exercicio calculo (32)

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**Resolução:** Aplique o teste da convergência alternada. 
 
53. **Problema:** Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \(y = 
\sqrt{x}\) de \(x = 1\) a \(x = 4\) em torno do eixo \(y\). 
 **Resolução:** Utilize o método das cascas cilíndricas. 
 
54. **Problema:** Determine o raio de convergência da série de potências 
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 x^n}{3^n}\). 
 **Resolução:** Aplique o teste da razão. 
 
55. **Problema:** Calcule \(\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{x^2 + y^2}^{2} z \, dz \, 
dy \, dx\). 
 **Resolução:** Resolva a integral tripla diretamente. 
 
56. **Problema:** Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\) 
converge absolutamente, condicionalmente, ou diverge. 
 **Resolução:** Aplique o teste da convergência alternada. 
 
57. **Problema:** Encontre a equação da reta normal à superfície \(z = x^2 + xy + y^2\) no 
ponto \((1, 1, 3)\). 
 **Resolução:** Determine o vetor normal e use-o para obter a equação da reta. 
 
58. **Problema:** Calcule \(\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx\). 
 **Resolução:** Utilize a técnica de regularização. 
 
59. **Problema:** Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\) 
converge. 
 **Resolução:** Aplique o crité 
 
rio de convergência de séries. 
 
60. **Problema:** Calcule o volume do sólido limitado pelo paraboloide \(z = x^2 + y^2\) e 
pelo plano \(z = 4\). 
 **Resolução:** Utilize coordenadas cilíndricas.