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Ebook_Cálculo Diferencial (Cálculo Diferencial e Integral Avançado)_DIGITAL PAGES (Versão Digital) (1)

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CÁLCULO 
DIFERENCIAL
Cálculo Diferencial
CÁLCULO 
DIFERENCIAL
(Cálculo Diferencial 
e Integral Avançado)
Natália Galvão Simão de Souza
Natália Galvão Simão de Souza
GRUPO
SER
EDUCACIONAL
gente criando o futuro
É uma grande satisfação apresentar esse conteúdo, desenvolvido com o objetivo de 
trabalhar os principais conceitos desse importante campo da matemática, de forma a 
desenvolver as suas habilidades de compreensão da aplicação em situações cotidianas. 
Iremos trabalhar com uma matemática diferente da qual você está acostumado. Ao 
abordar questões relacionadas a mudanças, movimentos e aproximações, estamos 
lidando com uma matemática muito mais dinâmica. Assim, conseguimos trazer uma 
proposta mais contextualizada e conectada a diferentes áreas do conhecimento, pro-
movendo um olhar diferenciado para perceber a matemática presente no mundo ao 
nosso redor. 
Capa_formatoA5.indd 1,3 01/10/2019 16:19:27
© Ser Educacional 2019
Rua Treze de Maio, nº 254, Santo Amaro 
Recife-PE – CEP 50100-160
*Todos os gráficos, tabelas e esquemas são creditados à autoria, salvo quando indicada a referência.
Informamos que é de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos. 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio 
ou forma sem autorização. 
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido pela Lei n.º 9.610/98 e punido pelo artigo 184 do 
Código Penal.
Imagens de ícones/capa: © Shutterstock
Presidente do Conselho de Administração 
Diretor-presidente
Diretoria Executiva de Ensino
Diretoria Executiva de Serviços Corporativos
Diretoria de Ensino a Distância
Autoria
Projeto Gráfico e Capa
Janguiê Diniz
Jânyo Diniz 
Adriano Azevedo
Joaldo Diniz
Enzo Moreira
Natália Galvão Simão de Souza 
DP Content
DADOS DO FORNECEDOR
Análise de Qualidade, Edição de Texto, Design Instrucional, 
Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico e Revisão.
SER_CALDIF_UNID1.indd 2 01/10/2019 14:01:52
Boxes
ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
SER_CALDIF_UNID1.indd 3 01/10/2019 14:01:52
Unidade 1 - Funções e suas propriedades
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Introdução .............................................................................................................................. 13
Definição de função ........................................................................................................ 13
Domínio e imagem de uma função ............................................................................... 16
Funções e suas representações ................................................................................... 18
Propriedades das funções .................................................................................................. 22
Funções crescentes e decrescentes .......................................................................... 23
Função injetora, sobrejetora e bijetora ....................................................................... 25
Funções pares e ímpares ............................................................................................... 27
Operações com funções...................................................................................................... 29
Operações ........................................................................................................................ 29
Função composta ............................................................................................................ 30
Função inversa ................................................................................................................. 31
Tipos de funções .................................................................................................................. 33
Funções polinomiais ...................................................................................................... 33
Funções algébricas ......................................................................................................... 35
Funções transcendentes ................................................................................................ 37
Sintetizando ........................................................................................................................... 39
Referências bibliográficas ................................................................................................. 40
Sumário
SER_CALDIF_UNID1.indd 4 01/10/2019 14:01:52
Sumário
Unidade 2 - Tipos de função, limites e continuidade
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 42
Funções polinomiais, algébricas e transcendentes ...................................................... 43
Função constante, identidade e polinomial do primeiro grau ................................. 43
Funções modulares e polinomiais ................................................................................ 47
Função racional, exponencial e logarítmica ............................................................... 51
Funções trigonométricas, trigonométricas inversas e hiperbólicas 54
Introdução aos limites ......................................................................................................... 58
O problema da reta tangente ........................................................................................ 59
O problema da velocidade ............................................................................................ 61
Noção intuitiva de limite ................................................................................................. 62
Limites laterais ................................................................................................................ 64
Assíntotas ......................................................................................................................... 65
Cálculo de limites................................................................................................................. 66
Operações ....................................................................................................................... 67
Regra da potência .......................................................................................................... 67
Regra da raiz .................................................................................................................... 68
Regra da substituição direta ........................................................................................ 68
Regra dos limites laterais ............................................................................................... 69
Continuidade ......................................................................................................................... 69
Continuidade em um ponto ............................................................................................ 69
Continuidade em um intervalo ...................................................................................... 71
Teorema do valor intermediário ....................................................................................72
Sintetizando ........................................................................................................................... 73
Referências bibliográficas ................................................................................................. 74
CÁLCULO DIFERENCIAL 5
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Sumário
Unidade 3 - Derivadas, regras de derivação e aplicações da derivada
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 75
Introdução .............................................................................................................................. 76
Derivada de uma função em um ponto ........................................................................ 76
Derivada como taxa de variação .................................................................................. 77
Derivada como uma função .......................................................................................... 79
Funções diferenciáveis .................................................................................................. 80
Regras de derivação ............................................................................................................ 82
Derivação de funções polinomiais ............................................................................... 82
Transformação algébrica de funções .......................................................................... 83
Derivação de funções exponenciais ............................................................................ 84
Regra do produto e regra do quociente ...................................................................... 86
Derivada de funções trigonométricas ......................................................................... 88
Regra da cadeia ............................................................................................................... 89
Derivação implícita ......................................................................................................... 91
Derivada de funções trigonométricas inversas ......................................................... 92
Derivadas de funções logarítmicas e derivada de funções hiperbólicas ................... 93
Aplicações da derivada ...................................................................................................... 95
Química ............................................................................................................................. 96
Física .................................................................................................................................. 96
Economia .......................................................................................................................... 98
Sintetizando ........................................................................................................................... 99
Referências bibliográficas ............................................................................................... 100
CÁLCULO DIFERENCIAL 6
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Sumário
Unidade 4 - Aplicação da derivada na análise de funções e problemas de otimização
Objetivos da unidade ......................................................................................................... 102
Aplicação da derivada na análise de funções ............................................................. 103
Derivadas sucessivas ................................................................................................... 103
Máximos e mínimos ...................................................................................................... 104
Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio ........................................................... 107
Funções crescentes e decrescentes ......................................................................... 110
Teste da primeira derivada e teste da segunda derivada ...................................... 113
Concavidade e pontos de inflexão ............................................................................. 115
Análise geral do comportamento de uma função .................................................... 117
Problemas de otimização ................................................................................................. 120
Minimização de custos de uma instalação ............................................................... 120
Maximização da receita de uma empresa ................................................................ 121
Área máxima de um retângulo inscrito em uma elipse ........................................... 123
Área mínima necessária para a construção de um galpão ................................... 125
Sintetizando ......................................................................................................................... 127
Referências bibliográficas ............................................................................................... 128
CÁLCULO DIFERENCIAL 7
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CÁLCULO DIFERENCIAL 8
SER_CALDIF_UNID1.indd 8 01/10/2019 14:01:52
Sejam todos bem-vindos à essa disciplina! 
É uma grande satisfação apresentar esse conteúdo, desenvolvido com o 
objetivo de trabalhar os principais conceitos desse importante campo da mate-
mática, de forma a desenvolver as suas habilidades de compreensão da aplica-
ção em situações cotidianas. 
Iremos trabalhar com uma matemática diferente da qual você está acostu-
mado. Ao abordar questões relacionadas a mudanças, movimentos e aproxi-
mações, estamos lidando com uma matemática muito mais dinâmica. Assim, 
conseguimos trazer uma proposta mais contextualizada e conectada a diferen-
tes áreas do conhecimento. 
Espero que o material desenvolvido desperte em você um olhar diferencia-
do para perceber a matemática presente no mundo ao nosso redor. 
Bons estudos! 
CÁLCULO DIFERENCIAL 9
Apresentação
SER_CALDIF_UNID1.indd 9 01/10/2019 14:01:52
Ao meu companheiro José, grande incentivador e apoiador nessa minha trajetória.
A professora Natália Galvão Simão 
de Souza possui Licenciatura em Ma-
temática pela Universidade Estadual 
Paulista – UNESP (2013). Atuou como 
professora da Rede Estadual de Ensi-
no de São Paulo. Atualmente, desen-
volve pesquisas no âmbito do ensino e 
da aprendizagem da Matemática e da 
Estatística por meio do Grupo de Es-
tudos em Educação Estatística e Mate-
mática-GEEM, vinculado ao Programa 
de Pós-graduação em Ensino e Histó-
ria das Ciências e da Matemática da 
Universidade Federal do ABC, tendo 
diversas publicações em importantes 
eventos nacionais e internacionais. 
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/0176339173271378
CÁLCULO DIFERENCIAL 10
A autora
SER_CALDIF_UNID1.indd 10 01/10/2019 14:01:52
FUNÇÕES E SUAS 
PROPRIEDADES
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Introduzir o conceito de função;
 Estudar o domínio e a imagem de uma função;
 Apresentar as diferentes formas de representação de uma função;
 Estudar as propriedades das funções;
 Estudar as operações com funções;
 Apresentar a diferenciação entre funções polinomiais, algébricas e 
transcendentes.
 Introdução
 Definição de função
 Domínio e imagem de uma 
função
 Funções e suas representações
 Propriedades das funções
 Funções crescentes e decres-
centes
 Função injetora, sobrejetora e 
bijetora
 Funções pares e ímpares
 Operações com funções
 Operações
 Função composta
 Função inversa
 Tipos de funções 
 Funções polinomiais
 Funções algébricas
 Funções transcendentes
CÁLCULO DIFERENCIAL 12
SER_CALDIF_UNID1.indd 12 01/10/2019 14:02:19
Introdução
No nosso cotidiano, nos deparamos com diversas situações em que há 
a necessidade de associar informações. Por exemplo, quando nascemos, já 
somos associadosa um nome e nosso nome será associado a um número de 
CPF. No ambiente de trabalho, somos associados a um número de registro 
de funcionários. Também estabelecemos diversas relações nas nossas ativi-
dades diárias: associamos o preço cobrado por um produto com os custos de 
sua produção, a taxa de frete para enviar uma encomenda ao peso do que se 
deseja enviar, entre diversas outras situações. 
Nesses exemplos, podemos imaginar que existem dois conjuntos distin-
tos: um que contém as informações de entrada e outro que contém as res-
postas que dependem dessas informações. 
Por meio da matemática, é possível estudar essa relação entre dois 
conjuntos, definida como uma regra que associa elementos de um pri-
meiro conjunto aos elementos de um segundo. A essa relação daremos o 
nome de função. 
A função será, então, o objeto principal do estudo dessa disciplina. Dessa 
forma, apresentaremos a defi nição do conceito de função, as características 
dos conjuntos envolvidos nessa associação e as diferentes formas de repre-
sentação de uma função: textual, numérica, algébrica e gráfi ca.
Definição de função
Uma função é uma regra que associa elementos de um conjunto a um úni-
co elemento de outro conjunto, ou seja, a função representa uma situação em 
que uma quantidade é determinada a partir de outra quantidade. 
Veja os exemplos a seguir: 
• A pressão atmosférica depende da altitude.
• O volume de uma esfera depende do seu raio.
Uma forma de compreender a ideia de função é imaginar uma máquina em 
que são inseridos elementos x de um conjunto A e, a partir de uma regra f, são 
produzidos elementos y de um conjunto B. Para indicar que o valor do elemen-
to y é dado em função do valor de x, é utilizada a notação y = f(x).
CÁLCULO DIFERENCIAL 13
SER_CALDIF_UNID1.indd 13 01/10/2019 14:02:19
Figura 1. Representação de uma função por um diagrama de flechas. 
ASSISTA
Para entender mais sobre o conceito de função, assista 
ao vídeo Curtas Matemáticos – Conceito de Função, pro-
duzido pelo laboratório do Instituto Federal Goiano.
Como o valor de y depende do valor de x, então dizemos que x é a variável 
independente e y = f(x) é a variável dependente.
Podemos também utilizar um diagrama de flechas para representar uma 
função. Consideremos dois conjuntos A e B. Cada elemento do conjunto A será 
associado a um único elemento do conjunto B. A lei que irá determinar como 
serão associados esses elementos é a função f.
Com isso, podemos escrever a definição de função de maneira formal: 
Definição: sendo A e B subconjuntos do conjunto dos números reais, uma 
função é uma regra, uma lei, que associa cada elemento x do conjunto A a um 
único elemento f(x) do conjunto B. Comumente, encontramos f(x) denominada 
como y, pois na representação gráfica seus valores estão sobre o eixo y.
Importante destacar que, caso o elemento x não esteja associado a um úni-
co elemento y, a relação entre esses elementos não é uma função, como mos-
tra a Figura 2.
X
A B
y = f (x)
f
CÁLCULO DIFERENCIAL 14
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Figura 2. Representação de uma relação que não é uma função. 
Seguem exemplos de funções representadas algebricamente e por meio do 
diagrama de flechas em que os conjuntos A e B são o conjunto dos números reais.
a) f(x) = 2x + 4
X
A B
y1
y2
0
-1
1/3...
0
1
1/9...
ℝ ℝ
g
3
4
5...
0
1
2...
ℝ ℝ
h
0
1/2
-3...
4
5
-2...
ℝ ℝ
f
b) g(x) = x²
c) h(x) = x - 3
CÁLCULO DIFERENCIAL 15
SER_CALDIF_UNID1.indd 15 01/10/2019 14:02:19
Domínio e imagem de uma função 
O conjunto A, formado pelos valores que a variável x pode assumir, é o que 
chamamos de domínio da função. O conjunto B, formado pelos valores que f(x) 
assume independentemente do valor de x, é chamado de imagem da função. 
Frequentemente, os conjuntos associados por meio de uma função é o con-
junto dos números reais (ℝ → ℝ). O conjunto imagem pode ser um subconjunto 
do conjunto ℝ e, nesse caso, o conjunto ℝ é o contradomínio da função. Ob-
serve o exemplo da Figura 3. 
ƒ (x ) = x2
Domínio: ℝ Contradomínio: ℝ
-2
2
3
-4
Imagem
4
9
-1/2
-1
Figura 3. Domínio, contradomínio e imagem de uma função.
Defi nição de domínio: o domínio de uma função f(x) consiste em todos os 
valores aceitáveis para a variável.
Defi nição de imagem: a imagem de uma função f(x) consiste em todos os 
valores de y, tais que y = f(x), com x pertencente ao domínio da função x.
EXPLICANDO
Se o contradomínio da função é o conjunto dos números reais, dizemos que 
f é uma função real. Se o domínio da função é um conjunto contido no con-
junto dos números reais, dizemos que f é uma função real de variável real. 
O domínio e a imagem de uma função podem ser expressos como intervalos 
de números reais. Veja a notação utilizada para representar esses intervalos: 
• Intervalo aberto: {x|a<x<b}, denotado por ]a,b[;
• Intervalo fechado: {x|a≤x≤b}, denotado por [a,b]; 
• Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: {x|a<x≤b}, denotado por 
]a,b];
CÁLCULO DIFERENCIAL 16
SER_CALDIF_UNID1.indd 16 01/10/2019 14:02:19
• Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda: {x|a≤x<b}, denotado por 
[a,b[;
• Intervalos infinitos:
 • {x|x>a}, denotado por ]a,∞[;
 • {x|x≥a}, denotado por [a,∞[;
 • {x|x<b}, denotado por ]-∞,b[;
 • {x|x≤b}, denotado por ]-∞,b].
O Exemplo 1 a seguir foi retirado do livro Pré-cálculo, escrito por Safier e 
publicado em 2011: 
Seja D o conjunto de todas as palavras em português com menos de 20 le-
tras. Seja f a regra que associa a cada palavra ao seu número de letras. Então, E 
pode ser o conjunto de todos os números inteiros (ou outro conjunto maior) ou 
até mesmo o conjunto {x ϵ ℕ/1 ≤ x <20}. A função f associa a palavra “comer” ao 
número 5, o que seria escrito como f(comer) = 5. Observe que a função associa 
uma única imagem para cada elemento do domínio. No entanto, mais de uma 
elemento do domínio pode ser associado à mesma imagem. 
Há, ainda outros possíveis exemplos:
Exemplo 2. 
Dada a função f(x) = 1x2 - x o seu domínio é determinado:
A função pode ser escrita como:
1
x2 - x
1
x(x - 1)f(x) = =
Como não é permitida a divisão por 0, então temos que x não pode assumir 
os valores 0 e 1. Então, o domínio da função é:
D( f ) = {x ϵ ℝ/x ≠ 0,x ≠ 1}.
Exemplo 3. 
A seguir, são determinados o domínio e a imagem das funções:
3
xa) f(x) =
Nesse caso, o único valor para o qual a função não é definida é x = 0. Então, 
temos que:
D( f ) = ℝ*,que também pode ser escrito como ℝ - {0}
Im ( f ) = ℝ*
b) h(x)= √x + 5
CÁLCULO DIFERENCIAL 17
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A raiz quadrada não é defi nida (no conjunto dos números reais) para um 
número negativo, então, o domínio consiste nos valores de x de maneira que 
x + 3 ≥ 0. Sendo assim: 
D( f ) = [-5,∞[
Im ( f ) = [0,∞[
c) g(x) = |x|
A função pode assumir qualquer valor real para a variável independente x, 
porém a função retornará apenas números reais não negativos. 
D(g) = ℝ
Im (g) = ℝ+, que também pode ser escrito como [0,+∞[
Considerando as funções f e g, podemos dizer que essas duas funções são 
iguais se: 
• f e g têm o mesmo domínio;
• f(x) = g(x) para todo x do domínio de f.
Funções e suas representações
Um texto pode ser utilizado para descrever uma situação na qual há re-
lação de dependência entre duas variáveis. Também é possível utilizar uma 
tabela relacionando os valores que a função assume aos valores do domínio 
da função. A função também pode ser representada por meio de um gráfi co. 
Fazer a transição entre as diferentes representações de uma função pode ser 
útil para uma melhor compreensão do seu comportamento. 
Veja, a seguir, um exemplo da representação de uma função por meio de 
uma tabela de valores, de um gráfi co e de uma expressão algébrica, retirados 
do livro Calculus early transcendentals, publicado por Stewart em 2008 e livre-
mente traduzido:
Exemplo 1. 
P(t) é a população humana mundial em uminstante t. A 
tabela de valores da população mundial fornece uma re-
presentação conveniente dessa função. Ao colocar os 
pontos dessa tabela em um gráfi co, obtemos outra 
representação bastante útil, uma vez que ele permite 
a absorção de todos os dados de uma vez. 
CÁLCULO DIFERENCIAL 18
SER_CALDIF_UNID1.indd 18 01/10/2019 14:02:20
Apesar de não ser possível obter uma função que determine a população 
exata em um instante qualquer t, alguns métodos permitem que se obtenha 
uma expressão para uma função que se aproxima de P(t): 
P(t) ≈ f(t) = (0,008079266) . (1,013731)t 
6 x 109
1900 1920 1940 1960 1980 2000
P
t
Ano População(milhões)
1900 1650
1910 1750
1920 1860
1930 2070
1940 2300
1950 2560
1960 3040
1970 3710
1980 4450
1990 5280
2000 6080
Figura 4. Representação de uma função por uma tabela de valores e por um gráfico. Fonte: STEWART, 2008, p. 14. (Adaptado). 
A função P(t) representa uma situação típica quando se aplica o cálculo a 
contextos reais, em que se inicia com um texto que descreve uma situação e, 
em seguida, é construída uma tabela de valores a partir de dados obtidos. Es-
ses dados podem ser colocados em um gráfico para se ter uma visão geral em 
um intervalo e uma função pode ser obtida por métodos matemáticos. 
Exemplo 2.
 A seguir, o Gráfico 1 é esboçado a partir de uma função que é definida por 
meio de um texto: 
Ao abrir uma torneira de água quente, a temperatura T da água que sai da 
torneira depende de quanto tempo a água está vazando. A temperatura inicial 
é próxima à temperatura ambiente, pois a água que sai é a água que estava no 
cano. Quando a água do tanque de água quente começa a sair pela torneira, 
a temperatura T cresce rapidamente. Na próxima fase, a temperatura se man-
tém constante à temperatura da água aquecida do tanque. Depois, quando o 
tanque de água quente é esvaziado, a temperatura decresce até chegar à tem-
peratura da água fornecida pela rede de abastecimento. 
CÁLCULO DIFERENCIAL 19
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GRÁFICO 1. FUNÇÃO T(t)
Fonte: STEWART, 2008, p. 15. (Adaptado).
Exemplo 3.
f é uma função real de variável real que associa cada número real do seu 
domínio ao dobro desse número somado com 8. A expressão que representa 
essa função e a sua imagem é: 
f(x) = 2x + 8 e Im ( f ) = {y ϵ ℝ / y = 2x + 8 para x ϵ ℝ}
O gráfi co de uma função é defi nido como o conjunto de pares ordenados 
(x,y), onde x pertence ao domínio da função e y = f(x). 
Defi nição de gráfi co: G( f ) = {(x, f(x))|x ϵ D}
O gráfi co pode ser entendido como uma imagem da função que permite 
a visualização de seu comportamento ou do seu histórico. Assim, é possível 
visualizar intervalos de crescimento ou decrescimento da função e pontos 
máximos ou mínimos, ou seja, os gráfi cos podem ser aplicados em diversas 
áreas para facilitar a análise e a tomada de decisões, conforme mostram os 
exemplos a seguir:
a) g:ℝ → ℝ, g(x) = x2 + 1
Um gráfi co é, então, esboçado com T como uma função do tempo t decorri-
do desde que a torneira foi aberta.
CÁLCULO DIFERENCIAL 20
SER_CALDIF_UNID1.indd 20 01/10/2019 14:02:23
GRÁFICO 2. FUNÇÃO g(x) = x² + 1
5
4
3
2
-3 -2 -1 1 2 3 4
y
0
1
x
b) A = {2,4,6,8}. h:A → ℕ, h(x) = n + 3
A imagem dessa função é Im(h) = {5,7,9,1 1}. O gráfico é dado, então, apenas 
pelos pontos {(2,5), (4,7), (6,9), (8,11)}.
GRÁFICO 3. FUNÇÃO h: A→N, h(x) = n + 3
12
12 14
X
y
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2-2-4 0
CÁLCULO DIFERENCIAL 21
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Outras curvas podem ser representadas no plano xy, embora nem toda cur-
va seja o gráfi co de uma função de x. Para verifi car se uma curva é o gráfi co de 
uma função, é possível realizar o teste da linha vertical. Esse teste diz que 
uma curva é o gráfi co de uma função se, e somente se, nenhuma linha vertical 
interceptar essa curva mais que uma vez. Veja o Gráfi co 4 com exemplifi cação 
de duas curvas: uma pode ser considerada o gráfi co de uma função e outra que 
passou no teste da linha vertical.
GRÁFICO 4. TESTE DA LINHA VERTICAL
y
x
x = α
(α,b)
α0
y
x
x = α
(α,b)
(α,c)
α0
Fonte: STEWART, 2008, p. 16. (Adaptado).
Propriedades das funções
Tendo estabelecido o conceito de função, podemos avançar nossos estu-
dos em direção às especifi cidades que uma determinada função pode apre-
sentar. Sendo uma função uma lei de associação entre elementos de con-
juntos distintos que pode traduzir uma situação real, devemos nos capacitar 
para identifi car características específi cas que muito dizem sobre o compor-
tamento dessa situação. 
As diferentes formas de representação de uma função são uma importante 
ferramenta para observar quais são suas características. Um gráfi co pode au-
xiliar na verifi cação de intervalos de crescimento e decrescimento, pontos em 
que a função atinge um máximo ou mínimo, pontos em que a função é nula ou 
pontos de descontinuidade. Além disso, os gráfi cos também podem explicitar 
a ideia de simetria da curva de uma função. E o diagrama de fl echas é uma ma-
neira prática de visualização das diferentes relações entre os conjuntos. 
CÁLCULO DIFERENCIAL 22
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Desse modo, iremos então estudar as propriedades que definem essas 
características e generalizam os conceitos envolvidos, de forma a fornecer 
critérios para o estudo de qualquer tipo de função.
Funções crescentes e decrescentes
Uma função pode se comportar de maneiras diferentes ao longo do seu 
domínio. O Gráfi co 5 mostra uma função y = f(x) defi nida no intervalo [a,d] que 
se comporta da seguinte forma: 
• A função cresce no intervalo [a,b];
• A função decresce no intervalo [b,c];
• A função volta a crescer no intervalo [c,d].
GRÁFICO 5. INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO
y = ƒ (x )
ƒ (x1 )
ƒ (x2 )
y B
a b c dx1 x2
A
C
D
x0
Fonte: STEWART, 2008, p. 20. (Adaptado).
Considere dois números quaisquer x1 e x2 do intervalo [a,b], de forma que 
x1 < x2 e perceba que f(x1) < f(x2). A partir disso, podemos defi nir uma função 
crescente em um intervalo: 
Defi nição: uma função f é crescente em um intervalo se f(x1) < f(x2) para 
qualquer x1 < x2 pertencentes ao intervalo.
Defi nição: analogamente, uma função f é decrescente em um intervalo se 
f(x1) > f(x2) para qualquer x1 < x2 pertencentes ao intervalo.
O exemplo a seguir foi retirado do livro Pré-cálculo, publicado em 2013 e 
escrito por Demana e outros autores.
CÁLCULO DIFERENCIAL 23
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Exemplo 1. 
Verifi que o comportamento da função no intervalo em que está defi nida: 
x2
x2 - 1g(x) =
Pelo esboço do gráfi co da função g, podemos verifi car que esta é crescente 
no intervalo ]-∞,-1[, crescente novamente no intervalo ]-1,0], decrescente no 
intervalo [0,1[ e decrescente no intervalo ]1,∞[.
GRÁFICO 6. ESBOÇO DA FUNÇÃO g(x)
Fonte: DEMANA et al., 2013, p. 78. (Adaptado).
Exemplo 2. 
Dada a função f(x) = -x + 4, com domínio sendo os números reais, pode-
mos construir uma tabela de valores para analisar o comportamento da função 
para x1 < x2:
x f(x) = -x + 4
-1 5
0 4
2 2
4 0
10 -6
f(f(f x(x( ) = -x + 4x + 4x + 4
5
4
2
0
-6
CÁLCULO DIFERENCIAL 24
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Neste caso, como a representação gráfi ca dessa função é uma reta, pode-
mos concluir que a função é decrescente em todo o seu domínio.
Função injetora, sobrejetora e bijetora
Considere a função f: A → B. Dizemos que essa função é uma função injetora 
se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, tais que x1 ≠ x2, 
tem-se que f(x1) ≠ f(x2). 
Em outras palavras, não há nenhum elemento do conjunto B associado a 
mais de um elemento de A. Então, não há elementos distintos de A com a mes-
ma imagem em B. Veja o exemplo da Figura 5.
A B
ƒ
1 0
4
-3
2 1
0 -1
Figura 5. Exemplo de uma função injetora. 
Outros exemplos de funções injetoraspodem ser vistos em: 
a) f:ℝ → ℝ, f(x) = 3x² - 2
Para verifi car se a função f(x) é injetora, fazemos f(x1) = f(x2):
3(x1)2 - 2 = 3(x2)
2 - 2
(x1)
2 = (x2)
2
Neste caso, podemos ter por exemplo (-2)² = (2)². Sendo assim, não é possí-
vel afi rmar que x1 = x2. Logo, a função não é injetora, pois diferentes valores do 
domínio são associados a uma mesma imagem. 
b) g:ℝ → ℝ, g(x) = x - 8
Fazendo g(x1) = g(x2): 
x1 - 8 = x2 - 8
x1 = x2
CÁLCULO DIFERENCIAL 25
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Como as imagens serão iguais somente se os valores do domínio forem 
iguais, então essa é uma função injetora.
DICA
Por meio do gráfico de uma função, é possível verificar se uma função 
é injetora. Para isso, qualquer reta paralela ao eixo x deve interceptar a 
curva em no máximo um ponto.
Dizemos que uma função é uma função sobrejetora se, e somente se, a 
imagem da função for igual ao seu contradomínio, ou seja, não existem ele-
mentos do contradomínio que não estejam relacionados a pelo menos um ele-
mento do domínio. 
Simbolicamente, temos que ∀ y ∈ B,∃ x ∈ A / f(x) = y (para qualquer y per-
tencente ao conjunto B existe um x pertencente ao conjunto A, tal que f de 
x é igual a y).
Veja, na Figura 6, um exemplo de uma função sobrejetora.
A B
ƒ
0 -1
1
1 2
Figura 6. Exemplo de uma função sobrejetora. 
Além disso, é possível afirmar que f:ℝ → ℝ,f(x) = 
x
4 - 2 é sobrejetora, pois se 
y = x4 x - 2, então x = 4y + 8, que é também é uma função definida no conjunto 
dos números reais. 
Vale lembrar que só podemos afirmar que uma função é injetora ou sobreje-
tora, ou o contrário, se são bem definidos o seu domínio e contradomínio, pois 
essa definição pode variar de acordo com a especificidade desses conjuntos. 
Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. 
CÁLCULO DIFERENCIAL 26
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Por exemplo, a função f:[0,1] → [0,1], f(x) = x2 é injetora e sobrejetora. Veja a 
importância de se atentar ao domínio e ao contradomínio da função.
A Figura 7 representa uma função bijetora.
A B
ƒ
1 4
1/2 5
-3 -2
Figura 7. Exemplo de uma função bijetora.
Exemplo: A função f:ℝ → ℝ, f(x) = 5x - 15 é uma função bijetora.
Considerando f(x1) = f(x2), temos:
5x 1 - 15 = 5x 2 - 15
x1 = x2
Então é uma função injetora.
E a função f também é uma função sobrejetora, pois se y = 5x - 15, existe um 
número x = 
y
5 + 3.
Funções pares e ímpares
Uma função é dita par se a condição f(-x) = f(x) é satisfeita para todo o domí-
nio da função. A função f(x) = x², por exemplo, é uma função par, pois:
f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)
Observando o gráfi co de uma função par, é possível notar uma caracterís-
tica: o seu gráfi co é simétrico em relação ao eixo y, ou seja, o gráfi co da função 
no intervalo x ≤ 0 é obtido pela refl exão do gráfi co da função no intervalo x ≥ 0 
sobre o eixo x. 
O Gráfi co 7 apresenta uma função par.
CÁLCULO DIFERENCIAL 27
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GRÁFICO 7. FUNÇÃO PAR
y
xx-x 0
f (-x) f (x)
Fonte: STEWART, 2008, p. 19. (Adaptado).
Caso a função satisfaça a condição f(-x) = -f(x) para todo o domínio da fun-
ção, temos uma função chamada de função ímpar. A função f(x) = x³, por exem-
plo, é uma função ímpar, pois: 
f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do plano xy, 
ou seja, se temos o gráfico da função para o intervalo x ≥ 0, podemos obter o 
restante do gráfico ao rotacionar esta parte 180° sobre a origem. 
O Gráfico 8 apresenta uma função ímpar.
GRÁFICO 8. FUNÇÃO ÍMPAR
0
y
ƒ (x )
x
-x
x
Fonte: STEWART, 2008, p. 19. (Adaptado).
CÁLCULO DIFERENCIAL 28
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Operações com funções
Todos os dias utilizamos as operações de adição, subtração, multiplicação e 
divisão entre números reais em uma variedade de situações. Essas operações 
também podem ser utilizadas tendo como objeto de trabalho as funções no 
lugar dos números.
Podemos, então, combinar duas ou mais funções, tendo como resultado 
outra função a partir das quatro operações aritméticas básicas. Além disso, 
duas funções também podem ser combinadas por um processo denominado 
composição de funções.
Essas combinações podem ser observadas na representação gráfi ca de fun-
ções, em que pode ocorrer, por exemplo, a translação ou refl exão da curva de 
uma função.
Outro processo que será abordado consiste na determinação da função 
inversa, função essa que faz o caminho inverso ao associar os elementos da 
imagem aos elementos do domínio. 
Operações
Ao trabalhar com funções, podemos produzir novas funções a partir de 
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Considere duas funções f e g. As operações que podem ser executadas com 
essas funções são defi nidas por: 
( f + g)(x) = f(x) + g(x);
( f - g)(x) = f(x) - g(x);
( f . g)(x) = f(x) · g(x);
( f/g)(x) = f(x)g(x)
Quanto ao domínio e imagem do resultado das operações, temos: 
• Adição, subtração e multiplicação: o domínio é a interseção dos domínios 
de f e g.
• Divisão: o domínio é a interseção dos domínios de f e g, excluindo os pon-
tos x onde g(x) = 0. 
Exemplo 1. 
Considere as funções f(x) = 5 - x e g(x) = x - 3. Temos que: 
CÁLCULO DIFERENCIAL 29
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( f + g)(x) = 5 - x + x - 3
(f - g)(x) = 5 - x - x - 3
(f . g)(x) = 5 - x · x - 3
(f/g)(x) = 
x - 3
5 - x
O domínio de f é D( f ) = (-∞,5] e o domínio de g é D(g) = [3,+ ∞). Então, o do-
mínio de ( f + g),( f - g) e ( f · g) é [3,5]. O domínio de ( f/g)(x) é (3,5], pois para x = 3 
a função g é igual a 0. 
Exemplo 2. 
Dadas as funções f(x) = 2x - 3 e g(x) = x + 1, podemos determinar ( f . g)(x):
 ( f . g)(x) = (2x - 3) · (x + 1)
= 2x2 + 2x - 3x - 3
=2x2 - x - 3
Exemplo 3.
Dadas as funções f(t) = 2t - 1 e g(t) = t + 3, podemos determinar (g/f )(x): 
(g/f )(t) = t + 32t - 1
O domínio dessa função não inclui o valor t = 12 , pois a divisão por 0 é inde-
fi nida. 
Consideremos agora uma função f e um número real k. Defi nimos a função 
produzida pela multiplicação entre k e a função f por: 
(kf )(x) = kf(x)
O domínio da função obtida com essa operação é o mesmo domínio da 
função f. 
Exemplo 4. 
Considere a função f(x) = x2 - 4 e k = 3. A multiplicação entre a constante k 
e a função f é dada por: 
(kf )(x) = 3 x2 - 4
O domínio dessa função (kf ) é (-∞,-2] ∪ [2,+∞).
Função composta
Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f é defi nida por: 
(g( f(x))
A sua notação é g ∘ f ou (g ∘ f )(x). 
CÁLCULO DIFERENCIAL 30
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Considere as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ dadas 
por f(x) = 2x e g(x) = x2 - 5x. Como a função f é uma 
função sobrejetora, podemos aplicar a função g 
à função f, pois a imagem de f é igual ao domínio 
de g, que é o conjunto dos números reais. 
Aplicando, então, g a f, temos: 
 g( f(x) = g(2x) = (2x)2 - 5(2x) = 4x2 - 10x
Dizemos que a função resultante é a função h(x) = 4x2 - 10x. 
Sua notação é: 
h = g ∘ f
Nem sempre é possível determinar a função composta de duas funções. 
Veja o exemplo a seguir:
f(x) = 3x e g(x) = √x.
Ao tentar obter a função composta g ∘ f, obtemos: 
g ∘ f = g(3x) = √3x
Para o valor de x = -3, temos g( f(-3)) = √-9, o que não é defi nido. Isso ocorre 
porque o domínio da função g é [0,∞) e a imagem de f é o conjunto dos números 
reais. Podemos afi rmar, dessa forma, que só podemos defi nir a função com-
posta de g com f se Im ( f ) ⊂ D(g). 
Exemplo 1.
f: ℝ → ℝ, f(x) = 5x e g: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1
Como Im( f ) = D(g) = ℝ, podemos defi nir a composta de g com f:
(gf )(x) = g(5x) = 2(5x) + 1 = 10x + 1
É possível também determinar a composta de f com g: 
( f ∘ g)(x) = f(2x + 1) = 5(2x + 1) = 10x +5
Observe que g ∘ f e f ∘ g são funções diferentes.
Função inversa
Considere a função injetora f: A → B. A função inversa da função f(x) = y que 
tem domínio em B e contradomínioem A é defi nida por: 
f -1 (y) = x, para qualquer y de B
A defi nição diz que se a função injetora f associa x a y, então a função f -1 
associa y de volta a x.
CÁLCULO DIFERENCIAL 31
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Nesse caso, podemos afirmar que: 
Domínio de f -1 = Imagem de f
Imagem de f -1 = Domínio de f
Por exemplo, a função inversa de f(x) = x3 é f -1 (x) = x
1
3 , porque se y = x3, 
então: 
f -1 (y) = f -1 (x³)
1
3 = (x3) = x
Atenção para não confundir o símbolo (-1) que aparece em f -1 com um ex-
poente, pois este símbolo não significa que f -1 = 1f(x)
As equações de cancelamento podem ser obtidas a partir da definição f -1 (y) 
= x, ao substituir o y e em f(x) = y ao substituir o x: 
f -1 (f(x)) = x, para todo x do conjunto A
f(f -1 (x)) = x, para todo X do conjunto B
A primeira equação diz que se começamos com x, aplicamos a função f, e 
depois aplicamos f -1, voltaremos a x. 
A segunda equação diz que a função f tem ação contrária a f -1.
Se f(x) = x3 e f -1 (x) = x
1
3 . Conferindo as funções de cancelamento: 
f -1 ( f(x)) = (x3)
1
3 = x
f -1 ( f(x)) = (x
1
3)3 = x
Passos para determinar a função inversa de uma função injetora f, siga os 
seguintes passos:
I) Escrever y = f(x).
II) Escrever a equação com x em função de y, se possível. 
III) Expressar f -1 como uma função de x, invertendo x e y.
O resultado deve ser uma equação y = f -1 (x).
Exemplo: 
Dada a função inversa f(x) = x3 + 2, a sua inversa é dada por: 
y = x3 + 2
Então, resolvemos a equação para x: 
y - 2 = x3
x = y - 2
3
Fazemos, então, a troca entre x e y: 
y = x - 2
3
Então, a função inversa da função f(x) = x3 + 2 é:
 f -1 (x) = x - 2
3
CÁLCULO DIFERENCIAL 32
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Tipos de funções 
Agora, apresentaremos a categorização das funções, de maneira a organi-
zar os grupos de funções elementares. 
Cada tipo de função serve como um modelo para representar matematica-
mente uma situação e ou um fenômeno real, o que faz com que seja extrema-
mente relevante saber identifi car essas diferentes formas para permitir que, 
no futuro, se possa avançar para a análise de aplicações práticas. 
Assim, iremos apresentar nessa unidade como estão agrupadas as funções 
em três grandes grupos: funções polinomiais, algébricas e transcendentes. 
Funções polinomiais
Considerando uma função f:ℝ → ℝ, denominamos essa função de função 
polinomial quando:
f(x) = an x
n + an-1 x
n-1 + ⋯ + a1 x1 + a0
A expressão an x
n + an-1 x
n-1 + ⋯ + a1 x1 + a0 é chamada de polinômio, onde n é 
um número natural não nulo e a0, a1, ..., an são constantes reais. 
Se an é diferente de 0, então dizemos que é uma função polinomial de grau n.
São exemplos de funções polinomiais: 
I) f(x) = -8x³, onde a3 = -8.
II) g(t) = 27t5 + 18t² + 15
III) h(x) = √2x2 - 711
IV) f(t) = -31 é uma função constante, onde a0 = -31 e todas as outras cons-
tantes são nulas.
Duas funções polinomiais são iguais se seus termos correspondentes são 
iguais. Ou seja, dadas duas funções: 
f(x) = an x
n + an-1 x
n-1 + ⋯ + a1 x1 + a0
g(x) = bm x
m + bm-1 x
m-1 + ⋯ + b1 x1 + b0
São iguais se m = n e an = bm, an - 1 = bm - 1, ⋯ , a0 = b0. 
Exemplo:
Existe igualdade entre as funções a seguir: 
f(x) = 3x4 + 2x2 + 23 
 g(x) = 2x2 + 186 x
4 + 462
CÁLCULO DIFERENCIAL 33
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As raízes de uma função polinomial são os valores que a variável independen-
te pode assumir de modo que o polinômio da função seja igual a zero. Ou seja:
an x
n + an-1 x
n-1 + ⋯ + a1 x1 + a0 = 0
Veja os exemplos a seguir: 
I) f(x) = 2x2 - 8 tem como raízes x1 = -2 e x2 = 2
II) g(x) = 5x + 20 tem como raiz x1 = -4
III) h(x) = -√5 não tem raiz
Considerando o gráfico de uma função de uma função polinomial, temos 
que as funções de grau zero (função constante) e de grau 1 (função afim) são 
representadas por uma reta. As funções polinomiais do segundo grau tem seu 
gráfico representado por uma parábola e para funções polinomiais de grau 
maior que 2 não existe uma característica específica de seus gráficos. 
De modo geral, as raízes da função são os pontos em que a curva do gráfico 
intercepta o eixo x do plano coordenado enquanto que o termo a0 é o ponto 
onde o gráfico intercepta o eixo y. No Gráfico 9, podemos verificar essas afir-
mações, onde o ponto A é a raiz da função f(x) = 5x5 - 2x -4 e o ponto B é igual 
ao coeficiente a0.
GRÁFICO 9. FUNÇÃO POLINOMIAL
y
xA
B
-2 -1 0 1 2 3 4
1
-1
-2
-3
-4
-5
CÁLCULO DIFERENCIAL 34
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A função f(x) é uma função polinomial de grau 1. Sabendo que a reta que 
representa essa função passa pelos pontos (-1, 2) e (2, 3), podemos determinar 
a função conforme a seguir: 
Uma função polinomial do primeiro grau é da forma f(x) = a1 x + a0. Com os 
pontos conhecidos, podemos montar duas equações: 
2 = a1 (-1) + a0
3 = a1 (2) + a0
Da primeira equação, temos que: 
a0 = 2 + a1
E substituindo o valor de a0 na segunda equação: 
3 = 2a1 + 2 + a1 = 3a1 + 2
a1 = 
1
3
Como sabemos que: 
a0 = 2 + a1
Então, 
a0
 = 2 + 13 = 
7
3
Logo, podemos escrever a função que passa pelos dois pontos dados: 
f(x) = 13 x + 
7
3
Funções algébricas
Uma função é denominada de função algébrica se 
pode ser construída utilizando as operações algébri-
cas de adição, subtração, multiplicação, divisão e 
extração de raiz a partir de polinômios. 
Dessa forma, temos que todas as funções racio-
nais são funções algébricas. 
Veja os exemplos a seguir:
a) f(x) = x2 + 5
b) g(x) = 
x4 - 16x2
x + √x 
+ (x - 2) x - 1
3
Os gráfi cos das funções algébricas podem assumir uma grande diversidade 
de formas. Veja os exemplos dos Gráfi cos 10 e 11.
a) g(x) = x2 - 25
4
CÁLCULO DIFERENCIAL 35
SER_CALDIF_UNID1.indd 35 01/10/2019 14:02:25
GRÁFICO 10. FUNÇÃO ALGÉBRICA
GRÁFICO 11. FUNÇÃO ALGÉBRICA
Fonte: STEWART, 2008, p. 32. (Adaptado).
Fonte: STEWART, 2008, p. 32. (Adaptado).
1
0 5
y
x
(b) g(x) = x2 - 254
c) h(x) = x
2
3 (x - 2)2
y
x
1
10
CÁLCULO DIFERENCIAL 36
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Um exemplo da aplicação das funções algébricas é na Teoria da Relativi-
dade. Nesse caso, a massa de uma partícula que se move com velocidade v é 
dada por:
m = f(v) =
m0
1 - v2/c2
onde c = 3 x 105 km/s é a velocidade da luz no vácuo.
CURIOSIDADE
Leia a matéria da revista Superinteressante “O que é a Teoria da Relativi-
dade?” para saber um pouco mais sobre essa teoria.
Funções transcendentes
As funções transcendentes não satisfazem uma equação polinomial, ao 
contrário das funções algébricas. Em outras palavras, as funções transcenden-
tes recebem essa denominação porque transcendem os métodos algébricos e 
não podem ser expressas em uma sequência fi nita de operações algébricas de 
adição, subtração, multiplicação e raiz. 
As funções transcendentes incluem:
• Funções trigonométricas e suas inversas;
• Funções exponenciais;
• Funções logarítmicas; 
• Outros tipos de funções que ainda não foram nomeadas.
As funções trigonométricas têm grande relevância na Matemática, tanto 
por suas aplicações em situações do cotidiano quanto pela sua aplicação na 
Ciência e na Tecnologia. 
O problema que deu início ao desenvolvimento da trigonometria foi o pro-
blema da determinação dos elementos de um triângulo (lados e ângulos) quan-
do se tem três desses elementos, sendo um deles um lado. Posteriormente 
surgiu a necessidade de atribuir às noções de seno, cosseno e suas associadas 
tangente, cotangente, secante e cossecante, o status de função real de uma 
variável real. Assim, por exemplo, além de cos α, cosseno do ângulo α, tem-se 
também cos x, o cosseno do número real x.
A função exponencial é defi nida como: 
CÁLCULO DIFERENCIAL 37
SER_CALDIF_UNID1.indd 37 01/10/2019 14:02:25
f:ℝ → ℝ,f(x) = ax
onde a é um número real positivo diferente de 1. Consideramos a base a 
diferente de 1. Caso contrário, teríamos apenasa função constante f(x) = 1 para 
todo o domínio. 
Para as funções exponenciais, o domínio e o contradomínio são o conjunto 
dos números reais e a imagem é o conjunto dos números reais positivos. 
São exemplos de funções exponenciais: 
a) f(x) = 5x
b) f(x) = 3
x
4
c) f(x) = 2x
d) f(x) = 0,5x
Veja, no Gráfico 12, funções dos exemplos c e d.
GRÁFICO 12. FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Fonte: STEWART, 2008, p. 32. (Adaptado).
(a) y = 2x
1
10
y
x
(b) y = (0.5)x
1
10
y
x
Os logaritmos foram criados para auxiliar a resolução de equações expo-
nenciais com potências de diferentes bases, como a equação 3x = 27. 
As funções exponenciais são inversíveis e a sua inversa à função logarítmica 
de base a, definida por: 
g(x) = logax
onde a é um número real positivo diferente de 1. A função logarítmica de 
base a é a função inversa da função exponencial de base a.
CÁLCULO DIFERENCIAL 38
SER_CALDIF_UNID1.indd 38 01/10/2019 14:02:25
Sintetizando
O objetivo dessa unidade foi introduzir o conceito de função, que é o objeto 
fundamental para o nosso trabalho nessa disciplina. A partir de algumas situa-
ções do cotidiano, apresentamos o conceito de função como uma regra que 
relaciona as variáveis de dois conjuntos distintos, ideia essa que foi formalizada 
utilizando a notação matemática para o trabalho com funções.
Foram apresentadas as diferentes formas de representação de uma fun-
ção, abordando a representação através de um texto, a representação numé-
rica através de uma tabela de valores, a representação algébrica por uma ex-
pressão e a representação gráfica em um plano de eixos coordenados. 
Em seguida, foi possível observar características específicas de algumas 
funções, que traduzem o seu comportamento. Além disso, foi demonstrado 
que é possível utilizar as operações algébricas para transformar funções e ge-
rar outras a partir de diferentes combinações. 
Por fim, foram apresentadas as especificidades das funções polinomiais, 
algébricas e transcendentes. 
CÁLCULO DIFERENCIAL 39
SER_CALDIF_UNID1.indd 39 01/10/2019 14:02:25
Referências bibliográficas
CURTAS Matemáticos – Conceito de Função. Postado por Labim. (4 min. 12 s.). 
son. color. port. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=72q6cBn-
mLvQ>. Acesso em: 07 ago. 2019.
DEMANA, F. et al. Pré-cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2013.
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2012. 
REDAÇÃO Mundo Estranho. O que é a Teoria da Relatividade. Super Interes-
sante, [s.l.], 18 abr. 2011. Disponível em: <https://super.abril.com.br/mundo-
-estranho/o-que-e-a-teoria-da-relatividade-2/>. Acesso em: 08 ago. 2019.
SAFIER, F. Pré-Cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
STEWART, J. Calculus early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson, 2008.
CÁLCULO DIFERENCIAL 40
SER_CALDIF_UNID1.indd 40 01/10/2019 14:02:25
TIPOS DE FUNÇÃO, 
LIMITES E 
CONTINUIDADE
2
UNIDADE
SER_CALDIF_UNID2.indd 41 01/10/2019 14:05:15
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Apresentar os tipos de funções polinomiais, algébricas e transcendentes; 
 Introduzir o conceito de limite através do problema da reta tangente;
 Introduzir o conceito de limite através do problema da velocidade;
 Definir os limites de uma função;
 Demonstrar o cálculo de limites através das propriedades;
 Apresentar o conceito de continuidade de uma função.
 Funções polinomiais, algébri-
cas e transcendentes
 Função constante, identidade e 
polinomial do primeiro grau
 Funções modulares e polino-
miais
 Função racional, exponencial e 
logarítmica
 Funções trigonométricas, tri-
gonométricas inversas e hiper-
bólicas
 Introdução aos limites
 O problema da reta tangente
 O problema da velocidade
 Noção intuitiva de limite
 Limites laterais
 Assíntotas
 Cálculo de limites
 Operações
 Regra da potência
 Regra da substituição direta
 Regra dos limites laterais
 Continuidade
 Continuidade em um ponto
 Continuidade em um intervalo
 Teorema do valor intermediário
CÁLCULO DIFERENCIAL 42
SER_CALDIF_UNID2.indd 42 01/10/2019 14:05:16
Funções polinomiais, algébricas e transcendentes
As funções e seus gráficos cons-
tituem uma importante ferramenta 
para entender as aplicações da Ma-
temática no nosso cotidiano. As fun-
ções polinomiais do primeiro grau 
podem servir como modelos para 
descrever problemas econômicos, 
enquanto as exponenciais aparecem 
em modelos para estimar o cresci-
mento populacional.
É de grande importância estu-
dar as formas básicas das funções, 
aqui divididas em funções polinomiais, algébricas e transcendentes, pois 
o conhecimento sobre elas e os modelos aos quais estão relacionadas nos 
ajuda na compreensão de funções mais complexas, que aparecem com 
frequência em aproximações para situações reais.
Função constante, identidade e polinomial do primeiro grau
A seguir, estudaremos as funções constante, identidade e polinomial 
do primeiro grau, bem como suas características específicas.
Função constante
Uma função constante é toda função que pode ser representada da 
seguinte forma:
f(x) = k
Onde k é um número real.
O domínio da função f : ℝ → ℝ , f(x) = k é D(f) = ℝ e a sua imagem 
é o conjunto unitário Im(f) = {k}.
A representação de uma função constante por meio 
do diagrama de flechas é demonstrada no Diagrama 1, 
onde, independentemente do valor x do domínio, a re-
lação leva a um mesmo valor k do contradomínio.
CÁLCULO DIFERENCIAL 43
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DIAGRAMA 1. DIAGRAMA DE FLECHAS DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE
GRÁFICO 1. FUNÇÃO f(x) = 3
A função constante não pode ser caracterizada como crescente ou 
decrescente, logo, o seu gráfico é sempre uma reta paralela ao eixo x.
Exemplo:
f(x) = 3
O gráfico dessa função é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o 
eixo y no ponto (0, 3).
x1
x2
x3...
...
ℝ ℝ
k
f
y
x
4
3
2
1
0-1-2-3 3 4 521
ƒ
CÁLCULO DIFERENCIAL 44
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Função identidade
A função identidade é a função f(x) = x.
O domínio da função f: ℝ → ℝ, f(x) = k é D(f) = ℝ e a sua imagem é Im(f) = ℝ 
O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e do tercei-
ro quadrante do plano coordenado, conforme o Gráfico 2.
-3 -2
-2
-1
f
-1
0 1
1
2
2
3
3
4
4
5 y
x
Função polinomial do primeiro grau
A função polinomial do primeiro grau é toda função da forma:
 f(x) = ax + b, a ≠ 0
Os coeficientes a e b são números reais e são denominados de coeficiente 
angular e linear, respectivamente.
O gráfico de uma função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos 
coordenados. Dependendo do valor do coeficiente angular, a função pode ser 
crescente ou decrescente:
a > 0: A função é crescente;
a < 0: A função é decrescente.
GRÁFICO 2. FUNÇÃO IDENTIDADE f(x) = x
CÁLCULO DIFERENCIAL 45
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O domínio da função f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b é D(f) = ℝ e a sua imagem é Im(f) = ℝ.
Exemplo 1:
 f(x) = 3x - 6
A função é crescente, pois o coeficiente angular a = 3 é maior que 0.
GRÁFICO 3. FUNÇÃO f(x) = 3x - 6
y
x
4
2
-2
-4 -2 2 4 60
-4
-6
Exemplo 2: 
= - +xf(x) 1
2
2
A função é decrescente, pois o coeficiente angular a = -1/2 é menor que 0.
GRÁFICO 4. FUNÇÃO = +xf(x) 12
2
-3 -2
-2
-1
-1
0 1 5
1
2 6
2
3 7
3
4 8
y
x
CÁLCULO DIFERENCIAL 46
SER_CALDIF_UNID2.indd 46 01/10/2019 14:05:19
Funções modulares e polinomiais
A seguir, estudaremos sobre as funções modulares e polinomiais, tanto 
do segundo grau quanto em geral.
Função modular
A função modular é definida por:
f(x) = |x|
O domínio dessa função é:
D(f) = ℝ
E a imagem é o intervalo:
Im(f) = [0,+∞[. 
O gráfico da função modular é bem característico, conforme pode ser 
visto no Gráfico 5:
GRÁFICO 5. FUNÇÃO f(x) = |x|
y
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 30
x
Função polinomial do segundo grau
A função f: ℝ → ℝ que possui a forma f(x) = a2 + bx + c, onde a ≠ 0, é chamada 
de função polinomial do segundo grau,ou função quadrática.
O gráfi co desse tipo de função é dado por uma parábola com eixo de sime-
tria paralelo ao eixo y. A parábola terá a sua concavidade voltada para cima ou 
para baixo, dependendo do coefi ciente a, conforme a seguir:
CÁLCULO DIFERENCIAL 47
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a > 0: concavidade voltada para cima;
a < 0: concavidade voltada para baixo.
A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto conhecido 
como vértice da parábola. As coordenadas do vértice são dadas por:
= ( (, -cV b b
2
2a 4a
Exemplo:
f(x) = -x2 + 4x + 5
As coordenadas do vértice da parábola são:
= ( (, -- 5V 4 4
2
2 (-1) 4 (-1)
GRÁFICO 6. FUNÇÃO f(x) = -x2 + 4x + 5
x
y
(2, 9)
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -2 2 4 6
-4
As interseções da parábola com o eixo x são as raízes da função, os valores de 
x que tornam a função igual a 0. Sendo assim, é necessário descobrir as soluções 
possíveis para a equação:
ax2 + bx + c = 0
Resolvendo essa equação, temos a seguinte fórmula para o cálculo das raízes da 
função quadrática:
x -b ± √(b
2-4ac)= 2a
CÁLCULO DIFERENCIAL 48
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Considerando ∆ = b2 - 4ac, podem ocorrer três diferentes situações quanto às 
raízes da função quadrática:
• ∆ < 0: A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos;
• ∆ = 0: A parábola intercepta o eixo x em apenas um ponto, o ponto do vértice;
• ∆ > 0: A parábola não intercepta o eixo x.
Exemplo:
f(x) = 6x2 - 12x + 4
Dada a função anterior, são calculadas as suas raízes:
∆ = (- 12)2 - 4.6.4 = 144 - 96 = 48
Substituindo o valor dentro da raiz da fórmula:
x = = = = 1±- (-12) ± √(48)2.6
12 ± √(22.22.3) 12 ± 4√3 √3
12 12 3
Como ∆ é maior que 0, então temos duas raízes para a função:
√3 √3
3 3
x1 1 1+ -== e x2 
Funções polinominais de modo geral
Até o momento, estudamos as funções polinomiais de grau 0 (função constante), 
1 e 2. Agora iremos comentar, de forma geral, a definição das funções polinomiais.
Uma função polinomial é toda função definida por:
f(x) = an x
n + an-1 x
n-1 + ··· + a1x + a0
Onde:
an ≠ 0
E
an, an -1, ··· , a1, a0
São números reais chamados de coeficientes da função, e o número inteiro n, 
maior expoente da variável x, indica qual o grau da função.
Exemplo:
f(x) = -5x4 + 2x + 12
É uma função polinomial de grau 4 com coeficientes:
a4
 = -5
a3
 = 0
a2
 = 0
a1
 = 2
a0 = 
1
2
CÁLCULO DIFERENCIAL 49
SER_CALDIF_UNID2.indd 49 01/10/2019 14:05:19
Os gráfi cos das funções polinomiais podem apresentar diferentes forma-
tos, conforme demonstrado a seguir.
Função racional, exponencial e logarítmica
A seguir, estudaremos as funções racionais, exponenciais e logarítmi-
cas, bem como suas particularidades.
Função racional
As funções racionais são definidas como o quociente entre duas fun-
ções polinomiais:
f(x) p(x)
q(x)= 
Onde p(x) e q(x) são polinômios e q(x) ≠ 0.
Devemos excluir do domínio os valores de x para os quais a função 
que está no denominador, q(x), seja igual a 0.
Exemplo:
f(x) x - 2
x + 2= 
CÁLCULO DIFERENCIAL 50
GRÁFICO 7. GRÁFICOS DE TRÊS FUNÇÕES POLINOMIAIS DISTINTAS
x
y
3
2
1
-1
-3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-3
-4
0
g
h
f
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Função exponencial
A função exponencial de base a é definida como a função f : ℝ → ℝ em 
que a variável independente x está definida como um expoente:
f (x) = ax
Onde a base a é um número real maior que 0 e diferente de 1.
O domínio da função exponencial é:
D( f ) = ℝ
E a imagem é:
Im( f ) = ]0, ∞[
Esse intervalo também pode ser escrito como Im( f ) = ℝ .
O gráfico da função exponencial tem algumas características:
• A curva que representa essa função está totalmente acima do eixo x, 
pois f (x) = ax é maior que 0 para todo o domínio;
• Intercepta o eixo y no ponto (0, 1), já que a0 = 1 para qualquer valor 
Considerando a função racional anterior, seu domínio é dado por:
D( f ) = ℝ - {-2}
E o seu gráfico é representado pelo Gráfico 8.
CÁLCULO DIFERENCIAL 51
GRÁFICO 8. FUNÇÃO RACIONAL f(x) x - 2x + 2= 
-10 -8 -6
-6
-4
-4
-2 2
2
4
4
6
6
8
8
y
x
10
-2
0
SER_CALDIF_UNID2.indd 51 01/10/2019 14:05:20
da base a;
• A curva é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1, 
conforme o Gráfico 9.
Função logarítmica
Antes de falarmos sobre funções logarítmicas em si, devemos compreen-
der o conceito de logaritmo. Considere um número real a, chamado de base, 
maior que 0 e diferente de 1. O logaritmo de um número b na base a é igual 
ao expoente ao qual a base deve ser elevada de forma a resultar no número b. 
Exemplo:
log28 = 3, pois devemos elevar a base 2 ao expoente 3 para obter o nú-
mero 8.
Uma função logarítmica de base a é a função que relaciona os elemen-
tos do conjunto dos números reais positivos aos elementos dos números reais 
através da regra:
f (x) = logax
Essa função é a função inversa da função exponencial f(x) = ax.
O gráfico de uma função logarítmica tem as seguintes características:
• Está totalmente à direita do eixo y;
• É crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
• É simétrico ao gráfico da função exponencial g(x) = ax em relação à reta y = x.
CÁLCULO DIFERENCIAL 52
Fonte: FLEMING; GONÇALVES, 2012, p. 31. (Adaptado).
GRÁFICO 9. FUNÇÃO EXPONENCIAL CRESCENTE E DECRESCENTE
xx
(0, 1)
y = ax
(a > 1)
y = ax
(a > 1)
y = ax
(0 < a < 1)
(0, 1)
y y
SER_CALDIF_UNID2.indd 52 01/10/2019 14:05:20
Y
X
X
Yg(x) = ax
(0 < a < 1)
y = loga x
(0 < a < 1)
y = loga x
(a > 1)
g(x) = ax
(a > 1)
Fonte: FLEMING; GONÇALVES, 2012, p. 32. (Adaptado).
Funções trigonométricas, trigonométricas inversas e 
hiperbólicas
Por fim, falaremos sobre as funções trigonométricas, trigonométricas 
inversas e as hiperbólicas, bem como suas particularidades.
Funções trigonométricas
Para o estudo das funções trigonométricas, vamos considerar o cír-
culo trigonométrico, ou círculo unitário, que tem centro localizado no 
ponto (0, 0) do plano coordenado. Seu raio mede 1 unidade e seu pe-
rímetro mede 2π. Sua intersecção com os eixos coordenados pode ser 
observada no Gráfico 11.
CÁLCULO DIFERENCIAL 53
GRÁFICO 10. FUNÇÃO LOGARÍTMICA CRESCENTE E DECRESCENTE
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Nesse círculo, marcamos um raio do centro O até um ponto P. Esse seg-
mento forma um ângulo x (em radianos) com o eixo horizontal. A partir desses 
parâmetros conseguiremos definir as funções trigonométricas.
Definimos como função seno a função f: ℝ → ℝ que associa o número real 
x ao número real sen x:
f(x) = sen x
Olhando para o círculo no Gráfico 11, o seno de x corresponde ao valor da 
ordenada do ponto P, ou seja, a medida do segmento OP1.
O domínio da função seno é:
D( f ) = ℝ
E a imagem é:
Im( f ) = [-1, 1]
A função seno é periódica com período igual a 2π, uma vez que sen (x + 2π) 
= sen x.
A curva que representa a função seno é chamada de senoide e apresenta 
intervalos em que é crescente e outros em que é decrescente:
CÁLCULO DIFERENCIAL 54
(0, 1)
(0, -1)
(1, 0)(-1, 0)
O
P1
P2
X
P
GRÁFICO 11. RAIO OP FORMANDO UM ÂNGULO X COM O EIXO HORIZONTAL
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Y
1
0 π/2-π/2 π-π 3π/2 2π
X
-1
Fonte: FLEMING; GONÇALVES, 2012, p. 33. (Adaptado).
Exemplo:
f( ( senπ π2 2= = 1 
A função cosseno é definida como a função f (x) = cos x.
No círculo do Gráfico 11, o cosseno de x corresponde ao valor da ab-
cissa do ponto P, ou seja, a medida do segmento OP2.
O domínio da função seno é:
D( f ) = ℝ
E a imagem é:
Im( f ) = [-1, 1].
A função cosseno também é periódica, com período igual a 2π.
A curva que representa a função cosseno é chamada de cossenoide e apre-
senta intervalos em que é crescente e outros em que é decrescente:
Fonte: FLEMING; GONÇALVES, 2012, p. 33. (Adaptado).
GRÁFICO 13. FUNÇÃO f(x) = cos x
Y
1
0 π/2-π/2 π-π 3π/2-3π/2
X
-1
CÁLCULO DIFERENCIAL 55
GRÁFICO 12. FUNÇÃO f(x) = sen x
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Exemplo:
f( (cosπ π2 2= = 0
As funções tangente, cotangente, secante e cossecante são definidas em 
termos de seno e cosseno:
; ;tg x = cotg x = cosec x =sen xcos x
cos x
sen x
1
sen x
Funções trigonométricas inversas
No domínio dos números reais, não é possível definir as funções inversas 
das funções trigonométricas, pois infinitos valores de x levam a um mesmo 
valor de f(x). Então, é necessário restringir o domínio de todas as funções 
trigonométricas para chegar à sua inversa.
Considere a função a seguir:
f : → [ -1, 1], f(x) = sen xπ2
π
2-
,
A inversa da função seno é chamada de arco seno e é definida por:
f -1: [ -1, 1] → , f-1(x) = arc sen xπ2
π
2-
,
Considere a função a seguir:
f: [0, π] →[ -1, 1], f(x) = cos x
A inversa da função cossseno é chamada de arco cosseno e é definida 
por:
f -1: →[ -1,1] [0, π], f-1(x) = arc cos x
Considere a função a seguir:
f: → ℝ, f(x) = tg xπ2
π
2-
,
A inversa da função tangente é chamada de arco tangente e é definida 
por:
f -1: ℝ → , f-1(x) = arc tg xπ2
π
2-
,
Outras funções trigonométricas inversas são definidas conforme a seguir:
=arc cotg x arc tg xπ2 -
=arc sen x arc cos 1x ((
arc cossec x = arc sen 1x ((
CÁLCULO DIFERENCIAL 56
SER_CALDIF_UNID2.indd 56 01/10/2019 14:05:24
Funções hiperbólicas
As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico de x são defi nidas por:
senh x = e
x- e-x
2
ex- e-x
2
cosh x = 
O domínio e a imagens dessas funções são dados por:
• D(senh) = ] - ∞, + ∞[;
• D(cosh) = ] - ∞, + ∞[;
• Im(senh) = ] - ∞, + ∞[;
• Im(cosh) = [1, + ∞[.
As demais funções hiperbólicas são defi nidas em termos do seno e cosseno 
hiperbólicos:
Tangente hiperbólica: tgh x = senh xcosh x
ex- e-x
ex- e-x
= 
Cotangente hiperbólica: cotgh x = cosh xsenh x
ex- e-x
ex- e-x
= 
Secante hiperbólica: sech x = 1
cosh x
2
ex- e-x
= 
Cossecante hiperbólica: cosech x = 1senh x
2
ex- e-x
= 
Introdução aos limites
O conceito de limite surge para descrever o comportamento de uma 
função na medida em que a variável independente vai se aproximando de 
um determinado valor. A partir disso, são desenvolvidos os demais con-
ceitos do cálculo diferencial e integral, além de auxiliar outras áreas da 
Matemática.
Iniciaremos os estudos sobre limites apresentando dois problemas que 
fizeram emergir esse conceito: o problema da reta tangente, que surge 
pela aproximação de dois pontos de uma reta secante, e o problema da 
velocidade em um instante durante a queda livre de um objeto.
Em seguida, iremos generalizar a definição de limite de maneira intuiti-
va e relacionar outras definições: os limites laterais de uma função e suas 
assíntotas horizontais e verticais.
CÁLCULO DIFERENCIAL 57
SER_CALDIF_UNID2.indd 57 01/10/2019 14:05:24
O problema da reta tangente
Considere a curva defi nida pela função y = f(x).
Para encontrar a equação da reta tangente à curva em um determinado 
ponto, é necessário saber a inclinação da reta tangente nesse ponto, pois, se 
conhecemos um ponto pertencente a uma reta e a sua inclinação, conseguimos 
determinar a sua equação.
Vamos então imaginar dois pontos P(x1, y1) e Q(x2, y2) pertencentes a essa 
curva. Uma reta que passa por ambos será uma reta secante à curva. Essa reta 
então terá equação da forma:
f(x) = ax + b
Onde a é o coefi ciente angular que indica a inclinação da reta e b indica o 
ponto onde a reta corta o eixo y.
Para encontrar o coefi ciente a da equação da reta secante à curva nos pon-
tos P(x1, y1) e Q(x2, y2), vamos considerar o triângulo retângulo no Gráfi co 14.
Fonte: FLEMING; GONÇALVES, 2012, p. 115. (Adaptado).
A inclinação da reta secante será dada por:
tga = 
y2 - y1
x2 - x1
∆y
∆x
= 
CÁLCULO DIFERENCIAL 58
GRÁFICO 14. RETA SECANTE À CURVA QUE PASSA PELOS PONTOS P E Q
Y
X
Y2
X2
∆x
∆y
X1
P 𝛂
Q
MY1
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Digamos, agora, que queremos obter a inclinação de uma reta tangen-
te a essa curva no ponto P. Para isso, podemos imaginar que o ponto Q se 
move sobre a curva y = f (x) de forma que a reta secante muda de posição. 
À medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, a inclinação da reta 
secante se aproxima da inclinação da reta tangente até um certo limite.
Podemos, então, descrever a inclinação da reta tangente à curva no 
ponto P(x1, y1) como o limite da inclinação da reta secante quando Q 
se aproxima de P. O limite é dado pela notação a seguir:
f(x2) - f(x1)
x2 - x1
a(x1) = 
lim
Q → P
lim
x1 → x2
∆y
∆x
= 
Considerando que a coordenada x2 seja dada pela coordenada x1 
acrescida da variação em x, é possível escrever x2 = x1 + ∆x e o limite pode 
ser reescrito como: f(x1 + ∆x1) - f(x1)
∆x
a(x1) = 
lim
∆x → P
Ou seja, conforme o ponto Q se aproxima do ponto P, a variação em x 
diminui, tendendo a 0.
Uma vez que foi determinado o coeficiente angular a da reta tangente 
no ponto P(x1, y1), é possível determinar a sua equação:
y - y1 = a(x - x1)
Exemplo: Dada a função a seguir:
f (x) = x2
Podemos determinar a equação da reta tangente no ponto P(2, 4).
Calculando a inclinação dessa reta:
f(x1 + ∆x) - f(x1)
∆x
a(x1) = 
lim
∆x → 0
f(2 + ∆x) - f(2)
∆x
(2 + ∆x)2 - 22
∆x
4 + 2.2.∆x + (∆x)2 - 4
∆x
a(2) = lim∆x → 0
lim
∆x → 0
lim
∆x → 0= =
4∆x + (∆)2
∆x
∆x (4 + ∆)
∆x
lim
∆x → 0
lim
∆x → 0
lim
∆x → 0= == 4 + ∆x
Como ∆x está tendendo a 0, de forma intuitiva conseguimos dizer que 
o limite de 4 + ∆x é igual a 4. Então, a inclinação da reta tangente é a = 4.
Vamos escrever a equação da reta tangente que passa pelo ponto P(2, 4):
y - 4 = 4(x - 2)
y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4
CÁLCULO DIFERENCIAL 59
SER_CALDIF_UNID2.indd 59 01/10/2019 14:05:25
O problema da velocidade
Considere a seguinte situação: ao observar o velocímetro de um carro ao 
longo de um trajeto, você notará que sua agulha não permanece na mesma po-
sição por muito tempo, ou seja, a velocidade do carro não é constante e pode 
assumir um valor diferente a cada instante. O exemplo a seguir nos auxiliará a 
entender como é possível defi nir a velocidade em um instante, denominada de 
velocidade instantânea.
A seguir, daremos um exemplo, retirado do livro Cauculus: Early Transceden-
tals, do matemático James Stewart (2008).
É deixada cair uma bola do alto da torre CN em Toronto, que fi ca a 450 me-
tros do solo. Deseja-se saber a velocidade da bola depois de 5 segundos.
Desconsiderando a resistência do ar, sabemos que a distância em função do 
tempo que um objeto em queda livre percorre é dado pela equação:
s(t) = 4,9t2
Ainda não conhecemos uma maneira de descobrir a velocidade da bola em 
apenas um instante t = 5, mas podemos obter uma aproximação ao calcular a 
velocidade média em um pequeno intervalo de tempo de um décimo de segun-
do, entre t = 5 e t = 5,1 segundos. Então teremos:
velocidade média = s(5,1) - s(5)
0,1
velocidade média = 
(4,9) . (5,1)2 - (4,9) . 52
0,1
velocidade média = 
variação de posição
intervalo de tempo
∆s
∆t
=
Considerando intervalos de tempo cada vez menores, é possível obter as se-
guintes velocidades médias:
 • Para um intervalo de tempo 5 ≤ t ≤ 5,1, uma velocidade média 49,49 m/s;
 • Para um intervalo de tempo 5 ≤ t ≤ 5,05, uma velocidade média 49,245 m/s;
 • Para um intervalo de tempo 5 ≤ t ≤ 5,01, uma velocidade média 49,049 m/s;
 • Para um intervalo de tempo 5 ≤ t ≤ 5,001, uma velocidade média 49,0049 m/s.
Podemos então perceber que à medida que o intervalo de tempo diminui, a 
velocidade média se aproxima de 49 m/s. A velocidade instantânea no instante 
CÁLCULO DIFERENCIAL 60
SER_CALDIF_UNID2.indd 60 01/10/2019 14:05:25
t = 5 é defi nida como o limite da velocidade média em intervalos de tempo cada 
vez menores, com início no instante t = 5, e nesse caso é igual a 49 m/s.
vi =
lim
∆x → 0
∆y
∆x
ASSISTA
Separamos o vídeo Velocidade instantânea e velocidade média, do canal 
Khan Academy Brasil, onde é exemplifi cado o conceito de velocidade 
instantânea e o seu cálculo utilizando as fórmulas da Cinemática.
Noção intuitivade limite
A partir da introdução dos problemas da reta tangente e da velo-
cidade instantânea, explicaremos, de forma geral, o conceito 
de limite, e apresentar maneiras de determinar os limites 
de maneira numérica e gráfica.
Considerando a função a seguir:
f(x) = x2 - x + 2
Podemos investigar o que acontece com essa função nas proximidades 
de x = 2.
 • Quando o valor de x é 1, f(x) é igual a 2,000000;
 • Quando o valor de x é 1,5, f(x) é igual a 2,750000;
 • Quando o valor de x é 1,8, f(x) é igual a 3,440000;
 • Quando o valor de x é 1,9, f(x) é igual a 3,710000;
 • Quando o valor de x é 1,99, f(x) é igual a 3,970100;
 • Quando o valor de x é 1,995, f(x) é igual a 3,985025;
 • Quando o valor de x é 1,999, f(x) é igual a 3,997001;
 • Quando o valor de x é 3, f(x) é igual a 8,000000;
 • Quando o valor de x é 2,5, f(x) é igual a 5,750000;
 • Quando o valor de x é 2,2, f(x) é igual a 4,640000;
 • Quando o valor de x é 2,1, f(x) é igual a 4,310000;
 • Quando o valor de x é 2,01, f(x) é igual a 4,030100;
 • Quando o valor de x é 2,005, f(x) é igual a 4,015025;
 • Quando o valor de x é 2,001, f(x) é igual a 4,003001.
CÁLCULO DIFERENCIAL 61
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A função também pode ser representada graficamente, para auxiliar a 
visualização do seu comportamento, à medida que x se aproxima de 2.
Fonte: STEWART, 2008, p. 88. (Adaptado).
É possível concluir que, à medida que x se aproxima de 2 por ambos os sen-
tidos, o valor da função f(x) se aproxima de 4. Esse comportamento é expresso 
como um limite:
O limite da função f(x) = x2 - x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4 e sua notação 
é:
lim x2 - x + 2 = 4
x → 2
De forma geral, definimos o limite de uma função como:
lim f(x) = L
x → a
O limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L.
Observação: Note que estamos estudando o valor da função nas proximida-
des de x = a e não no ponto exato.
ASSISTA
Assista ao vídeo Cauculus – The limit of a function, do canal MySecret-
MathTutor, para te ajudar a compreender melhor o conceito de limite.
CÁLCULO DIFERENCIAL 62
GRÁFICO 15. FUNÇÃO f(x) = x2 - 10 + 2
y = x² - x + 2
ƒ(x)
0 2 x
y
4se aproxima 
de 4
x se aproxima de 2
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Limites laterais
O limite à esquerda de uma função é definido por:
lim f(x) = L
x → a-
Lê-se que o limite da função f (x) quando x tende a a pela esquerda é 
igual a L, se pudermos fazer o valor da função arbitrariamente próximo 
de L ao aproximar x de a, mas ainda assim x < a.
Analogamente, podemos definir o limite à direita:
lim f(x) = L
x → a+
Onde lê-se que o limite da função f (x) quando x tende a a pela direita 
é igual a L, se pudermos fazer o valor da função arbitrariamente próximo 
de L ao aproximar x de a, mas ainda assim x > a.
Veja o Gráfico 16 com a representação dos limites laterais de uma 
função.
Fonte: STEWART, 2008, p. 93. (Adaptado).
A partir dessas defi nições, podemos escrever a seguinte proposição:
O limite de uma função é igual a um valor L se e, somente se, os limites late-
rais forem também iguais a L.
lim f(x) = L se e, somente se, lim f(x) = L e lim f(x) = L
x → a x → a- x → a+
CÁLCULO DIFERENCIAL 63
GRÁFICO 16. LIMITES LATERAIS DE UMA FUNÇÃO
0
f(x)
y
xx α
L
(a) lim f(x) = L
x α-
0
f(x)
x xα
y
L
(b) lim f(x) = L
x α+
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Assíntotas
Algumas funções têm um comportamento característico que leva ao surgimento 
de assíntotas horizontais ou verticais. Vejamos um exemplo.
A função a seguir:
f(x) = 
x - 1
1
Apresenta um gráfi co em que podemos perceber que existe uma reta vertical 
que não pertence ao domínio da função, para a qual ela se aproxima à medida que 
x se aproxima de 1.
Os limites laterais dessa função são:
lim
x → 1
lim
x → 1+x - 1
1
x - 1
1= -∞ = ∞
E a reta x = 1 é a assíntota vertical da curva x - 1
1y =
Defi nição: a reta x = a é chamada de assíntota vertical da curva y = f(x), se ocor-
rerem pelo menos uma dessas situações:
lim f(x) = ∞
x → a
lim f(x) = ∞
x → a-
lim f(x) = ∞
x → a+
lim f(x) = -∞
x → a
lim f(x) = -∞
x → a-
lim f(x) = -∞
x → a+
CÁLCULO DIFERENCIAL 64
GRÁFICO 17. FUNÇÃO f(x) = x - 1
1
1
(x - 1)
x = 1
x
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
SER_CALDIF_UNID2.indd 64 01/10/2019 14:05:29
Vamos considerar agora uma situação em que o valor de x se aproxima de 
∞ ou -∞. Por exemplo:
lim
x → ∞
lim
x → - ∞x2 + 3 x
2
 + 3
8 8+ 1 + 1= 1 = 1(( (( 
Nesse caso, dizemos que existe uma assíntota horizontal da curva dessa fun-
ção em y = 1.
Cálculo de limites
As operações aritméticas básicas de adição, subtração, multi-
plicação e divisão podem ser empregadas ao operar com 
limites. Para isso, conheceremos as regras que defi nem a 
maneira de realizar essas operações.
Além das quatro operações básicas, são apresenta-
das as regras para a aplicação de outras operações envol-
vendo limites, que são a regra da potência, a regra da raiz, a regra da substi-
tuição direta e a regra dos limites laterais.
CÁLCULO DIFERENCIAL 65
6 y
xy = 1
6
4
4
2
20-2-4-6
8
x2 + 3 1+
GRÁFICO 18. FUNÇÃO f(x) = x2 + 3
8 + 1 ((
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Operações
Veremos, a seguir, algumas regras para o cálculo de limites. Supondo que c 
é uma constante e que os limites limx → a f(x) e limx → a
g(x) existem, temos:
 1. lim
x → a
[ f(x) + g(x)] = lim
x → a
g(x)lim
x → a
f(x) + 
 2. limx → a
[ f(x) - g(x)] = lim
x → a
g(x)lim
x → a
f(x) -
 3. limx → a
[cf(x)] = c lim
x → a
f(x)
 4. lim
x → a
[ f(x) g(x)] = lim
x → a
g(x)lim
x → a
f(x) .
 5. lim
x → a
f(x)
lim
x → a
g(x)
lim
x → a
g(x)
lim
x → a
f(x)
g(x) = , se ≠ 0
Exemplo:
Considerando que:
lim
x → -2
f(x) = 1
E:
lim
x → -2
g(x) = -1
A seguinte operação com limites é realizada utilizando as regras men-
cionadas:
lim
x → -2
1 + 5 . (-1) = -4[ f(x) + 5g(x)] =
lim
x → -2
1 + 5 .[ f(x) + 5g(x)] = lim
x → -2
g(x)
lim
x → -2
[ f(x) + 5g(x)] = lim
x → -2
5g(x)lim
x → -2
f(x) +
Regra da potência
Se utilizarmos a regra do produto repetidas vezes, considerando que g(x) = f(x), é 
possível defi nir a seguinte regra:
6. lim
x → a
[ f(x)]n =
n
lim
x → a
f(x)
Para continuar a utilizar essas seis regras, é necessário defi nir outros dois limites 
especiais:
CÁLCULO DIFERENCIAL 66
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Regra da raiz
Como consequência da décima regra:
11. lim √f√f√ (f(f x(x( ) = √lim f(f(f x(x( )
x → a
n n
 Onde n é um número inteiro positivo, e se n é ímpar, lim f(x) > 0.
x → a
Exemplo: determinar o limite lim 2x
2 - 3x + 4:x + 4:x
x → 5
= 2(52) - 3(5) + 4 = 39
lim 2x2 - 3x + 4 = lim 2x + 4 = lim 2x x2 - lim 3x + lim 4x + lim 4x
x → 5 x → 5 x → 5 x → 5
= 2 lim x2 - 3 lim x + lim 4x + lim 4x
x → 5 x → 5 x → 5
7. lim c = c 
x → a
8. lim x = a
x → a
Considerando a função f(x) = x e as regras 6 e 8, podemos defi nir a regra:
9. lim x
n = an
x → a
Onde n é um número inteiro positivo.
Analogamente, defi ne-se a regra para a raiz a enésima da função:
10. lim x 
x → a √x = √a
n n
Onde n é um número inteiro positivo, e se n é ímpar, a > 0.
Regra da substituição direta
No exemplo anterior, o valor do limite quando x tende ao infi nito poderia ser 
calculado substituindo diretamente o valor 5 na função:
f(5) = 2 (5)2 - 3 (5 ) + 4 = 39
Isso ocorre para funções polinomiais e racionais. Podemos defi nir, então, que se 
f é uma função polinomial ou racional e a está no domínio da função, temos:
lim f(f(f x(x( ) = f(f(f a)
x → 5
Exemplo: o limite da função racional a seguir:
f(f(f x(x( ) = x
2 - 2
x - 2x - 2x
CÁLCULO DIFERENCIAL 67
SER_CALDIF_UNID2.indd 67 01/10/2019 14:05:32
Regra dos limites laterais
Em alguns casos, o cálculo do limite é facilitado ao buscar os limites laterais. 
Por exemplo, para lim|x|= 0 podemos utilizar os limites laterais para demons-
trar que a igualdade é verdadeira. Lembrando que o módulo de um número

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