisão oblíqua: ocorre quando as direções das velocidades de pelo menos uma 
ou das duas partículas não coincide com a direção da linha de colisão, 
conforme mostrado na Figura 4.8(b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
146 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 4.8 
 
Na seqüência estudaremos primeiramente as colisões centrais e, em seguida, 
as colisões oblíquas. 
 
 
4.10.1 � Colisões centrais 
 
Admitiremos, neste estudo, que as partículas são perfeitamente lisas, de 
modo que as forças de contato exercidas uma sobre a outra sejam perpendiculares 
ao plano de contato. 
 
Fase I: antes do impacto as duas partículas têm as quantidades de 
movimento indicadas na Figura 4.9. Para que ocorra colisão, devemos ter 
11 BA vv . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.9 
 
 
Fase II: durante a fase de contato, deve-se considerar que as duas partículas 
possam se deformar. Durante o tempo de deformação, elas exercem 
mutuamente impulsos de deformação de sentidos opostos dados por: 
 
dttFI
dt
dd
0
, (4.49) 
A B
BvAv
A B
Bv
Av
linha de colisão 
plano de colisão 
A B
1Bv1Av
x
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
147 
onde tFd designa as forças aplicadas mutuamente pelas partículas na fase de 
deformação. No final do período de deformação, as duas partículas terão velocidades 
instantaneamente idênticas (estarão em repouso relativo). Esta velocidade é 
designada por *v na Figura 4.10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10 
 
Fase III: ocorre período chamado de período de restituição, no qual os corpos 
retornam total ou parcialmente às suas dimensões originais ou ficam 
permanentemente deformados. Nesta fase, as partículas exercem 
mutuamente impulsos de restituição de sentidos opostos dados por 
 
 dttFI
rt
rr
0
, (4.50) 
 
onde tFr designa as forças aplicadas mutuamente pelas partículas na fase de 
deformação (Figura 4.11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.11 
 
Fase IV: após a separação, os dois corpos continuam se movimentando com 
as velocidades mostradas na Figura 4.12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.12 
 
A B
*v
dI dI x
A B
rI rI x
A B
2Bv
2Av
x
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
148 
Para análise dinâmica da colisão, admitiremos que o conjunto formado pelas 
duas partículas seja isolado de forças externas. Podemos então aplicar o Princípio 
da Conservação da Quantidade de Movimento Linear (como todos os vetores 
envolvidos são colineares, podemos prescindir da representação vetorial, mantendo, 
contudo, a indicação dos sentidos pelos sinais algébricos): 
 
2BB2AA1BB1AA vmvmvmvm (4.51) 
 
Aplicamos também o Princípio do Impulso-Quantidade de Movimento Linear 
para cada uma das partículas considerada isoladamente, nas fases de deformação e 
restituição: 
 
Para a partícula A: 
 
*
A
t
0
d1AA vmdtFvm
d
 (4.52.a) 
 
2AA
t
0
r
*
A vmdtFvm
d
 (4.52.b) 
 
Para a partícula B: 
 
*
B
t
0
d1BB vmdtFvm
d
 (4.52.c) 
 
2BB
t
0
r
*
B vmdtFvm
d
 (4.52.d) 
 
Definimos o chamado coeficiente de restituição da seguinte forma: 
 
d
r
t
0
d
t
0
r
d
r
dtF
dtF
I
I
e 
 
Combinando (4.53.a) e (4.53.b), obtemos: 
 
*
1A
2A
*
vv
vv
e (4.53.a) 
 
De (4.52.c) e (4.52.d), obtemos: 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
149 
1B
*
*
2B
vv
vv
e (4.53.b) 
 
Eliminando *v nas duas últimas equações acima, temos: 
 
1B1A
2A2B
vv
vv
e (4.54) 
 
Em (4.55), observamos que o coeficiente de restituição pode ser expresso como 
sendo a razão entre a velocidade relativa de afastamento das partículas após a 
colisão e a velocidade relativa de aproximação antes da colisão. 
O valor de e situa-se no intervalo 1e0 e é geralmente determinado por 
medições experimentais. Os casos particulares ideais são os seguintes: 
 
a) colisão perfeitamente elástica (e=1). Ocorre quando os corpos não 
apresentam nenhuma deformação permanente após a colisão. Neste caso, a 
velocidade relativa de afastamento é igual à velocidade relativa de aproximação. 
 
b) colisão perfeitamente plástica (e=0). Ocorre quando há deformação 
permanente máxima dos corpos que colidem. Neste caso, a velocidade relativa de 
afastamento é nula, significando que os dois corpos permanecem acoplados após a 
colisão. 
 
Deve-se notar que na colisão perfeitamente plástica não há nenhuma perda 
de energia, uma vez que a energia dispendida para deformar os corpos é totalmente 
restituída na fase de restituição. Por outro lado, no caso da colisão perfeitamente 
plástica, a energia utilizada para deformar os corpos não é restituída, sendo 
geralmente dissipada sob a forma de calor. Nos demais casos, há alguma perda de 
energia resultante da restituição parcial das deformações dos corpos. 
 
 
4.10.2 � Colisões oblíquas 
 
No caso de colisão oblíqua, após o impacto, os dois corpos partem com velocidade 
desconhecidas em módulo, direção e sentido. Considerando o caso particular de 
colisões que ocorrem em um único plano, para a análise dinâmica devemos aplicar o 
Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento Linear e do Impulso e 
Quantidade de Movimento Linear em duas direções perpendiculares, conforme 
esquematizado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
150 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Impulsos e quantidades de movimento para a partícula A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Impulsos e quantidades de movimento para a partícula B:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.13 
 
Aplicando o Princípio do Impulso-Quantidade de Movimento para as 
componentes nas direções x e y para ambas as partículas, obtemos as equações: 
A B
1Av
2Av
1Bv
2Bv
22
11
x
y
jvivv
jviv2v
jvivv
jvivv
y2Bx2B2B
y2Ax2A1A
y1Bx1B1B
y1Ax1A1A
A
x1AA vm
1Bv
rd t
0
r
t
0
d dtFdtF
+
y1AA vm
A
x2AA vm
y2AA vm
=
B
x1BB vm
1Bv
rd t
0
r
t
0
d dtFdtF
+
y1BB vm
Bx2BB vm
y2BB vm
=
D.A. RADE DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS 
151 
x2BBx2AAx1BBx1AA vmvmvmvm (conservação da quantidade de 
movimento linear do sistema na direção x) (4.55) 
 
x1Bx1A
x2Ax2B
vv
vv
e (coeficiente de restituição) (4.56) 
 
y2Ay1A vv (conservação da quantidade de movimento linear de A na 
direção y) (4.57) 
y2By1B vv (conservação da quantidade de movimento linear de B na 
direção y) (4.58) 
Deve-se finalmente observar que, em situações reais, os fenômenos envolvidos nas 
colisões são muito complexos, sendo, em particular, dependentes das características 
dos materiais que constituem os corpos que colidem. Assim, a teoria apresentada 
acima inclui várias de simplificações.
 
 
4.11 - Bibliografia 
 
 
BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros � 
Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. 
FOWLES, G.R. CASSIDAY, G.L., Analytical Mechanics, Sixth Edition, Harcourt 
Brace College Publishers, 1998. 
HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-
Prentice Hall, 2005. 
KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. 
MAIA, L. P. M., Mecânica Clássica, vol. 2, Editora da Universidade Federal do 
Rio de Janeiro, 1977. 
TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de 
Janeiro, 1997. 
SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição. 
Pearson�Prentice Hall, 2003. 
SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics, 
Prentice-Hall, 1999. 
 
ANOTAÇÕES 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 5 
 
Propriedades de Inércia dos Corpos 
Rígidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
152 
CAPÍTULO 5 
 
PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
 
 
5.1 - Introdução 
 
 A inércia de uma partícula é caracterizada por apenas uma propriedade: sua 
massa. Por outro lado, para um corpo rígido, cuja massa é distribuída sobre a região 
do espaço por ele ocupada, as propriedades de inércia relevantes são, além da 
massa, os momentos de inércia e os produtos de inércia. Como veremos no capítulo 
seguinte, estas grandezas intervém diretamente nas equações do movimento 
estabelecidas para os corpos rígidos. 
Neste capítulo definiremos as propriedades de inércia dos corpos rígidos e 
estudaremos os métodos para o cálculo destas propriedades. 
 
 
5.2 � Posição do centro de massa de um corpo rígido 
 
 A expressão para a posição do centro de massa de um sistema discreto de n 
partículas é dada pela equação (4.16.a). Esta expressão pode ser estendida aos 
corpos rígidos � que têm uma distribuição contínua de massa no espaço � se 
admitirmos que um corpo rígido é constituído de um número infinito de partículas 
de massa infinitesimais. Assim, com relação à Figura 5.1, a posição do centro de 
massa do corpo rígido em relação ao sistema de eixos OXYZ é dada por: 
 
 
n
i
i
n
i
ii
m
n
G
m
rm
limr
i
1
1
0
, 
 
ou: 
 
 dmr
M
rG
1
 , (5.1) 
 
onde M é a massa total do corpo rígido e r designa o vetor posição de um elemento 
de massa arbitrário dm, em relação ao sistema de eixos OXYZ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
153 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 
 
 Introduzindo a relação: 
 
 dVdm , 
 
onde é a densidade volumétrica do material que constitui o corpo rígido, e dV 
designa o diferencial de volume, a equação (5.1) pode ser escrita sob a forma: 
 
volume
G dVr
M
r
1
 (5.2) 
 
 No caso em que o material é homogêneo (densidade volumétrica constante) a 
equação acima conduz à seguinte expressão: 
 
volumevolume
G dVr
V
dVr
M
r
1
 (5.3) 
 
 Para determinar as coordenadas do centro de massa do corpo rígido, podemos 
expressar Gr e r em termos de suas componentes cartesianas: 
 
 kzjyixr GGGG (5.4) 
 
 kzjyixr (5.5) 
 
Introduzindo (5.4) e (5.5) em (5.3), obtemos as seguintes expressões que 
permitem calcular as componentes cartesianas de Gr : 
 
x 
y 
O 
r
z 
dm 
G 
Gr
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
154 
 
volume
G xdV
V
x
1
 (5.6.a) 
 
 
volume
G ydV
V
y
1
 (5.6.b) 
 
 
volume
G zdV
V
z
1
 (5.6.c) 
 
 Podemos verificar que, se um corpo constituído de um material homogêneo 
apresentar um ou mais planos de simetria geométrica, seu centro de massa estará 
posicionado sobre estes planos. Isso pode ser visto na Figura 5.2, a qual mostra 
que, sendo o plano y-z um plano de simetria, para cada elemento diferencial de 
volume de coordenadas (x,y,z), existe um elemento de coordenadas (-x,y,z). Desta 
forma, a integral 
volume
xdV resulta nula e, de acordo com (5.6.a) o centro de massa terá 
0Gx , estando posicionado sobre o plano de simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 5.2 
 
 A posição do centro de massa de corpos homogêneos de geometria simples 
pode ser facilmente calculada por integração. Para tanto, visando efetuar as 
integrações indicadas nas equações (5.6), devemos expressar convenientemente dV 
em termos das coordenadas espaciais zyx ,, . 
A Tabela 5.1 fornece as posições dos centros de massa para alguns sólidos de 
geometria simples, em relação aos sistemas de eixos indicados. 
x 
y 
z 
O 
x 
y 
z 
O 
(x,y,z) (-x,y,z) 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
155 
Tabela 5.1 � Posições do centro de massa de sólidos de geometria simples 
Cilindro circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esfera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semi-esfera 
Cone circular reto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
L/2 
L/2 2R 
x 
y 
z 
G 
y 
z 
R 
x 
3/8 R 
y 
x 
z 
R 
h 
h/4 
R 
x 
y 
G 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
156 
 
Placa fina ou cilindro semi-circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.1 - Posição do centro de massa de corpos de geometria composta 
 
Consideramos nesta seção a determinação da posição do centro de massa de 
corpos que podem ser decompostos em um certo número n de partes de geometria 
mais simples. Admitiremos que cada uma destas partes possa ser constituída de um 
material com densidade diferente daquelas das demais. Tal situação é ilustrada 
genericamente na Figura 5.3, onde são indicadas as n partes nP,,P,P 21 , de 
massas nm,,m,m 21 , respectivamente. Nesta mesma figura os vetores 
nGGG r,,r,r
21
 designam os vetores posição dos centros de massa das n partes e Gr 
indica a posição do centro de massa do conjunto em relação ao sistema de referência 
indicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3 
 
x 
y 
O 
z 
G 
1Gr
1P 2P 
nP 
1G 
2G 
nG 
2Gr
nGr
Gr
y 
x 
z 
R G 
0,424 R x 
D.A. RADEPROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
157 
De acordo com a definição (5.1), expressamos o vetor posição centro de massa 
do conjunto sob a forma: 
 
 
volume
G dmr
M
r
1
 
 
 Introduzindo o particionamento indicado na Figura 5.3, lembrando que a 
massa total do corpo é dada por nmmmM 21 , escrevemos: 
 
 
nparteparten
G dmr...dmr
m...m
r
11
1
 (5.7) 
 
 Aplicando a equação (5.1) para cada uma das partes do corpo rígido, temos: 
 
 
1
1
1 G
parte
rmdmr 
 (5.8) 
 
nGn
nparte
rmdmr , 
 
Introduzindo (5.8) em (5.7), chegamos à expressão: 
 
 
 
nGnG
n
G rm...rm
m...m
r
11
1
1
, 
 
ou: 
 
 
n
i
Gin
i
i
n
i
Gi
G i
i
rm
M
m
rm
r
1
1
1 1
 (5.9) 
 
 Concluímos, pois, que a posição do centro de massa de um corpo composto por 
um dado número de partes é dado pela média ponderada das posições dos centros de 
massa das partes, sendo tomados como pesos as massas destas partes. 
 O leitor deverá observar a semelhança entre a equação (5.9) e a equação 
(4.16.b), que define a posição do centro de massa de um sistema discreto de 
partículas. 
 
 
 
 
 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
158 
5.3 - Momento de inércia de massa de um corpo rígido em relação a um 
eixo. Raio de giração. 
 
 Consideremos a situação ilustrada na Figura 5.4(a). O momento de inércia de 
massa do corpo rígido em relação a um eixo qualquer 'OO é definido segundo: 
 
 dmrJ 'OO
2 , (5.10) 
 
onde r indica a menor distância entre o diferencial de massa dm e o eixo 'OO . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 5.4 
 Introduzindo a relação: dVdm , no caso em que o material que constitui o 
corpo rígido for homogêneo ( constante), a equação (5.10) pode ser escrita sob a 
forma: 
 
 
volume
'OO dVrJ 2 (5.11) 
 
 No S.I., o momento de inércia tem unidades de kg.m2. 
 Vale observar que, segundo a definição (5.10), o momento de inércia é uma 
grandeza escalar positiva 0OOJ , qualquer que seja o eixo 'OO . 
 O raio de giração de massa do corpo rígido em relação ao eixo 'OO , designado 
por 'OOK , é definido como sendo: 
 
dm
O
O
r
O
O
OOK
M
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
159 
 
M
J
K 'OO
'OO , (5.12) 
 
onde M é a massa do corpo rígido. 
 Podemos interpretar o raio de giração 'OOK como sendo a distância do eixo 
'OO à qual devemos posicionar toda a massa do corpo rígido para que esta nova 
distribuição de massa resulte no momento de inércia 'OOJ em relação a 'OO . Esta 
interpretação pode ser compreendida com auxílio da Figura 5.4(b). De acordo com a 
equação (5.10), se toda a massa do corpo for disposta numa faixa de largura 
desprezível a dada distância constante 'OOK do eixo 'OO , o momento de inércia em 
relação a este eixo é dado por: 
 
 MKdmKdmKJ OOOOOO'OO
222 
 
 Desta última equação resulta a definição do raio de giração, estabelecida 
através de (5.12). 
 
 
5.4 - Teorema dos eixos paralelos para os momentos de inércia de massa 
 
 Consideremos a Figura 5.5, que mostra dois eixos paralelos 'OO e 'AA , 
afastados entre si de uma distância d, sendo que 'OO passa pelo centro de massa do 
corpo rígido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.5 
 
 Desejamos obter a relação entre o momento de inércia de massa em relação 
ao eixo AA e o momento de inércia em relação ao eixo OO . 
 Utilizando a definição (5.10), escrevemos as seguintes expressões para os 
momentos de inércia do corpo rígido em relação aos dois eixos considerados: 
 
dm
O
O
OOr
A
A
d
AAr
G 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
160 
 dmrJ 'AA'AA
2 (5.13) 
 
dmrJ 'OO'OO
2 (5.14) 
 
 Introduzimos em (5.13) a seguinte relação geométrica ilustrada na Figura 5.5: 
 
 drr 'OO'AA 
 
 Assim, temos: 
 
 MddmrddmrdmdrJ 'OOOO'OO'AA
222 2 (5.15) 
 
Na equação (5.15), temos: 
 
'OOOO' Jdmr 2 (conforme equação (5.14)). 
 
0dmr 'OO . Isso porque, de acordo com a definição (5.1), a 
integral dmr 'OO equivale à massa do corpo rígido multiplicada pela 
distância do seu centro de massa ao eixo 'OO . Como o eixo 'OO passa por 
G, esta distância resulta nula. 
 
Com essas considerações, a equação (5.15) fica: 
 
MdJJ 'OO'AA
2 (5.16) 
 
Esta última equação traduz o chamado Teorema dos Eixos Paralelos para os 
momentos de inércia de massa. 
 Sendo Md2 uma quantidade positiva, a equação (5.16) nos mostra que, para 
conjunto qualquer de eixos paralelos, o eixo que passa pelo centro de massa é aquele 
em relação ao qual o momento de inércia é mínimo. 
 É conveniente expressar o Teorema dos Eixos Paralelos em termos dos raios 
de giração. Para tanto, introduzimos em (5.16) as seguintes relações, derivadas da 
equação (5.12): 
 
 MKJ AA'AA
2 
 
MKJ OO'OO
2 
 
e obtemos: 
 
 222 dKK OOAA (5.17) 
 
 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
161 
5.5 - Momentos de inércia de massa expressos em coordenadas cartesianas 
 
 Considerando a situação ilustrada na Figura 5.6, desejamos expressar os 
momentos de inércia do corpo rígido em relação aos eixos coordenados Ox, Oy e Oz, 
em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z). Designaremos estes momentos de 
inércia por xJ , yJ e zJ , respectivamente. 
 Partindo da definição (5.10), escrevemos: 
 
 dmrJ xx
2 (5.18) 
 
 dmrJ yy
2 (5.19) 
 
 dmrJ zz
2 (5.20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.6 
 
 
 Com base na Figura (5.6), estabelecemos as relações: 
 
 222 zyrx (5.21) 
 
 222 zxry (5.22) 
 
 222 yxrz (5.23) 
 
 Introduzindo as equações (5.21) a (5.23) nas equações (5.18) a (5.20), 
chegamos às expressões: 
x 
y 
O 
z 
dm(x,y,z ) 
xr
zr
yr
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
162 
 
 dmzyJx
22 (5.24) 
 
 dmzxJ y
22 (5.25) 
 
 dmyxJz
22 (5.26) 
 
Para o cálculo dos momentos de inércia devemos primeiramente expressar 
dm em função das coordenadas zyx ,, a fim de poder resolver as integrais 
indicadas em (5.24) a (5.26). 
 A Tabela 5.2 fornece os momentos de inércia dealguns sólidos de geometria 
simples, em relação aos sistemas de eixos indicados. As expressões fornecidas 
podem ser facilmente obtidas por integração. 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
163 
Tabela 5.2 � Momentos de inércia de massa de sólidos de geometria simples 
Cilindro circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
223
12
1
LRmJx 
 
223
12
1
LRmJ y 
 
2
2
1
mRJz 
 
Esfera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
5
2
mRJx 
 
2
5
2
mRJ y 
 
2
5
2
mRJz 
 
 
Semi-esfera 
2
5
1
mRJx 
 
2
320
83
mRJ y 
 
2
320
83
mRJz 
Cone circular reto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 4
20
3
hRmJx 
 
22 4
20
3
hRmJ y 
 
2
10
3
mRJz 
 
L/2 
L/2 2R 
x 
y 
z 
G 
z 
R 
x 
y 
G 
y 
z 
R 
x 
x 
y 
z 
R 
h 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
164 
 
Placa fina retangular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22
12
1
hbmJx 
 
2
12
1
mbJ y 
 
2
12
1
mhJz 
 
Placa fina circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
1
mRJx 
 
2
4
1
mRJ y 
 
2
4
1
mRJz 
 
Prisma retangular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22
12
1
hbmJx 
 
22
12
1
LbmJ y 
 
22
12
1
LhmJz 
 
Barra delgada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12
2mL
Jx 
 
12
2mL
J y 
 
0zJ 
x 
y 
z 
b 
h 
G 
x 
y 
z 
R 
G 
x 
y 
z 
L 
h 
b 
x 
y 
z 
L/2 
L/2 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
165 
5.6 - Momentos de inércia de massa em relação a um eixo orientado 
arbitrariamente. Produtos de inércia 
 
 Considerando a Figura 5.7, desejamos expressar o momento de inércia de 
massa do corpo rígido em relação ao eixo 'OO , orientado arbitrariamente, em função 
dos momentos de inércia xJ , yJ e zJ , relativos aos eixos coordenados Ox, Oy e Oz. 
Nesta figura, o vetor kujuiuu zyx é o vetor unitário na direção do eixo 'OO . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.7 
 
 
 Designamos por kzjyixr o vetor posição do elemento de massa dm e 
 o ângulo formado entre u e r . Do triângulo OPB, indicado na Figura 5.8, 
extraímos a relação: 
 
 222 PBOBOP 
 
ou: 
 
 222 dcosrr 
 
 Esta última equação é equivalente a: 
 
22 durrr . 
 
 Desta última equação acima resulta: 
x 
y 
O 
r
z 
dm 
O 
u
d 
B 
 
P 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
166 
22 urrrd 
 
Desenvolvemos agora esta última equação em termos das componentes 
cartesianas dos vetores r e u : 
 
zyzxyxyxzzxyx uyzuuxzuuxyuuuuuuuzyud 2222222222222 (5.27) 
Empregando a definição (5.10), escrevemos: 
 
 dmdJ 'OO
2 (5.28) 
 
Introduzindo (5.27) em (5.28), temos: 
 
 dmyxudmzxudmzyuJ zyx'OO
222222222 
 
dmyzuudmxzuudmxyuu zyzxyx 222 (5.29) 
 
Levando em conta as equações (5.24) a (5.26), reconhecemos nas três 
primeiras integrais da equação acima os momentos de inércia xJ , yJ e zJ . 
 As três últimas integrais definem os produtos de inércia do corpo rígido: 
 
 dmxyPxy (5.30) 
 
 dmxzPxz (5.31) 
 
dmyzPyz (5.32) 
 
 Com estas últimas definições, a equação (5.29) fica: 
 
 zyyzzxxzyxxyzzyyxx'OO uuPuuPuuPuJuJuJJ 222222 (5.33) 
 
Concluímos que uma vez conhecidos os momentos de inércia e os produtos de 
inércia do corpo rígido em relação ao sistema de eixos Oxyz, o momento de inércia 
em relação a um eixo qualquer, identificado por seus cossenos diretores xu , yu e 
zu , pode ser calculado através da equação (5.33). 
 A equação (5.33) representa uma forma quadrática em termos dos cossenos 
diretores xu , yu e zu . Introduzindo a notação matricial, pode-se facilmente 
verificar que (5.33) pode ser escrita sob a forma: 
 
 
z
y
x
zyzxz
yzyxy
xzxyx
zyx'OO
u
u
u
JPP
PJP
PPJ
uuuJ 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
167 
ou: 
 
 uJuJ T
'OO (5.34) 
 
onde: 
 
 
z
y
x
u
u
u
u é o vetor coluna formado pelos cossenos diretores do eixo ´OO , 
 
e: 
 
 
zyzxz
yzyxy
xzxyx
JPP
PJP
PPJ
J (5.35) 
 
é o chamado tensor de inércia do corpo rígido. 
 
Observe que J é uma matriz simétrica ( J TJ ). 
 
 Destacamos a seguir, algumas propriedades dos produtos de inércia: 
 
 1a ) ao contrário dos momentos de inércia, que são sempre positivos, os 
produtos de inércia podem ser positivos, negativos ou nulos. 
 
 2a ) se dos dois eixos coordenados estiverem contidos num plano de simetria 
de massa do corpo rígido (no caso de corpos constituídos de um único material 
homogêneo, a simetria de massa é equivalente à simetria geométrica), os produtos 
de inércia envolvendo o 3o eixo coordenado são nulos. No exemplo da Figura 5.9.(a) o 
plano y-z é de simetria de modo que: 
 
 0xzxy PP 
 
 Esta propriedade pode ser verificada com o auxílio da Figura 5.8(b), que 
ilustra uma seção do corpo rígido mostrado na Figura 5.8(a), definida por um plano 
perpendicular ao eixo Oz. 
 Devido à simetria, pode-se ver que, para cada elemento diferencial de massa 
dm, posicionado nas coordenadas zy,,x , existirá um outro posicionado em 
coordenadas zy,,x , de modo que as integrações indicadas nas equações (5.30) e 
(5.31) resultam nulas. Neste caso o tensor de inércia torna-se: 
 
 
zyz
yzy
x
JP
PJ
J
J
0
0
00
 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
168 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
 
Figura 5.8 
 
 
5.7 - Teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia e produtos de 
inércia expressos em coordenadas cartesianas 
 
 Deduziremos, a seguir as expressões que traduzem o Teorema dos Eixos 
Paralelos (Teorema de Steiner) para os momentos e produtos de inércia de massa 
expressos em coordenadas cartesianas. Para tanto, faremos uso da Figura 5.9, que 
mostra dois sistemas de referência, Oxyz e 'z'y'Gx , sendo este último um sistema 
de referência baricêntrico, que tem sua origem no centro de massa do corpo, 
indicado por G. Observe que os eixos dos dois sistemas são paralelos dois a dois, ou 
seja 'Gx//Ox , 'Gy//Oy e 'Gz//Oz . Estão também indicados na Figura 5.10 os 
seguintes vetores posição: 
 
kzjyixr : posição do elemento diferencial de massa dm em relação 
ao sistema Oxyz. 
k'zj'yi'x'r : posição em relação ao sistema baricêntrico 'z'y'Gx . 
kzjyixr GGGG : posição do centro de massa em relação ao sistema 
Oxyz. 
 
Como os dois sistemas de referência paralelos entre si, uma única base de 
vetores unitários ( k,j,i ) pode ser associada a ambos. 
 
 
x 
y 
z 
O 
x 
y 
z 
O 
(x,y,z) 
(-x,y,z) 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
169 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.9 
 
 
Do triângulo de vetores indicados na Figura 5.9, temos: 
 
 'rrr G , 
 
donde: 
 
 'xxx G (5.36.a) 
 
 'yyy G (5.36.b) 
 
 'zzz G(5.36.c) 
 
 Considerando inicialmente o momento de inércia xJ , introduzimos as relações 
(5.36.b) e (5.36.c) em (5.24), obtendo: 
 
 dm'zzdm'yydm'z'ydm'zz'yyJ GGGGx 222222 
 dmzy GG
22 (5.37) 
 
De acordo com (5.24), o primeiro termo do lado direito de (5.37) representa o 
momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo baricêntrico 'Gx : 
 
 dm'z'yJ 'x
22 
x 
y 
O 
r
z 
dm 
G x 
y 
z 
r
Gr
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
170 
 Além disso, recordando a definição da posição do centro de massa do corpo 
rígido, dado por (5.1) e desenvolvida em (5.6), escrevemos: 
 
 'yMdm'y G , 
 
'zMdm'z G , 
 
onde 'yG e 'zG designam as coordenadas de G em relação ao sistema 'z'y'Gx . É, 
então, evidente que 0'z'y GG . 
 Com essas considerações, a equação (5.37) fica: 
 
 MzyJJ GG'xx
22 (5.38) 
 
 Por procedimento análogo, chegamos às seguintes expressões referentes aos 
demais momentos de inércia yJ e zJ : 
 
 MzxJJ GG'yy
22 (5.39) 
 
 MyxJJ GG'zz
22 (5.40) 
 
 As equações (5.38) a (5.40) traduzem, em conjunto, o Teorema dos Eixos 
Paralelos, ou Teorema de Steiner, para os momentos de inércia expressos em 
coordenadas cartesianas. 
 No que diz respeito aos produtos de inércia, consideremos inicialmente o 
produto de inércia xyP , definido através de (5.30), e introduzamos nesta equação as 
transformações de coordenadas expressas por (5.36.a) e (5.36.b): 
 
dm'y'xdm'zydm'yxdmyxdm'yy'xxP GGGGGGxy (5.41) 
 
 Na equação acima temos: 
 
0dm'zdm'y 
GGGG yxMdmyx ; 
dm'y'xP 'y'x (produto de inércia em relação aos eixos baricêntricos) 
 
Assim, a equação (5.41) pode ser posta sob a forma: 
 
 GG'y'xxy yxMPP (5.42) 
 
 Por procedimento análogo, para os outros dois produtos de inércia xzP e yzP , 
obtemos as relações: 
 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
171 
 GG'z'xxz zxMPP (5.43) 
 
 GG'z'yyz zyMPP (5.44) 
 
 As equações (5.42) a (5.44) expressam o Teorema dos Eixos Paralelos ou 
Teorema de Steiner para os produtos de inércia em coordenadas cartesianas. 
 
5.8 - Momentos e produtos de inércia de corpos de geometria composta 
 
 Em diversas ocasiões, devemos calcular os momentos de inércia e os produtos 
de inércia de sólidos de geometria complexa, formados pela associação de n partes 
1P , 2P , ..., nP de geometria mais simples, conforme ilustrado na Figura 5.10. 
Nestes casos, a aplicação direta das definições (5.24) a (5.26) e (5.30) a (5.32) pode 
conduzir a integrais complicadas. Mostraremos, contudo, que conhecendo os 
momentos de inércia e os produtos de inércia de cada uma das partes em relação aos 
cada um dos eixos coordenados, os momentos de inércia e produtos de inércia do 
conjunto são dados simplesmente pela soma dos momentos de inércia e produtos de 
inércia das partes componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.10 
 
Consideremos o momento de inércia do corpo composto em relação ao eixo 
Ox , definido por (5.24): 
 
n
n
PPP
PPPx dmzyJ
21
21
22 , 
 
 Levando em conta o particionamento indicado na Figura 5.11, a integral 
acima pode ser fracionada da seguinte forma: 
 
1P 
2P 
nP 
dm 
x 
y 
O 
z 
xrzr
yr
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
172 
n
n
PPP
PPPx dmzydmzydmzyJ 222222
21
21
 
 
Considerando mais uma vez a definição (5.24), a última equação acima pode 
ser escrita sob a forma: 
 
nn PxPxPxPPPx JJJJ
2121
 
 
 Na equação acima, 
i
i
P
Px dmzyJ 22 , i=1 a n designa, genericamente, o 
momento de inércia, em relação ao eixo Ox, da parte iP que compõe o corpo rígido. 
 O mesmo procedimento pode ser aplicado para calcular aos demais momentos 
de inércia e produtos de inércia do corpo rígido em relação ao sistema de eixos 
adotado. Expressamos este resultado nas equações abaixo: 
 
nn PyPyPyPPPy JJJJ
2121
 
 
nn PzPzPzPPPz JJJJ
2121
 
 
nn PxyPxyPxyPPPxy PPPP
2121
 
 
nn PxzPxzPxzPPPxz PPPP
2121
 
 
nn PyzPyzPyzPPPyz PPPP
2121
 
 
5.9 - Eixos principais de inércia e momentos principais de inércia 
 
 Vimos na Seção 5.6 que se o corpo rígido possuir um plano de simetria de 
massa, os produtos de inércia nos quais o eixo perpendicular ao plano de simetria 
intervêm são nulos. Mesmo nos casos em que o corpo rígido não possui nenhum 
plano de simetria é sempre possível encontrar um sistema tri-ortogonal de eixos em 
relação aos quais todos os produtos de inércia são nulos. Neste caso, o tensor de 
inércia, definido por (5.35), resulta ser uma matriz diagonal. 
 Os eixos em relação aos quais os produtos de inércia são nulos são chamados 
Eixos Principais de Inércia e os momentos de inércia em relação a estes eixos são 
denominados Momentos Principais de Inércia. 
 Como veremos mais adiante, a escolha dos eixos principais de inércia como 
sistema de referência é muito conveniente na análise dinâmica de corpos rígidos 
porque conduz a equações do movimento mais simples. 
 O problema que abordaremos a seguir é o seguinte: dados os momentos de 
inércia e os produtos de inércia de um corpo rígido em relação a um sistema de 
referência arbitrário Oxyz, desejamos determinar os momentos principais de inércia 
e os cossenos diretores dos eixos principais de inércia, que formam o sistema de 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
173 
eixos principais z~y~x~O . Estes dois sistemas de referência estão ilustrados na Figura 
5.11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.11 
 
 O problema pode ser formulado da seguinte maneira: partindo do sistema 
Oxyz, em relação aos quais conhecemos o tensor de inércia J , queremos 
determinar uma transformação linear, representando uma rotação dos sistema Oxyz 
em torno de um eixo que passa pela origem O, de modo que em relação ao sistema 
de eixos nesta nova posição, denotado por z~y~x~O , o tensor de inércia, denotado por 
J~ , seja uma matriz diagonal. 
 Conforme demonstrado no Apêndice A, este problema é formulado 
matematicamente como um problema de autovalor, que consiste em determinar os 
autovalores e os autovetores do tensor de inércia J mediante a resolução do 
seguinte sistema de equações lineares homogêneas: 
 
 03 ii vIJ , (5.45) 
 
onde 3I designa a matriz identidade de terceira ordem. 
 
As soluções do sistema (5.45) são os três pares: 
 
 
3
2
1
i
i
i
ii
v
v
v
v, , i = 1, 2, 3. 
 
x 
y 
O 
x~ 
y~ 
z~ 
z 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
174 
onde os escalares i 3,2,1i são os autovalores e os vetores 3
iv , 
3,2,1i são os autovetores. 
 Os significados dos autovalores e autovetores são os seguintes: 
os autovalores i 3,2,1i fornecem os valores dos três momentos 
principais de inércia, que designaremos por z~y~x~ J ,J ,J . 
 
os autovetores iv 3,2,1i fornecem os cossenos diretores dos três eixos 
principais de inércia, em relação ao sistema de referência Oxyz. De acordo 
com esta interpretação, cada um dos autovetores deve ser normalizadode 
modo que sua norma euclidiana seja unitária, ou seja: 
 
1
3
1
22
j
ijii
T
i vvvv , 3,2,1i (5.46) 
 
 Embora o estudo de métodos de resolução numérica do problema de autovalor 
(5.45) não seja objetivo nosso curso, é importante mencionar, relembrando os 
conceitos da Álgebra Linear, que esta resolução pode ser feita em duas etapas: 
 
 a) Cálculo dos autovalores. Notando que (5.45) constitui um sistema de três 
equações lineares homogêneas nas componentes dos autovetores, a existência de 
soluções não triviais requer que a matriz dos coeficientes seja singular, ou seja: 
 
 03IJdet (5.47) 
 
 O desenvolvimento de (5.47) conduz a uma equação do tipo: 
 
 03P , (5.48) 
 
onde 3P designa um polinômio de 3o grau em , denominado polinômio 
característico da matriz J . 
 As raízes de 3P , obtidas mediante a resolução numérica de (5.48), 
fornecem os valores dos momentos principais de inércia z~y~x~ J eJ ,J 321 . 
 
b) Cálculo dos autovetores. Os autovetores 321 e , vvv , associados, 
respectivamente aos autovalores 321 e , , são obtidos introduzindo cada um 
destes autovalores, calculados na primeira etapa, nas equações (5.45) e (5.46). Em 
seguida, o sistema de equações resultante é resolvido numericamente para 
determinação das componentes dos autovetores: 
 
 
3
2
1
i
i
i
i
v
v
v
v , 3,2,1i 
 
D.A. RADE PROPRIEDADES DE INÉRCIA DOS CORPOS RÍGIDOS 
175 
 Nesta etapa deve ser lembrado que, em virtude da condição (5.47), a matriz 
dos coeficientes em (5.45) é singular, de modo que o sistema (5.47) tem apenas duas 
equações linearmente independentes e possui infinitas soluções para as 
componentes dos autovetores iv . Para obter uma solução particular, devemos 
fazer uso da condição (5.46), que define a norma dos autovetores. 
 
5.10 � Bibliografia 
 
 
BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros � 
Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. 
FOWLES, G.R. CASSIDAY, G.L., Analytical Mechanics, Sixth Edition, Harcourt 
Brace College Publishers, 1998. 
HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-
Prentice Hall, 2005. 
KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. 
MAIA, L. P. M., Mecânica Clássica, vol. 2, Editora da Universidade Federal do 
Rio de Janeiro, 1977. 
TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de 
Janeiro, 1997. 
SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição. 
Pearson�Prentice Hall, 2003. 
SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics, 
Prentice-Hall, 1999. 
 
ANOTAÇÕES 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 6 
 
Dinâmica do Corpo Rígido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
176 
CAPÍTULO 6 
 
DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS 
 
 
6.1 - Introdução 
 
 Este capítulo trata da dinâmica dos corpos rígidos. Estaremos interessados 
em estabelecer as relações entre as forças e momentos aplicados a um dado corpo 
rígido e o movimento resultante, expresso em termos da aceleração do centro de 
massa e da aceleração angular do corpo. Conforme veremos, estas relações são 
fornecidas pelas chamadas equações de Newton-Euler, que são expressas sob a 
forma de equações diferenciais de segunda ordem. Integrando estas equações 
podemos obter a velocidade e posição do centro de massa e a velocidade angular e a 
posição angular do corpo rígido. De posse destas grandezas, podemos determinar a 
posição, velocidade e aceleração de um ponto qualquer do corpo rígido empregando 
as relações cinemáticas estudadas no Capítulo 2. 
Serão também estudados os métodos de energia destinados à análise 
dinâmica dos corpos rígidos em duas e três dimensões. 
 
6.2 � Quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular 
de corpos rígidos 
 
 No Capítulo 4 havíamos obtido as seguintes expressões para as quantidades 
de movimento linear e angular para os sistemas discretos de partículas (ver 
equações (4.19), (4.11) e (4.21): 
 
 GvML (6.1) 
 
 ii
n
i
iO vmrH
1
 (6.2) 
 
 ii
n
1i
iG vmrH (6.3) 
 
Lembramos que, nas equações acima: 
 
� ir é o vetor posição da partícula genérica iP em relação à origem do sistema 
de referência fixo OXYZ . 
 
� iv é a velocidade da partícula iP em relação ao sistema de referência fixo 
OXYZ . 
 
� Gv é a velocidade do centro de massa do sistema de partículas em relação 
ao sistema de referência fixo OXYZ . 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
177 
� ir é o vetor posição da partícula genérica iP em relação ao sistema de 
referência baricêntrico zyxG . 
 
� iv é a velocidade de iP em relação ao sistema de referência baricêntrico 
zyxG . 
 
 Obviamente, as equações (6.1) a (6.3) podem ser também aplicadas a corpos 
rígidos, uma vez que estes podem ser considerados como sendo constituídos de 
conjuntos com número infinito de partículas, de massas infinitesimais, distribuídas 
em uma região contínua do espaço. Neste caso, em termos das grandezas ilustradas 
na Figura 6.1, a quantidade de movimento angular pode ser expressa a partir de 
(6.2) e (6.3) sob as formas: 
 
 
volume
O dmvrH (6.4) 
 
 
volume
G dmvrH (6.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 
 
 
Considerando o movimento em relação ao centro de massa, as equações (6.1) 
e (6.3), combinadas, estabelecem que o sistema de quantidades de movimento 
lineares e angulares do corpo rígido é equivalente ao sistema constituído por dois 
vetores: 
O 
Y 
X 
Z 
y 
x 
z 
r
v
G 
dm 
r
v
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
178 
a) o vetor quantidade de movimento linear GvML , aplicado no centro de 
massa do corpo rígido. 
 
b) o vetor quantidade de movimento angular dado por 
volume
G dmvrH . 
 
Esta equivalência é ilustrada na Figura 6.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 
 
Devido à hipótese de rigidez ideal, expressões para OH e GH podem ser 
obtidas em termos do vetor velocidade angular do corpo rígido e do tensor de inércia, 
determinado em relação aos eixos OXYZ e zyxG , respectivamente, conforme 
desenvolvimento que apresentamos a seguir. 
 Consideremos a situação ilustrada na Figura 6.1, onde indica o vetor 
velocidade angular instantânea do corpo rígido e zyxG é o sistema de referência 
baricêntrico, admitido de orientação fixa. De acordo com os conceitos da cinemática 
dos corpos rígidos, estudados no Capítulo 2, o movimento do corpo rígido em relação 
ao sistema de referência baricêntrico é um movimento com o ponto G fixo (ver seções 
2.6 e 2.7.1). Assim, a partir da equação (2.12), podemos escrever: 
 
 rv (6.6) 
 
Expressamos os dois vetores que figuram no lado direito da equação acima 
em termos de suas componentes cartesianas no sistema de referência baricêntrico 
sob a forma: 
 
 kzjyixr (6.7) 
1P 
G 
11vm 
2P 
22vm 
nP 
nnvm 
GvML 
volume
G dmvrH 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
179 
 
kwjwiw zyx (6.8) 
 
Introduzindo (6.6)a (6.8) em (6.5), temos: 
 
dmkzjyixkwjwiwkzjyixH zyx
volume
G 
 
 Desenvolvendo a última equação acima, chegamos à expressão: 
 
idmzxwdmyxwdmzywH
volume
z
volume volume
yxG
22 
 
jdmzywdmzxwdmyxw
volume
z
volume
y
volume
x
22 
 
kdmyxwdmzywdmzxw
volume
z
volume
y
volume
x
22 
 
 Na última equação acima reconhecemos, nas integrais indicadas, os 
momentos de inércia e os produtos de inércia do corpo rígido, calculados em relação 
ao sistema de referência baricêntrico (ver equações (5.24) a (5.26) e (5.30) a (5.32)). 
Assim, escrevemos: 
 
 iwPwPwJH zzxyyxxxG jwPwJwP zzyyyxyx 
 
 kwJwPwP zzyzyxzx (6.9) 
 
com: 
 
volume
x dmzyJ 22 
volume
yx dmyxP 
 
volume
zx dmzxP 
volume
22
y dmzxJ 
 
volume
zy dmzyP 
volume
22
z dmyxJ 
 
 
Relembrando a definição do tensor de inércia, dada pela equação (5.35) e 
introduzindo a notação matricial, expressamos o resultado acima sob a forma: 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
180 
 wJH GG , (6.10) 
onde: 
 
T
GGGG zyx
HHHH (6.11) 
 
T
zyx wwww (6.12) 
 
zzyzx
zyyyx
zxyxx
G
JPP
PJP
PPJ
J (6.13) 
 
 A equação (6.10) nos mostra que as componentes do vetor quantidade de 
movimento angular do corpo rígido são dadas por combinações lineares das 
componentes do vetor velocidade angular, sendo os momentos e produtos de inércia 
os coeficientes destas combinações lineares. 
 O vetor quantidade de movimento angular em relação a OXYZ, denotado por 
OH , pode ser determinado a partir de GH empregando a equação (4.29.a), repetida 
abaixo: 
 
 GGGO vMrHH (6.14) 
 
 
6.3 � Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos 
 
 No Capítulo 4 obtivemos as equações fundamentais da dinâmica dos sistemas 
discretos de partículas, (4.14), (4.20) e (4.27), denominadas equações de Newton-
Euler, que são repetidas a seguir: 
 
OO HM (6.15) 
 
GaMF (6.16) 
 
 GG HM , (6.17) 
 
onde F designa a resultante das forças externas aplicadas às partículas do 
sistema e GM designa o momento resultante das forças externas em relação ao 
centro de massa do sistema de partículas. 
As equações (6.16) e (6.17), combinadas, estabelecem a equivalência entre 
dois conjuntos de esforços: 
 
os esforços externos, compreendendo forças e momentos aplicados por 
agentes externos ao sistema (incluindo reações de apoio), cuja força 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
181 
resultante é designada por F e cujo momento resultante, em relação a 
G, é representado por GM . Os efeitos dos esforços externos são, 
portanto, representados no lado esquerdo das equações (6.16) e (6.17). 
 
os esforços efetivos, representados pelo vetor força efetiva GaM , aplicada 
no centro de massa, e pelo momento efetivo GH . 
 
A equivalência entre esforços externos e esforços efetivos é ilustrada com o 
auxílio da Figura 6.2. 
Vale lembrar que dois sistemas de forças são equivalentes quando ambos 
tiverem a mesma força resultante e o mesmo momento resultante em relação a 
qualquer ponto do espaço arbitrariamente escolhido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 
 
Conforme ilustrado na Figura 6.2, os esforços externos atuantes sobre os 
corpos rígidos podem ser de dois tipos: forças e momentos (ou binários). O conceito 
de força já foi explorado nos capítulos anteriores. Um momento ou binário, 
designado genericamente por M, representa o efeito de duas forças de mesmo 
módulo, mesma direção e sentidos opostos, F e F , aplicadas em dois pontos A e B 
do corpo rígido, separados por uma distância d, sendo dado por: 
 
FdM 
 
 No S.I., o momento tem unidades de [N.m]. 
Na equação (6.17), está subentendido que a derivada temporal indicada é 
calculada em relação ao sistema de referência baricêntrico, que tem orientação fixa. 
Contudo, existe uma dificuldade operacional. Quando o corpo rígido se movimenta, 
seus momentos de inércia e produtos de inércia variam continuamente com o tempo 
G G 
1F 
2F 
nF 
1M 
GH 
GaM 
Esforços externos Esforços efetivos 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
182 
em relação ao sistema de referência baricêntrico. Assim, na derivação da 
quantidade de movimento angular, dada por (6.10), teríamos que considerar o 
tensor de inércia variável com o tempo, o que complicaria muito o cálculo da 
derivada. Para contornar esta dificuldade, podemos adotar um procedimento 
baseado no emprego de um sistema de referência auxiliar, rigidamente ligado ao 
corpo rígido, denotado por 111 zyGx , indicado na Figura 6.3. Estando preso ao corpo 
rígido, este sistema auxiliar tem a mesma velocidade angular do corpo rígido e, em 
relação a ele, os momentos de inércia e produtos de inércia são invariáveis. 
Expressamos inicialmente GH em termos de suas componentes no sistema 
auxiliar 111 zyGx , sob a forma: 
 
 
111 zyGxG JH (6.18) 
 
onde T
zyx 111
 e 
111 zyGxJ designam o vetor velocidade angular e o 
tensor de inércia expressos no sistema auxiliar 111 zyGx . Utilizamos em seguida a 
equação (1.126), adaptada à situação presente, para calcular a derivada temporal de 
GH em relação ao sistema zyxG , a partir da derivada temporal de GH em relação 
ao sistema 111 zyGx , segundo: 
 
 G
zyGx
G
zyxG
G HHH
111
, (6.19) 
 
Sendo o tensor de inércia 
111 zyGxJ invariável em relação ao sistema 111 zyGx , 
derivando (6.18) temos: 
 
 
111
111
zyGx
zyGx
G JH , 
 
 Substituindo a última equação acima em (6.19) obtemos finalmente a 
expressão para a derivada temporal da quantidade de movimento angular em 
relação ao sistema baricêntrico zyxG : 
 
 GzyGx
zyxG
G HJH
111
, (6.20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
183 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.3 
Combinando as equações (6.16) a (6.20), obtemos as seguintes expressões 
para as equações de Newton-Euler: 
 
GaMF (6.21) 
 
GM
111 zyGxJ GH (6.22) 
 
Uma vez calculados os esforços efetivos GaM e GH , podemos utilizar a 
equivalência indicada na Figura 6.2 para obter equações independentes que serão 
resolvidas para as incógnitas do problema. 
6.4 � Equações de Euler para o movimento de corpos rígidos 
Se os eixos auxiliares 111 zyGx forem escolhidos de modo a coincidirem com os 
eixos principais de inércia do corpo rígido, a quantidade de movimento angular, 
dada por (6.18) assume a forma simplificada: 
 
kJjJiJH zzyyxxG 111111
 (6.23) 
 
Introduzindo (6.22) em (6.18), obtemos, após manipulações algébricas: 
 
jJJJiJJJH xzxzyyzyzyxx
zyxG
G 111111111111
---- 
O 
Y 
X 
Z 
y 
x 
z 
G 
1y 
1x 
1z 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
184 
 
kJJJ yxyxzz 111111
-- (6.24) 
 
Introduzindo (6.23) em (6.17), obtemos as três equações escalares seguintes: 
 
1xGM
111111 zyzyxx JJJ (6.25.a) 
 
1yGM
111111 xzxzyy JJJ (6.25.b) 
 
1zGM
111111 yxyxzz JJJ (6.25.c) 
 
Estas equações são as chamadas equações de Euler do movimento. 
Expressando ainda a equação (6.21) em termos dascomponentes cartesianas 
dos vetores que nela figuram, obtemos mais três equações escalares: 
 
11 xGx aMF (6.26.a) 
 
11 yGy aMF (6.26.b) 
 
11 zGz aMF (6.26.c) 
 
As equações (6.25) e (6.26) formam um sistema de seis equações diferenciais 
que, uma vez integradas, fornecerão as variações temporais da velocidade e da 
posição do cento de massa do corpo rígido, bem como a velocidade angular e a 
posição angular do corpo rígido. 
Partindo desta situação geral, estudaremos, em seguida, a dinâmica dos 
corpos rígidos desenvolvendo alguns casos particulares de movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
185 
6.5 � Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento de 
translação 
 
Conforme vimos na Seção 2.3, no movimento de translação, um corpo rígido 
tem velocidade angular e aceleração angular identicamente nulas: 0;0 . 
A equivalência entre os sistemas de esforços externos e esforços efetivos para 
o caso de corpos rígidos em movimento de translação é ilustrada na Figura 6.4.
Figura 6.4
 
Neste caso, as equações de Newton-Euler (6.21) e (6.22) ficam reduzidas a: 
 
 GamF (6.27) 
 
0GM (6.28) 
 
e as equações (6.25) e (6.26), adaptadas para o caso em questão, ficam: 
 
 
1xGM 0 (6.29.a) 
 
1yGM 0 (6.29.b) 
 
1zGM 0 (6.29.c) 
 
11 xGx aMF (6.29.a) 
 
11 yGy aMF (6.30.b) 
G 
G 
1F 
2F 
nF 
GaML 
Esforços externos Esforços efetivos 
1M 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
186 
 
11 zGz aMF (6.30.c) 
 
 
6.6 � Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento 
plano 
 
 O movimento plano de um corpo rígido, ilustrado na Figura 6.5, fica 
caracterizado quando as duas condições seguintes são satisfeitas: 
 
a) o corpo rígido desenvolve um movimento tal que todos os seus pontos 
descrevem trajetórias contidas em planos paralelos entre si (no caso 
ilustrado na Figura 6.4, estes planos são paralelos ao plano X-Y. Neste 
caso, os vetores velocidade angular e aceleração angular têm direção 
constante, perpendicular ao plano do movimento (na direção do eixo Z). 
 
b) o corpo rígido tem distribuição de massa simétrica em relação ao plano do 
movimento (por exemplo, corpos do tipo placa).
 
 
 
 
Figura 6.5 
 
 
As conseqüências destas hipóteses são as seguintes: 
 
1a) o vetor velocidade angular tem apenas uma componente, sendo expresso 
sob a forma 00 . 
 
O 
Y 
G 
X 
Z 
z 
x 
y 
1x 
1y 
1z 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
187 
2a) o sistema 111 zyGx de eixos auxiliares presos ao corpo rígido forma um 
sistema de eixos principais de inércia ( 0
1111 zyzx PP ). 
 
Neste caso, as equações (6.25) e (6.26) assumem as seguintes formas 
simplificadas: 
 
1zGM kJz1
 (6.31.a) 
 
11 xGx aMF (6.31.b) 
 
11 yGy aMF (6.31.c) 
 
A equivalência entre os sistemas de esforços externos e esforços efetivos para 
o caso de corpos rígidos em movimento plano é ilustrada na Figura 6.5.
Figura 6.5
 
G 
G 
1F 
2F 
nF 
1M 
GaML 
Esforços externos Esforços efetivos 
kJH zG 1
 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
188 
 
6.7 � Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento com 
um ponto fixo 
 
 O movimento de um corpo rígido com um ponto O fixo é ilustrado na Figura 
6.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.6 
 
Neste tipo de movimento, convém utilizar a equação (6.15), que envolve a 
quantidade de movimento angular OH , computada em relação ao sistema de 
referência OXYZ, de orientação fixa. Com este objetivo, desenvolvemos 
primeiramente a equação (6.14), repetida abaixo: 
 
 GGGO vMrHH 
 
 Nesta última equação introduzimos: 
 
 kZjYiXr GGGG 
 
 GG rv 
 
 wJH GG , 
 
com: 
 
zzyzx
zyyyx
zxyxx
G
JPP
PJP
PPJ
J 
O 
Y 
X 
Z 
 
1y 
1x 
1z 
G 
Gr 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
189 
 
 Assim procedendo, após desenvolvimento das operações vetoriais indicadas, 
obtemos: 
 
ZO
YO
XO
H
H
H
Z
Y
X
GGGGGG
GGGGGG
GGGGGG
zzyzx
zyyyx
zxyxx
YXZYZX
ZYZXYX
ZXYXZY
M
JPP
PJP
PPJ
22
22
22
 
 
 Com base nas equações (5.38) a (5.44), reconhecemos, na soma de matrizes 
indicada na equação acima, a expressão para o Teorema dos Eixos Paralelos: 
 
22
22
22
GGGGGG
GGGGGG
GGGGGG
zzyzx
zyyyx
zxyxx
ZYZXZ
YZYXY
XZXYX
O
YXZYZX
ZYZXYX
ZXYXZY
M
JPP
PJP
PPJ
JPP
PJP
PPJ
J 
 
 Assim, a penúltima equação acima fornece a seguinte expressão para a 
quantidade de movimento angular OH de corpos rígidos desenvolvendo movimento 
com o ponto O fixo: 
 
 OO JH (6.32) 
 
 Para utilizar a equação (6.15), devemos computar a derivada temporal de OH 
em relação ao sistema de eixos de orientação fixa OXYZ. Para tanto, utilizamos 
mais uma vez o procedimento detalhado na Seção 6.2, baseado no emprego de um 
sistema de eixos auxiliares 111 zyOx , rigidamente ligado ao corpo rígido. 
Expressamos inicialmente OH em termos de suas componentes no sistema 
auxiliar 111 zyGx , sob a forma: 
 
 
111 zyGxO JH (6.33)
 
onde T
zyx 111
 e 
111 zyGxJ designam o vetor velocidade angular e o 
tensor de inércia expressos no sistema auxiliar 111 zyGx . Utilizamos em seguida a 
equação (1.126) para calcular a derivada temporal de OH em relação ao sistema 
OXYZ, a partir da derivada temporal de OH em relação ao sistema 111 zyGx , 
segundo: 
 
 O
zyOx
O
OXYZ
O HHH
111
, (6.34) 
 
Sendo o tensor de inércia 
111 zyGxJ invariável em relação ao sistema 111 zyGx , 
derivando (6.33) temos: 
 
111
111
zyOx
zyGx
O JH , 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
190 
 
 
 Substituindo a última equação acima em (6.34) obtemos a expressão para a 
derivada temporal da quantidade de movimento angular em relação ao sistema 
OXYZ: 
 
 OzyOx
OXYZ
O HJH
111
, (6.35) 
 
Introduzindo a equação (6.35) em (6.15), obtemos a seguinte equação: 
 
OM
111 zyOxJ OH (6.36) 
 
 O uso da equação (6.36) é particularmente adequada em numerosas situações 
porque as reações de apoio em O, que são desconhecidas, não intervém em OM . 
 
 
6.8 � Equações de Newton-Euler para os corpos rígidos em movimento de 
rotação em torno de um eixo fixo. 
 
 Consideremos a situação ilustrada na Figura 6.7 onde se vê um corpo rígido 
executando movimento de rotação em torno de um eixo fixo OO , com velocidade 
angular . Por conveniência, fazemos coincidir o eixo de rotação com o eixo OZ do 
sistema de referência OXYZ, admitido de orientação fixa. Aqui, mais uma vez, 
consideramos um sistema de referência auxiliar 111 zyOx , rigidamente ligado ao 
corpo rígido, com o eixo 1Oz coincidente com o eixo de rotação.Figura 6.7 
 
 
Neste caso, o vetor velocidade angular pode ser expresso segundo: 
 
k (6.37) 
O 
Y 
X 
Z 
 
1y 
1x 
1z 
G 
OH 
O 
O 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
191 
 
 
e as componentes do vetor quantidade de movimento angular, nas direções dos eixos 
auxiliares, obtidas a partir de (6.33), são dadas por: 
 
 iPH zxOx 111
 (6.38.a) 
 
jPH zyOy 111
 (6.38.b) 
 
kJH zOz 11
 (6.38.c) 
 
 Introduzindo as equações (6.37) e (6.38) na equação (6.36), obtemos as 
seguintes equações escalares: 
 
 2
11111 zyzxx PPM (6.39.a) 
 
2
11111 zxzyy PPM (6.39.b) 
 
11 zz JM (6.39.c) 
 
 
6.9 � Energia cinética de corpos rígidos 
 
 A energia cinética de um sistema discreto de n de partículas foi definida, no 
Capítulo 4, pelas equações (4.41) e (4.44), repetidas abaixo: 
 
n
i
iivmT
1
2
2
1
 (6.40.a) 
 
ou: 
 
 
n
i
iiG vmMvT
1
22
2
1
2
1
, (6.40.b) 
 
onde iv e iv designam as velocidades da partícula genérica iP em relação ao 
sistema de referência baricêntrico zyxG e em relação ao sistema de referência fixo 
OXYZ, respectivamente, e Gv designa a velocidade do centro de massa. 
 As duas últimas equações podem ser estendidas aos corpos rígidos fazendo 
n , dmmi : 
 
 
dmvT
.vol
2
2
1
 (6.41.a) 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
192 
 
dmvMvT
.vol
G
22
2
1
2
1
 (6.41.b) 
 
Desenvolveremos inicialmente a equação (6.41.b). Para tanto, lembramos que, 
de acordo com os conceitos da cinemática dos corpos rígidos, estudados no Capítulo 
2, o movimento do corpo rígido em relação ao sistema de referência baricêntrico é 
um movimento com o ponto G fixo (ver seções 2.6 e 2.7.1). Assim, a partir da 
equação (2.12), podemos então escrever: 
 
 rv (6.42) 
 
onde os vetores e r podem ser decompostos em suas componentes nas direções 
dos eixos baricêntricos zyxG , segundo: 
 
 kzjyixr (6.43) 
 
kwjwiw zyx (6.44) 
 
Introduzindo (6.43) e (6.44) em (6.42) e substituindo em seguida a equação 
resultante em (6.40.b), temos: 
 
2
2
1
GMvT 
 
+ dmkzjyixkjikzjyixkji zyx
volume
zyx2
1 
 
Efetuando os produtos vetoriais e o produto escalar indicados e introduzindo 
a notação matricial, a última equação acima pode ser posta sob a forma: 
 
G
T
G
T
G JvvMT
2
1
2
1
 (6.45) 
 
A partir desta expressão geral da energia cinética, deduziremos as expressões 
aplicáveis a alguns casos particulares de movimento de corpos rígidos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
193 
 
 6.9.1 - Energia cinética no movimento de translação 
 
No caso do movimento de translação, a velocidade angular é identicamente 
nula 0 . A energia cinética, neste caso, obtida a partir de (6.44), é dada pela 
expressão: 
 
2
2
1
2
1
GG
T
G MvvvMT (6.46) 
 
6.9.2 - Energia cinética para corpos rígidos em movimento plano 
 
No caso de movimento plano, anteriormente abordado na Seção 6.5 (ver 
Figura 6.5), temos: 
 
� k 
 
� 0zyzx PP 
 
Neste caso, a equação (4.44) conduz a: 
 
22
2
1
2
1
zzG JMvT (6.47) 
 
6.9.3 - Energia cinética no movimento com um ponto fixo 
 
No caso de movimento com um ponto fixo, O, convém desenvolver a expressão 
da energia cinética a partir (6.40.a). Para tanto, recordamos que, neste tipo de 
movimento, a velocidade de um ponto genérico do corpo rígido é dada por: 
 
rv (6.48) 
 
Expressamos os vetores e r em termos de suas componentes em relação ao 
sistema de referência fixo OXYZ: 
 
kji ZYX (6.49) 
 
kZjYiXr (6.50) 
 
Introduzindo (6.49) e (6.50) em (6.48) e a equação resultante em (6.41.a), 
temos: 
 
 
 dmkZjYiXkjikZjYiXkjiT ZYX
.vol
ZYX2
1 
 
Efetuando os produtos vetoriais e o produto escalar indicados e introduzindo 
a notação matricial, a última equação acima pode ser posta sob a forma: 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
194 
 
 
O
T JT
2
1
 (6.51) 
 
onde OJ indica o tensor de inércia do corpo rígido em relação ao sistema de 
referência fixo OXYZ. 
 
 
6.9.4 - Energia cinética no movimento de rotação em torno de um eixo fixo 
 
Para um corpo rígido que executa um movimento de rotação em torno de um 
eixo fixo OO , o equacionamento para a obtenção da expressão da energia cinética é 
o memso apresentado para o caso de movimento com um ponto fixo (equações (6.48) 
a (6.51)). Se fizermos o eixo OZ coincidir com o eixo OO , conforme ilustrado na 
Figura 6.8, a equação (6.51) assume a forma: 
 
2
2
1
ZZJT (6.52) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.8 
O 
Y 
X 
Z 
 
G 
O 
O 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
195 
6.10 � Princípio do trabalho-energia cinética para os corpos rígidos 
 
O princípio do trabalho-energia cinética foi estabelecido para um sistema de 
partículas através da equação (4.46). Este princípio pode ser estendido ao corpo 
rígido se o imaginarmos como sendo constituído de um número infinito de partículas 
de massas infinitesimais, como fizemos nas seções anteriores. Assim, podemos 
expressar da seguinte forma o princípio do trabalho-energia cinética para os corpos 
rígidos: 
 
2211 TWT (6.53) 
 
onde 1T e 2T são a energias cinéticas do corpo rígido nas posições inicial e final, 
expressas nas formas apresentadas na Seção 6.8, e 21W representa o trabalho 
resultante de todas as forças e momentos externos aplicados ao corpo rígido. 
 Neste ponto, uma diferenciação importante dever ser feita em relação aos 
sistemas discretos de partículas. Na equação (4.46) 21W designa o trabalho 
resultante incluindo os trabalhos das forças externas e internas. No caso de corpos 
rígidos, as forças internas têm trabalho líquido nulo, de modo que em (6.53) devem 
ser incluídos apenas os trabalhos dos esforços externos. 
 A demonstração de que as forças internas realizam trabalho total nulo 
durante o movimento de corpos rígidos é feita a seguir, com o auxílio da Figura 6.9. 
Tomando duas partículas genéricas do corpo rígido, iP e jP , são indicadas as forças 
internas exercidas uma sobre a outra, ijf e jif . Designando ainda por ird e jrd os 
deslocamentos elementares arbitrários sofridos pelas duas partículas, o trabalho 
elementar líquido realizado pelo par de forças internas é dado por: 
 
 jjjiiiijjjiiij
ij cosrdfcosrdfrdfrdfdW (6.54) 
 
 Notamos agora que: 
 
 jiij ff 
 
devido à hipótese de rigidez ideal, o comprimento do segmento jiPP deve 
permanecer invariável. Isto significa que as projeções dos deslocamentos 
ird e jrd sobre o segmento jiPP devem anular-se, ou seja: 
jjii cosrdcosrd . 
 
 Estas duas considerações levam à conclusão que o trabalho líquido de cada 
par de forças internas, dado por (6.54) resulta ser nulo. Isto implica que o trabalho 
líquido realizado por todas as forças internas é igualmente nulo. 
 
 
 
 
 
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
196Figura 6.9 
 
Os esforços externos atuantes sobre os corpos rígidos podem ser de dois tipos: 
forças e momentos (binários). O trabalho de uma força foi definido na Seção 3.12.1, 
sendo dado pela equação (3.68), repetida abaixo: 
 
 
2
1
21
r
r
F rdFW 
 
Conforme mostrado na Figura 6.10, um momento ou binário M representa o 
efeito de duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos, F e F , 
aplicadas em dois pontos A e B do corpo rígido, separados por uma distância r, 
sendo dado por: 
 
FrM (6.55) 
 
No S.I., o momento tem unidades de [N.m]. Qualquer deslocamento do corpo 
rígido transportando os pontos A e B para as posições finais A e B pode ser 
dividido em duas partes: uma na qual os dois A e B têm deslocamentos iguais 1rd , 
sendo levados para as posições A e B , e outra na qual o ponto A permanece na 
posição A , enquanto B se move para a posição B , sofrendo um deslocamento 2rd , 
cujo módulo vale rdds2 . Na primeira parte do movimento o trabalho líquido do 
par de forças vale 011 rdFrdF . Na segunda parte do movimento apenas a 
força F realiza trabalho que vale FrddsFrdF 22 . Levando em conta (6.55), 
o trabalho elementar realizado pelo binário M é dado por: 
 
 MddW M
21 (6.56) 
 
iP 
jP 
ird
jrd
ijf
jif
i
j
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
197 
 O trabalho realizado pelo binário M durante uma rotação finita do corpo do 
corpo rígido entre duas posições angulares 1 e 2 é obtido por integração de (6.56): 
 
2
1
21 MdW M (6.57) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.10 
6.11 � Princípio da conservação da energia mecânica para os corpos 
rígidos 
 
De acordo com a Seção 3.12.4, quando todos os esforços externos que atuam 
sobre o corpo rígido são conservativos, podemos associar a cada um deles uma 
função energia potencial, e o trabalho resultante dos esforços externos pode ser 
expresso segundo: 
 
2121 VVW (6.58) 
 Introduzindo (6.58) em (6.53), obtemos: 
 
 2211 VTVT (6.59.a) 
 
2rd
F
F
1rd
1rd
d
A
A
B
B
B
r
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
198 
ou: 
 
 21 EE (6.59.b) 
 
onde VTE é a energia mecânica do corpo rígido. 
 
 As equações (6.59) expressam o princípio da conservação da energia mecânica 
para os corpos rígidos. 
 
 
6.12 � Princípio do impulso-quantidade de movimento para os corpos 
rígidos. Conservação da quantidade de movimento 
 
Nas Seções 4.6 e 4..7 foi estabelecido o princípio do impulso-quantidade de 
movimento para sistemas discretos de partículas, sumarizado na Figura 4.7. Mais 
uma vez, este princípio pode ser estendido ao corpos rígidos. Na Figura 6.2 da Seção 
6.1 é ilustrada a equipolência para os sistemas de quantidades de movimento do 
corpo rígido. A combinação destes dois resultados leva à interpretação do princípio 
do impulso-quantidade de movimento para os corpos rígidos em termos da 
equipolência entre os sistemas de vetores mostrados na Figura 6.11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.11 
G 
11 GvML 
11 GG JH 
G 
2
1
t
t
dtF 
G 
21 GvML 
22 GG JH 
+
=
D.A. RADE DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
199 
 No caso em que o corpo rígido não sofre ação de nenhuma força externa, o 
sistema de impulsos externos resulta identicamente nulo e o sistema de 
quantidades de movimento permanece invariável. Neste caso, dizemos que há 
conservação da quantidade de movimento do corpo rígido. 
 
 
6.13 � Bibliografia 
 
 
BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros � 
Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. 
HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-
Prentice Hall, 2005. 
KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. 
MAIA, L. P. M., Mecânica Clássica, vol. 2, Editora da Universidade Federal do 
Rio de Janeiro, 1977. 
TENEMBAUM, R., Dinâmica, Editora da Universidade Federal do Rio de 
Janeiro, 1997. 
SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição. 
Pearson�Prentice Hall, 2003. 
SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics, 
Prentice-Hall, 1999. 
 
ANOTAÇÕES 
ANOTAÇÕES 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
200 
CAPÍTULO 7 
 
FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
 
 
7.1 - Introdução 
 
A Mecânica baseada nas Leis de Newton e nos Princípios de Euler aplicadas a 
partículas, sistemas de partículas ou corpos rígidos é também denominada 
Mecânica Vetorial, uma vez que faz uso de grandezas vetoriais: forças, momentos, 
acelerações lineares e acelerações angulares. Conforme pudemos ver nos capítulos 
anteriores, a aplicação dos métodos derivados da Mecânica Vetorial requer a 
elaboração de diagramas de corpo livre para cada um dos corpos que compõem o 
sistema mecânico em estudo, e o estabelecimento das relações envolvendo as forças 
e/ou momentos e as acelerações lineares e angulares. 
Embora sejam teoricamente aplicáveis a qualquer tipo de sistema mecânico, 
os métodos da Mecânica Vetorial podem ter seu uso dificultado no caso de sistemas 
complexos, formados por significativo número de componentes interconectados, que 
podem ainda estar sujeitos a diversos tipos de restrições cinemáticas. Nestes casos, 
uma alternativa que se revela interessante é aquela baseada no uso de métodos que 
compõem a chamada Mecânica Analítica, que enfocamos neste capítulo. 
Diferentemente da Mecânica Vetorial, que faz uso de grandezas vetoriais, a 
Mecânica Analítica se baseia no uso de quantidades escalares: trabalho de forças e 
momentos, energia cinética e energia potencial. Tal característica nos permite 
tratar com maior facilidade sistemas mecânicos complexos sem que seja necessário 
decompor tais sistemas em seus elementos constituintes. 
Podemos afirmar que a Mecânica Analítica constitui uma generalização dos 
princípios de energia (Princípio do Trabalho-Energia Cinética e Princípio da 
Conservação da Energia Mecânica) que utilizamos nos capítulos anteriores para 
estudar a dinâmica de partículas, sistemas de partículas e corpos rígidos, nos 
capítulos anteriores. 
Nas seções seguintes são desenvolvidos e ilustrados, com exemplos, os 
princípios fundamentais da Mecânica Analítica. Conforme veremos, os 
procedimentos de obtenção das equações do movimento tornam-se mais abstratos, 
requerendo o uso de um formalismo matemático adequado. 
 
 
 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
201 
7.2 � Princípio do Trabalho Virtual Aplicado a Sistemas de Partículas 
 
A Figura 7.1 ilustra um conjunto de n partículas. Sobre uma partícula 
genérica iP , de massa im , estão indicadas: 
� iF : a resultante das forças impostas sobre a partícula, representando as 
ações mecânicas dos corpos a ela vizinhos, incluindo as forças exercidas pelas outras 
partículas do sistema; 
� if : a força de restrição exercida sobre pela superfície de restrição iS sobre a 
qual iP é forçada a se mover. Negligenciaremos, por enquanto, o atrito, de modo que 
a força de restrição terá sempre a direção normal à superfície de restrição, indicada 
na Figura 7.1 por in . 
 � ir : vetor posição da partícula em relação ao sistema de referência, suposto 
fixo, OXYZ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.1 
 
 
 Aplicando a Segunda Lei de Newton para cada partícula do sistema, 
considerada isoladamente, escrevemos: 
 
 iiii rmfF i=1,2, ..., n (7.1) 
 
Y
nP1r
X
Z
ir
nr
iP
1P
O
1F
iF
nF
nf
if
1f
1r
ir
nr
it
in
1S
iS
nS
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
202 
O Princípio de d�Alembert, apresentado na Seção 3.6, nos permite escrever 
(7.1) sob a forma: 
 
 0iiii rmfF i=1, 2, ..., n (7.2) 
 
com a interpretação de que, para um observador movimentando-se juntamente com 
a partícula, esta é observada em estado de equilíbrio sob a ação das forças iF , if e 
da força de inércia ii rm . Esta situação é denominada equilíbrio dinâmico. 
 Introduzimos agora o conceito dos chamados deslocamentos virtuais, que 
serão denotados por 1r , ..., ir , ..., nr . Tais deslocamentos virtuais são concebidos 
com as seguintes propriedades: 
 
 � são perturbações imaginárias, infinitesimais e arbitrárias das posições das 
partículas, que não violam as restrições cinemáticas impostas pelas superfícies de 
restrição. Esta última condição implica que os deslocamentos virtuais devem ter a 
direção tangente à superfície de restrição, na posição instantaneamente ocupada 
pela partícula. Assim, conforme ilustra a Figura 7.1, os vetores if e ir são 
mutuamente perpendiculares. 
 
 � são admitidos ocorrer instantânea e simultaneamente, de modo que aos 
deslocamentos virtuais não associamos nenhum lapso de tempo finito. Desta forma, 
as forças aplicadas às partículas do sistema não variam em decorrência dos 
deslocamentos virtuais. 
 
 Em termos de coordenadas cartesianas, os vetores posição das partículas são 
dados por: 
 
kZjYiXr iiii , i=1, 2, ..., n 
 
de modo que os deslocamentos virtuais podem ser expressos segundo: 
 
kZjYiXr iiii , i=1, 2, ..., n 
 
onde iii ZYX ,, são entendidos como variações dadas às coordenadas que 
representam a posição das partículas em relação ao sistema de referência 
empregado. 
 Em virtude de (7.2), podemos afirmar que, na situação de equilíbrio dinâmico, 
o trabalho realizado por todas as forças aplicadas sobre a partícula iP , incluindo a 
força de inércia, associado ao deslocamento virtual ir é nulo, ou seja: 
 
 0iiiii rrmfF i=1, 2, ..., n (7.3) 
 
 Do fato dos vetores if e ir serem mutuamente perpendiculares resulta que 
as forças de restrição produzem trabalho virtual nulo ( 0ii rf ) e (7.3) fica: 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
203 
 
 0iiii rrmF i=1, 2, ..., n (7.4) 
 
 Adicionando as n equações (7.4), obtemos: 
 
 0
1
n
i
iiii rrmF (7.5) 
 
ou ainda: 
 
 0IF WW (7.6) 
 
onde: 
 
n
i
ii
F rFW
1
 e IW
n
i
iii rrm
1
 (7.7) 
 
designam o trabalho virtual das forças impostas e o trabalho virtual das forças de 
inércia, respectivamente. 
 A equação (7.6) expressa o Princípio do Trabalho Virtual, o qual estabelece 
que para qualquer posição de um sistema de partículas, o trabalho virtual total 
realizado por todas as forças impostas e todas as forças de inércia resulta nulo para 
todo e qualquer conjunto arbitrário de deslocamentos virtuais introduzidos a partir 
daquela posição. 
 
 
7.3 � Princípio de Hamilton 
 
 
 No desenvolvimento que segue, ao operador , que designa uma variação 
virtual, serão atribuídas as mesmas propriedades do operador diferencial do Cálculo 
Diferencial. 
 
 A fim de desenvolver (7.5), introduzimos a identidade: 
 
 iiiiiiii
ii rrrrrrrr
dt
rrd
2
1
 
 
donde: 
 
 ii
ii
ii rr
dt
rrd
rr
2
1
 (7.8) 
 
 Introduzindo (7.8) em (7.5) e desenvolvendo a equação resultante, 
escrevemos: 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
204 
 
 
n
i
ii rF
1
 0
2
1
11
n
i
iii
n
i
ii
i rrm
dt
rrd
m (7.9) 
 
 Em (7.9), reconhecemos (ver equação (4.41)): 
 
 
n
i
iii rrmT
12
1
 (energia cinética do sistema de partículas), (7.10) 
 
de modo que podemos reescrever (7.9) sob a forma: 
 
 TW F
n
i
ii
i dt
rrd
m
1
 (7.11) 
 
 Observamos que, no caso geral, a energia cinética pode ser expressa como 
uma função de várias variáveis. Em termos das componentes cartesianas dos 
vetores posição e velocidade das partículas do sistema, tal função assume a forma: 
 
 nnnnnn zyxzyxzyxzyxzyxzyxTT ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 222111222111 , (7.12) 
 
de modo que T designa o diferencial total da função T, expresso segundo: 
 
 n
n
n
n
n
n
z
z
T
y
y
T
x
x
T
z
z
T
y
y
T
x
x
T
T 1
1
1
1
1
1
 
 
 n
n
n
n
n
n
z
z
T
y
y
T
x
x
T
z
z
T
y
y
T
x
x
T
1
1
1
1
1
1
 (7.13) 
 
 
 Multiplicando (7.11) por dt e integrando entre dois instantes de tempo 1t e 2t , 
temos: 
 
 dtTW
t
t
F2
1
2
1
2
1 11
t
t
n
i
iii
t
t
n
i
ii
i rrmdt
dt
rrd
m (7.14) 
 
 Neste ponto, admitiremos que os deslocamentos virtuais, embora arbitrários, 
sejam nulos nos instantes 1t e 2t ., ou seja, 021 trtr ii , i=1,2,...,n, de modo que, 
da equação (7.14), resulta: 
 
 02
1
dtTW
t
t
F (7.15) 
 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
205 
 Admitindo que as forças impostas sejam todas conservativas, de acordo com a 
equação (3.78), podemos escrever: 
 
 VW F (7.16) 
 
onde V é a energia potencial associada às forças impostas, que depende 
exclusivamente das posições ocupadas pelas partículas do sistema. Em coordenadas 
cartesianas, esta função é expressa segundo: 
 
 nnn z,y,x,,z,y,x,z,y,xVV 222111 (7.17) 
 
de modo que V é interpretado como o diferencial total da função V, dado por: 
 
 n
n
n
n
n
n
z
z
V
y
y
V
x
x
V
z
z
V
y
y
V
x
x
V
V 1
1
1
1
1
1
 (7.18) 
 
 Assim, introduzindo (7.16) em (7.15), escrevemos: 
 
2
1
0
t
t
dtVT 
 
ou ainda: 
 
0
2
1
t
t
dtL (7.19) 
 
onde: 
 
 VTL (7.20) 
 
é o chamado Lagrangeano do sistema. 
 
 Levando em conta (7.12) e (7.17), observamos que o Lagrangeano assume a 
forma de uma função de várias variáveis, em termos das componentes dos vetores 
posição e velocidade da partículas. Assim, escrevemos: 
 
 nnnnnn zyxzyxzyxzyxzyxzyxLL ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 222111222111 , (7.21) 
 
e: 
 
 n
n
n
n
n
n
z
z
L
y
y
L
x
x
L
z
z
L
y
y
L
x
x
L
L 1
1
1
1
1
1
 
 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
206 
 n
n
n
n
n
n
z
z
L
y
y
L
x
x
L
z
z
L
y
y
L
x
x
L
1
1
1
1
1
1
 (7.22) 
 
Podemos permutar os operadores integração e diferenciação, expressando 
então (7.19) sob a seguinte forma alternativa: 
 
 
2
1
0
t
t
dtL (7.23) 
 
 As equações (7.19) e (7.23) expressam o chamado Princípio de Hamilton, que 
se aplica aos casos em que todas as forças impostas são conservativas. Este 
princípio que estabelece que dentre todos os movimentos possíveis de ser realizados 
pelo sistema mecânico, satisfazendo as restrições cinemáticas impostas, entre dois 
instantes de tempo subseqüentes quaisquer t1 e t2, o movimento realmente 
desenvolvido pelo sistema é aquele torna nula a variação total da função de várias 
variáveis dada por: 
 
 
2
1
t
t
dtLI (7.24) 
 
Isto significa que as posições e velocidades desenvolvidas pelas partículas 
durante o seu movimento correspondem a um ponto crítico da função dada por 
(7.24). No âmbito do Cálculo Variacional, este tipo de função, representada por uma 
integral definida, é denominada funcional.7.4 O Princípio de Hamilton Estendido 
 
Quando, além das forças impostas conservativas, houver forças impostas não 
conservativas, podemos, em (7.15), separar os trabalhos realizados por estes dois 
tipos de forças, escrevendo: 
 
 F
nc
F
c
F WWW (7.25) 
 
onde F
nc
F
c WW e designam, os trabalhos realizados pelas forças impostas 
conservativas e não conservativas, respectivamente. 
 Fazendo uso da relação (7.16), para as forças impostas conservativas, 
escrevemos: 
 
 VW F
c (7.26) 
 
 Introduzindo (7.25) em (7.15), levando em conta (7.26), escrevemos: 
 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
207 
 02
1
2
1
dtWdtL
t
t
F
nc
t
t
 (7.27) 
 
 A equação (7.27) traduz o chamado Princípio de Hamilton Estendido, 
aplicável aos casos em que existem forças impostas não conservativas. 
 É importante observar que, no segundo termo do lado esquerdo de (7.27), 
F
ncW representa o trabalho virtual das forças não conservativas, o qual não pode ser 
expresso sob a forma de diferencial total de uma função de várias variáveis. Em 
conseqüência (7.27) não pode ser interpretada como a condição de ocorrência de um 
ponto crítico de um funcional. 
Outra observação a ser feita é que, embora tenham sido desenvolvidos para 
sistemas de partículas, o Princípio de Hamilton e o Princípio de Hamilton Estendido 
por ser imediatamente aplicáveis a sistemas mecânicos formados por corpos rígidos, 
desde que sejam corretamente computadas suas energias cinética e potencial e os 
trabalhos virtuais das forças e momentos aplicadas a estes corpos, de acordo com a 
formulação desenvolvida nas seções 6.9 e 6.10. 
 
Exemplo 7.1: Sabendo que no sistema ilustrado na Figura 7.2 a mola está 
indeformada quando r=ro, obteremos as equações diferenciais do movimento. Na 
figura abaixo, t representa um torque externo, m e mo designam, 
respectivamente, a massa do cursor e da barra uniforme OA e k é a constante de 
rigidez da mola. Obtenhamos as equações do movimento do sistema em termos das 
grandezas r e definidas na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.2 
 
mo
m
L
O
A
r
k
r
t
Ref.
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
208 
 Considerando o torque externo t como um esforço não conservativo, 
utilizaremos o Princípio de Hamilton Estendido, dado pela equação (7.27), repetida 
abaixo: 
 
 02
1
2
1
dtWdtL
t
t
F
nc
t
t
 (a) 
 
 Em termos das coordenadas radial-transversal indicadas na figura, 
escrevemos as seguintes expressões para a energia cinética e potencial do sistema: 
 
 
barracursor TTT 
 
 
onde: 
 
 
2222
2
1
2
1
rrmvvmT rcursor 
 
 222
6
1
2
1
LmJT oobarra (rotação não baricêntrica) 
 
 
(elást.)(gravit.)(gravit.) molabarracursor VVVV 
 
 
onde: 
 
 cosmgrVcursor 
 
 cos
2
L
gmV obarra 
 
2
2
1
omola rrkV 
 
Com base nas equações acima, escrevemos o Lagrangeano sob a forma: 
 
22
2
1
rrmL 22
6
1
Lmo cosmgr cos
2
L
gmo
2
2
1
orrk (b) 
 
 
 
 
 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
209 
O trabalho virtual do torque não conservativo é dado por: 
 
 F
ncW (c) 
 
 Com o entendimento que o operador funciona como o diferencial total, 
escrevemos: 
 
 
LL
r
r
L
r
r
L
L (d) 
 
 A partir de (b), avaliamos as derivadas parciais indicadas na equação acima: 
 
22
2
1
rrmL 22
6
1
Lmo cosmgr cos
2
L
gmo
2
2
1
orrk (b) 
 
 2mr
r
L
cosmgrrk o rm
r
L
 
 
sen
2
sen
L
gmmgr
L
o 22
3
1
Lmmr
L
o 
 
 
Introduzindo estas derivadas em (d), escrevemos: 
 
rrmrmgrrkmrL o cos2 
 
 222
3
1
sen
2
sen Lmmr
L
gmmgr oo (e) 
 
 Introduzindo (c) e (e) em (a), obtemos: 
 
 rrmrmgrrkmr
t
t
o
2
1
cos2 
 0
3
1
2
222 dtLmmrsen
L
gmsenmgr oo (f) 
 
 Desenvolvemos, em seguida, eliminar os diferenciais das variações temporais 
das coordenadas que aparecem em (f). Para tanto, efetuamos as seguintes 
integrações por partes: 
 
 � 2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
t
t dtrrrrmdtrrm 
 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
210 
 � 2
1
2
1
2222
3
1
3
1t
t
t
t
oo LmmrdtLmmr 
 dtLmmrrmr
t
t o
1
2
22
3
1
2 
 
 Introduzindo as duas últimas equações em (f), após rearranjo, escrevemos: 
 
 
2
1
2
t
t
o rrmcosmgrrkmr 
dtLmmrrmrsen
L
gmmgrsen oo
22
3
1
2
2
 
0
3
1 2
1
22
t
t
o Lmmrrrm (g) 
 
 Relembrando que er devem ser nulas em t=t1 e t=t2, o último termo do 
lado esquerdo da equação acima resulta nulo. Além disso, como a equação 
resultante deve ser satisfeita para quaisquer incrementos arbitrários er , a 
equação (g) é satisfeita se forem nulas as funções que multiplicam estes 
incrementos. Deste fato, resultam as equações diferenciais do movimento do 
sistema: 
 
0cos2 mgrrkrrm o (h) 
 
tgsen
L
mmrrmrLmmr oo 2
2
3
1 22 (i) 
 
 Observemos que as equações do movimento são acopladas e não lineares. A 
partir de um conjunto de condições iniciais, e dada a função que define o torque 
externo aplicado t , estas equações podem ser integradas numericamente (ver 
Seção 3.8) para obtenção das funções que tr e t que definem a configuração do 
sistema em função do tempo. 
 
 
7.5 Número de graus de liberdade e coordenadas generalizadas 
 
Considerando o sistema de n partículas mostrado na Figura 7.1, podemos 
afirmar que, se todas as partículas puderem se mover livre e independentemente 
uma das outras, a posição de cada uma delas fica determinada por três coordenadas 
espaciais iii zyx ,, i=1,2,...,n, de modo que, para a completa determinação da 
configuração espacial do sistema são necessárias 3n coordenadas. Contudo, se 
houver restrições cinemáticas que limitam o movimento das partículas a uma dada 
região do espaço ou impedem algum tipo de movimento relativo entre as partículas, 
algumas destas 3n coordenadas tornam-se dependentes entre si. Neste caso, o 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
211 
número de coordenadas independentes necessárias e suficientes para determinar a 
configuração espacial do sistema é dado por: 
 
N = 3n � p (7.28) 
 
onde p é o número de equações de restrição impostas pelas restrições cinemáticas e 
N é o denominado número de graus de liberdade do sistema. 
 No caso de sistemas formados por corpos rígidos, o número de coordenadas 
necessárias para definir a posição espacial de cada corpo é 6 (3 coordenadas lineares 
e 3 coordenadas angulares), de modo que o número de graus de liberdade de um 
sistema formado por n corpos rígidos é dado por: 
 
N = 6n � p (7.29) 
 
 A escolha do conjunto de coordenadas independentes é arbitrária, embora seu 
número permaneça invariável. Qualquer conjunto de N coordenadas independentes 
constitui um conjunto de coordenadas generalizadas, que serão aqui denotadas por 
Nqqq ,,, 21 . Ilustramos os conceitos de número de graus de liberdade e 
coordenadas generalizadas com o auxílio do seguinte exemplo. 
 
Exemplo: No sistema ilustrado na Figura 7.3, as partículas P1 e P2 são forçadas a 
se mover sobre o plano x-y, estando ligadas pela barra rígida de comprimento L. 
Para este sistema, determinemos o número de graus de liberdade e um conjunto de 
coordenadas generalizadas.Figura 7.3 
 
 
 No caso em questão temos um sistema com duas partículas (n=2) e número 
toal de coordenadas é 3n=6. Em termos das componentes de seus vetores posição em 
P1
P2
L
y
x
z
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
212 
relação ao sistema de eixos indicados na figura, estas seis coordenadas são denotas 
por 222111 z,y,x,z,y,x . No entanto, estas seis coordenadas não são todas indepentes, 
uma vez que as seguintes as equações de restrição devem ser satisfeitas. 
 
 z1=0 z2=0 22
12
2
12 Lyyxx 
 
 Temos então p = 3 (três equações de restrição), de modo que, de acordo com a 
equação (7.28), o número de graus de liberdade do sistema resulta ser N=3 2 3=3. 
 Alguns conjuntos possíveis de coordenadas generalizadas são: 
 
 ( 11 xq , 12 yq , 23 xq ) 
 
( 11 xq , 12 yq , 13 yq ) 
 
( 11 xq , 12 yq , 3q ) 
 
 
7.6 Equações de Lagrange 
 
Nesta seção, desenvolveremos a formulação que, partindo do Princípio de 
Hamilton Estendido, conduz às chamadas Equações de Lagrange do Movimento, as 
quais constituem uma forma bastante elegante e expedita para a obtenção das 
equações do movimento de sistemas dinâmicos. 
As equações de Lagrange são formuladas em termos de coordenadas 
generalizadas, cujo conceito foi introduzido na Seção 7.6. 
Para o conjunto de n partículas mostrado na Figura 7.1, podemos sempre 
expressar os vetores posição das partículas em função de um conjunto previamente 
escolhido de N coordenadas generalizadas através de relações do tipo: 
 
tqqqrr Nii ,,,, 21 i=1,2, ..., n (7.30) 
 
 Em termos de coordenadas cartesianas, a transformação (7.30) pode ser 
detalhada como segue: 
 
 kzjyixr iiii (7.31) 
 
com: 
 
 tqqqxx Nii ,,, 21 
 
tqqqyy Nii ,,, 21 (7.32) 
 
tqqqzz Nii ,,, 21 i=1,2, ..., n 
 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
213 
 Buscaremos, em seguida, representar as velocidades das partículas em 
termos das coordenadas generalizadas. Para tanto, empregando a regra da cadeia 
da derivação, derivamos (7.30) em relação ao tempo, escrevendo: 
 
 kzjyixv iiii (7.33) 
 
com: 
 
 
t
x
q
q
x
t
x
q
q
x
q
q
x
q
q
x
dt
dx
x i
N
j
j
j
ii
N
N
iiii
i
1
2
2
1
1
 
 
t
y
q
q
y
q
q
y
q
q
y
dt
dy
y i
N
N
iiii
i 2
2
1
1
 
t
y
q
q
y i
N
j
j
j
i
1
 (7.34) 
 
t
z
q
q
z
q
q
z
q
q
z
dt
dz
z i
N
N
iiii
i 2
2
1
1
 
t
z
q
q
z i
N
j
j
j
i
1
 i=1,2, ..., n 
 
Levando em conta (7.31), a expressão da energia cinética do sistema de 
partículas, dada por (7.10), é desenvolvida da seguinte forma: 
 
 
n
i
iiii
n
i
iii zyxmvvmT
1
222
1 2
1
2
1
 (7.35) 
 
 Introduzindo (7.34) em (7.35), escrevemos: 
 
2
1
2
1
2
112
1
t
z
q
q
z
t
y
q
q
y
t
x
q
q
x
mT i
N
j
j
j
ii
N
j
j
j
ii
N
j
j
j
i
n
i
i 
 
 Na equação acima podemos perceber que, de modo geral, a energia cinética 
será função das coordenadas generalizadas nqqq ,, 21 , de suas derivadas 
temporais nqqq ,, 21 e do tempo t. Assim, escrevemos: 
 
 tqqqqqqTT NN ,,,,,, 2121 (7.36) 
 
 Da mesma forma, a energia potencial, que é função exclusiva dos vetores 
posição (e, eventualmente, do tempo), sendo expressa sob a forma: 
 
 tqqqqqqVV NN ,,,,,, 2121 (7.37) 
 
 Com base em (7.36) e (7.37), podemos expressar o Lagrangeano como uma 
função das coordenadas generalizadas nqqq ,, 21 , de suas derivadas temporais 
nqqq ,, 21 e do tempo t: 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
214 
 
 tqqqqqqLVTL NN ,,,,,, 2121 (7.38) 
 
 A partir de (7.38), podemos expressar da seguinte forma a variação do 
Lagrangeano associada a um conjunto arbitrário de deslocamentos virtuais: 
 
N
N
N
N
q
q
L
q
q
L
q
q
L
q
q
L
q
q
L
q
q
L
L 2
2
1
1
2
2
1
1
 
 
ou: 
 
N
j
j
j
j
j
q
q
L
q
q
L
L
1
 (7.39) 
 
Notemos que, de acordo com as propriedades atribuídas aos deslocamentos 
virtuais (ver Seção 7.2), a variação no tempo, representada pelo termo dttL não é 
incluída no desenvolvimento que conduz a (7.39). 
 No desenvolvimento que segue, buscaremos expressar o trabalho virtual das 
forças não conservativas em termos das coordenadas generalizadas. Para tanto, 
escrevemos: 
 
 
n
i
i
nc
i
F
nc rFW
1
 (7.40) 
 
 Fazendo uso da equação (7.30), expressamos os deslocamentos virtuais sob a 
forma: 
 
ir N
N
iii q
q
r
q
q
r
q
q
r
2
2
1
1
 
N
j
j
j
i q
q
r
1
 (7.41) 
 
onde os termos jq , j=1,2, ..., N, são entendidos como variações arbitrárias e 
independentes introduzidas nas coordenadas generalizadas. 
Notemos, mais uma vez que, de acordo com as propriedades atribuídas aos 
deslocamentos virtuais (ver Seção 7.2), a variação no tempo, representada pelo 
termo dttri não é incluída no desenvolvimento (7.41). 
 Introduzindo (7.39) em (7.38), escrevemos: 
 
 F
ncW
N
j
j
n
i j
inc
i q
q
r
F
1 1
 (7.42) 
 
ou ainda: 
 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
215 
 F
ncW
N
j
jj qQ
1
 (7.43) 
 
onde: 
 
n
i j
inc
ij q
r
FQ
1
 (7.44) 
 
são os denominados esforços generalizados. 
 Voltemos agora ao Princípio de Hamilton Estendido, expresso pela equação 
(7.27), repetida abaixo: 
 
 02
1
2
1
dtWdtL
t
t
F
nc
t
t
 7.45) 
 
 Introduzindo (7.39) e (7.43) em (7.45), escrevemos: 
 
dtq
q
L
q
q
L
t
t
N
j
j
j
j
j
2
1 1
0
2
1 1
dtqQ
t
t
N
j
jj 
 
 Rearrajando: 
 
0
2
1 1 1
dtq
q
L
qQ
q
L
t
t
N
j
N
j
j
j
jj
j
 (7.46) 
 
 Efetuamos em seguida as seguintes integrações por partes: 
 
dtq
q
L
dt
d
q
q
L
dtq
q
L
t
t
N
j
j
j
t
t
j
j
t
t
N
j
j
j
2
1
2
1
2
1 11
 (7.47) 
 
 Considerando a hipótese que os deslocamentos virtuais (e, portanto, as 
variações correspondentes das coordenadas generalizadas) devem anular-se nos 
instantes 1t e 2t , ou seja, 021 tqtq jj (ver Seção 7.4), o primeiro termo do 
lado direito de (7.47) resulta nulo. Introduzindo então a equação resultante em 
(7.46), escrevemos, após alguns rearranjos: 
 
0
2
1 1
dtqQ
q
L
q
L
dt
d
t
t
N
j
jj
jj
 (7.48) 
 
 Uma vez que a equação acima deve ser satisfeita para todo e qualquer 
conjunto de variações virtuais arbitrárias e independentes, jq , j=1,2, ..., N, resulta 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
216 
que as funções que multiplicam cada uma das variações jq em (7.48) devem 
anular-se identicamente. Assim, temos: 
 
j
jj
Q
q
L
q
L
dt
d j=1,2, ..., N (7.49) 
 
As equações (7.49) são as denominadas Equações de Lagrange do movimento. 
Note-se que tais equações apresentam-se sob a forma de equações diferenciais de 
segunda ordem na variável tempo, que constituem as equações do movimento do 
sistema mecânico. 
Devemos também observar que, embora tenham sido deduzidas para 
sistemas de partículas, as Equações de Lagrange na forma (7.49) podem ser 
imediatamente aplicadas a sistemas constituídos de corpos rígidos, bastando que se 
usem as expressões adequadas para o cálculo das energias cinética e potencial que 
compõem o Lagrangeano. 
O uso das equações de Lagrange para a obtenção das equações do movimento 
é ilustrado no exemplo a seguir. 
 
 
Exemplo 7.2: Considerando o sistema mecânicoapresentado do Exemplo 7.1, 
obtenhamos as equações diferenciais do movimento utilizando as Equações de 
Lagrange. 
Como as coordenadas ,r são independentes, podemos adotá-las como 
coordenadas generalizadas e as duas equações de Lagrange do movimento, 
expressas por (7.49) tomam as formas: 
 
rQ
r
L
r
L
dt
d (i) 
 
Q
LL
dt
d (ii) 
 
 
Sendo o trabalho virtual do torque não conservativo, dado por: 
 
 F
ncW 
 
e desenvolvendo (7.43) considerando a escolha feita para as coordenadas 
generalizadas: 
 
 F
ncW QrQr , 
 
constatamos que: 
 
0rQ Q (iii) 
D.A. RADE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA ANALÍTICA 
217 
 
Efetuando as derivadas parciais indicadas em (i) e (ii), a partir da expressão 
do Lagrangeano dada pela Eq. (a) do Exemplo 7.1, obtemos: 
22
2
1
rrmL 22
6
1
Lmo cosmgr cos
2
L
gmo
2
2
1
orrk (b) 
r
L rm rm
r
L
dt
d
 
r
L
orrkmgmr cos2 
 
L 22
3
1
Lmmr o L
dt
d 22
3
1
2 Lmmrrmr o 
 
L sen
L
gmmgrsen o 2
 (iv)
Introduzindo as equações (iii) e (iv) em (i) e (ii), obtemos, as seguintes 
equações do movimento, que são idênticas às equações (h) e (i) obtidas no Exemplo 
7.1: 
0cos2 mgrrkrrm o (h) 
 
tgsen
L
mmrrmrLmmr oo 2
2
3
1 22 (i) 
 
7.7 Bibliografia 
 
FOWLES, G.R. CASSIDAY, G.L., Analytical Mechanics, Sixth Edition, Harcourt 
Brace College Publishers, 1998. 
LEMOS, N., Mecânica Analítica, 2ª Edição, Editora Livraria da Física, 2007. 
LANCZOS, C., The Variational Principles of Mechanics, Fourth Edition, 
University of Toronto Press, 1977. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APÊNDICE A 
 
 
Transformação de coordenadas. Problema de 
autovalor associado à determinação de 
momentos principais de inércia e eixos 
principais de inércia 
D.A. RADE APÊNDICE A 
224 
APÊNDICE A 
 
 
Transformação de coordenadas. Problema de autovalor 
associado à determinação de momentos principais de inércia e 
eixos principais de inércia 
 
 
Apresentamos neste Apêndice o desenvolvimento baseado na Álgebra Linear, 
que demonstra que a determinação dos momentos principais de inércia e dos 
cossenos diretores dos eixos principais de inércia pode ser formulada 
matematicamente como um problema de autovalor, expresso através da equação 
(5.45), juntamente com a condição de normalização (5.46). 
Consideremos inicialmente os dois sistemas de referência Oxyz e 111 zyOx , 
mostrados na Figura A.1. Admitimos que o sistema 111 zyOx tenha sido obtido 
mediante uma rotação do sistema Oxyz em torno de um eixo que passa pela origem 
comum O. 
Associamos a estes dois sistemas as bases ortonormais k,j,i e 111 k,j,i , 
indicadas na Figura A.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura A.1 
 
 Consideremos uma quantidade vetorial qualquer Q , indicada na Figura A.1. 
Suas representações em termos de suas componentes expressas nos dois sistemas de 
referência em questão são as seguintes. 
 
 
 
 
x 
y 
O 
z 
1x 
1y 
1z 
i 
j 
k 
1k 
1i 1j 
O 
D.A. RADE APÊNDICE A 
225 
 
 � Em relação ao sistema Oxyz: 
 
kQjQiQQ zyx (A.1) 
 
� Em relação ao sistema 111 zyOx : 
 
111 111
kQjQiQQ zyx (A.2)
 
 Buscamos, a seguir, obter as relações entre as componentes de Q expressas 
em termos dos dois sistemas de eixos em questão. Para tanto, partimos da 
identidade das duas representações (A.1) e (A.2): 
 
 kQjQiQ zyx 111 111
kQjQiQ zyx (A.3) 
 
 Computando o produto escalar de ambos os lados da equação (A.3) pelo vetor 
unitário i , obtemos: 
 
 kiQjiQiiQ zyx 111 111
kiQjiQiiQ zyx (A.4) 
 
 Levando em conta que a base vetorial k,j,i é ortonormal, temos as relações: 
 
 1ii 0ji 0ki 
 
 Além disso, com base na definição do produto escalar entre dois vetores, 
escrevemos: 
 
 1111 i,icosi,icosiiii 
 
1111 j,icosj,icosjiji 
 
1111 k,icosk,icoskiki , 
 
onde 1i,i designa o ângulo formado entre as direções dos vetores i e 1i , sendo a 
mesma notação utilizada para designar os ângulos formados entre os demais pares 
de vetores que aparecem nas equações acima. 
 Assim, a equação (A.4) conduz a: 
 
 xQ 111 111
k,icosQj,icosQi,icosQ zyx (A.5) 
 
 Repetindo o procedimento, calculando o produto escalar de ambos os lados de 
(A.3) pelos vetores unitários j e k , sucessivamente, obtemos as equações: 
D.A. RADE APÊNDICE A 
226 
 
 yQ 111 111
k,jcosQj,jcosQi,jcosQ zyx (A.6) 
 
 zQ 111 111
k,kcosQj,kcosQi,kcosQ zyx (A.7) 
 
 As equações (A.5) a (A.7) podem ser dispostas na seguinte forma matricial: 
 
 
1
1
1
111
111
111
z
y
x
z
y
x
Q
Q
Q
k,kcosj,kcosi,kcos
k,jcosj,jcosi,jcos
k,icosj,icosi,icos
Q
Q
Q
 (A.8) 
 
 A equação (A.8) é escrita sob a forma compacta: 
 
111
111
zyx
zyx
xyzxyz QTQ (A.9) 
 
Vemos, pois, que as componentes do vetor Q expressas nos dois sistemas de 
referência considerados relacionam-se através de uma transformação linear, 
expressa por (A.9), onde 111 zyx
xyzT é a matriz da transformação linear. 
Vamos agora considerar o problema de determinação dos eixos principais de 
inércia e momentos principais de inércia. Demonstraremos que esta determinação é 
feita através da resolução do problema de autovalor (5.45), associado à condição 
(5.46), sendo estas duas equações repetidas abaixo: 
 
 03 ii vIJ , (A.10) 
 
1i
T
i vv , 3,2,1i , (A.11) 
 
onde J é o tensor de inércia em relação aos eixos Oxyz. 
De acordo com equação (5.34), o momento de inércia em relação a um dado 
eixo OO é dado pela expressão: 
 
uJuJ T
'OO , 
 
onde: 
 
z
y
x
u
u
u
u 
 
é o vetor unitário na direção do eixo OO e: 
 
D.A. RADE APÊNDICE A 
227 
zyzxz
yzyxy
xzxyx
JPP
PJP
PPJ
J 
 
é o tensor de inércia do corpo rígido em relação ao sistema Oxyz. 
Desejamos encontrar um outro sistema de referência 111 zyOx , obtido 
mediante uma rotação do sistema Oxyz em torno de um eixo que passa pela origem 
comum O, conforme mostrado na Figura A.1, de modo que, em relação a este 
sistema, possamos escrever: 
 
u~J~u~J T
'OO , (A.12) 
 
onde: 
 
3
2
1
u~
u~
u~
u~ 
 
é o vetor unitário do eixo OO , expresso no sistema 111 zyOx , e: 
 
3
2
1
00
00
00
J
J
J
J~ 
 
é o tensor de inércia diagonal, computado em relação ao sistema 111 zyOx . 
 O desenvolvimento de (A.12) leva à expressão: 
 
 2
33
2
22
2
11 u~Ju~Ju~JJ OO (A.13) 
 
 A relação entre os vetores unitários u e u~ é estabelecida pela 
transformação (A.9): 
 
u~Tu zyx
xyz
111 (A.14) 
 
 Introduzindo (A.14) em (A.12), obtemos: 
 
 u~TJTu~J zyx
xyz
Tzyx
xyz
T
'OO
111111 (A.15) 
 
 Comparando (A.15) e (A.12), notamos que o problema consiste em determinar 
a matriz de transformação 111 zyx
xyzT de modo que: 
 
D.A. RADEAPÊNDICE A 
228 
111111 zyx
xyz
Tzyx
xyz TJTJ~ (A.16) 
seja uma matriz diagonal. 
 Vamos mostrar, em seguida, que a matriz de transformação procurada é dada 
por: 
 
321
111 vvvT zyx
xyz , (A.17) 
 
onde iv , i=1 a 3 são os autovetores do problema (A.10). Para tanto, desenvolvamos 
(A.10) para dois pares distintos de autovalores-autovetores: ii v, , jj v, : 
 
 iii vvJ (A.18) 
 
 jjj vvJ (A.19) 
 
 Premultiplicando (A.18) por T
jv e (A.19) por T
iv , obtemos: 
 
 i
T
jii
T
j vvvJv (A.20) 
 
 j
T
ijj
T
i vvvJv (A.21) 
 
Subtraindo as duas equações acima e levando em conta que J é uma matriz 
simétrica, obtemos: 
 
 0i
T
jji vv 
 
 Admitindo que os autovalores sejam distintos ij , da equação acima 
decorre: 
 
 0i
T
j vv (A.22)
 
 Esta última equação revela que autovetores distintos da matriz J são 
ortogonais entre si. 
 Considerando todas as combinações de valores dos índices i e j, e levando em 
conta a relação (A.17), combinamos as equações (A.22) e (A.11) na seguinte 
expressão matricial: 
 
3
111111 ITT zyx
xyz
Tzyx
xyz (A.23) 
 
Avaliando a equação (A.20) para todas as combinações de índices i e j, 
fazendo uso de (A.11) e (A.23), podemos fazer o seguinte desenvolvimento: 
 
 
D.A. RADE APÊNDICE A 
229 
3
2
1
3
2
1
321
3
2
1
00
00
00
00
00
00
J
J
J
vvvJ
v
v
v
T
T
T
 
 
Fica assim demonstrado que a transformação linear que diagonaliza o tensor 
de inércia J é aquela dada pela equação (A.17)