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\[ r_{\text{ef}} = 0.0816 \text{ ou } 8,16\% \] 
 Portanto, a taxa de juros efetiva é aproximadamente 8,16% ao ano. 
 
63. Qual é o valor presente de uma série de pagamentos de R$ 1.000,00 mensais durante 
5 anos, com uma taxa de desconto de 7% ao ano? 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 O valor presente \( PV \) é calculado por \( PV = P \times \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \), onde \( 
P \) é o pagamento periódico, \( r \) é a taxa de desconto por período, e \( n \) é o número 
total de pagamentos. 
 \[ PV = 1000 \times \frac{1 - (1 + 0.07)^{-60}}{0.07} \] 
 \[ PV \approx 53024,21 \] 
 Portanto, o valor presente é aproximadamente R$ 53.024,21. 
 
64. Qual é o número de períodos necessários para quadruplicar um investimento inicial 
de R$ 25.000,00 a uma taxa de juros de 10% ao ano, com capitalização mensal? 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 O número de períodos \( n \) é calculado por \( n = \frac{\log(F / P)}{\log(1 + r/n)} \), onde 
\( F \) é o valor futuro desejado. 
 \[ n = \frac{\log(4)}{\log\left(1 + \frac{0.10}{12}\right)} \] 
 \[ n \approx 31,38 \text{ meses} \] 
 Portanto, são necessários aproximadamente 31,38 meses para quadruplicar o 
investimento. 
 
65. Qual é a taxa de juros anual efetiva equivalente a uma taxa nominal de 3% ao ano, 
com capitalização trimestral? 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 A taxa de juros ef 
 
etiva \( r_{\text{ef}} \) é calculada por \( r_{\text{ef}} = \left(1 + 
\frac{r_{\text{nom}}}{n}\right)^n - 1 \), onde \( r_{\text{nom}} \) é a taxa nominal e \( n \) é o 
número de capitalizações por ano.