Oscilador Harmônico e Forças

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MECÂNICA CLÁSSICA
BACHARELADO EM FÍSICA 2021.1
LISTA 3
Questão 1 (optativa)
A solução ao problema do oscilador harmônico simples é dada por
x(t) = A cos(ω0t+ θ) (1)
Achar a amplitude A e a fase inicial θ em função da velocidade inicial v0 e a
posição inicial x0 e viceversa.
Questão 2 (optativa)
Achar uma expressão para a energia do oscilador harmônico simples em função
da amplitude das oscilações e da constante elástica.
Questão 3 (optativa)
Dado um oscilador harmônico subamortecido, considerar amortecimento pe-
queno e determinar o tempo transcorrido até ele ficar com a mitade da energia
inicial. Comentario: amortecimento pequeno siginifica que γ/ω0 << 1, pelo
tanto termos que contenham ese quociente como fator podem ser negligencia-
dos.
Questão 4
Em ”sala de aula” achamos a solução particular xPN (t) (ver notas de aula).
Determinar as condições iniciais satisfeitas por essa solução.
Questão 5
Determinar o movimento de um oscilador harmônico subamortecido (γ = ω0/3),
inicialmente em repouso e submetido, a partir de t0 = 0, a ação da força
F (t) = F1 cos(3ω0t) (2)
onde ω0 é a frequência própria do oscilador
Questão 6
Seja o sistema do exerćıcio anterior só agora que a força externa é
F (t) = F1 cos(3ω0t) + F2 cos(ω0t) (3)
ou seja possui o termo adicional F2 cos(ω0t), determinar F1/F2 tal que a osilaçao
corespondente ao termo da força externa de frequencia 3ω0 tenha a mesma
amplitude do que aquele correspondente a o termo de frequência ω0.
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Questão 7
Demostrar o principio de superposição enunciado na ”sala de aula” . só que
para um número finito de termos.
Questão 8
Em ”sala de aula” vimos que a solução mais geral ao problema do oscilador
harmônico amortecido com uma força excitação externa do tipo
F (t) = F0 cos(ωt+ φ) (4)
é dada por
x(t) = Ae−γt cos(ω1t+ θ) +
F0 cos(ωt+ φ− ψ)
m
√
(ω2
0 − ω2)
2
+ 4γ2ω2
(5)
onde o significado de cada parámetro foi devidamente especificado em ”sala
de aula”.
a) Determinar a potência media suministrda pela força externa, após transcor-
rido um tempo suficientemente grande como para que o primeiro termo
da solução seja desprezivel.
b) Descrever o comportamento da potência media com a frequência da força
externa (se achar conveniente, fazer um gráfico do tipo daquele analizado
em ”sala de aula” para explicar o fenómeno de resonância).
SUGESTÕES:
i) Lembrar que a potencia é dada pelo produto da força pela velocidade.
ii) Lembrar que uma função f de uma variável qualquer, u, se diz que têm
peŕıodo Λ, desde que se satisfaza que
f(u+ Λ) = f(u). (6)
iii) Lembrar que o valor medio de uma função como a definida na sugestão ii)
é dado por :
< f >=
1
Λ
Λ∫
0
f(u)du (7)
2
Questão 9
Na figura 0 podemos ver uma força tipo ”sinal quadrado” de peŕıodo T = 2
segundos (notar que neste problema T denota peŕıodo e não têm nada a ver
com energia cinética) e amplitude F0 = 10 N. Um ”sinal quadrado” (e qualquer
outro sinal periodico) pode-se escrever segundo um desenvolvimento, chamado
serie de Fourier (ver por exemplo a seção 2.8 do Classical Electrodynamics by
John David Jackson). Vamos assumir que no caso do ”sinal quadrado” a serie
fica:
F (t) =
∞∑
k=1
Bk sin
(
2πkt
T
)
, (8)
com
Bk =
2F0
kπ
(1 − cos kπ) . (9)
Para compensar o fato que não demostramos as equações 8 e 9 , na figura 1 apre-
sentamos diferentes somas parciais da serie de Fourier para o ”sinal quadrado”.
Podemos apreciar como fica a aproximação quando só um termo é considerado, e
logo quando 4, 80 e por último 10000 termos são somados. Deste modo, embora
não demostremos, pelo menos verificamos que uma força tipo sinal quadrado”
pode-se escrever segundo as equações 8 e 9. Determinar a soluçao ao problema
do oscilador forçado quando ele é excitado por um força tipo ’sinal quadrado’.
SUGESTÃO :usar o principio de superposição. ERRO: nas figuras 0 e 1 a força
é medida em Newton e não em dyn.
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