Jogos de Informação Incompleta

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DEFINIÇÃO
Estrutura básica de um jogo dinâmico de informação incompleta e noções de equilíbrio.
Aplicações em sinalização.
PROPÓSITO
Explicar questões importantes dos jogos dinâmicos de informação incompleta, além do
conceito de equilíbrio apropriado para as previsões sobre o resultado dos jogos.
PREPARAÇÃO
Tenha papel e lápis por perto para acompanhar exemplos e demonstrações deste tema.
Lembre-se de que, para a intuição por trás das contas ser compreendida, o estudo de teoria
microeconômica não deve ser feito com mera leitura, e sim com o acompanhamento dos
passos das demonstrações.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever a teoria de jogos dinâmicos de informação incompleta
MÓDULO 2
Descrever os modelos de sinalização
INTRODUÇÃO
As interações estratégias entre agentes econômicos (pessoas, empresas, governos ou
quaisquer outros agentes) frequentemente possuem duas características:
Elas se desenvolvem ao longo do tempo: Por exemplo, uma firma pode escolher sua
produção após a movimentação de um concorrente;
É comum os jogadores desconhecerem alguma informação importante sobre os
demais: Uma empresa, por exemplo, conhece mais os próprios custos de produção que
outros participantes do mercado.
Precisamos então de uma estrutura teórica e de um conceito de equilíbrio capazes de fazer
previsões sobre o resultado de jogos com tais características. Este será o assunto do nosso
tema: jogos incompletos de informação incompleta.
MÓDULO 1
 Descrever a teoria de jogos dinâmicos de informação incompleta
TEORIA BÁSICA
Na teoria dos jogos dinâmicos de informação completa, estudam-se situações em que os
jogadores têm toda a informação necessária a respeito dos elementos da estrutura do jogo.
Analisaremos agora os jogos dinâmicos de informação incompleta. Muitas aplicações
interessantes podem ser modeladas dessa forma:
Jogos de sinalização
Jogos de barganha com informação incompleta
Jogos repetidos com informação incompleta (construir uma reputação é algo importante
neles)
A ANÁLISE DE JOGOS EXTENSIVOS DE
INFORMAÇÃO INCOMPLETA NOS MOSTRA QUE
É NECESSÁRIO CRIAR REFINAMENTOS DO
CONCEITO DE EQUILÍBRIO DE NASH.
 ATENÇÃO
Desenvolvido para jogos dinâmicos com informação completa, o conceito de Equilíbrio
Perfeito em Subjogos (EPS) não é suficiente para jogos de informação incompleta.
Para ilustrar o principal problema com esse conceito, o jogo de informação imperfeita – ainda
que completa – a seguir já é suficiente. A forma estratégica dele é dada por:
Jogador 2
E D
Jogador 1
O 1,3 1,3
T 2,1 0,0
B 0,2 0,1
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Na forma extensiva, ele pode ser expresso por esta figura:
Note que as ações do jogador 2 pertencem ao mesmo conjunto de informação. É fácil observar
que os equilíbrios de Nash deste jogo são ( ) e ( ). Eles também são os equilíbrios de
Nash perfeitos em subjogos: afinal, o único subjogo é o jogo inteiro; portanto, todo equilíbrio de
Nash é perfeito em subjogos.
T , E O, D
MAS HÁ ALGO IMPLAUSÍVEL SOBRE O
EQUILÍBRIO ( ), NÃO É?
Se você observar com atenção, verá que a ação D é estritamente dominada pelo jogador 2
para o seu conjunto de informação. Sabendo disso, o jogador 1 deveria jogar , pois ele sabe
que o 2 jogaria , fazendo com que 1 ganhasse um payoff de 2, número maior que o obtido ao
se jogar O.
O EPS não captura esse detalhe, pois ele não testa a racionalidade do jogador 2 em
conjuntos de informação não unitários (caso retratado no jogo acima).
Essa discussão sugere a direção a ser tomada para que possamos refinar o conceito de EPS.
Afinal, gostaríamos que os jogadores fossem racionais não só em cada subjogo, mas também
em cada jogo de continuação.
No exemplo acima, um jogo de continuação é composto pelo conjunto de informação do
jogador 2 e pelos nós que seguem desse conjunto.
Primeiramente, devemos notar que um jogo do tipo não começa em um nó unitário; logo, não
se trata de um subjogo. No entanto, a racionalidade do jogador 2 requer que ele jogue a ação E
se o jogo chegar a esse jogo de continuação.
 DICA
Em geral, a ação ótima em um conjunto de informação depende de que nó o jogo alcançou
nesse conjunto.
Consideremos a seguinte modificação do jogo anterior:
O, D
T
E
A ação ótima do jogador 2 em seu conjunto de informação depende de o jogador 1 ter jogado 
ou , informação que o 2 não possui. Desse modo, sua decisão nesse conjunto requer que ele
forme crenças a respeito do nó em que o jogador 1 se situa.
EM OUTRAS PALAVRAS, É PRECISO CUMPRIR
ALGUMAS CONDIÇÕES QUE AJUDAM A DEFINIR
UM NOVO TIPO DE EQUILÍBRIO: O EQUILÍBRIO
BAYESIANO PERFEITO (EBP).
T
B
DEFINIÇÃO DE EQUILÍBRIO BAYESIANO
PERFEITO
CONCEITO E APLICAÇÃO
Consideraremos o conjunto de todos os conjuntos de informação que um jogador possui
em um jogo e , o de todas as ações disponíveis no conjunto de informação .
Também chamado de avaliação, um EBP é um par composto por:
SISTEMA DE CRENÇAS
A função atribui, a cada nó de decisão no conjunto de informação, uma
probabilidade , tal que que para todo (as probabilidades devem
somar ).
ESTRATÉGIA COMPORTAMENTAL 
 para cada jogador , atribuindo, para cada conjunto de informação uma distribuição
de probabilidade em , ou seja, .
 ATENÇÃO
 é o conjunto de todas as estratégias comportamentais disponíveis para o jogador ,
enquanto constitui o de todas as estratégias comportamentais do jogo, isto é, 
(cartesiano).
É importante salientar que definimos as estratégias como distribuições de probabilidade, mas
frequentemente usamos apenas as estratégias puras, em que cada jogador escolhe apenas
uma das ações possíveis em cada nó de decisão ou conjunto de informação. Uma estratégia
pura é uma distribuição de probabilidade degenerada, ou seja, o jogador dá probabilidade igual
um para uma ação e zero para as demais ações.
Hi i
A(h) h
(μ, β)
μ : X⟶ [0, 1] x
μ(x) ∑x∈h  μ(x) = 1 h ∈ H
1
βi
βi i h ∈ Hi
A(h) ∑a∈A(h)  βi(a) = 1
Bi i
B B = ×iBi
Essa avaliação , em que é o conjunto de todos os sistemas de crenças do
jogo, pode ser considerada um EBP se ela cumprir duas condições:
RACIONALIDADE SEQUENCIAL
Em cada conjunto de informação, as estratégias devem ser ótimas dadas as crenças e as
estratégias subsequentes.
(μ, β) ∈ M × B M
CONSISTÊNCIA FRACA
As crenças serão determinadas pelo teorema de Bayes e pelas estratégias dos jogadores
sempre que for possível (ou seja, sempre que a aplicação do teorema for possível. Não há um
denominador diferente de zero).
TEOREMA DE BAYES
Se A e B são dois eventos, podemos calcular a probabilidade condicional
.
APÓS A INTRODUÇÃO DESSE CONCEITO,
VOLTAREMOS AO NOSSO JOGO PARA
ANALISÁ-LO:
P(A/B)  =  P(B/A)P(A)/(P(B))
javascript:void(0)
Definiremos agora as crenças do jogador 2 para os seus nós de decisão, Consideramos que a
probabilidade dada ao nó que segue é igual a um valor , enquanto a
probabilidade no nó que segue é .
Dadas essas crenças, o payoff esperado da ação é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já o esperado para a ação é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTEMOS QUE PARA
QUALQUER , POIS . LOGO, PELA
CONDIÇÃO DE RACIONALIDADE SEQUENCIAL,
EM EQUILÍBRIO, O JOGADOR 2 NUNCA JOGARÁ
 COM UMA PROBABILIDADE POSITIVA. ISSO
ELIMINA O EPS , QUE, COMO
ARGUMENTAMOS ANTERIORMENTE, NÃO
CONSTITUÍA UMA POSSIBILIDADE PLAUSÍVEL.
T μ  ∈  [0, 1]
B 1  − μ
E
μ × 1 + (1 − μ) × 2 = 2 − μ
D
μ × 0 + (1 − μ) × 1 = 1 − μ
2 − μ > 1 − μ
μ ∈ [0, 1] 2 > 1
D
(O, R)
IMPLICAÇÃO DA CONDIÇÃO DE CONSISTÊNCIA
FRACA
Exploraremos agora a implicação da condição de consistência fraca para a análise desse jogo.
Suponhamos que o jogador 1 jogue as ações , e com as probabilidades , e
, respectivamente. Consideraremos a crença atribuída ao nó que segue no conjunto
de informação do jogador .
Se, por exemplo, e , vemos então uma clara inconsistência entre a estratégia
do jogador 1 e as crençasdo 2. A única crença consistente neste caso seria .
Em geral, deve-se, sempre que possível, aplicar o teorema de Bayes para conseguir uma
consistência:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Naturalmente, isso requer que . Se , ou seja, se o
jogador joga a estratégia com probabilidade igual a um, então o jogador 2 não obtém
nenhuma informação a respeito de qual nó de decisão foi alcançado.
O T B β1(O) β1(T )
β1(B) μ T
2
β1(T ) = 1 μ = 0
μ = 1
μ =
β1(T )
β1(T )+β1(B)
β1(T ) + β1(B) ≠ 0 β1(T ) + β1(B) = 0
1 O
Em qualquer EBP deste jogo, deve estar presente uma destas três possibilidades:
, ou .
INVESTIGAREMOS CADA UMA DELAS A
SEGUIR:
A) 
Neste caso, a racionalidade sequencial do jogador implica que o payoff esperado para seja
maior ou igual que o esperado para .
Ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A racionalidade sequencial do jogador 1, por outro lado, acarreta que ele jogue , isto é,
. Dessa forma, pelo teorema de Bayes, temos:
β2(E) = 1 β2(E) = 0 β2 ∈ (0, 1)
β2(E) = 1
2 E
D
μ × 1 + (1 − μ) × 1 ≥ μ × 0 + (1 − μ) × 2
1 ≥ 2 − 2μ⟺ μ ≥ 1
2
T
β1(T ) = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O resultado é maior que ; portanto, isso obedece à racionalidade sequencial do jogador .
Desse modo, a seguinte avaliação é um EBP:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
A racionalidade sequencial do jogador 2 implica agora que μ≤1/2, enquanto a do 1 acarreta que
.
Como, neste caso, , não podemos aplicar o teorema de Bayes; portanto, a
condição de consistência fraca é trivialmente satisfeita. Verificamos, assim, um contínuo de
EBPs dado pelas avaliações que cumprem o seguinte:
μ =
β1(T )
β1(T )+β1(B)
= 1
1+0
= 1
1
2
2
β1(T ) = 1
β2(E) = 1
μ = 1
β2(E) = 0
β1(O) = 1
β1(T ) + β1(B) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
A racionalidade sequencial do jogador implica que . Já o 1 possui os seguintes payoffs
ao jogar:


β1(T ) = 1
β2(E) = 0
μ ≤ 1
2
β2(E) ∈ (0, 1)
2 μ = 1
2
O :  1
T : 2β2(E)
B :  0
Claramente, o jogador 1 nunca poderá jogarB com probabilidade positiva; neste caso, portanto,
teremos .
Se , então , não sendo possível, com isso, aplicar o
teorema de Bayes.
Desse modo, será um EBP qualquer avaliação que cumprir isto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se, por outro lado, , então . Dessa maneira, o teorema de Bayes implica
que , contradizendo . Já se , esse teorema acarreta que , o
que novamente contradiz .
O EBP PODE SER CONSIDERADO UM
CONCEITO DE EQUILÍBRIO FRACO, JÁ QUE
NÃO IMPÕE RESTRIÇÕES SUFICIENTES EM
CRENÇAS FORA DE EQUILÍBRIO.
Consideraremos agora o jogo de três jogadores dado pela figura abaixo:
β1(B) = 0
β1(O) = 1 2β2(E) ≤ 1⟺ β2(E) ≤ 1
2
β1(O) = 1
β2(E) ∈ (0, 1/2]
μ = 1
2
β1(O) = 0 β1(T ) = 1
μ = 1 μ = 1
2
β1(O) ∈ (0, 1) μ = 1
μ = 1
2
O único EPS dele é ( , , '). No entanto, o perfil de estratégias ( , , '), ao lado do sistema
de crenças que atribui uma probabilidade ao nó depois de ,é uma avaliação que satisfaz as
condições de racionalidade sequencial e consistência fraca.
Claramente, isso não configura um resultado plausível, pois ( , ) não constitui um equilíbrio
de Nash no subjogo iniciado com a ação do jogador 2.
Notemos também que as crenças do jogador 3 não são consistentes com a estratégia do 2,
mas, uma vez que o conjunto de informação não está em equilíbrio, a regra de Bayes não se
aplica.
B E D A E E
1 D
E E ′
EQUILÍBRIO SEQUENCIAL
MAS AFINAL, O QUE É UM EQUILÍBRIO SEQUENCIAL?
Trata-se do conceito de equilíbrio mais comumente utilizado que não sofre com os problemas
anteriormente apontados – especificamente, a impossibilidade de aplicar a regra de Bayes em
algumas situações.
ANTES DE O DEFINIRMOS FORMALMENTE,
PRECISAMOS ESTABELECER O SIGNIFICADO
DE CONSISTÊNCIA EM TEORIA DOS JOGOS.
DEFINIÇÕES
Estabeleceremos a seguir as definições de:

ESTRATÉGIAS COMPLETAMENTE MISTAS
será completamente mista se cada ação receber uma probabilidade positiva;
CONSISTÊNCIA
Uma avaliação será considerada consistente quando uma sequência completamente
mista convergir para de tal modo que seja obtida a partir de , utilizando,
para todo , o teorema de Bayes;


EQUILÍBRIO SEQUENCIAL
Uma avaliação (μ,β) é sequencialmente racional e consistente.
Aplicaremos agora o jogo de três jogadores apresentado previamente. Para isso,
consideraremos uma probabilidade atribuída ao nó que segue de e a avaliação
.
Para que essa avaliação seja um equilíbrio sequencial, temos de encontrar um perfil de
estratégias comportamentais tal que:
(μ, β)
(μn, βn) (μ, β) μn βn
n
μ E
((A, E, E ′), μ = 0)
βn
βn
1 (A)⟶ 1
βn
2 (E)⟶ 1
βn
3 (E ′)⟶ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vemos que isso não é possível. No entanto, a avaliação dada por cumpre
a racionalidade sequencial – e isso é fácil de se verificar.
Ao verificarmos essa consistência, veremos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTEMOS QUE É OBTIDO DE GRAÇAS
AO TEOREMA DE BAYES E QUE
. COM ISSO, VEMOS QUE
ESSA AVALIAÇÃO CONSTITUI UM EQUILÍBRIO
SEQUENCIAL.
μn = ⟶ 0
βn
2 (E)
βn
2 (E)+βn
2 (D)
((B, E, D′), μ = 1)
βn
1 (B) = 1 − 1
n
βn
2 (E) = 1 − 1
n
βn
3 (D′) = 1 − 1
n
μn = 1 − 1
n
μn βn
(μn, βn)⟶ (μ, β)
Neste vídeo, abordaremos um exercício adicional sobre o EBP.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Descrever os modelos de sinalização
JOGOS COM SINALIZAÇÃO
MAS, AFINAL, O QUE É UM JOGO DE
SINALIZAÇÃO?
Trata-se de uma das aplicações mais comuns de jogos dinâmicos com informação incompleta.
Em sua forma mais simples, um jogo de sinalização possui:
DOIS JOGADORES
UM EMISSOR S
UM RECEPTOR 
A natureza sorteará o tipo do emissor de um conjunto Θ de tipos. Um elemento desse conjunto
será denotado por . A probabilidade de o tipo ser sorteado é .
O EMISSOR SEMPRE OBSERVA O PRÓPRIO
TIPO E ESCOLHE UMA MENSAGEM . JÁ
O RECEPTOR OBSERVA M, E NÃO ,
ESCOLHENDO UMA AÇÃO . OS PAYOFFS
SÃO DADOS POR E .
Consideremos a crença do receptor de que o tipo do emissor será se a mensagem
observada for m: ou seja, trata-se de uma probabilidade condicional. Também definiremos duas
probabilidades:
: Probabilidade de o emissor tipo enviar uma mensagem .
: Probabilidade de o receptor escolher a ação a depois de observar a mensagem .
Dada uma avaliação , o payoff esperado de um receptor de tipo é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já o payoff esperado do receptor condicionado a receber uma mensagem é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
R
θ θ p(θ)
m ∈ M
θ
a ∈ A
uS(m, a, θ) uR(m, a, θ)
μ(θ|m) θ
βs(m|θ) θ m
βR(a|m) m
(μ, β) θ
US(μ, β, θ)= ∑
m
∑
a
 βS(m│θ) βR(a│m)uS(m, a, θ)
m
US(μ, β|m)= ∑
θ
∑
a
 μ(θ|m) βR(a│m)uS(m, a, θ)
Pela regra de Bayes, necessariamente também existe:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Neste caso, a expressão acima vale sempre que , ou seja, sempre
que pelo menos um tipo de emissor enviar a mensagem .
ESTUDO DE CASO: CERVEJA OU QUICHE
Este jogo é popularmente conhecido pelos especialistas que estudam a teoria dos jogos por
esta alcunha.
ELE POSSUI AS SEGUINTES
CARACTERÍSTICAS:
A natureza
escolhe o tipo do jogador 1, que pode ser:
μ(θ′│m′)=
βS(m′│θ′)p(θ′)
∑
θ
 βS(m′│θ)p(θ)
∑θ  βS(m′│θ)p(θ) ≠ 0
m′
(N)
“Metido” (
, do inglês tough): Probabilidade de 0.9
“De boa” (
, do inglês weak): Probabilidade de 0.1
Observando seu tipo, o jogador 1 tem de fazer uma escolha entre comer quiche (Q) ou tomar
uma cerveja (B, do inglês beer). Já o 2 observa somente a ação do 1, mas não o tipo, tendo deescolher uma destas opções: chamá-lo para um duelo (F, do inglês fight) ou não (A).
TIPOS DE EQUILÍBRIOS
Procuraremos agora o EBP do jogo acima. Para isso, devemos conhecer os tipos de equilíbrio.
Veremos dois deles a seguir:
T
W
A) EQUILÍBRIOS SEPARADORES (CADA TIPO DO
EMISSOR ESCOLHE UMA AÇÃO DIFERENTE)
Observaremos duas ações diferentes:
a1.O tipo
escolhe
e o tipo
,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
W
Q
T
B
βS(Q│W) = 1, βS(Q│T) = 0
A regra de Bayes implica que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira similar,
. Sendo assim, a racionalidade sequencial do receptor acarreta que
e
. A do emissor então implica que
, contradizendo nossa hipótese.
OU SEJA, NÃO HÁ EBP DESTE TIPO.
a2.O tipo “de boa”(
) escolhe cerveja e o “metido”(
), quiche
μ(W│Q)= =
βS(Q│W)p(W)
βS(Q│W)p(W)+βS(Q│T)p(T)
(1×0.1)
(1×0.1)+(0×0.9)
= 1
μ(T│B) = 1
βR(A│B) = 1
βR(F│Q) = 1
βS(Q│W) = 0
W
T
│ │
A regra de Bayes implica que
e
. Dessa forma, a racionalidade sequencial do receptor acarreta que
e
. A do emissor então demanda que
, contradizendo nossa hipótese.
TAMBÉM NÃO HÁ EBP DESTE TIPO.
B) EQUILÍBRIOS EM POOLING (OS DOIS TIPOS DO
EMISSOR ESCOLHEM A MESMA AÇÃO)
βS(Q│W) = 0, βS(Q│T) = 1
μ(T│Q) = 1
μ(W│B) = 1
βR(F│B) = 1
βR(A│Q) = 1
βS(Q│W) = 1
Verificaremos duas ações diferentes:
b1. Ambos escolhem quiche
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A regra de Bayes implica que
e
. Logo, após observar
, o payoff esperado do receptor a respeito de
é este:
βS(Q│W) = 1, βS(Q│T) = 1
μ(W│Q) = 0. 1
μ(T│Q) = 0. 9
Q
F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já o esperado a respeito de
é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, vemos, por racionalidade sequencial, que
. A do tipo “de boa” implica então que
, confirmando nossa hipótese.
Já para o tipo “metido”, jogar “quiche” seria racional somente se o receptor escolhesse brigar
após observar “cerveja”. Portanto, é necessário ter
, o que, por sua vez, requer que
.
Desse modo, qualquer avaliação que satisfaça as seguintes condições será um EBP:
(0. 1 × 1) + (0. 9 × 0) = 0. 1
A
(0. 1 × 0) + (0. 9 × 1) = 0. 9
βR(A│Q) = 1
βS(Q│W) = 1
βR(F│B) = 1
μ(W│B) ≥ 1/2
βS(Q│W) = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b2. Ambos escolhem cerveja
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
βS(Q│T) = 1
βR(A│Q) = 1
βR(F│B) = 1
μ(W│Q) = 0. 1
μ(W│B) ≥ 1/2
βS(B│W) = 1, βS(B│T) = 1
Seguindo um raciocínio similar ao anterior, alcançamos as condições que definem um EBP
deste tipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
βS(B│W) = 1
βS(B│T) = 1
βR(F│Q) = 1
βR(A│B) = 1
μ(W│B) = 0. 1
μ(W│Q) ≥ 1/2
Neste vídeo, demonstraremos um exercício adicional sobre a aplicação do EBP em modelos de
sinalização.
SINALIZAÇÃO EM MERCADO DE
TRABALHO
Suponhamos que haja dois tipos de trabalhadores neste jogo:
Os de alta habilidade (
)

Os de baixa habilidade (
)
Definiremos
como a probabilidade de um trabalhador possuir uma habilidade alta. Neste caso, sua
produção será igual a 2. Já se tiver uma baixa, ela será igual a 1.
Sabemos ainda que o trabalhador pode escolher seu nível de educação e≥0 antes de se
candidatar a um trabalho. No entanto, esse custo depende da habilidade dele. Para os de
habilidade baixa, ele é igual a e; para aqueles em que ela é alta, esse custo é menor:
.
H
L
p ∈ (0, 1)
e
2
Desse modo, o empregador oferece um contrato salarial
, que é função do nível de educação de cada trabalhador. Já os payoffs dos trabalhadores são
dados por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos assumir que o mercado de trabalho seja competitivo. Com isso, o empregador oferece
um contrato salarial
tal que o lucro esperado é zero. Desse modo, se
w(e)
u(w, e, H) = w − e
2
u(w, e, L) = w − e
w(e)
denota a crença dele de que o trabalhador é de alta habilidade, já que ele obteve um nível de
educação
, o contrato salarial será satisfeito se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESTAMOS INTERESSADOS NO CONJUNTO DE
EQUILÍBRIOS BAYESIANOS PERFEITOS DESTE
JOGO, O QUE OCORRERÁ SE
E
DENOTAREM RESPECTIVAMENTE OS NÍVEIS DE
EDUCAÇÃO DOS TRABALHADORES DE
HABILIDADE ALTA OU BAIXA.
Exibiremos a seguir dois tipos de equilíbrio aplicados ao exemplo do mercado de trabalho:
a) Equilíbrios separadores
A regra de Bayes, neste caso, implica que
μ(H|e)
e
w(e) = 2μ(H│e) + (1 − μ(H│e))
eH
eL
(eH ≠ eL)
│
e
. Dessa maneira, vemos que
e
.
Com isso, sabemos que o jogador de habilidade baixa escolherá o nível de educação
. Em equilíbrio, ele não imitará o de habilidade alta – e vice-versa. Portanto, devemos ter o
seguinte:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
μ(H│eH) = 1
μ(L│eL) = 1
w(eH) = 2
w(eL) = 1
e = 0
2 − ≥ 1eH
2
Ou seja,
, assim como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível ter
dentro do intervalo entre 1 e 2 com o seguinte sistema de crenças:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) Equilíbrios em pooling 
A regra de Bayes, neste caso, denota que e . Portanto,
.
eH ≤ 2
1 ≥ 2 − eH
eH ≥ 1
eH
μ(H|e)=
⎧
⎨⎩
0, &e < eH
1, &e ≥ eH
(eH = eL = e∗)
μ(H│e∗) = p μ(L│e∗) = 1 − p
w(e∗) = 2p + (1 − p) = p + 1
Desse modo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessariamente, temos de ter:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma forma, vemos que:
u(w, e∗, H)= p + 1 − e∗
2
u(w, e∗, L)= p + 1 − e∗
p + 1 − ≥ 0e∗
2
p + 1 − e∗ ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARA TODO .
As desigualdades acima serão satisfeitas se (e somente) se .
Desse modo, é possível mostrar que qualquer deste tipo pode constituir um equilíbrio pelo
seguinte sistema de crenças:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
p + 1 − ≥ w(e)−e∗
2
e
2
p + 1 − e∗ ≥ w(e) − e
e ≥ 0
e∗ ≤ p
e∗
μ(H|e)={
p, e = e*
0, e ≠ e*
Apresentamos neste tema alguns modelos canônicos de jogos dinâmicos de informação
incompleta. Enfatizamos seus fundamentos teóricos para facilitar a visualização deles em
situações do gênero nos mais diversos tipos de interações estratégicas.
Nesse processo, destacamos dois jogos a título de exemplo: o jogo da “cerveja-quiche” e outro
com uma sinalização em mercado de trabalho. Mas é importante reforçar que os modelos
desenvolvidos neste tema têm aplicação nas mais diversas áreas: economia bancária,
desenvolvimento econômico, macroeconomia e mesmo fora da seara das ciências econômicas.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
GIBBONS, R. Game theory for applied economists. Princeton: Princeton University Press,
1992.
WATSON, J. Strategy. 3. ed. New York: W. W. Norton & Company, 2013.
EXPLORE+
Recomendamos a leitura dos capítulos 28 e 29 deste livro:
WATSON, J. Strategy. 3. ed. New York: W. W. Norton & Company, 2013.
CONTEUDISTA
Raphael Guinâncio Bruce
 CURRÍCULO LATTES
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