Interpolação Numérica

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Modelagem Numérica 
Capítulo 2 
Interpolação 
2.1 - Introdução 
Seja um conjunto de pares numéricos, representativos de pontos discretos conhecidos, obtidos 
de forma exata a partir de dada função. A partir desses pontos discretos conhecidos podem-se 
determinar pontos intermediários da curva que descreve tal função, Figura II.1. Uma vez tratando-
se pares numéricos de função real exata, a interpolação polinomial representa instrumento 
apropriado a utilizar-se para a determinação dos referidos pontos intermediários. 
 
Figura II.1 – Ponto a interpolar de curva referente a função exata 
 
2.2 - Interpolação Linear 
Uma vez objetivando-se a obtenção do valor de a partir de interpolação linear, o ponto 
pretendido seria , que deve recair no ponto B, Figura II.2, plotado sobre segmento 
retilíneo, trecho AD, interligando os pontos [x3, f(x3)] e [x4, f(x4)]. Assim, no trecho ora 
considerado, a curva que descreve graficamente a função f(x) está sendo aproximada pelo 
segmento retilíneo AD. Observe-se que os triângulos ABC e ADE são equivalentes, pois, 
apresentam seus respectivos lados paralelos entre si, de modo que, vale a proporção entre os 
comprimentos de seus lados: 
 
 
 
 
 
 
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que pode ser transformada em: 
 
 
 
 
 
 
 
O valor interpolado será: 
 
 
 
 
 
Figura II.2 – Vizinhança de o ponto a interpolar 
A forma da Equação II.3 pode ser generalizada para sua aplicação a um ponto qualquer de 
abscissa x, intermediário de dois pontos arbitrários e consecutivos, de abscissas xi e xi+1, 
assumindo a forma: 
 
 
 
 
A equação II.4, uma vez reordenada pode resultar em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e: 
 
 
 
 
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Então: 
 
A Equação II.8 é conhecida como Polinômio Interpolador, neste caso, Polinômio Interpolador 
Linear, por aproximar a curva por um segmento retilíneo, e constituir uma função linear definida 
entre os pontos de abscissas xi e xi+1. Uma vez utilizando-a pode-se determinar o valor 
interpolado de forma sistemática. 
O valor interpolado é tanto mais preciso quanto mais próximos entre si forem os pontos de 
abscissas "xi" e "xi+1". 
Exercício Resolvido II.1 - Determinar mediante aproximação linear o valor de f(6,5) se nos 
pontos de abscissas xi = 6 e xi + 1 = 7 a função objeto de trabalho apresenta os valores: 
f(6) = 0,10453 e f(7) = 0,12187. 
Substituindo-se os valores pertinentes na Equação II.6 obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 = 0,01734 
Considerando-se os devidos valores dos parâmetros envolvidos na Equação II.7 resulta: 
 
Adotando-se os valores de ao e a1 ora calculados na Equação II.8 tem-se: 
 
Este valor é idêntico àquele obtido a partir da utilização de uma série de Taylor com precisão até 
a quarta casa decimal. 
Exercício Resolvido II.2 - Determinar mediante aproximação linear o valor de f(0,55) se nos 
pontos de abscissas xi = 0,5 e xi + 1 = 0,6 a função objeto de trabalho apresenta os valores: 
f(0,5) = 1,64872 e f(0,6) = 1,82211 
Substituindo-se, devidamente, os valores dos parâmetros constantes da Equação II.6 tém-se: 
 
 
 
 
 
 
 = 1,7339 
 
4 
 
Considerando-se os valores dos parâmetros envolvidos na Equação II.7 resulta: 
 
Adotando-se os valores de ao e a1 ora calculados na Equação II.8 tem-se: 
 
O valor obtido a partir da utilização de uma série de Taylor com precisão até a quinta casa 
decimal é f(0,55) = 1,73325 
Exercícios Propostos: 
1 – Determinar f(2,5) mediante interpolação linear se: 
a - f(2,0) = 0,6931 e f(3,0) = 1,0986; b -) f(2,0) = 0,0349 e f(3,0) = 0,0524; e, 
c -) f(2,0) = 7,389 e f(3,0) = 20,085. 
Os valores obtidos a partir do emprego de série de Taylor com precisão até a quinta casa decimal 
são: a. f(2,5) = 0,91629 b. f(2,5) = 0,04366 c. f(2,5) = 12,18250 
2.3 – Interpolação de Ordens Superiores 
A escolha de uma curva de ordem mais alta referente a um polinômio de maior grau conduziria, 
em geral, a uma aproximação com melhor qualidade de resultados. Entende-se que dois pontos 
determinam uma reta, princípio este que fundamentou a dedução do polinômio interpolador linear, 
então, considerando que três pontos determinariam uma curva quadrática, quatro pontos uma 
cúbica, e, assim por diante, por m + 1 pontos pode-se passar curva de ordem m, correspondente 
a um polinômio de grau igual m, de modo que o polinômio interpolador seria da forma: 
 
 
 
Para os m+1 pontos conhecidos ter-se-ia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que representa um sistema de m+1 equações a m+1 incógnitas que são os coeficientes a 
determinar a0, a1, a2, a3, . . . ,am, do polinômio interpolador. Tal sistema de equações pode 
assumir a forma matricial II.10. 
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Neste caso a matriz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e é conhecida como matriz de "Van der Monte". O sistema da Equação II.13, uma vez resolvido, 
resultam os valores dos coeficientes ao, a1, a2, . . .an. Tal sistema é solúvel desde que a matriz 
característica seja não singular. Seu determinante é não nulo, pois, todos os xi são valores 
distintos do domínio de uma função. Assim, se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
Que é problema facilmente abordável mediante adoção de algoritmo estruturado. Uma vez obtida 
a matriz “A”, obtém-se, automaticamente, o polinômio interpolador correspondente. 
Exercício Resolvido II.3: Determinar o polinômio interpolador de maior ordem possível para 
trabalhar no intervalo de 0o até 90o a partir de tabela com os valores exatos da função seno em 
0o, 30o, 60o e 90o. 
Tem-se m + 1 = 4 pontos disponíveis, devendo-se montar o polinômio interpolador de grau 3: 
 
 
 
Os coeficientes de tal polinômio devem ser determinados a partir do sistema de equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para compor este sistema devem-se considerar as informações do quadro: 
xi f(xi) = sen(xi) 
0 0 
30 0,5 
60 0,866 
90 1 
Logo, o sistema assume, especificamente, a forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuja solução é: 
 
E o polinômio interpolador será: 
 
O fato de o polinômio interpolador ter sido determinado com base na premissa de que ele 
coincide com a função nos pontos dados pode induzir à falsa ideia de erro nulo nesses pontos, 
entretanto, os coeficientes foram obtidos mediante algoritmo transcodificado em FORTRAN, para 
o qual a função seno é função de biblioteca e tem seus valores obtidos via métodos numéricos 
aproximados.Além do mais, há de se considerar os erros que decorrem de deficiências 
numéricas próprias da resolução de sistemas lineares, mediante modelagem numérica. 
Uma vez comparados os valores corretos da função seno com aqueles obtidos mediante o 
polinômio interpolador, no intervalo estudado, constata-se da Figura II.3 que os erros cometidos 
no intervalo de trabalho são imperceptíveis, embora fora de tal intervalo percebe-se facilmente a 
divergência de valores que se acentua tanto mais para pontos mais distantes de tal intervalo. Por 
outro lado, examinando-se a Figura II.4, que representa detalhe em escala ampliada do trecho 
correspondente ao intervalo de trabalho, os erros em tal intervalo tornam-se perceptíveis. Os 
erros cometidos neste exercício foram da ordem de ±0,002. 
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Figura II.3 – Curva da função x Curva interpolada - Geral 
 
Figura II.4 - Curva da função x Curva interpolada – Intervalo de Trabalho 
Exercício Resolvido II.3: Determinar o polinômio interpolador de maior ordem possível para 
trabalhar no intervalo de 0 até 2, considerando os dados da Tabela: 
xi f(xi)) 
0 0 
1 2 
2 6 
Tem-se m + 1 = 3 pontos disponíveis, devendo-se montar o polinômio interpolador quadrático: 
 
 
Os coeficientes de tal polinômio devem ser determinados a partir do sistema de equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Logo, o sistema assume, especificamente, a forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que se desenvolvido assume a forma: 
 
 
 
Da primeira das equações pode-se deduzir que ao = 0, logo, restam as equações: 
 
 
Cuja solução é: 
 
E o polinômio interpolador será: 
 
Exercícios Propostos 
2 – Determinar o polinômio interpolador de maior ordem possível para trabalhar no intervalo de 0 
até 2, considerando os dados da Tabela: 
xi f(xi) g(xi) 
0 0 0 
1 0,69315 0,01746 
2 1,09861 0,03492 
 
2.4 - Polinômio Interpolador de Lagrange 
Para o caso de primeira ordem, o objetivo é obter um polinômio da forma: 
 
De modo que: 
 
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Podendo-se escrever então: 
 
 
 
 
 
Nesta etapa será adotado artifício em que certa constante c, numericamente igual à unidade, será 
introduzida. Embora conhecido o valor da constante c, para efeito de abordagem do sistema de 
equações lineares que se seguirá, ela desempenhará, ficticiamente, o papel de incógnita do 
sistema. O Sistema de Equações II.12 transforma-se então em: 
 
 
 
 
 
Ou em forma matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Sistema II.14 é de equações homogêneas, de modo que, se apresentar soluções não nulas o 
determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo. Tal determinante pode ser dado por: 
 
Uma vez resolvendo-se a Equação II.15 em p1(x), obtém-se o polinômio de Lagrande de primeira 
ordem: 
 
 
 
 
 
 
 
Desde que L0(x) e L1(x) representam os coeficientes de Lagrange e são definidos nas formas: 
 
 
 
 
 
 
 
As Equações II.16 e II.17 podem ser estendidas para permitir-se a definição do polinômio de 
Lagrange de ordens superiores, resultando as formas: 
 
 
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e: 
 
 
 
 
Observe-se que, aplicando-se o polinômio a cada um dos pontos tabelados, resulta: 
 
Escrevendo-se a Equação II.21 em forma contracta alternativa tem-se: