Interpolação Polinomial

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FUNDAÇÃO COMUNITÁRIA DE ENSINO SUPERIOR DE ITABIRA
CENTRO UNIVERSITÁRIO FUNCESI - UNIFUNCESI
Credenciado pela Portaria nº 62, de 04/02/2022 - DOU: 07/02/2022
	Curso: Engenharia de Produção/Engenharia Civil/Engenharia Mecânica
	Tipo de atividade: Exercícios
	Disciplina: Cálculo Numérico
	Professor: Maria Auxiliadora Lage
	Período/turma: 5º período
	Data: 
	Aluno(a):
	
	
Assunto: Interpolação Polinomial
A ideia básica da interpolação é aproximar uma função por meio de uma função , geralmente polinomial. 
Necessidade de utilizar a interpolação:
I) Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado
Exemplo:
Na tabela está assinalado o número de habitantes da cidade X nos quatro últimos censos.
	Ano
	1980
	1990
	2000
	2005
	2010
	Número de habitantes 
	352.724
	683.908
	1.235.030 
	
	1.814.990
Determinar o número aproximado de habitantes da cidade X em 2005.
II) Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis de serem realizadas.
Exemplo:
Seja a função , determinar utilizando os valores da tabela:
	xi
	f(xi)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Interpolação Linear
Chamamos interpolação linear ao caso mais simples possível (para dois pontos): Sejam dois pontos distintos e . Desta forma n é igual a 1 e pn(x) é uma função linear. 
O grau do polinômio interpolador é uma unidade menor que o número de pontos conhecidos. Neste caso, o polinômio interpolador terá grau 1, isto é,
Para determiná-lo, basta resolver o sistema linear abaixo
Por outro lado, como a imagem geométrica de é uma reta, está-se, na realidade, aproximando a função por uma reta que passa por e .
Erro de truncamento ():
Seja a função dada representada pela curva, e o polinômio interpolador. O erro de truncamento é dado por
Participe da resolução
1) Seja a função y= f(x) definida pelos pontos (0,00; 1,35) e (1,00; 2,94). Determinar aproximadamente o valor de f(0,73).
2) Duas escalas termométricas hipotéticas, R e S, estão sendo estudadas com o intuito de melhorar a eficiência de uma máquina que processa compostos voláteis. De acordo com os estudos, a relação entre essas duas escalas pode ser representada graficamente pela reta a seguir.
a) Qual expressão relaciona corretamente as temperaturas em?
b) Fazer a estimativa de S=500º, qual o valor de ºR?
3) Seja a função f(x)= senx. Estimar através da interpolação linear, o valor aproximado de a partir dos pontos (1,00;0,84) e (2,00; 0,91).
4) Seja a função , usando os valores de (x1=1,0 e x2=1,5) e os valores correspondentes de f(x1) e f(x2), calcular o valor aproximado para f(1,2) por interpolação linear.
5) Dada a função , com os valores de f(0,1) e f(0,2) determinar o valor aproximado para f(0,15) por interpolação linear.
6) Dada a tabela abaixo, calcular onde a função . Calcular a cota máxima do erro de truncamento cometido.
	
	0
	0,1
	0,2
	0,3
	0,4
	0,5
	
	1
	1,3499
	1,8221
	2,4596
	3,3201
	4,4817
7) Seja a tabela:
	
	0
	0,1
	0,2
	0,3
	0,4
	0,5
	
	1
	1,3499
	1,8221
	2,4596
	3,3201
	4,4817
Usando interpolação linear sobre pontos adequados:
a) Calcular onde .
b) Calcular a cota máxima do erro de truncamento cometido.
Interpolação Quadrática
Se uma função, são conhecidos três pontos distintos, então o polinômio interpolador será:
O polinômio é conhecido como função quadrática, cuja imagem geométrica é uma parábola.
Para determinar os valores de é necessário resolver o sistema:
 onde os pontos , e são conhecidos.
Participe da resolução
1) Encontre com grau que interpole os pontos da tabela abaixo.
	x
	-1
	0
	2
	f(x)
	4
	1
	-1
 
2) Determinar o valor aproximado de f(0,2) ocasionado pela aplicação da interpolação quadrática, no cálculo deste valor, usando os valores da função . Trabalhar com 2 casas decimais.
	x
	0,5
	0,3
	0,2
	0,1
	f(x)
	0,25
	0,49
	???
	0,81
Resp: P(0,2) = 0,64
Forma de Interpolação Polinomial de Newton
Exigência: espaçamento h constante Z (nova variável)
 
	x
	y
	
	y
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Para obter o valor a ser interpolado f(x) toma-se:
 sendo .
Participe da resolução
1) Faça a tabela das potencias de , para a função y = cos x, , h= 0,2 e .
	x
	y=cos(x)
	
	y
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
2) Considere a tabela:
Obtenha o Polinômio Interpolador por Gregoy Newton. 
 sendo .
3) Dada a tabela da função, calcule o valor da imagem em x = 0,3..
 sendo .
4) Complete a tabela usando o polinômio de Gregory-Newton Ascendente
	X
	1,76
	1,93
	2,06
	2,10
	Y
	2,469
	4,015
	????
	6,188
	x
	y=
	
	y
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
5. Aproxime f(0,05) utilizando o Polinômio interpolador de Gregory-Newton e os dados seguintes:
	I
	Xi
	f(xi)
	1
	0,0
	1,0000
	2
	0,2
	1,22140
	3
	0,4
	1,49182
	4
	0,6
	1,82212
6. Um paraquedista realizou cinco saltos; saltando de alturas distintas em cada salto, foi testada a precisão de seus saltos em relação a um alvo de raio de 5 m, de acordo com a altura. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa à circunferência. 
Levando em consideração os dados acima, calcule o polinômio interpolador e diga a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 850 m?
Polinômio Interpolador de Lagrange
Sejam (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), ... ,(xn,f(xn)), (n+1) pontos distintos e
yi = f(xi) i=0, 1, 2, ... , n
Seja pn(x) o polinômio de grau n que interpola f em x0, x1, ... ,xn. Podemos representar pn(x) na forma 
pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x) (6)
onde Lk(x) são polinômios de grau n.
 (9)
Resumindo, a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é:
 
Espaçamento pode ser variável, ou seja, h não constante.
São n polinômios ( chamados de Lagrange) que podem ser escritos assim: 
p1(x) = (x - x2)(x - x3) ... (x - xn) salta x1 
p2(x) = (x - x1)(x - x3) ... (x - xn) salta x2 
Pn(x) = (x - x1) (x – x2) (x - x3) ... (x - xn)
	ou abreviadamente: 
Participe da Resolução
5) Dados os valores; 
 
calcule P(x) por Lagrange.
6) Determine, em função de x e na forma reduzida, o polinômio interpolador, de grau máximo, para a tabela abaixo, usando Lagrange: 
 
7) Dada a função tabelada z = f(t), abaixo:
Determine o polinômio interpolador 
Calcule:
f(2,7)
f(5,2)
 
8) Dada a função tabelada abaixo, calcule a imagem f(0,12) por Lagrange
	X
	Y
	x1 =0,07
	y1= 2,222
	x2 = 0,14
	y2 = 3,748
	x3 = 0,21
	y3 =5,243
	x4 = 0,28
	y4 =6,700
R: 3,315
9) Utilizando interpolação polinomial estime o valor da raiz quadrada de 115 considerando os pontos a seguir. Calcule, também, uma estimativa para o erro de truncamento máximo cometido.
	X
	100
	121
	142
	Y
	10
	11
	11,9164
10) Dados os valores, calcule o polinômio interpolador de Lagrange P(x)
	X
	Y
	x1 = -5
	y1= 1
	x2 = 0
	y2 = 3
	x3 = 1
	y3 =-1
	x4 = 2
	y4 =2
	
11) Na calibração de um pirômetro de metal (40% de níquel e 60% de cobre) V é o valor em milivolts e t é a temperatura em graus Farenheit. Seja a seguinte tabela.
	V
	0
	2
	4
	6
	8
	T
	0
	146
	255
	320
	
Sabe-se que um polinômio de grau três é suficiente para prever t como função de V, isto é, os 4 são nulos. Sendo assim determine e a equação do polinômio interpolador.
Referências Bibliográficas
BARROSO, L. C.; BARROSO, M. M. A.; CAMPOS FILHO, F. F.; CARVALHO, M. L. B.; FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: [s.n.], 2009. 505
BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008. 721 p.
CANTÃO, L. A. P. Cálculo Numérico e Computacional CNC. UNESP. Sorocaba, 2007.
Disponível em: < http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CNC/apostila.pdf>
Acesso em: 31jul 2015
FREITAS, Raphael de Oliveira; CORRÊA, Rejane Izabel Lima; VAZ, Patrícia Machado Sebajos. Cálculo Numérico.Porto Alegre: SAGAH, 2019. Disponível em: Biblioteca Virtual Sagah.
LOPES, Lúcia da Rocha; RUGGIERO, Márcia Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2013. 406 p.
MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henry Monken; SPERANDIO, Décio. Cálculo numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Pearson, 2006. 354 p
7
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