Unidade 4 - Senoides e fasores

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Fundamentals of 
Electric Circuits
Chapter 9
Unidade 4 - Senoides e 
fasores
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Visão geral
• Este capítulo abordará a corrente alternada.
• Uma discussão sobre números complexos é 
incluída antes da introdução de fasores.
• Aplicações de fasores e análise de domínio 
de frequência para circuitos, incluindo 
resistores, capacitores e indutores, serão 
abordadas.
• Os conceitos de impendância e admitância
também são introduzidos.
2
Corrente alternada
• A corrente alternada, ou CA, é a forma 
dominante de energia elétrica fornecida às 
residências e à indústria.
• No final de 1800, houve uma batalha entre os 
defensores de DC e AC.
• A CA venceu devido à sua eficiência na 
transmissão de longa distância.
• CA é uma corrente sinusoidal, o que 
significa que a corrente reverte em tempos 
regulares e tem valores positivos e negativos 
alternados.
3
Senoides
• As senoides são interessantes para nós, 
porque há um número de fenômenos 
naturais de natureza sinusoidal.
• Também é um sinal muito fácil de gerar e 
transmitir.
• Além disso, através da análise de Fourier, 
qualquer função periódica prática pode ser 
feita adicionando senoides.
• Por fim, eles são muito fáceis de serem 
manipuladas matematicamente.
4
Senoides
5
( ) sinmv t V t=
Senoides
• A partir da forma de onda mostrada acima, uma 
característica é clara: a função se repete a cada T 
segundos.
• Isso é chamado de período
6
( ) sinmv t V t=
2
T


=
Senoides
• O período está inversamente relacionado a 
outra característica importante, a frequência
• A unidade de medida é o ciclos por segundo 
ou Hertz (Hz)
• Muitas vezes, é útil fazer referência à 
frequência em termos angulares:
• Aqui a frequência angular é em radianos por 
segundo
7
1
f
T
=
2 f =
Senoides
• De maneira mais geral, precisamos levar em 
consideração o tempo relativo de uma onda em 
relação a outra.
• Isso pode ser feito incluindo um ângulo de fase 
• Considerando duas senoides:
8
( ) ( ) ( )1 2sin and sinm mv t V t v t V t  = = +
Senoides
• Se dois senoides estão em fase, isso 
significa que eles atingem seu máximo e 
mínimo ao mesmo tempo.
• As senoides podem ser expressos como 
seno ou cosseno
9
( )
( )
( )
( )
sin 180 sin
cos 180 cos
sin 90 cos
cos 90 sin
t t
t t
t t
t t
 
 
 
 
 = −
 = −
 = 
 =
𝑆𝑒𝑛 𝐴 ± 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 ± 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵
cos 𝐴 ± 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵
Senoides
10
Resposta: 30, -75°, 12,75 rad/s, 0,5 s, 2 Hz
Senoides
11
Resposta: 210°, 𝒊𝟏 está avançada em relação 𝒊𝟐.
Números complexos 
• Um método poderoso para representar senoides é o 
fasor.
• Um número complexo z pode ser representado na 
forma retangular como:
Onde 𝒋 = −𝟏 ; x é parte real; y a parte imaginária
12
z x jy= +
Números complexos 
• também pode ser escrito na forma polar ou 
exponencial como:
• Onde 𝒓 é a magnitude e 𝝓 é a fase de z.
13
jz r re =  =
Números complexos
• Relação entre representação 
polar e retangular
• Forma retangular para polar
• Forma polar para retangular
14
2 2 1tan
y
r x y
x
 −= + =
cos sinx r y r = =
Números complexos
• Operações
• Adição e subtração são mais bem realizadas 
na forma retangular
• Multiplicação e divisão são mais bem 
realizadas na forma polar
15
Números complexos
• Operações matemáticas importantes
16
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
1 2
2 2
*
1 1
/ 2
j
z z x x j y y z z x x j y y z z r r
z r
z r
z r z r
z x jy r re 
 
   
 −
+ = + + + − = − + − =  +
=  − =  − = 
= − = − =
Adição Subtração Multiplicação
Divisão Inverso Raiz quadrada
Complexo conjugado
Números complexos
• Exemplo 9.3
Calcule os números complexos a seguir:
(a) 𝟒𝟎∠𝟓𝟎° + 𝟐𝟎∠ − 𝟑𝟎°
𝟏
𝟐
(b) 
𝟏𝟎∠−𝟑𝟎°+ 𝟑−𝒋𝟒
𝟐+𝟒𝒋 𝟑−𝟓𝒋 ∗
• Problema prático 9.3
Calcule os números complexos a seguir:
(a) 𝟓 + 𝒋𝟐 −𝟏 + 𝒋𝟒 − 𝟓∠𝟔𝟎 ∗
(b)
𝟏𝟎+𝟓𝒋+𝟑∠𝟒𝟎°
−𝟑+𝟒𝒋
+ 𝟏𝟎∠𝟑𝟎° + 𝟓𝒋
Resposta: (a)-15,5 –j13,27; 8,293 + j7,2
17
Fasores
• A ideia de uma representação fasorial é 
baseada na identidade de Euler:
• Podemos considerar:
𝒄𝒐𝒔 𝝓 = 𝑹𝒆(𝒆𝒋𝝓)
sen 𝝓 = 𝑰𝒎(𝒆𝒋𝝓)
18
cos sinje j   = 
Fasores
• transformação entre o domínio do tempo 
em domínio fasorial é:
19
( ) ( )
(Phasor-domain(Time-domain
representation)representation)
cosm mv t V t V V  = +  = 
Fasores
• Para obter a senoide correspondente para 
um fasor V, devemos multiplicar o fasor
pelo fator tempo 𝒆𝒋𝝎𝒕 e extrair a parte real.
𝒗 𝒕 = 𝑹𝒆(𝑽𝒆𝒋𝝎𝒕)
20
Fasores
21
Fasores
• Exemplo 9.4 - Transforme as senoides
seguintes em fasores:
(a) 𝒊 = 𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝟎𝒕 − 𝟒𝟎° 𝑨
(b) 𝒗 = −𝟒𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝒕 + 𝟓𝟎° 𝑽
• Problema prático 9.4 - Expresse as 
seguintes senoides na forma de fasores
(a)𝒗 = 𝟕 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 + 𝟒𝟎° 𝑽
(b) 𝒊 = −𝟒 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝒕 + 𝟏𝟎°)A
Resposta: ሶ𝑽 = 𝟕∠𝟒𝟎° 𝑽; ሶ𝑰 = 𝟒∠𝟏𝟎𝟎° 𝑨
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Fasores
• Exemplo 9.5 – Determine as senoides
representadas pelos seguintes fasores
(a) ሶ𝑰 = −𝟑 + 𝟒𝒋 𝑨
(b) ሶ𝑽 = 𝒋𝟖𝒆−𝒋𝟐𝟎°𝑽
• Problema prático 9.5 - Determine as senoides
representadas pelos seguintes fasores
(a) ሶ𝑽 = −𝟐𝟓∠𝟒𝟎°𝑽
(b) ሶ𝑰 = 𝒋 𝟏𝟐 − 𝒋𝟓 𝑨
Resposta: 𝒗 𝒕 = 𝟐𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 − 𝟏𝟒𝟎° ; 𝒊 𝒕 =
𝟏𝟑𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝟔𝟕, 𝟑𝟖° 𝑨
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Fasores
Derivada e integral
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Fasores
Dereivade e integral
• A aplicação de uma derivada a um fasor
gera:
• A aplicação de uma integral a um fasor gera:
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(Phasor domain)
(Time domain)
dv
j V
dt

(Time domain)
(Phasor domain)
V
vdt
j

Fasores
• Exemplo 9.7 – Usando métodos dos fasores, 
determine a corrente 𝒊 𝒕 em um circuito descrito 
pela equação diferencial
𝟒𝒊 + 𝟖න 𝒊𝒅𝒕 − 𝟑
𝒅𝒊
𝒅𝒕
= 𝟓𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕 + 𝟕𝟓°)
• Problema prático 9.7
Determine a tensão 𝒗(𝒕) em um circuito descrito pela 
equação integro-diferencial a seguir
𝟐
𝒅𝒗
𝒅𝒕
+ 𝟓𝐯 + 𝟏𝟎න𝒗𝒅𝒕 = 𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝐭 − 𝟑𝟎°)
Resposta : 𝒗 𝒕 = 𝟓, 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒕 − 𝟖𝟖° 𝑽
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Fasores
As diferenças entre 𝒗(𝒕) e ሶ𝑽 devem ser enfatizadas:
• 𝒗(𝒕) é a representação instantânea ou no domínio do 
tempo, enquanto ሶ𝑽 é a representação em termos de 
frequência ou domínio dos fasores.
• 𝒗(𝒕) é dependente do tempo, enquanto ሶ𝑽 não é.
• 𝒗(𝒕) é sempre real sem nenhum termo complexo, 
enquanto ሶ𝑽 geralmente é complexo.
Análise de fasores se aplica apenas quando a 
frequência é constante.
27
Fasores
• Exemplo 9.6 – Dados 𝒊𝟏 = 𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝟑𝟎° 𝑨 e 
𝒊𝟐 = 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝟐𝟎° 𝑨, determine sua soma.
• Problema prático 9.6 - Se 𝒗𝟏 = −𝟏𝟎𝒔𝒆𝒏(
)
𝝎𝒕 −
𝟑𝟎° 𝑽 e 𝒗𝟐 = 𝟐𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝟒𝟓°), determine 𝒗 =
𝒗𝟏 + 𝒗𝟐.
Resposta : 𝟐𝟗, 𝟕𝟕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝟒𝟗, 𝟗𝟖° 𝑽
28
Relações entre fasores para 
elementos de circuitos
• Como aplicar esse conceito a circuitos contendo 
elementos passivos R, L e C?
• Precisamos transformar a relação tensão-corrente 
do domínio do tempo para o domínio da frequência 
para cada elemento.
29
Relação entre fasores para 
resistores
30
Tensão em fase com a corrente
Relação entre fasores para 
resistores
31
Tensão em fase com a corrente
Relação entre fasores para 
resistores
32
Tensão em fase com a corrente
Relação entre fasores para 
indutores
33
Tensão adianta 90° em relação 
a corrente
Relação entre fasores para 
indutores
34
Tensão adianta 90° em relação 
a corrente
Relação entre fasores para 
indutores
35
Tensão adianta 90° em relação 
a corrente
Relação entre fasores para 
capacitores
36
Corrente adianta 90° em relação 
a tensão
Relação entre fasores para 
capacitores
37
Corrente adianta 90° em relação 
a tensão
Relação entre fasores para 
capacitores
38
Corrente adianta 90° em relação 
a tensão
Relações tensão corrente
39
• Exemplo 9.8 –A tensão 𝒗 = 𝟏𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟎𝒕 + 𝟒𝟓°)
é aplicada a um indutor de 0,1 H. Determine a 
corrente em regime permanente através do 
indutor.
• Problema prático 9.8 – Se a tensão 𝒗 =
𝟏𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟎𝒕 + 𝟑𝟎° for aplicada a um 
capacitor de 𝟓𝟎 𝝁F 
Resposta: 𝒗 𝒕 = 𝟓𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟎𝒕 + 𝟏𝟐𝟎° 𝒎𝑨
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Relações tensão corrente
Impedância e admitância
ሶ𝑽 = 𝑹 ሶ𝑰 ሶ𝑽 = 𝒋𝝎𝑳 ሶ𝑽 =
ሶ𝑰
𝒋𝝎𝑪
• Essas três equações podem ser escritas em termos 
de razão entre tensão e corrente fasorial
ሶ𝑽
ሶ𝑰
= 𝑹
ሶ𝑽
ሶ𝑰
= 𝒋𝝎𝑳
ሶ𝑽
ሶ𝑰
=
𝟏
𝒋𝝎𝑪
• Dessas três expressões obtemos a lei do Ohm 
fasorial
𝒁 =
ሶ𝑽
ሶ𝑰
𝒐𝒖 ሶ𝑽 = 𝒁 ሶ𝑰
• Onde Z é conhecido como impedância e media em 
Ohms
41
Impedância e admitância
• A impedância Z de um circuito é a razão
entre a tensão fasorial ሶ𝑽 e a corrente ሶ𝑰. 
• A impedância representa a oposição que 
um circuito oferece ao fluxo de corrente 
senoidal;
• Não é um fasor, pois não corresponde a 
uma quantidade que varia como uma 
senoide.
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Impedância e admitância
• Como uma quantidade complexa, a 
impedância pode ser expressa em forma 
retangular.
• A parte real é a resistência, R.
• O componente imaginário é chamado de 
reatância, X.
𝒁 = 𝑹 + 𝒋𝑿
• Quando X positivo, dizemos que a 
impedância é indutiva e quando negativa, 
dizemos capacitiva.
43
Impedância e admitância
• A impedância também pode ser expressa na 
forma polar.
𝒁 = 𝒁 ∠ 𝜽
• Onde 
𝒁 = 𝑹𝟐 + 𝑿𝟐 , 𝜽 = 𝒂𝒕𝒂𝒏
𝑿
𝑹
𝑹 = 𝒁 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑿 = 𝒁 𝒔𝒆𝒏𝜽
44
Impedância e admitância
• A admitância, é o recíproco da impedância, também 
é um número complexo.
• Sua unidade de media é o Siemens.
• A parte real da admitância é chamada de 
condutância, G
• A parte imaginária é chamada de susceptância, B
• É expresso em Siemens ou mhos.
45
2 2 2 2
R X
G B
R X R X
= = −
+ +
Impedância e admitância
46
Impedância e admitância
• Exemplo 9.9 – Determine 𝒗 𝒕 e 𝒊(𝒕) no 
circuito apresentado.
47
Impedância e admitância
• Problema prático 9.9 - Determine 𝒗 𝒕 e 𝒊(𝒕)
no circuito apresentado.
Resposta :8,94sen(10t + 93,43°) V; 4,472sen(10t 
+ 3,43°) A
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Leis de Kirchoff no domínio
da frequência
• Um aspecto poderoso dos fasores é que as 
leis de Kirchoff também se aplicam a eles.
• Isso significa que um circuito transformado 
no domínio da frequência pode ser avaliado 
pela mesma metodologia desenvolvida para 
LKT e LKC.
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Leis de Kirchoff no domínio
da frequência
• LKT no domínio da frequência
ሶ𝑽𝟏 + ሶ𝑽𝟐 + …+ ሶ𝑽𝒏 = 𝟎
• LKC no domínio da frequência
ሶ𝑰𝟏 + ሶ𝑰𝟏 + …+ ሶ𝑰𝒏 = 𝟎
50
Combinação de impedâncias
• Uma vez no domínio da frequência, os 
elementos de impedância são generalizados.
• As combinações seguirão as regras para 
resistores:
51
Impedance Combinations
• As combinações em séries resultarão em 
uma soma dos elementos de impedância:
• Elementos em série podem atuar como um 
divisor de tensão
52
1 2
1 2
1 2 1 2
Z Z
V V V V
Z Z Z Z
= =
+ +
1 2 3eq NZ Z Z Z Z= + + + +
Combinação de impedâncias
• Os elementos combinados em paralelo serão 
combinados da mesma maneira que os 
resistores em paralelo:
53
1 2 3
1 1 1 1 1
eq NZ Z Z Z Z
= + + + +
1 2 3eq NY Y Y Y Y= + + + +
Combinação de impedâncias
• Divisor de corrente
54
2 1
1 2
1 2 1 2
Z Z
I I I I
Z Z Z Z
= =
+ +
Combinação de impedâncias
• Estrela para triângulo
55
1 2 2 3 3 1
1
1 2 2 3 3 1
2
1 2 2 3 3 1
3
a
b
c
Z Z Z Z Z Z
Z
Z
Z Z Z Z Z Z
Z
Z
Z Z Z Z Z Z
Z
Z
+ +
=
+ +
=
+ +
=
Combinação de impedâncias
• Triângulo para estrela
56
1
2
3
b c
a b c
c a
a b c
a b
a b c
Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z
Z Z Z
=
+ +
=
+ +
=
+ +
Combinação de impedâncias
• Exemplo 9.10 - Determine a impedância de 
entrada do circuito. Supondo 𝝎 = 𝟓𝟎 𝒓𝒂𝒅/𝒔
Resposta : 𝟑, 𝟐𝟐 − 𝒋𝟏𝟏, 𝟎𝟕 𝛀
57
Combinação de impedâncias
• Problema prático 9.10 - Determine a 
impedância do circuito. Sendo 𝝎 = 𝟏𝟎 𝒓𝒂𝒅/𝒔
Resposta : 𝟏𝟒𝟗, 𝟓𝟐 − 𝒋𝟏𝟗𝟓 𝛀
58
Combinação de impedâncias
• Exemplo 9.11 - Determine 𝒗𝟎(𝒕) no circuito
59
Combinação de impedâncias
• Problema prático 9.11 - Determine 𝒗𝟎(𝒕) no 
circuito
Reposta: 𝒗𝟎 𝒕 = 𝟑𝟓, 𝟑𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒕 − 𝟏𝟎𝟓° 𝑽
60