CIRCUITOS ELÉTRICOS I UNI 3

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CIRCUITOS ELÉTRICOS ICIRCUITOS ELÉTRICOS I
CIRCUITOS DE PRIMEIRACIRCUITOS DE PRIMEIRA
ORDEMORDEM
Autor: Esp. Afonso Genta Palandri
Revisor : L isandro Mart ins da S i lva
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Conhecemos dispositivos que armazenam energia, indutores e capacitores.
Agora vamos determinar as tensões e correntes que surgem quando a
energia é fornecida ou recebida a um desses componentes quando ocorre
uma variação abrupta em uma fonte de corrente ou tensão de corrente
contínua. Abordaremos circuitos formados por apenas resistores e indutores
ou capacitores, mas não ambos. Essas con�gurações são denominadas
circuitos RC, resistor-capacitor e RL, resistor-indutor.
Nossa análise abordará primeiramente uma resposta natural do circuito. Em
um segundo momento, consideramos a resposta ao degrau.
Os circuitos são considerados de primeira ordem, porque possuem apenas
um armazenador de energia; sendo assim, suas tensões e correntes são
descritas por equações diferenciais de primeira ordem.
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Circuitos de primeira ordem são circuitos compostos por apenas um tipo de
dispositivo armazenador de energia (indutores e capacitores); sendo assim,
suas equações de   tensão e correntes são compostas por derivadas de
primeira ordem.
Vamos trabalhar com circuitos compostos por resistores e capacitores
(circuitos RC).
Circuito RC
Para Nilsson (2009), a resposta natural de um circuito RC pode ser descrita
conforme a Figura 3.1. Iniciaremos nossa análise fazendo a suposição de que
a chave estava na posição a por um longo período de tempo, o que permite
considerar que o ramo formado pela fonte de tensão de corrente contínua
, o resistor e o capacitor C cheguem a uma condição de regime
permanente. Sabe-se que um capacitor tem o comportamento equivalente a
um circuito aberto quando está associado a uma tensão constante. Logo, a
Circuitos de 1°Circuitos de 1°
ordem RCordem RC
Vg R1
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tensão nos terminais do capacitor é equivalente à da fonte. Quando a chave é
comutada da posição a para a posição b (em t=0), a tensão nos terminais do
capacitor não pode sofrer variação instantânea, então, o problema se reduz
ao circuito mostrado na Figura 3.2.
Para determinar a tensão v(t), fazemos uma análise em termos de tensões de
nó. Utilizando o nó inferior entre R e C como o nó de referência e somando as
correntes que saem da junção superior entre R e C, fazendo a análise
matemática, chegamos à seguinte equação:
 (3.1)
para t maior ou igual a zero.
A tensão imediatamente antes, durante e depois do momento t = 0 é igual à
tensão , equivalente à tensão .
A relação de RC equivale à constante de tempo. Sadiku, Musa e Alexander
(2014) considera a constante de tempo, sendo esta mensurada em segundos,
onde τ de um circuito é o tempo necessário para a resposta (corrente)
diminuir de um fator de 36,8% do seu valor inicial.
Conforme Nilsson (2009), a constante de tempo é um parâmetro importante
para circuitos de primeira ordem, sendo ela a resposta transitória do circuito,
pois é o tempo necessário de que o circuito necessita para atingir o seu
estado �nal.
v(t) = v(0)e(−t/(RC)
Vg V0
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Dessa maneira, a equação correspondente à constante de tempo em um
circuito RC é dada pela multiplicação da resistência R pela capacitância C:
(3.2)
Logo, a Equação 3.1 pode ser reescrita como:
Figura 3.1 - Circuito RC
Fonte: Nilsson (2009, p. 167).
Figura 3.2 - Circuito mostrado na Figura 3.1 após chaveamento
Fonte: Nilsson (2009, p. 167).
τ = RC
v (t) = v (0) e−t/τ
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(3.3)
O que representa que a resposta natural de um circuito RC é uma queda de
tensão exponencial a partir da tensão inicial.
Sendo τ a constante que determina a velocidade da queda, a Figura 3.3
representa o grá�co da Equação 3.3.
Analisando a Figura 3.3, vemos o comportamento da exponencial negativa,
sendo que a mesma parte do valor inicial da tensão e tende a zero, tendo a
sua inclinação dada pelo valor da constante de tempo, que é resultado dos
valores de resistência e capacitância do circuito.
Figura 3.3 - Curva de descarga de um capacitor
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 240).
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Após determinarmos v(t), podemos determinar a corrente i, potência p, e a
energia w.
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Para t maior ou igual a zero.
Sendo assim, o cálculo da resposta natural de um circuito RC pode ser
resumido da seguinte forma, segundo Nilsson (2009):
reflita
Re�ita
Sendo o pisca alerta um chaveamento
exemplo de chaveamento sequencial,
como dimensionar a constante de
tempo para um circuito como este?
i (t) =
v (t)
R
e−t/τ
p = vi =
v(0)2 
R
e−2t/τ
w = Cv (1 − )1
2
(0)2  e−t/τ
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1. faça a determinação do valor inicial da tensão, nomeada por ,  no
capacitor;
2. determine a constante de tempo do circuito, resultante da associação
dos valores de resistência e capacitância.
3. utilize a Equação 3.3 para obter v(t) a partir dos valores já obtidos de
Vo e τ.
Seguindo essa sequência, é possível determinar o valor da tensão em função
do tempo.
Resposta a um Degrau de Tensão
Ao se tratar da resposta ao degrau de um circuito de primeira ordem,
estamos nos referindo à aplicação repentina de uma fonte de tensão ou
corrente constante no circuito. Sendo assim, vamos analisar como o circuito
responde quando a energia está sendo armazenada no dispositivo (Nilsson,
2009, p. 168).
Podemos determinar a resposta a um degrau de um circuito RC, segundo
Nilsson (2009), analisando a Figura 3.4. Dessa maneira, escolhemos o
V0
Figura 3.4 - Circuito usado para ilustrar a resposta a um degrau de um
circuito RC de primeira ordem
Fonte: Nilsson (2009, p. 173).
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equivalente de Norton da rede ligada ao capacitor equivalente. Fazendo a
análise matemática, temos:
(3.7)
para t maior ou igual a zero.
Para determinar a corrente no capacitor, damos sequência à análise e
chegamos à seguinte equação:
(3.8)
para t maior igual a zero.
Observando a Equação 3.7, vemos que a tensão inicial do capacitor é ; a
tensão �nal é ; e a constante de tempo do circuito é RC. Essas
observações são válidas para o comportamento de um capacitor em parelho
com um resistor quando alimentados por uma fonte de cc.
A Equação 3.8 prevê que a corrente no capacitor logo após o instante em que
o valor de t é igual a zero é , o que faz sentido, pois a tensão no
capacitor não pode variar instantaneamente.
(t) = R + (v (0) − R)vC Is Is e
−t/τ
i = ( − )Is
v (0)
R
e−t/τ
V0
RIs
− (V 0/R)Is
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Sadiku, Musa e Alexander (2014) a�rmam que existem várias aplicações para
circuitos de primeira ordem, sendo eles �ltragem em fontes de alimentação
de corrente contínua, circuitos de suavização para comunicação digital, entre
outras. Logo, podemos começar a compreender o quão importante uma boa
compreensão do tema é essencial para o desenvolvimento pro�ssional.
praticar
Vamos Praticar
Analise a �gura a seguir.
saibamais
Saiba mais
Dentre as várias aplicações de um circuito
RC, como circuitos de retardo e relés, uma
delas está mais próxima de você do que você
imaginava, o �ash de uma câmera
fotográ�ca. Para saber mais como funciona
esse mecanismoacesse o link a seguir.
ASS IST IR
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A resposta ao degrau de um circuito é muito utilizada para modelar comportamento
de carga e descarga de um circuito RC. A chave do circuito da �gura apresentada
esteve na posição c por um longo período. No instante em que t é igual a zero, ela
passa instantaneamente para a posição y. Desse modo, assinale a alternativa que
apresenta o valor de Vc(t) para t maior igual a zero.
a) V
b) V
c) V
d) V
e) V
Figura 3.5 - Circuito usado para ilustrar a resposta a um degrau de um circuito
RC de primeira ordem
Fonte: Nilsson (2009, p. 167).
v (t) = 0, 5e−25t
v (t) = 80e−25t
v (t) = 100e−10t
v (t) = 100e−25t
v (t) = 85e−25t
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Os circuitos de primeira ordem são aqueles em que suas equações são
compostas por equações diferenciais de primeira ordem. Assim, sendo
compostos por apenas um tipo de dispositivos armazenadores de energia
(indutores e capacitores), vamos trabalhar com circuitos compostos por
resistores e indutores (circuitos RL).
Circuito RL
Para Nilsson (2009), a resposta natural de um circuito RL pode ser descrita
conforme a Figura 3.6. Para iniciar nossa análise, começaremos supondo que
a chave está na posição a por um longo tempo, o que permite que o laço
formado pela fonte de tensão de corrente contínua ,o resistor R1 e o
indutor L cheguem a uma condição de regime permanente. Sabendo o
elemento armazenador de energia indutivo tem comportamento equivalente
a um curto circuito na presença de uma corrente constante, podemos
concluir que a tensão nos terminais do indutor é nula. Quando a chave é
comutada da posição a para a posição b (em t=0), a corrente  nos terminais do
Circuitos de 1ªCircuitos de 1ª
ordem RLordem RL
Vg
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indutor não pode sofrer variação instantânea, logo o problema se reduz ao
circuito mostrado na Figura 3.7.
Para determinar a corrente i(t), fazemos uma análise em termos da lei das
tensões de Kirchho�. Somando as tensões ao longo do caminho fechado e
fazendo as simpli�cações matemáticas, chegamos à seguinte equação.
 (3.9)
para todos os valores de t maior ou igual a zero.
A corrente imediatamente antes, durante e depois do momento t = 0 é igual à
corrente Is .
i (t) = i (0) e−tR/L
Figura 3.6 - Circuito RL
Fonte: Nilsson (2009, p. 162).
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Dessa maneira, a equação correspondente à constante de tempo em um
circuito RL é dada pela divisão da indutância L pela resistência R.
(3.10)
Logo, a Equação 3.9 pode ser reescrita como:
(3.11)
O que representa que a resposta natural de um circuito RL é uma queda de
corrente exponencial a partir da corrente inicial. Sendo τ a constante que
determina a velocidade da queda. A Figura 3.8 representa o grá�co da
equação 3.11.
Figura 3.7 - Circuito mostrado na Figura 3.1 após chaveamento
Fonte: Nilsson (2009, p. 163).
τ = L/R
i (t) = i (0) e−t/τ
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Figura 3.8 - Resposta de corrente para um circuito RL
Fonte: Sadiku (2014, p. 269).
Após determinarmos i(t), podemos determinar a tensão v, potência p e a
energia w, como:
(3.12)
(3.13)
(3.14)
para todo t maior ou igual a zero.
Sendo assim, o cálculo da resposta natural de um circuito RL pode ser
resumido da seguinte forma, segundo Nilsson (2009):
1. determine a corrente inicial no indutor;
2. determine a constante de tempo do circuito;
3. utilize a equação 3.10 para gerar i(t) a partir de  e τ.
Seguindo essa forma, é possível determinar o valor da tensão em função do
tempo.
v (t) = I (0) Re−t/τ
p = vi = I R(0)2  e−2t/τ
w = LI (1 − )1
2
(0)2  e−2t/τ
I0
I0
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Resposta a um Degrau de Tensão
A resposta ao degrau de um circuito RL é análoga à de um circuito RC, logo
não faremos de�nições redundantes neste tópico.
Podemos determinar a resposta a um degrau de um circuito RL, segundo
Nilsson (2009) analisando a Figura 3.8. Dessa maneira, escolhemos a lei das
tensões de Kirchho�. Fazendo a análise matemática, temos:
(3.15)
para todos os valores de t maior ou igual a zero.
Para determinar a tensão no indutor, damos sequência à análise e chegamos
à seguinte equação:
(3.16)
Figura 3.9 - Circuito usado para ilustrar a resposta a um degrau de um
circuito RL de primeira ordem
Fonte: Nilsson (2009, p. 169).
i (t) = + (I (0) − )Vs
R
Vs
R
e−tR/L
v = L( )(I (0) − ) = ( − I (0) R)−R
L
Vs
R
e−tR/L Vs e
−tR/L
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para todos os valores de t maior ou igual a zero.
Vemos, dessa forma, que a corrente, em um circuito RL, apresenta a mesma
forma de onda da tensão em um circuito RC. Analisando o grá�co, vemos que
o carregamento do componente é uma exponencial, com inclinação dada pela
constante de tempo, partindo do zero e chegando às grandezas equivalentes
às da fonte.
praticar
Vamos Praticar
Analise a �gura a seguir.
Figura 3.10 - Resposta a um degrau do circuito RL mostrado na Figura 3.9
Fonte: Nilsson (2009, p. 170).
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A chave do circuito da �gura apresentada esteve na posição a por um longo
período. No instante em que t é igual a zero, ela passa instantaneamente para a
posição b. Desse modo, assinale a alternativa que apresenta o valor de iL(t) para t
maior ou igual a zero.
a) A
b) A
c) A
d) A
e) A
Fonte: Nilsson (2009, p. 164).
(t) = 2iL e
−5t
(t) = 0, 2iL e
−5t
(t) = 20iL e
−0,2t
(t) = 5iL e
−20t
(t) = 20iL e
−5t
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Circuitos RC e RL respondem de maneira muito similar em seu
comportamento em regime transitório e em regime permanente, levando em
consideração cada uma de suas particularidades. Visto isso, vamos entender
como fazer a análise quando o chaveamento é sequencial, quando existe uma
resposta inde�nidamente crescente e curva de carga e descarga dos
elementos armazenadores de energia.
Chaveamento Sequencial
Nilsson (2009) a�rma que chaveamentos que ocorrem mais de uma vez em
um circuito são chamados de chaveamento sequencial. Um exemplo é uma
chave de duas posições que faz a comutação de maneira sequencial. Sendo
assim, a referência para todos os chaveamentos não pode ser t = 0.
Determinamos as tensões e correntes geradas, utilizando as técnicas já
apresentadas, e a cada novo sequenciamento usamos as expressões de
Circuitos RC e RL -Circuitos RC e RL -
Medições eMedições e
ObservaçõesObservações
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tensão e corrente do circuito para determinar as condições iniciais da
próxima condição.
Visto que o valor da constante de tempo não irá alterar, porque seu valor
depende dos elementos do circuito, temos que sempre fazer uma atualização
do valor inicial da comutação seguinte.
Um exemplo de circuito de chaveamento sequencial é a luz de pisca alerta de
um automóvel, no qual a chave comuta sequencialmente.
Resposta Inde�inidamente
Crescente
Nilsson (2009) de�ne que uma resposta inde�nidamente crescente é aquela
em que o valor da resposta do circuito, em vez de decrescer com o tempo,
cresce de maneira inde�nida. Essa situação se torna possível quando o
circuito em questão apresenta fontes dependentes. Dessa maneira, a
resistência, quando vista dos terminais dos elementos armazenadores de
energia (sejam eles o indutor ou o capacitor), no equivalente de Thévenin, é
negativa, sendo a constante de tempo negativa. Com o passar do tempo, a
respostaalcança um valor limite em que o componente é destruído ou entra
em um estado de saturação que impede qualquer aumento adicional dessas
grandezas.
Para solucionar circuitos assim, derivamos a equação diferencial que descreve
o circuito (que possui a resistência negativa) e resolvemos a mesma utilizando
a técnica da separação de variáveis.
Um circuito capaz de resultar em correntes e tensões sempre crescentes é um
fator importante para engenheiros, porém, se essa situação acontecer de
maneira não intencional, o circuito corre sérios riscos de apresentar falhas,
gerando um grande risco.
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Curva de Carga e Descarga de
Dispositivos Armazenadores de
Energia
A �m de compreendermos melhor a relação da constante de tempo em um
circuito, vamos observar a curva de carga e descarga dos elementos
armazenadores de energia.
Dado um circuito conforme a Figura 3.11, assumindo que a tensão vc no
momento inicial é zero:
O grá�co de carga do circuito de carga do capacitor é dado pela Figura 3.12,
sendo que a carga máxima do capacitor se dá quando vc se torna equivalente
a .
Figura 3.11 - Circuito de carga
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 239).
Vs
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Retirando a fonte do circuito da Figura 3.11 e assumindo que o capacitor se
encontra em carga máxima no momento inicial, temos um circuito de
descarga, conforme a Figura 3.13.
Sendo assim, o grá�co de descarga do circuito, dada algumas variações na
constante de tempo, pode ser expresso pela Figura 3.14.
Figura 3.12 - Circuito de carga
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 239).
Figura 3.13 - Circuito de descarga
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 240).
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Sabendo que capacitores e indutores se comportam de maneira análoga,
dadas a tensão e a corrente, assume-se que esse comportamento de carga e
descarga ocorre também em um indutor, considerando que os grá�cos
apresentados serão para a corrente nesse componente.
praticar
Vamos Praticar
Analise a �gura a seguir.
Figura 3.14 - Grá�co de descarga de um capacitor dados vários valores para a
constante de tempo
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 241).
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Dado um circuito RC, conforme o da �gura apresentada, e considerando R=500Ω, C
= 10μF e = 15V, calcule o período transitório do circuito, ou seja, o valor da
constante de tempo necessário para que o mesmo esteja completamente
descarregado (5τ), e assinale a alternativa correta.
a) 25ms.
b) 5ms.
c) 50ms.
d) 2ns.
e) 1s.
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 239).
Vs
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indicações
Material
Complementar
FILME
Piratas do Vale do Silício
Ano: 1999
Comentário: Este �lme expressa o nascimento das
empresas Microsoft e Apple, trazendo toda a revolução
tecnologia que essas empresas trouxeram ao mundo,
interligando todas as pessoas por meio da tecnologia,
na qual a base são circuitos elétricos.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a
seguir.
TRA ILER
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LIVRO
Análise de circuitos elétricos com aplicação
Editora: AMGH
Autor: Matthew N. O. Sadiku
ISBN: 8580553024
Comentário: Este livro traz, de maneira didática e com
aplicações das teorias de circuitos elétricos, uma
abordagem prática e profunda sobre análises de
circuitos de primeira ordem e suas aplicações.
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conclusão
Conclusão
Aprendemos a fazer análise de circuitos elétricos com armazenamentos de
energia, sendo eles capacitores ou indutores.
Fazendo a análise desses circuitos, vimos como os mesmos se comportam
para armazenar (carregar) e descarregar a carga elétrica, conseguindo chegar
a equações que descrevem o comportamento das grandezas medidas em um
circuito, sendo estas tensão, corrente, potência e energia, com entradas em
corrente contínua (cc).
Vimos que o comportamento da tensão e corrente e os dispositivos de
armazenamento de energia, indutores e capacitores se comportam de
maneira análoga; logo, ao se compreender o processo de um, conseguimos
fazer uma análise rápida para o outro.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos . 5.
ed. São Paulo: Editora Bookman, 2013.
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NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos . 8. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2009.
SADIKU, M. N. O.; MUSA S. M.; ALEXANDER C. K. Análise de circuitos
elétricos com aplicações . 5. ed. São Paulo: Editora AMGH Editora, 2014.
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