Exposição da unidade 03

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CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
MSc.Engº Patrique B.Triantafilu 
Nesta aula, iremos analisar:
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
➢ Circuitos de segunda ordem: aqueles que precisam de uma equação diferencial de segunda ordem;
➢ Circuitos RLC série e paralelo serão apresentados; 
➢ A resposta ao degrau desses circuitos também será abordadas.
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
➢ O capítulo anterior considerou circuitos que requeriam apenas equações
diferenciais de primeira ordem para serem resolvidos;
➢ Quando houver mais de um "elemento de armazenamento", ou seja, capacitor
ou indutor presente, as equações requerem equações diferenciais de segunda
ordem;
Encontrando valores iniciais e finais
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
➢ Trabalhar no sistema de segunda ordem é mais difícil do que na primeira ordem em termos de encontrar
as condições iniciais e finais;
➢ É necessário encontar as derivadas, dv / dt e di / dt também;
➢ Obter a polaridade em um capacitor e a direção da corrente em um indutor é fundamental.
➢ A tensão do capacitor e a corrente do indutor são sempre contínuas.
Encontrando valores iniciais e finais
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO 01:
A chave do circuito abaixo foi fechada a um bom tempo. Ela é aberta em t=0. Encontre :
( ) (0 ), (0 );( ) (0 ), (0 );( ) ( ), ( )
di dv
a i v b c i v
dt dt
+ + + += = =  
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC série sem fonte
➢ Considere o circuito ao lado.
➢ A energia em t = 0 é armazenada no capacitor,
representado por V0 e no indutor, representado por I0.
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC série sem fonte
➢ Aplincando LKT na malha
➢ Para eliminar a integral, diferenciamos em relação a t e reorganizamos os termos, obtendo 
2
2
0
d i R di i
dt L dt LC
+ + + =
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC série sem fonte
➢ Duas condições iniciais são necessárias para resolver este problema;
➢ A corrente inicial é fornecida;
➢ A primeira derivada da corrente também pode ser
obtida:
0
(0)
(0) 0
di
Ri L V
dt
+ + = OU
0 0
(0) 1
( )
di
RI V
dt L
= − +
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC série sem fonte
➢ Com base nas soluções de primeira ordem, podemos esperar que a solução seja de uma forma
exponencial, portanto:
. sti A e=
➢ Realizando as diferenciações necessárias
2 0st st stAR A
As e se e
L LC
+ + = OU
2 2 1
( ) 0st R
As e s s
L LC
+ + =
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC série sem fonte
➢ Forma condensada de expressar as raízes:
2 2
01s a = − + − 2 2
02s a = − + −
Onde:
0
2
1
R
L
LC


=
=
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC série sem fonte
➢ Na circuito abaixo, calcule as raízes características. A resposta natural é com amortecimento supercrítico,
com subamortecimento ou amortecimento crítico?
:
40
4
1
4
Dados
R
L H
C F
= 
=
=
0
2
1
R
L
LC


=
=
2 2
01s a = − + − 2 2
02s a = − + −
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC série sem fonte
➢ Quando α> ω0, o sistema é amortecimento supercrítico;
1 2
1 2( ) s t s ti t A e A e= +
0 2
4
_ _
L
implica C
R
  
➢ Tanto s1 quanto s2 são reais e negativos.
➢ A partir disso, não devemos esperar ver uma oscilação
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC série sem fonte
➢ Quando α = ω0, o sistema é de amortecimento crítico;
1 2 3( ) t t ti t A e A e A e  − − −= + =
0 2
4
_
L
C
R
 = = 1 2
2
R
s s
L
= = − = −
2 1( ) ( ) ti t A A t e −= +
( ) ti t te −=
1/ 1
_ m x _ _Valor á imo e a t

−= =
➢ Existem dois componentes para a resposta, um decaimento exponencial e um 
decaimento exponencial multiplicado por um termo linear.
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC série sem fonte
➢ Quando α < ω0, o sistema é de subamortecimento;
0 2
4
_
L
C
R
  =
1 2( ) ( cos )t
d di t e B t B sen t
 
−= +
2 2
0
2 2
0
1 ( )
2 ( )
d
d
s j
s j
    
    
= − + − − = − +
= − − − − = − +
2 2
0
1
d
j
  
= −
= −
➢ ω0 é frequentemente chamada de frequência natural não amortecida;
➢ ωd é chamada de frequência natural amortecida.
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC paralelo sem fonte
➢ Supondo que as corrente iniciais sejam;
0
0
1
(0) (0) ( )
(0)
i I v t dt
L
v V

= =
=

UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Circuito RLC paralelo sem fonte
➢ Aplicando LKC ao nó superior, obtemos:
➢ Extraindo a derivada em relação a t e dividindo por C, temos:
➢ A equação característica é:
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
➢ As raízes da equação característica são:
2 2
0
2 2
0
1 ( )
2 ( )
d
d
s j
s j
    
    
= − + − − = − +
= − − − − = − +
Circuito RLC paralelo sem fonte
2
1,2
2 2
1,2 0
1 1 1
( )
2 2
s
RC RC LC
s   
= −  −
= −  −
Onde:
0
1
2
1
RC
LC


=
=
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
➢ Caso de amorteciemnto supercrítico (α> ω0)
Considerando tais caso separadamente
1 2
1 2( ) s t s tv t Ae A e= +
2
0 _ _ 4implica L R C  
✓ As raízes da equação característica são reais e negativas.
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
➢ Caso de amortecimento crítico (α = ω0)
2
0 _ 4L R C = =
1 2( ) ( ) tv t A A t e −= +
✓ As raízes da equação característica são reais e iguais.
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
➢ Caso de subamortecimento (α < ω0)
2
0 _ 4L R C  
1 2( ) ( cos )t
d dv t e A t A sen t
 
−= +
✓ As raízes da equação característica são complexas.
1,2
2 2
0
d
d
S j 
  
= − 
= −
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
➢ Quando α < ω0, o sistema é de subamortecimento;
✓ As constantes A1 e A2 em cada caso podem ser determinadas a partir das condições iniciais, 
encontrando v(0) e dv(0)/dt .
0
0
0 0
(0)
. 0
((0)
V dv
I C
R dt
V RIdv
dt RC
+ + =
+
= −
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO 02
No circuito paralelo abaixo, determine v(t) para t>0, supondo que v(0) = 5v, i(0) = 0, L= 1H e C=10mF. Considere os seguintes
casos de R: 
1 1,923
2 5
3 6,25
R
R
R
= 
= 
= 
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO 02
Observe que aumentando o valor de R, o nível de amortecimento diminui e as respostas são diferentes. 
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Resposta a um degrau de um circuito RLC em série
➢ Considerar o que acontece quando uma tensão CC é repentinamente aplicada a um 
circuito de segunda ordem.
➢ Considere o circuito mostrado. A chave fecha em t= 0.
➢ Aplicando LKT à malha para t> 0:
x
di
L Ri v V
dt
+ + =
Porém,
dv
i C
dt
=
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Resposta a um degrau de um circuito RLC em série
➢ Subistituindo i:
2
2
sVdv R dv v
dt L dt LC LC
+ + =
➢ A solução possui duas respostas, a transiente vt (t) e a resposta de estado estacionário vss (t); ou seja,
( ) ( ) ( )t ssv t v t v t= +
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Resposta a um degrau de um circuito RLC em série
➢ A resposta transiente tem a mesma forma que a resposta do circuito RLC sem fonte.
➢ A resposta estacionária é o valor final de v(t). Nesse caso , o capacitor será igual a tensão da 
fonte.
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Resposta a um degrau de um circuito RLC em série
➢ As soluções completas para os casos de amortecimento supercrítico, subamortecimento e amortecimento crítico são:
1 2
1 2( ) s t s t
sv t V Ae A e= + +
1 2( ) ( ) t
sv t V A A t e −= + +
1 2( ) ( cos ) t
s d dv t V A t A sen t e 
 
−= + +
(Amortecimento supercrítico) 
(Amortecimento crítico) 
(Subamortecimento) 
➢ As variável A1 e A2 são obtidas das condições iniciais v(0) e dv(0)/dt.
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
Resposta a um degrau de um circuito RLC em série
➢ As soluções completas para os casos de amortecimento supercrítico, subamortecimento e amortecimento crítico são:
1 2
1 2( ) s t s t
si t I A e A e= + +
1 2( ) ( ) t
si t I A A te −= + +
1 2( ) ( cos ) t
s d di t I A t A sen t e 
 
−= + +
(Amortecimento supercrítico) 
(Amortecimento crítico) 
(Subamortecimento) 
➢ As variável A1 e A2 são obtidas das condições iniciais i(0) e di(0)/dt.
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO 03
No circuito abaixo, determine v(t) para t>0. Considere os seguintes casos de R: 
1 5
2 4
3 1
R
R
R
= 
= 
= 
Resposta a um degrau de um circuito RLC em série
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO
Resposta a um degrau de um circuito RLC em série
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO 04
Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo
No circuito abaixo, determine i(t) e iR(t) para t>0. 
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO
Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo
Solução:
Para t <0, a chave se encontra aberta e o circuito se divide em dois subcircuitos independentes. A corrente de 4 A flui 
através do indutor, de modo que 
(0) 4i A=
Uma vez que 30u(–t) = 30 quando t < 0 e 0 quando t > 0, a fonte de tensão está operando para t < 0. O capacitor atua como
um circuito aberto e a tensão nele é a mesma que a tensão no resistor de 20 ohms conectado em paralelo a ele. Pela divisão
de tensão, a tensão inicial no capacitor é
20
(0) .(30) 15
20 20
v V= =
+
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO
Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo
Para t > 0, a chave está fechada e temos um circuito RLC em paralelo com uma fonte de corrente. A fonte de tensão é zero,
significando que ela se comporta como um curto- -circuito. Os dois resistores de 20 ohms agora estão em paralelo. Eles são
associados para dar R = 20 || 20 = 10 ohms. As raízes características são determinadas como:
3
0
3
1 1
6, 25
2 2.10.8.10
1 1
2,5
20.8.10
RC
LC


−
−
= = =
= = =
2 2
1,2 0 6, 25 39,0625 6,25 6, 25 5,7282S   = −  − = −  − = − 
Ou 
1 11,978
2 0,5218
S
S
= −
= −
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO
Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo
Uma vez que , temos o caso de amortecimento supercrítico. Então,
0 
11,978 0,5218
1 2( ) t t
si t I A e A e− −= + +
Sendo Is = 4 é o valor final de i(t). Usando as condições iniciais para encontrar A1 e A2 em t = 0
1 2
2 1
(0) 4 4i A A
A A
= = + +
= −
Extraindo a derivada de i(t), temos
11,978 0,5218
1 211,978 0,5218t tdi
Ae A e
dt
−= − −
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO
Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo
Em t=0
1 2( ) 11,978 0,5218
di
o A A
dt
= − −
Porém,
(0) (0) 15 15
(0) 15 0,75
20
di di
L v
dt dt L
= =  = = =
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO
Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo
Substituindo na equação da derivada de i(t), temos
2 20,75 (11,978 0,5218) 0,0655A A= −  =
Sendo, A1 = -0,0655 e A2 = 0,0655, vamos inserir estes valores na equação de i(t) 
0,5218 11,978( ) 4 0,0655( )t ti t e e A− −= + −
UNIDADE 3. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM:
EXEMPLO
Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo
Como já encontramos i(t), agora podemos achar v(t)
11,978 0,5218
( )
( )
( ) 0,785 0,0342
20
t t
R
di
v t L
dt
v t di
i t L e e A
dt
− −
=
= = = −