Tema 4 - Introdução à mecânica ondulatória

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Introdução à mecânica ondulatória
Princípios oscilatórios e os diferentes tipos de movimentos harmônicos.
Prof. Gabriel Burlandy Mota de Melo
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender os conceitos físicos de oscilação e movimentos harmônicos.
Preparação
Tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/
computador.
Objetivos
Descrever os conceitos de movimento oscilatório e movimento harmônico simples (MHS).
Compreender as propriedades de oscilações amortecidas, oscilações amortecidas forçadas e
ressonância.
Descrever os conceitos das propriedades de ondas e interferência de onda, função de onda e a
definição de ondas propagantes e estacionárias.
Introdução
Antes de começarmos, assista ao vídeo sobre mecânica ondulatória.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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Relógio, movimento oscilatório.
1. Movimentos oscilatório e harmônico simples
Contextualizando
Um movimento oscilatório (ou vibratório) é um
dos movimentos mais abundantes e
importantes observados na natureza. Tudo que
apresenta movimento periódico é considerado
movimento oscilatório. Como exemplos,
podemos citar: 
 
Um carro que circula diversas vezes em
um circuito fechado.
Os ponteiros de um relógio.
Um ioiô subindo e descendo.
Uma corda esticada que balança de um
lado para outro.
Há infinitos movimentos de toda natureza que se encontram em movimentos oscilatórios. Por isso, a física se
preocupou em definir quais condições determinam que um movimento seja caracterizado como oscilatório ou
vibratório. 
Um movimento é considerado oscilatório somente quando um corpo (ou partícula) se move,
periodicamente, em torno de uma posição de equilíbrio.
Para que um movimento seja visto, o observador precisa estar em um referencial inercial, de tal forma que não
interaja com o movimento oscilatório. O modo mais simplório de reprodução de um movimento oscilatório é a
montagem do sistema de um pêndulo matemático.
Pêndulo matemático
Composto por uma corda e um peso, uma de suas extremidades fica amarrada em um anteparo; na outra
extremidade, é colocado um peso de dimensões muito inferiores ao comprimento da corda. No início da
reprodução do movimento harmônico, a corda fica esticada na vertical de maneira estática; e então o sistema
corda-peso é colocado para oscilar em relação a um ponto de referencial fixo. 
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Figura 1 - Pêndulo matemático.
Período (T) e frequência (f)
Consideramos, por convenção, que uma oscilação completa se dá quando a massa do pêndulo passa pelo
ponto de referência duas vezes, o que pode ser visto na figura 1.
 
Os movimentos oscilatórios podem ser descritos com auxílio das definições matemáticas dos movimentos
circulares. Isso é possível porque os movimentos circulares correspondem a um tipo de movimento oscilatório.
Assim, podemos afirmar que o tempo de uma oscilação é chamado de período (T) e é medido em segundos
(s). Esse tipo de movimento também possui uma frequência (f) de ocorrência, medida em Hertz (Hz).
 
Matematicamente, o período e a frequência se relacionam da seguinte maneira:
Grosso modo, a frequência é o número de repetições de oscilações, em um único segundo.
 
Podemos dizer também que as equações aplicadas ao movimento circular uniforme (MCU) e ao movimento
circular uniformemente variado (MCUV) podem ser aplicadas ao movimento oscilatório:
Onde: 
 
ω = Velocidade angular em radianos por segundo (rad/s)
θ = Posição angular em radianos (rad)
θ0 = Posição angular inicial em radianos (rad)
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3
4
5
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f = Frequência em hertz (Hz)
v = Velocidade linear em metros por segundo (m/s)
α = Aceleração angular em radianos por segundo ao quadrado (rad/s²)
α = Aceleração linear em metros por segundo ao quadrado (m/s²)
R = Raio descrito pelo movimento em metros (m)
T = Período em segundos (s)
 
Utilizamos a equação (3) com a finalidade de determinar a velocidade linear de um corpo que se encontra em
um movimento oscilatório, pois tal equação descreve a velocidade adquirida pela massa ao oscilar.
 
Das oscilações existentes na natureza, quatro se destacam: 
 
Harmônica simples
Forçada
Amortecida
Amortecida forçada
Movimento harmônico simples (MHS)
Na natureza, a movimentação é tão abundante que seu estudo é de grande importância para o entendimento
de diversos fenômenos físicos, químicos e até mesmo biológicos. Podemos destacar, por exemplo, o balançar
com o vento de uma folha na árvore, a luz do Sol, ondas marítimas e até mesmo o som. Diante disso,
começamos a aprofundar nosso estudo em movimentos oscilatórios através do movimento harmônico simples
(MHS).
Figura 2 - Movimento harmônico simples: ondas marítimas.
O movimento oscilatório é o mais simples de todos e, além disso, é considerado um movimento ideal, pois
ignora a ação de forças externas. Para dar início ao nosso estudo, consideraremos o MHS somente no caso
unidimensional, em que a posição do corpo em relação à sua posição de equilíbrio está representada na
função (6):
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Onde:
 
A = Amplitude do movimento em metros (m)
φ = Fase em radianos (rad) 
ω0 = Frequência natural ou a frequência de ressonância do sistema medida em radianos por segundo
(rad/s) (também conhecida como pulso ou pulsação)
 
Tanto A como φ dependem das condições iniciais do movimento. Porém, ω0 é uma grandeza puramente do
sistema que se relaciona com a frequência, como mostra a equação (7).
Na figura 3, podemos observar o gráfico da função x(t). Nela, temos: (a) φ = 0 e (b) φ ≠ 0. Podemos
descrever, como exemplo de um MHS, um corpo em movimento circular uniforme sobre o eixo x.
Figura 3 - Gráfico da função x(t).
O MHS possui como principal característica funções comportadas de posição x(t), velocidade v(t) e
aceleração a(t), que não apresentam descontinuidade. Porém, se tivermos uma partícula oscilando
unidimensionalmente no interior de uma caixa de comprimento L, a função que descreve o movimento não é
contínua. Isso ocorre porque, nesse caso, x(t) é uma função periódica triangular (figura 4) que apresenta nos
pontos x(t) = 0 e x(t) = L descontinuidades em sua derivada devido à ocorrência na mudança de sentido no
movimento.
Figura 4 - Função periódica triangular.
Essas mudanças de sentido ocorrem por conta de colisões da partícula com as paredes da caixa, além de
ocasionarem mudança no sinal velocidade da partícula. 
 
Vamos agora retornar à função que descreve a posição de um MHS e derivá-la para encontrar as funções que
descrevem a velocidade e a aceleração de uma partícula em MHS. Assim:
6
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• 
7
Derivando a função x(t) em função de (t), temos:
Agora, derivando a função de v(t) em função de t, temos:
Comparando (9) com (6), podemos afirmar que:
Uma vez conhecida a aceleração de um MHS, podemos escrever a força atuante aplicando diretamente a 
segunda lei de Newton:
Segunda Lei de Newton
F(t) = m . a(t) Onde “F” é a força em função do tempo (t), “m” é a massa da partícula e “a” é a aceleração
em função do tempo (t).
Substituindo a função (10) na função (11), temos:
Fazendo , temos:
8
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13
Temos em (13) a função que representa a força em um oscilador harmônico simples, que pode ser descrito
facilmente por um sistema massa-mola (figura 5). A constante k é a constante da mola (a mesma da lei de
Hooke), mas também é chamada de constante de força do oscilador.
Lei de Hooke
Descreve a força em uma mola: F = - K∆x Onde F é a força, K é a constante da mola e ∆x é a variação de
comprimento sofrida pela mola.
Figura 5 - Sistema massa-mola.
Utilizando um sistema massa-mola, podemos descrever a frequência natural de oscilação de um MHS da
seguinte maneira:
Na equação (14), podemos verificar que a frequência natural ω0 é independente, tanto da amplitude de
oscilação quanto da fase de oscilação. Uma vez que ω = 2πf, podemos escrever a equação (14) em função da
frequência da seguinte maneira:
Sabendo que , podemos escrever o período (T)como:
Em um MHS, há um instante em que o sistema atinge sua velocidade máxima, e isso ocorre quando há a
conversão completa da energia potencial em energia cinética. Essa velocidade máxima é dependente da
amplitude de oscilação e da frequência natural de oscilação:
14
15
16
Demonstração
Agora, vamos demonstrar como abrir a função posição, para poder apresentar a solução mais geral utilizada
em um MHS.
 
Vamos expandir as funções , e :
Para , temos, em (16) e (17):
Substituindo (20) e (21) em (18), temos:
A solução apresentada na função (22) é a solução mais geral utilizada no MHS, quando as condições iniciais
são: e .
Energia mecânica de um MHS
Em qualquer sistema físico, a energia mecânica é a soma entre a energia cinética e sua energia potencial.
Considerando um sistema massa-mola, a energia potencial é a elástica. Ela propicia o oscilador harmônico a
entrar em movimento. Uma força externa atua sobre o sistema, inicialmente, inerte, distendendo ou
comprimindo a mola. Exatamente nesse momento, a força elástica faz com que o sistema entre em
movimento, buscando retornar à sua posição inicial de equilíbrio. Por isso, esse sistema tende a oscilar ao
redor de uma posição definida, a sua posição de equilíbrio.
 
17
18
19
20
21
22
Por definição, a energia potencial (EP) é o negativo do trabalho realizado pela força elástica para realização do
deslocamento. Desse modo:
Onde:
 
τ = Trabalho realizado
F(x) = Força dependente da posição
dx = Variação infinitesimal de comprimento
 
Substituindo (13) em (23):
Resolvendo a integral:
A equação (26) nos mostra que a energia potencial elástica depende somente do quadrado do deslocamento
(∆x) sofrido pela mola. Nesse sistema, a energia cinética que está associada à oscilação do sistema massa-
mola é definida como em qualquer outra situação:
Onde:
 
m = Massa do objeto preso à mola
v = Velocidade que esse objeto desenvolve
 
23
• 
• 
• 
24
25
26
27
Assim, a energia mecânica desse sistema massa-mola é:
Então, utilizando a equação (27), podemos verificar outra maneira de calcular a velocidade máxima atingida
pela massa nesse sistema massa-mola.
Vamos considerar esse sistema em repouso, disposto na horizontal, que não possui nenhum tipo de atrito,
como na figura 6 (a). Você então segura a massa e a estica para a direita, como mostra a figura 6 (b).
Figura 6 - Sistema massa-mola.
Você realizou um trabalho ao esticar a mola e assim forneceu ao sistema energia potencial elástica. Considere,
agora, soltar essa mola. O que ocorrerá?
 
Ela se deslocará para a esquerda, contraindo-se, porém, não irá parar na sua posição inicial. A mola irá se
contrair mais, parar e voltar a se distender, passando novamente pela posição inicial e se alongando até a
posição em que esteve esticada, na figura 6 (b). Uma vez em movimento, sempre que o sistema massa-mola
passar pelo seu ponto de equilíbrio, representado pela figura 6 (a), a massa experimentará sua velocidade
máxima.
 
Agora, vamos voltar para a situação da figura 6 (b). Nesse ponto, a única energia atuante no sistema é a
energia potencial elástica descrita na equação (24). Desse modo a energia mecânica do sistema é .
28
29
 
Ao soltar a mola, a energia potencial elástica se converte gradualmente em energia cinética, até chegar a
certo ponto da trajetória em que essa conversão seja integral. Esse é o ponto de equilíbrio, apresentado na
figura 6 (a), no qual a energia mecânica do sistema é somente a energia cinética: . Como o MHS é um
movimento ideal, a energia mecânica sempre se conserva. Dessa forma, podemos escrever que:
Isolando v, temos:
Comparando a equação (29) com a equação (17), podemos verificar que a amplitude A é dada por ( ), e
a frequência natural ( ) é dada por , como já explicitado na equação (14).
Mão na massa
Questão 1
Um sistema massa-mola, onde a massa tem 4 kg, a mola, uma constante elástica k = 21 N/m,
oscila com amplitude máxima de 3 cm. A velocidade máxima assumida pela mola é
aproximadamente:
A
0,12 m/s
B
0,10 m/s
C
0,09 m/s
D
0,07 m/s
A alternativa D está correta.
Utilizando a equação (31), temos:
30
31
Todavia, precisamos converter a amplitude máxima para metros, assim:
Substituindo os dados na equação (29):
Questão 2
Sendo a frequência natural de um MHS igual a 233 rad/s e a constante do sistema massa-
mola igual a 800 N/m, a massa que compõe esse sistema, em gramas, é igual a:
A
15
B
16
C
17
D
18
A alternativa A está correta.
Pela equação (14), temos:
 
 
Isolando a massa, temos:
Substituindo os valores:
Multiplicando por 1.000:
Questão 3
Em um sistema massa-mola em MHS, a amplitude é de 2,0 m e a sua frequência natural é de
555,0 rad/s. Sabendo que não há defasagem, assinale a alternativa que apresenta
corretamente a posição do centro da massa no instante 4 s:
A
- 0,5 m
B
- 0,9 m
C
1,5 m
D
2,0 m
A alternativa B está correta.
 
Da equação (6), temos:
Como não há defasagem, , assim:
A amplitude é e a frequência , assim:
Para :
Não se esqueça de que o argumento do cosseno está em radianos, não em graus.
Questão 4
Em um sistema massa-mola em MHS, a amplitude é de 2,0 m e a sua frequência natural é de
555,0 rad/s. Sabendo que não há defasagem, assinale a opção que apresenta corretamente a
velocidade do centro de massa da massa no instante 4s:
A
-99,0 m/s
B
-992,3 m/s
C
-9.992,0 m/s
D
-99.992,3 m/s
A alternativa B está correta.
No vídeo a seguir, o professor apresenta a resolução da questão. Assista:
Conteúdo interativo
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Questão 5
Uma massa de 30 kg está em um MHS cuja amplitude é igual a 100 m. Essa massa oscila com
frequência . 
 
Assinale a alternativa que apresenta o valor da força exercida pelo oscilador em um instante
de t = 60 s.
A
93.985.847,5 N
B
120.123.456,7 N
C
220.000.000,1 N
D
380.555.111,9 N
A alternativa A está correta.
Da equação (6), temos:
Como não há defasagem, , assim:
A amplitude é A e a frequência . Assim, é necessário determinar a frequência
natural do circuito:
Dessa forma, a equação da posição é:
Para calcular a força, é necessário conhecer a aceleração do sistema. Utilizando a equação (10), temos:
Da segunda lei de Newton:
Questão 6
A velocidade máxima de um MHS, cuja massa possui 7 kg, é de 20 m/s. Se a constante
elástica é de 45 N/m, a amplitude dessa oscilação é aproximadamente:
A
8,00 m
B
7,00 m
C
9,00 m
D
6,00 m
A alternativa A está correta.
No vídeo a seguir, o professor apresenta a resolução da questão. Assista:
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Teoria na prática
Vamos agora aprender a determinar os pontos de retorno de um movimento harmônico simples. Para tal,
vamos considerar a equação da posição do oscilador harmônico:
O que são os pontos de retorno?
 
São pontos onde o oscilador para e inverte o sentido de seu movimento. Se há essa pausa, a velocidade é
nula. Então, primeiramente, precisamos encontrar a função da velocidade e, em seguida, igualá-la a zero. 
Chave de resposta
Assista ao vídeo sobre amplitude e pontos de retorno. 
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Sendo a frequência natural de um MHS igual a 60 rad/s e a constante do sistema massa-mola
igual a 10 N/m, a massa que compõe esse sistema, em gramas, é igual a:
A
1,0
B
2,8
C
3,0
D
3,5
A alternativa B está correta.
Pela equação (14), temos:
Isolando a massa, temos:
Substituindo os valores:
Multiplicando por 1.000:
Questão 2
Uma massa de 0,3 kg está em um MHS cuja amplitude é igual a 0,1 m. Essa massa oscila com
frequência de . Assinale a alternativa que apresenta o valor da força exercida pelo
oscilador em um instante de t = 0 s.
A
0,09 N
B
0,22 N
C
-0,20 N
D
-0,18 N
A alternativa A está correta.
Da equação (6), temos:
Como não há defasagem, , assim:
A amplitude é e a frequência, . Assim, é necessário determinar a frequência
natural docircuito:
Dessa forma, a equação da posição é:
Para calcular a força, é necessário conhecer a aceleração do sistema. Utilizando a equação (10), temos:
Da segunda lei de Newton:
2. Oscilações amortecidas, oscilações amortecidas forçadas e ressonância
Oscilações amortecidas (vibrações livres amortecidas)
Em sistemas oscilatórios reais, existem forças dissipadoras de energia. Assim, obtemos não um MHS, e sim
oscilações amortecidas. 
 
Oscilações amortecidas são os tipos de vibrações em que as forças restauradoras do sistema o fazem se
amortecer. Para compreender suas propriedades, é preciso considerar um sistema massa-mola isolado.
Vamos imaginar o passo a passo para tirar esse sistema da inércia, ou seja, como o colocamos para oscilar.
Para tal, vamos observar o sistema massa-mola da figura 7.
Figura 7 - Sistema massa-mola isolado.
Agora, imagine que você vai pegar o carrinho e esticar a mola, deslocando-a para a direita, fornecendo-lhe
energia potencial elástica. Nesse momento, existirá uma força elástica puxando o carrinho contra a força que
está fazendo. Quando você o solta, o carrinho passa a se mover em direção ao anteparo localizado à esquerda
da mola. Em alguns instantes, o carrinho irá parar, mudar o sentido do seu movimento e retornar, movendo-se
para a direita novamente.
 
Todavia, apesar de esse sistema não possuir um amortecedor explícito acoplado, ele possui um termo de
amortecimento natural, oriundo do meio gasoso que o cerca (ar atmosférico, por exemplo). Diante disto,
vamos escrever a equação de oscilação a partir do somatório das forças:
Temos atuando no sistema livre oscilante a força elástica e a força dissipadora (amortecedora). A força
dissipadora é a força de atrito viscoso , e a força elástica é dada por . Ambas
são negativas devido ao fato de serem forças de reação, ou seja, restauradoras de equilíbrio. Assim, podemos
escrever a segunda lei de Newton da seguinte maneira:
Força de atrito viscoso
 Onde: Fat = Força de atritoC é o coeficiente de atrito viscosov(t) a velocidade em função do tempo
Sabemos que a velocidade é a derivada de primeira ordem da posição e a aceleração é derivada
de segunda ordem da posição, . Podemos reescrever a equação (32) da seguinte maneira:
32
Passando todos os elementos para um único lado da equação, temos:
Podemos verificar que temos uma EDO linear de segunda ordem, que pode ser simplesmente solucionada por
aplicação de equação característica:
Se dividirmos toda a equação (34) por m, temos:
Fazendo , e solucionando a equação (35) por Bháskara temos:
Analisando a equação (36), podemos fazer as seguintes afirmações:
Superamortecimento
Quando assumirá dois números reais distintos. Nesse caso, não haverá oscilação,
classificando o movimento como superamortecimento.
Subamortecimento
Quando assumirá dois números complexos distintos. Nesse caso, haverá oscilações,
classificando o movimento como subamortecido (oscilações fracas e vagarosas).
Amortecimento crítico
Quando assumirá apenas uma solução real. Nesse caso, o sistema retorna rapidamente
para sua posição de equilibrio, sem apresentar oscilações, classificando o movimento como
amortecimento crítico.
33
34
35
36
Figura 8 - Amortecedor de automóvel.
O coeficiente de amortecimento crítico é definido como sendo:
Onde é a massa do sistema e é a frequência de oscilação natural do sistema.
Teoria na prática
Para compreender melhor o sistema de um
oscilador amortecido, vamos considerar o
aparato do amortecedor (figura 8) de um
automóvel.
 
Cada roda de um automóvel está conectada à
carroceria por meio de uma mola. No interior de
cada mola, há um amortecedor composto de
um pistão, que se desloca dentro de um meio
fluido, que pode ser óleo, ou de ar.
Para realizar a análise, vamos considerar y
como sendo a altura do amortecedor. A
equação desse amortecedor é igual a:
Fazendo , temos:
Explicitando em termo do deslocamento, pode ser escrita como:
Passando todos os termos da equação para a esquerda:
Dividindo todos os termos por m, temos:
37
38
39
40
41
A equação característica da EDO (42) é:
Sabendo que e , temos, então:
Chave de resposta
Solucionando a equação característica (45), temos:
Da equação (45), sabemos que:
Se , temos um subamortecimento.
Se , temos amortecimento crítico.
Se , temos o super amortecimento.
Qual tipo de amortecimento é preferível?
Sempre o amortecimento crítico, pois, nele, há o retorno ao ponto de equilíbrio sem causar estresses às
estruturas. Isso garante que os passageiros do veículo não sofram com os impactos do veículo com as
deformidades do solo. Para verificar quando se deve trocar o amortecedor do seu automóvel, empurre o
chassi do carro, em um ponto localizado acima do amortecedor, para baixo. Se, ao parar de empurrar, o
carro oscilar, significa que o amortecimento está ocorrendo abaixo do amortecimento crítico. Isso indica
falhas no amortecedor e significa que, em breve, todo o fluido que realiza o amortecimento vazará, e seu
automóvel ficará sem um aparato amortecedor.
Oscilação amortecida forçada
42
43
44
• 
• 
• 
Vamos considerar um sistema que oscila constantemente sob a ação de uma força externa harmônica 
, mas que possui um dispositivo de amortecimento, como mostra a figura 9.
Figura 9 - Dispositivo de amortecimento.
O somatório das forças atuantes nesse sistema é:
Isolando a força harmônica do lado direito da equação, e colocando a equação na forma de uma EDO, temos:
A equação (47) é uma EDO não homogênea de segunda ordem. Para solucioná-la, precisamos encontrar uma
solução particular que englobe a força harmônica. A solução homogênea dessa EDO também é apresentada
para o oscilador amortecido, resolvendo a equação do segundo grau situada do lado esquerdo da EDO em
(47). A solução particular será feita pelo método dos coeficientes a determinar. 
 
Primeiro, vamos propor uma solução, tendo como amplitude:
Vamos agora derivar duas vezes essa solução proposta em (48) e substituir suas respectivas derivadas em
(47):
46
47
48
49
Substituindo (48), (49) e (50) em (47), temos:
A equação (51) pode ser reescrita através de relações trigonométricas de arco duplo:
Pondo cos(ω0 t) e sen(ω0 t) em evidência, temos:
Reescrevendo (53), temos:
Observe que, ao lado direito da equação, o fator que multiplica F0 é cos (ω0t), e não existe o fator sen(ω0t).
Assim, concluímos que:
As diversas operações algébricas a seguir são raras de se encontrar, não sendo citadas nem mesmo nos
documentos das nossas referências bibliográficas. Sabendo disso, vamos analisá-las com bastante atenção.
Da equação (II) acima, podemos escrever que:
Substituindo (56) em (55 (I)), temos:
50
51
52
53
54
55
56
Da equação (57), podemos ainda dizer que:
Fazendo o MMC no interior dos colchetes, temos:
Em (59), podemos colocar o termo em evidência:
Como , podemos afirmar que:
Agora podemos substituir (61) em (55 (I)) para obter:
Por meio da relação fundamental da trigonometria, podemos escrever que:
Então, utilizando a relação (63) em (62), temos:
57
58
59
60
61
62
63
De (64), podemos escrever que:
Substituindo (65) em (63), temos:
Agora, substituindo (66) em (61) e rearrumando os termos, temos:
Da segunda equação de (55), podemos deduzir que:
Agora, ao dividirmos (67) por k, temos:
Definindo , temos:
Ao fazermos as mesmas suposições para (68), temos:
64
65
66
67
68
69
70
Agora, chamando , podemos reescrever (68) e (69) como:
Vale lembrar que ω0 é a frequência natural do circuito e ωn é a frequência de oscilação que pode ou não ser
igual a ω0.
 
As equações (72) e (73) são nossos objetivos e nos demonstram que:
 
Quando .
O amortecimento reduz as amplitudes para quaisquer valores de frequência.
A máxima redução de amplitudes se encontra em uma faixa de frequências próximas às frequências de
ressonância.
A maximização das amplitudes de vibração é derivada de em função de , igualando-a a zero. O
ponto crítico encontrado será um ponto de máximo extremo.
A equação(72) permite obter experimentalmente.
O ângulo de fase não depende de .
Quando tende para zero, e podemos afirmar que a resposta está em fase com a força
excitante. Porém, quando , tende , o que significa que a resposta está em fase oposta à
força excitante. Quando em ressonância, .
Ressonância
É uma condição que ocorre quando . Dessa forma, podemos ver que em (73) tende ao infinito.
A ressonância é o fenômeno físico em que ocorre a transferência de energia por meio de excitações
de frequência, quando a frequência do sistema assume uma de suas frequências naturais de
vibração. Atingida essa condição, o sistema físico vibra com amplitudes que tendem ao infinito. Esse
tipo de fenômeno é perigoso e deteriora os sistemas físicos.
71
72
73
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Um dos casos mais famosos do fenômeno de ressonância foi o rompimento da ponte Tacoma Narrows, nos
Estados Unidos, em 7 de novembro de 1940. O vento naquela região soprou de tal maneira que fez com que a
ponte oscilasse com frequência semelhante à natural.
 
A amplitude da ponte então aumentou de tal modo que a sua estrutura não suportou e se rompeu. Esse caso é
considerado uma falha humana, pois, na época da construção da ponte, havia conhecimento sobre as rajadas
de vento da região. Logo, tal oscilação deveria ter sido prevista pelos engenheiros.
Figura 10 - Ponte Tacoma Narrows.
Da equação (45), sabemos que:
 
Se , temos um subamortecimento.
Se , temos um amortecimento crítico.
Se , temos um superamortecimento.
 
Qual tipo de amortecimento é preferível?
 
Sempre o amortecimento crítico, pois nele há o retorno ao ponto de equilíbrio sem causar estresses às
estruturas. Isso garante que os passageiros de um veículo não sofram com os impactos de um eventual
acidente com as deformidades do solo. 
 
Para verificar quando se deve trocar o amortecedor do seu automóvel, empurre o chassi do carro em um
ponto localizado acima do amortecedor, para baixo. Se após parar de empurrar o carro oscilar, isso significa
que o amortecimento está ocorrendo abaixo do amortecimento crítico. É um indicativo de falhas no
amortecedor e significa que, em breve, todo o fluido que realiza o amortecimento vazará, e seu automóvel
ficará sem um aparato amortecedor.
Mão na massa
Questão 1
• 
• 
• 
É possível classificar os movimentos oscilatórios amortecidos em: criticamente amortecido,
superamortecido e subamortecido. Para realizar essa classificação, analisamos o domínio da
função solução do movimento oscilatório amortecido. Diante dessas informações, analise as
asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Consideramos um movimento oscilatório como amortecido quando o seu fator C de
amortecimento for maior que a unidade.
 
Porque:
II. Quando C é maior que a unidade, a raiz da função solução remete a um número complexo, o
que fisicamente representa a existência de infinitésimas oscilações até o sistema atingir o
equilíbrio.
A seguir, assinale a alternativa correta.
A
As asserções I e II são proposições falsas.
B
A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
C
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A alternativa A está correta.
No vídeo a seguir, o professor apresenta a resolução da questão. Assista:
Conteúdo interativo
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Questão 2
Analisar o fator de amortecimento facilita a análise do domínio da função solução do
movimento amortecido. Isso permite classificar o movimento como subamortecido,
criticamente amortecido e superamortecido, levando em conta somente o coeficiente de
amortecimento C.
Diante dessas informações, assinale a seguir a alternativa correta.
A
O fator de amortecimento é obtido através da razão entre o coeficiente de amortecimento e o coeficiente de
amortecimento crítico.
B
O fator de amortecimento depende diretamente da frequência de oscilação, e é inversamente proporcional ao
coeficiente de amortecimento.
C
O período de um movimento amortecido é uma raiz complexa do coeficiente de amortecimento crítico.
D
A amplitude de um movimento amortecido é inversamente proporcional da frequência de oscilação.
A alternativa A está correta.
O fator de amortecimento foi estipulado através da razão entre o coeficiente de amortecimento e o
coeficiente de amortecimento crítico. O resultado dessa razão classifica o movimento em: subamortecido,
criticamente amortecido ou superamortecido.
Questão 3
A aplicação de uma força externa em um oscilador amortecido, gerando uma oscilação
amortecida forçada, altera a solução proposta a um simples oscilador amortecido,
adicionando um termo à sua solução.
Diante dessas informações, assinale a seguir a alternativa correta.
A
A amplitude ∆X da solução particular da EDO é dependente de F0 e do coeficiente de amortecimento.
B
A solução particular da EDO é uma constante.
C
O sistema amortecido forçado possui solução nula.
D
O sistema amortecido forçado é representado por um polinômio de 4° grau.
A alternativa A está correta.
A amplitude proposta para a solução particular da EDO possui proporcionalidade direta à amplitude
da força externa FO e proporcionalidade inversa à raiz quadrada do coeficiente de amortecimento:
Questão 4
O oscilador amortecido forçado atua com atuação de uma força externa constante, seja esta
periódica ou não. Um exemplo de força periódica é a força harmônica do tipo F = F0cos(ωt).
Ela atua sempre mudando o seu sentido.
Sabendo disso, analise as afirmativas a seguir e assinale V para verdadeiro e F para falso.
I. A força harmônica altera não apenas seu sentido, mas também a sua direção.
II. 
III. Um oscilador amortecido forçado é um sistema hipotético.
IV. Não há como, em um sistema massa-mola, aplicar uma força externa harmônica.
A
V, V, V, F
B
F, V, V, V
C
V, F, V, V
D
F, V, F, F
A alternativa D está correta.
No vídeo a seguir, o professor apresenta a resolução da questão. Assista:
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Questão 5
Um sistema de amortecimento, possui coeficiente de amortecimento de 35.000 N.s/m, uma
massa igual a 950 kg e oscila com uma frequência angular de 19,00 rad/s.
Diante dessas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. O amortecedor dissipa toda a energia de excitação rapidamente.
Porque:
II. Este amortecedor realiza um movimento oscilatório criticamente amortecido.
A seguir, assinale a alternativa correta.
A
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B
A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
C
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A alternativa A está correta.
Antes de analisar as alternativas, vamos determinar o fator de amortecimento:
Substituindo os valores dados no enunciado, temos:
O valor encontrado é bastante próximo da unidade, e isso nos permite aproximar o resultado à unidade,
logo a asserção l está correta. Quando , , o amortecimento é crítico, e toda a energia se dissipa e o
sistema retorna à sua condição de equilíbrio. O mesmo cálculo serve como justifica para a asserção Il,
afirmando que a asserção II é uma justificativa da asserção I.
Questão 6
Um amortecedor possui uma frequência natural de 8.100 rad/s e coeficiente de
amortecimento crítico de 1 kg.rad/s. A maior massa que pode ser aplicada a esse amortecedor
para que haja um amortecimento crítico é igual a:
A
6,17x10-5 kg
B
7,71x10-5 kg
C
8,13x10-5 kg
D
9,15x10-5 kg
A alternativa A está correta.
No vídeo a seguir, o professor apresenta a resolução da questão. Assista:
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Um sistema de amortecimentopossui coeficiente de amortecimento de 105.000 N.s/m, uma
massa igual de 1950 kg, e oscila com uma frequência angular de 200,00 rad/s. Seu fator de
amortecimento é igual a:
A
0,9098
B
0,1346
C
0,2526
D
0,9935
A alternativa B está correta.
Temos:
Substituindo os valores dados no enunciado, temos:
Questão 2
Um amortecedor de frequência natural de 100 rad/s possui coeficiente de amortecimento
crítico de 10.000 kg.rad/s. A maior massa que pode ser aplicada a esse amortecedor para que
haja um amortecimento crítico é igual a:
A
100 kg
B
50 kg
C
25 kg
D
12,5 kg
A alternativa B está correta.
O coeficiente de amortecimento crítico é dado por:
Isolando a massa, temos:
3. Ondas
Conceitos e propriedades de ondas
As ondas possuem comportamentos distintos das partículas. Sua posição, velocidade e aceleração dependem
da amplitude e da sua velocidade angular, relacionadas diretamente à frequência de vibração. Diante do atual
contexto, vamos aprender um pouco mais sobre as propriedades das ondas.
 
Considera-se uma onda qualquer perturbação oscilante, ou seja, qualquer perturbação no espaço que seja
periódica no tempo. A oscilação no espaço é caracterizada através do seu comprimento de onda (λ), e o
tempo decorrido para a ocorrência dessa oscilação é denominado período da onda (T). O período é definido
como sendo o inverso de sua frequência (f). A frequência de oscilação e o comprimento de onda se
relacionam a partir da velocidade de propagação da onda:
Ondas podem se propagar tanto por meios materiais como pelo vácuo. Todavia, esses são tipos de ondas
diferentes, como veremos a seguir.
Ondas mecânicas
Dependem de um meio material para se propagar e são regidas pelas leis de Newton (primeira, segunda e
terceira lei da mecânica). Como exemplos práticos e cotidianos desse tipo de onda, podemos citar o som, as
ondas do mar, a oscilação de uma corda ou de um cabelo longo etc.
Saiba mais
A onda sonora tem velocidade de propagação dependente da densidade do material pela qual se
propaga. Quanto mais denso o material, maior a sua velocidade. Isso implica que o som tem maior
velocidade na água do que no ar, e maior velocidade em uma barra de ferro do que na água. 
Ondas eletromagnéticas
Propagam-se no vácuo e são uma combinação de campo magnético propagante e campo elétrico, também
propagante, ortogonais entre si (fazem 90° entre si).
 
O campo magnético, ao oscilar como onda no espaço e no tempo, gera um potencial elétrico, que, por sua
vez, gera um campo elétrico, o qual, ao oscilar, também gera um campo magnético. Ou seja, os dois campos
se autogeram e se autossustentam, como mostra a figura 11.
74
Figura 11 - Ondas eletromagnéticas.
Podemos citar como exemplos cotidianos de ondas eletromagnéticas: a luz (seja ela solar ou criada por uma
lâmpada), ondas que transmitem os programas de rádio e televisão, laser etc.
 
No vácuo, essas ondas se propagam com a velocidade da luz no vácuo, que possui um valor aproximado de
3x108 m/s.
Direções de vibração de uma onda
As ondas, sejam eletromagnéticas, sejam mecânicas, podem vibrar transversalmente ou longitudinalmente.
Aquelas que possuem vibrações transversais, chamadas de ondas transversais, apresentam a sua velocidade
de propagação perpendicular (ângulo de 90°) com a sua orientação de vibração. Já a onda longitudinal
apresenta a velocidade de propagação paralela (ângulo de 0°) à sua orientação de vibração. A figura 12
exemplifica ambos os casos.
Figura 12 - Ondas transversais e longitudinais.
Podemos observar que a onda transversal oscila para cima e para baixo enquanto se propaga da direita para a
esquerda. Isso ocorre porque, na ponta direita da corda, há um oscilador. Já na onda longitudinal, o oscilador
move uma mola, para a frente e para trás, e isso faz com que a mola se contraia e se expanda na mesma
direção da oscilação. As ondas sonoras são um tipo de onda longitudinal, pois o som se propaga com
sucessivas expansões e contrações do ar, exatamente como uma mola oscilando.
Direções de propagação de uma onda
As ondas podem ser classificadas como unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. Isso depende de
em quantas direções ela está se propagando ao mesmo tempo. Vamos pegar o exemplo de uma corda
delgada que esteja na horizontal, como mostra a figura 13.
Figura 13 - Corda delgada (fina).
Podemos ver que só existe uma única direção de propagação da onda, a horizontal, com sentido da direita
para a esquerda, ou sentido negativo. Agora, vamos observar a figura 14.
Figura 14 - Ondas que se propagam na superfície da água.
Podemos observar ondas se propagando na superfície da água e em duas direções, horizontal e vertical. Elas
sobem e descem, vão para a direita e para a esquerda e estão presentes em qualquer combinação entre
aquelas duas direções. A figura 14 é um exemplo de onda que se propaga bidimensionalmente, ou seja, em
duas dimensões.
 
Por fim, temos as ondas que se propagam tridimensionalmente, capazes de se propagar simultaneamente em
todas as direções do espaço. Exemplos simples de ondas tridimensionais cotidianas são o som e a luz. A
figura 15 relaciona esse tipo de onda com o Sol.
Figura 15 - Sol, exemplo de onda tridimensional.
Características das ondas
Podemos representar as ondas, utilizando variáveis como: 
 
Frequência (f)
Comprimento de onda (λ)
Amplitude (A)
Período (T)
Número de onda (k)
Velocidade (v)
Comprimento e número de onda
O comprimento de onda (λ) é o tamanho da onda e pode ser aferido através da medição da distância entre
dois vales ou duas cristas (figura 16).
Figura 16 - Medição da distância.
O comprimento de onda e o número de onda se relacionam através da seguinte equação matemática:
• 
• 
• 
• 
• 
• 
75
Amplitude 
É a magnitude de um distúrbio que ocorre durante um ciclo de onda. A figura 17 demonstra a amplitude pela
letra A.
Figura 17 - Amplitude.
Frequência e período
Período de uma onda. É o tempo (T) de uma oscilação completa. O produto entre o período e a frequência é
igual à unidade:
No sistema internacional de medidas, o período é medido em segundos (s) e a frequência em Hertz (Hz).
 
A frequência também pode ser expressa em relação à frequência angular de propagação de uma onda:
Velocidade da onda
Já discutimos a velocidade de propagação de uma onda e verificamos que, matematicamente, a sua relação é
igual a:
Podemos fazer essa relação ser expressa em função de outras variáveis, como em função da velocidade
angular e do número de onda:
76
77
Tratando-se de ondas mecânicas, a velocidade dessa onda depende diretamente do meio em que ela se
propaga. Assim, a sua velocidade pode ser descrita de formas distintas. Vamos acompanhar:
 
a) Onda se propagando em uma corda esticada
Onde τ é a tensão na corda em newtons (N) e μ é a densidade linear da corda, em quilogramas por metro (kg/
m).
 
b) Velocidade do som
 
A velocidade do som depende do módulo de elasticidade volumétrico do meio (B) em que se propaga (ar,
água, madeira, ferro etc.) e da densidade volumétrica do meio (ρ):
Tipos de ondas: estacionárias e propagantes
Ondas estacionárias
Aquelas que por algum motivo não se deslocam são chamadas de estacionárias, como as vibrações existentes
em uma corda de violão. Quando uma corda é excitada (ou deformada), cria-se uma perturbação que se
propaga por toda a sua extensão. Essa perturbação reflete-se nas extremidades fixas dessa corda. A onda
estacionária é produzida devido à interferência gerada por duas ondas senoidais que se propagam em
sentidos opostos, ou seja, uma onda que aparenta não se mover pela corda, como ilustra o vídeo a seguir: 
 
Uma onda estacionária possui uma equação de propagação em função do espaço e do tempo
simultaneamente, e ela é dada por:
78
79
80
Ondas propagantes ou ondas senoidais
Locomovem-se livremente e assumem uma característica senoidal (possuem forma de senoide). Nesse caso,
a onda possui uma excitação (perturbação) que varia em função da posição (x) e do tempo (t):
81
A figura18 apresenta um exemplo de uma onda senoidal utilizada em um osciloscópio:
Figura 18 - Osciloscópio.
Função de onda harmônica
A equação (82) também é conhecida como função de onda harmônica e descreve a onda senoidal se
deslocando para a direita, para qualquer posição e instante de tempo t. Para uma onda senoidal se
deslocando para a esquerda, temos que a equação (82) assume esta característica:
Essa onda (figura 18) tem como forma característica as funções representadas nos gráficos da figura 19.
Figura 19 - Gráfico de funções.
Mão na massa
Questão 1
82
83
Considere uma onda senoidal que se propaga com velocidade de 340 m/s e possui
comprimento de onda de 9 m. Sua frequência é igual a:
A
32,77 Hz
B
35,55 Hz
C
37,78 Hz
D
40,05 Hz
A alternativa C está correta.
No vídeo a seguir, o professor apresenta a resolução da questão. Assista:
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Questão 2
Uma onda se propaga com velocidade de 343 m/s e com velocidade angular de 55 rad/s.
Assinale a alternativa que apresenta a quantidade de comprimentos de ondas existentes
nessa onda propagante:
A
0,16
B
0,18
C
0,20
D
0,22
A alternativa A está correta.
A quantidade de comprimentos de onda é igual ao número de onda :
Questão 3
Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo à velocidade da luz (c), com uma frequência
angular de quatro vezes o módulo da velocidade da luz em rad/s. Assinale a alternativa que
apresenta seu comprimento de onda:
A
B
C
D
A alternativa B está correta.
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Questão 4
Uma corda de 4 m e de massa uniforme de 20 kg possui uma de suas extremidades presa à
parede e é excitada por uma força transversal de 555 N. A velocidade de propagação da onda
gerada é igual a:
A
8,00 m/s
B
9,36 m/s
C
10,54 m/s
D
11,93 m/s
A alternativa C está correta.
A velocidade de propagação de uma onda em uma corda é dada por:
Para tal, precisamos encontrar . A densidade linear é dada por:
Agora, calculando a velocidade, temos:
Questão 5
A função velocidade de uma onda harmônica em t = 0 é igual a:
A
B
C
D
A alternativa D está correta.
No vídeo a seguir, o professor apresenta a resolução da questão. Assista:
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Questão 6
O período de uma onda senoidal é igual a 0,45 s e se propaga à velocidade da luz no vácuo.
Diante disso, seu número de onda é igual a:
A
B
C
D
A alternativa B está correta.
Vamos começar encontrando a frequência da onda:
Conhecida a frequência, vamos encontrar a frequência angular:
Sabendo que:
Teoria na prática
Um osciloscópio é um instrumento de medida que demonstra as formas de diversos tipos de ondas em função
do tempo. Porém, muitos usuários possuem dificuldade em interpretar os dados para determinar a frequência
de onda. Vamos então aqui aprender a identificar parâmetros que nos levem à conclusão do valor da
frequência de oscilação. 
Figura 20 - Frequência de uma forma de onda osciloscópio.
No eixo x, temos a medição do tempo em segundos (s), o que nos permite determinar por observação o
período (T) da onda e, no eixo y, temos a medida da amplitude (A) em unidade métrica (metros, decímetro,
centímetro, milímetro etc.). Observe que a ida começa em A, então faz uma crista e um vale para em B, ponto
em que se repete o movimento até C. Isso significa que existe um comprimento de onda de A até B e outro
comprimento de onda de B até C.
 
Como identificar um período?
 
O período é o tempo necessário para que haja um comprimento de onda, ou seja, de A até B temos 4
quadradinhos e, como cada quadradinho vale 1 segundo, então, temos que o período é de T = 4 s.
 
Agora, como determinar a frequência? Utilizando a seguinte equação: 
Chave de resposta
Então, o que precisamos para poder calcular a frequência?
1° passo: conhecer o intervalo e medição de tempo no eixo x.
2° passo: obter uma figura estática, como a figura 16, para que possamos observar e calcular.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere uma onda senoidal que se propaga com velocidade de 343 m/s e possui
comprimento de onda de 0,9 m. Sua frequência é igual a:
A
322,77 Hz
B
380,55 Hz
C
380,78 Hz
D
381,11 Hz
A alternativa D está correta.
• 
• 
Sendo:
Questão 2
A função velocidade de uma onda harmônica em t = 5 s é igual a:
A
B
C
D
A alternativa D está correta.
Temos que:
Como se trata de uma função de duas variáveis, para poder encontrar a função velocidade, faremos a
derivada parcial, primeiro em função de x e depois em função de t, assim:
Colocando os termos comuns em evidência, temos:
Para t = 5, temos:
4. Conclusão
Considerações finais
Vimos o conceito de movimento harmônico simples, movimento oscilatório amortecido e movimento
oscilatório amortecido forçado, bem como suas classificações. 
 
Observamos como a utilização da matemática é importante para a classificação dos movimentos em
subamortecido, criticamente amortecido e superamortecido. 
 
Analisamos, também, a utilização de equações diferenciais ordinárias (EDO) para análise de suas soluções de
movimentos oscilatórios. Verificamos, por fim, como uma onda se comporta e como suas propriedades variam
em função de suas características.
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Para encerrar, ouça uma introdução à mecânica ondulatória. 
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Para saber mais sobre o movimento harmônico simples (MHS), leia o artigo Estudo da relação entre o
movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples utilizando a vídeo-análise de uma roda
de bicicleta, de E. S. Silva, disponível na Revista Brasileira de Ensino de Física.
 
No artigo Batimentos e ressonância de diapasões analisados usando um osciloscópio, de Adenilson
José Chiquito e Antonio Carlos Alonge Ramos, disponível na Revista Brasileira de Ensino de Física, você
obtém mais informações sobre o osciloscópio e as ondas senoidais.
 
A. C. Bertuola, M. S. Hussein e M. P. Pato descrevem oscilações amortecidas forçadas em seu artigo O
oscilador harmônico amortecido forçado revisitado, disponível na Revista Brasileira de Ensino de Física.
Referências
ALMEIDA, B. Notthing else matters: ondas nas cordas do violão. YouTube. Consultado em meio eletrônico em:
1 set. 2020.
 
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. São Paulo: McGraw Hill, 2006.
 
HALLIDAY, D.; RESNICK J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC,
2016.
• 
• 
• 
 
MERIAN, J. A.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: dinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
 
RAO, S. S. Vibrações mecânicas. São Paulo: Pearson Prentice Hall Brasil, 2009.
 
THOMSON, W. T. Theory of vibration with applications. São Paulo: Pearson Prentice Hall Brasil, 1988.
 
TIPPLER, P.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
	Introdução à mecânica ondulatória
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Movimentos oscilatório e harmônico simples
	Contextualizando
	Pêndulo matemático
	Período (T) e frequência (f)
	Movimento harmônico simples (MHS)
	Demonstração
	Energia mecânica de um MHS
	Mão na massa
	Um sistema massa-mola, onde a massa tem 4 kg, a mola, uma constante elástica k = 21 N/m, oscila com amplitude máxima de 3 cm. A velocidade máxima assumida pela mola é aproximadamente:
	Sendo a frequência natural de um MHS igual a 233 rad/s e a constante do sistema massa-mola igual a 800 N/m, a massa que compõe esse sistema, em gramas, é igual a:
	Em um sistema massa-mola em MHS, a amplitude é de 2,0 m e a sua frequência natural é de 555,0 rad/s. Sabendo que não há defasagem, assinale a alternativa que apresenta corretamente a posição do centro da massa no instante 4 s:
	Em um sistema massa-mola em MHS, a amplitude é de 2,0 m e a sua frequência natural éde 555,0 rad/s. Sabendo que não há defasagem, assinale a opção que apresenta corretamente a velocidade do centro de massa da massa no instante 4s:
	Conteúdo interativo
	Uma massa de 30 kg está em um MHS cuja amplitude é igual a 100 m. Essa massa oscila com frequência .
	Assinale a alternativa que apresenta o valor da força exercida pelo oscilador em um instante de t = 60 s.
	A velocidade máxima de um MHS, cuja massa possui 7 kg, é de 20 m/s. Se a constante elástica é de 45 N/m, a amplitude dessa oscilação é aproximadamente:
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Sendo a frequência natural de um MHS igual a 60 rad/s e a constante do sistema massa-mola igual a 10 N/m, a massa que compõe esse sistema, em gramas, é igual a:
	Uma massa de 0,3 kg está em um MHS cuja amplitude é igual a 0,1 m. Essa massa oscila com frequência de . Assinale a alternativa que apresenta o valor da força exercida pelo oscilador em um instante de t = 0 s.
	2. Oscilações amortecidas, oscilações amortecidas forçadas e ressonância
	Oscilações amortecidas (vibrações livres amortecidas)
	Superamortecimento
	Subamortecimento
	Amortecimento crítico
	Teoria na prática
	Oscilação amortecida forçada
	Ressonância
	Mão na massa
	É possível classificar os movimentos oscilatórios amortecidos em: criticamente amortecido, superamortecido e subamortecido. Para realizar essa classificação, analisamos o domínio da função solução do movimento oscilatório amortecido. Diante dessas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
	I. Consideramos um movimento oscilatório como amortecido quando o seu fator C de amortecimento for maior que a unidade.
	Porque:
	II. Quando C é maior que a unidade, a raiz da função solução remete a um número complexo, o que fisicamente representa a existência de infinitésimas oscilações até o sistema atingir o equilíbrio.
	A seguir, assinale a alternativa correta.
	Conteúdo interativo
	Analisar o fator de amortecimento facilita a análise do domínio da função solução do movimento amortecido. Isso permite classificar o movimento como subamortecido, criticamente amortecido e superamortecido, levando em conta somente o coeficiente de amortecimento C.
	Diante dessas informações, assinale a seguir a alternativa correta.
	A aplicação de uma força externa em um oscilador amortecido, gerando uma oscilação amortecida forçada, altera a solução proposta a um simples oscilador amortecido, adicionando um termo à sua solução.Diante dessas informações, assinale a seguir a alternativa correta.
	O oscilador amortecido forçado atua com atuação de uma força externa constante, seja esta periódica ou não. Um exemplo de força periódica é a força harmônica do tipo F = F0cos(ωt). Ela atua sempre mudando o seu sentido.Sabendo disso, analise as afirmativas a seguir e assinale V para verdadeiro e F para falso.I. A força harmônica altera não apenas seu sentido, mas também a sua direção.
	II.
	III. Um oscilador amortecido forçado é um sistema hipotético.
	IV. Não há como, em um sistema massa-mola, aplicar uma força externa harmônica.
	Conteúdo interativo
	Um sistema de amortecimento, possui coeficiente de amortecimento de 35.000 N.s/m, uma massa igual a 950 kg e oscila com uma frequência angular de 19,00 rad/s.Diante dessas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.I. O amortecedor dissipa toda a energia de excitação rapidamente.Porque:II. Este amortecedor realiza um movimento oscilatório criticamente amortecido.A seguir, assinale a alternativa correta.
	Um amortecedor possui uma frequência natural de 8.100 rad/s e coeficiente de amortecimento crítico de 1 kg.rad/s. A maior massa que pode ser aplicada a esse amortecedor para que haja um amortecimento crítico é igual a:
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Um sistema de amortecimento possui coeficiente de amortecimento de 105.000 N.s/m, uma massa igual de 1950 kg, e oscila com uma frequência angular de 200,00 rad/s. Seu fator de amortecimento é igual a:
	Um amortecedor de frequência natural de 100 rad/s possui coeficiente de amortecimento crítico de 10.000 kg.rad/s. A maior massa que pode ser aplicada a esse amortecedor para que haja um amortecimento crítico é igual a:
	3. Ondas
	Conceitos e propriedades de ondas
	Ondas mecânicas
	Saiba mais
	Ondas eletromagnéticas
	Direções de vibração de uma onda
	Direções de propagação de uma onda
	Características das ondas
	Comprimento e número de onda
	Amplitude
	Frequência e período
	Velocidade da onda
	Tipos de ondas: estacionárias e propagantes
	Ondas estacionárias
	Ondas propagantes ou ondas senoidais
	Função de onda harmônica
	Mão na massa
	Considere uma onda senoidal que se propaga com velocidade de 340 m/s e possui comprimento de onda de 9 m. Sua frequência é igual a:
	Conteúdo interativo
	Uma onda se propaga com velocidade de 343 m/s e com velocidade angular de 55 rad/s. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade de comprimentos de ondas existentes nessa onda propagante:
	Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo à velocidade da luz (c), com uma frequência angular de quatro vezes o módulo da velocidade da luz em rad/s. Assinale a alternativa que apresenta seu comprimento de onda:
	Conteúdo interativo
	Uma corda de 4 m e de massa uniforme de 20 kg possui uma de suas extremidades presa à parede e é excitada por uma força transversal de 555 N. A velocidade de propagação da onda gerada é igual a:
	A função velocidade de uma onda harmônica em t = 0 é igual a:
	Conteúdo interativo
	O período de uma onda senoidal é igual a 0,45 s e se propaga à velocidade da luz no vácuo. Diante disso, seu número de onda é igual a:
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	Considere uma onda senoidal que se propaga com velocidade de 343 m/s e possui comprimento de onda de 0,9 m. Sua frequência é igual a:
	A função velocidade de uma onda harmônica em t = 5 s é igual a:
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referências