Introdução à Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Marcos Barbosa
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 
“Ei, você aí! Me dá um dinheiro aí! Me dá um dinheiro aí!”
Marchinha de Carnaval – Composição: Homero Ferreira / Renato Ferreira / Ivan Ferreira
Jornada Acadêmica
1 Conceitos gerais de Matemática Financeira
- Por mais que não nos interessemos por finanças, esse assunto é presente em nosso cotidiano. Seja em uma simples compra a prazo até investimentos mais sofisticados.
- Quem nunca ficou na dúvida de como efetuar uma compra ou liquidar uma dívida? A mídia está repleta de ofertas. 
1.1 Definição
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
Todo início de ano temos vários impostos e taxas a serem pagas: Imposto sobre a Propriedade Territorial Urbana (IPTU), Imposto sobre a Propriedade de Veículos Automotores (IPVA), Anuidade dos Conselhos de Classe. Então: é melhor pagar à vista ou a prazo?
É melhor fazer um financiamento pelo Sistema Price ou de Amortização Constante?
Taxa Mínima de Atratividade, Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido: o que isso pode nos dizer no tocante ao melhor investimento?
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Jornada Acadêmica
 Onde a Matemática Financeira se 
 encaixa nesse contexto?
- A Matemática Financeira trata, em essência, da avaliação do valor do dinheiro no tempo através da aplicação de uma série de técnicas e conceitos de matemática. O objetivo é o de efetuar comparações e análises dos vários fluxos de entradas e saídas de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.
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A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Jornada Acadêmica
Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã. 
É intuitivo entender que R$ 1.000,00 em seu bolso hoje tenham mais valor do que R$ 1.000,00 que chegarão às suas mãos daqui a seis meses.
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Jornada Acadêmica
A Matemática Financeira reconhece que o dinheiro tem valor no tempo. Adiar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. 
Dessa forma, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia.
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Jornada Acadêmica
1.2 Objetivo
- A Matemática Financeira tem como principal objetivo a realização de cálculos em fluxos de caixa, com a aplicação de taxas de juros para obter valores equivalentes, que permitam uma correta tomada de decisão do ponto de vista financeiro, levando em consideração o valor do dinheiro no tempo.
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Jornada Acadêmica
- É extremamente útil na análise de diversas operações financeiras de investimentos e financiamentos, e em diversos outros ambientes econômicos que demandam comparações do dinheiro no tempo. 
qual o valor de um capital de R$ 100.000,00 daqui a um ano?
quanto deve ser pago por uma dívida se for quitada antes de seu vencimento (pagamento antecipado)?
como comparar dois ou mais valores no tempo?
quais as alternativas mais atraentes (mais rentáveis) de investimentos?
como devem ser analisadas as alternativas de empréstimos?
qual a melhor decisão de compra?
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A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática: 
Você necessita de R$ 50.000,00 para atender a uma necessidade financeira. Um banco lhe propõe um empréstimo nesse valor que deverá ser pago após três meses; o banco depositará R$ 50.000,00 em sua conta e você pagará a ele R$ 60.000,00 ao final desse período. 
Essa situação permite a você identificar os elementos básicos que serão estudados em Matemática Financeira. Nessa situação, você pode ver que: 
existiu uma transação financeira entre o banco (agente credor) e o cliente (agente devedor) que será denominada de operação financeira; 
essa operação financeira tem um valor inicial de R$ 50.000,00 que será denominado de capital e um valor final de R$ 60.000,00 que será denominado montante e teve uma duração de três meses; 
há uma diferença entre o montante e o capital que será denominada juro da operação. Esse juro será um custo para você e uma remuneração para o banco; e 
existe um agente que empresta o dinheiro que é denominado credor e existe um agente que toma o dinheiro emprestado que é denominado devedor.
Jornada Acadêmica
1.3 Fluxo de Caixa
Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo.
Podemos ter fluxos de caixa de empresas, investimentos, projetos, operações financeiras, etc.
O fluxo de caixa e a taxa de juros são as duas matérias-primas mais importantes da Matemática Financeira.
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Jornada Acadêmica
- A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas).
- As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro.
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Por exemplo: 
Determinado financiamento de R$ 30.000,00 a ser pago em 6 prestações mensais e iguais de R$ 5.200,00 cada.
 Tomador do recurso
 Credor do recurso
Jornada Acadêmica
1.4 Juro
Juro pode ser entendido como o preço pago pelo uso de um capital por um certo período de tempo. 
Representa, portanto, o valor da remuneração de um investimento ou o valor pago pelo empréstimo de um capital.
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Jornada Acadêmica
Todo empréstimo ou aplicação de dinheiro envolve um sacrifício de adiar um consumo ou gasto, devendo a pessoa, portanto, ser remunerada por isso através da cobrança de juros.
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Jornada Acadêmica
As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
a) o risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado genericamente pela incerteza com relação ao futuro;
b) a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação;
c) o capital emprestado/aplicado. 
Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimentos e definido por custo de oportunidade.
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Jornada Acadêmica
1.5 Taxa de juros
Taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo.
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Jornada Acadêmica
As taxas de juros sempre se referem a uma unidade de tempo: mês, semestre, ano, bimestre, etc; e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária.
A taxa percentual refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. E vem acompanhada do intervalo de tempo a que se refere, ou seja:
10% a.a. (ao ano); 8% a.s. (ao semestre)
4% a.q. (ao quadrimestre); 2% a.t. (ao trimestre)
1% a.m. (ao mês)
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Por exemplo: 
um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende juros, ao final deste período:
Juro = 1.000,00 x 20
 100
 
Juro = 10 x 20 = R$ 200,00
O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00.
Jornada Acadêmica
A taxaunitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo.
No exemplo anterior, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20%/100) por unidade de capital aplicada, ou seja:
J = 1.000,00 x 20 => 1.000,00 x 0,20 = R$ 200,00
 100
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Jornada Acadêmica
A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em percentual por 100.
	TAXA PERCENTUAL	TAXA UNITÁRIA
	1,50%	0,015
	8%	0,08
	17%	0,17
	86%	0,86
	120%	1,20
	1.500%	15,00
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IMPORTANTE!
Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros.
Jornada Acadêmica
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1.6 Regras básicas
Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem estar necessariamente expressos na mesma unidade de tempo.
Somente após a definição do prazo e da taxa de juro na mesma unidade de tempo é que as formulações da matemática financeira podem ser operadas.
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Jornada Acadêmica
1.6 Regras básicas
Apenas valores monetários da mesma data podem ser comparados e somados algebricamente.
Valores monetários de datas diferentes são grandezas que não podem ser somadas algebricamente ou comparadas entre si, a menos que sejam previamente movimentadas para a mesma data, com a correta aplicação de uma taxa de juros.
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Jornada Acadêmica
1.7 Critérios de capitalização dos juros
Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. 
Nesta conceituação podem ser identificados dois regimes de capitalização dos juros: 
simples (ou linear) e 
composto (ou exponencial).
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Jornada Acadêmica
1.8 Capital, Montante, Valor Presente, Valor Futuro e Valor Nominal
Capital (C) é o valor inicial de uma operação financeira expresso em unidades monetárias. Esse valor inicial pode ser:
numerário ou depósitos bancários disponíveis;
valor de um título de dívida no início de um processo financeiro; e
valor de ativos físicos (prédios, máquinas, veículos e outros) no início de um processo financeiro.
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Jornada Acadêmica
Montante (M) é a soma do capital (C) e do juro (J) que foi acordado na operação financeira e que é devido ao seu final. Essa definição mostra a você a seguinte relação:
M = C + J
 Essa relação é denominada equação básica da Matemática Financeira.
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Jornada Acadêmica
Valor presente (PV) é o valor de uma operação financeira na data presente. É um valor intermediário entre o montante (M) e o capital (C), conforme você pode ver na Figura 2.
Veja que, para uma operação financeira iniciada hoje, o capital (C) e o valor presente (PV) coincidem; por essa razão, a expressão valor presente (PV) é, frequentemente, utilizada como sinônima de capital (C), apesar da diferença conceitual existente.
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Jornada Acadêmica
Valor futuro (FV) é o valor de uma operação financeira em qualquer data compreendida entre a data atual e o vencimento da operação (Figura 2). De modo análogo ao valor presente (PV) e ao capital (C), também o valor futuro (FV) é, frequentemente, tomado como sinônimo de montante (M).
Valor nominal (VN) é o valor de uma operação financeira constante do título de crédito que a documenta. Pode ser tanto o valor inicial, ou capital (C), quanto o valor final, ou montante (M), da operação. Alguns autores adotam a nomenclatura “valor de face” em vez de “valor nominal”. Frequentemente, valor nominal (VN), valor de futuro (FV) e montante (M) são tomados como sinônimos apesar das diferenças conceituais existentes.
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
É comum vermos nas lojas os encartes, e na internet a quantidade de vezes que a representação % (por cento) está presente na comunicação das mais diversas empresas e órgãos públicos.
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
Fonte: https://www.baratocoletivo.com.br/
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
- Trata-se de uma linguagem amplamente difundida, e é senso comum entre a população de que se trata de um modo de comunicação com vistas em representar a parte de um todo de 100 unidades.
- Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.
- Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades.
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
- O cálculo de 10% de 80, por exemplo, pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: 10% x 80 = (10 / 100) x 80 = 800 / 100 = 8.
- Situações mais elementares, como a citada anteriormente, podem ser resolvidas “de cabeça” (cálculo mental). 
- Imagine que os 80 citados são na verdade o valor da conta de um jantar em família; sobre esse valor vamos acrescentar a taxa de serviço de garçom que é de 10% sobre o consumo total. Sendo assim, basta dividir por 10 o valor da conta, resultando em 8, ou melhor, em 8,00 reais e somar este resultado ao total consumido: 
R$8,00 + R$80,00 = R$88,00 ou 80,00 X 1,10 = R$ 88,00
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
- Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto:
Produto = M% x N = ( M / 100) x N
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Por exemplo: 
1: Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?
Resolução:
Etiquetas Pares = 52% de 25 fichas = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13. 
O restante, (100% - 52% = 48% são de fichas número ímpar).
Nesse fichário, há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com
número ímpar.
Por exemplo: 
2: Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Pagou-se R$ 690,00 pela mercadoria. Qual o preço original da mercadoria?
Resolução:
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original, e isto significa que 92% de X = 690
Assim temos:
92% .x = 690
(92/100) . x = 690
(92x / 100) = 690
92x = 69.000
x = 69.000 / 92 = 750
O preço original da mercadoria era de R$750,00.
https://exame.com/economia/brasil-tem-maior-juro-real-do-mundo-o-que-isso-significa-na-pratica/
Leitura 1: 
Brasil tem maior juro real do mundo. O que isso significa na prática?
Leitura 2: 
A inflação, a taxa Selic e o seu bolso
https://meubolsoemdia.com.br/Materias/a-inflacao-os-juros-e-o-seu-bolso
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Dica de PodCast: Matemática Financeira
https://brasilescola.uol.com.br/podcasts/matematica-financeira.htm
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