Funções Lineares e Polinomiais

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Álgebra Linear 
e Geometria 
Analítica
PROF. CLARISSA DE ASSIS OLGIN 
clarissa.olgin@ulbra.br
1
Álgebra Linear e Geometria Analítica
• Apresentação da estrutura da disciplina no AULA.
• Gravar aula.
• Esclarecimento de dúvidas gerais.
• Lembrar de gravar a aula.
• Grupo do whatsapp
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FUNÇÃO CONSTANTE
A função definida pela equação f(x) = c é
chamada função constante. Esta função é
utilizada para descrever situações que
nunca mudam. Seu gráfico é uma reta
paralela ao eixo x e intercepta o eixo y em
y = c.
Clarissa de Assis Olgin 3
f(x) = - 2 f(x) = 1,5
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FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU
• Função do primeiro grau ou função linear é a função definida por:
𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃
• onde m é chamado coeficiente angular ou taxa de variação, que é
responsável pela inclinação da reta e b é chamado coeficiente linear que
indica onde gráfico intercepta o eixo das ordenadas (eixo y).
• O gráfico da função do primeiro grau é sempre uma reta.
FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU
A função do primeiro grau ou função linear é crescente se 
𝑚 > 0.
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1
𝑚 = 2
A função do primeiro grau ou função linear é decrescente 
se 𝑚 < 0.
𝑓 𝑥 = −2𝑥 − 1
𝑚 = −2
𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃
FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU
A função do primeiro grau ou função linear é crescente
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
A função do primeiro grau ou função linear é decrescente 
𝑓 𝑥 = −𝑥 − 1
𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Função Linear
𝑓(𝑥) = −𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥
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𝑓(𝑥) = −1,5𝑥
A função 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 para todo 𝑥 real, onde o coeficiente linear é igual a zero
(𝑏 = 0) denomina-se função linear.
O gráfico de uma função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0). 
Exemplo: Seja a função 
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3
Zero ou raiz da função (𝑦 = 𝑓(𝑥) = 0)
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3
0 = 𝑥 − 3
𝑥 = 3
• Quando 𝑦 = 0, tem-se 𝑥 = 3.
Temos que:
• O gráfico dessa função, intercepta o eixo x no ponto
(3,0).
• Como o Intersecção com o eixo y: (0,-3), pois b=-3.
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Exemplo: Seja a função 
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3
Clarissa de Assis Olgin 9
• Sabemos dois pontos da função:
• O gráfico dessa função, intercepta o eixo x no ponto
(3,0).
• Como o Intersecção com o eixo y: (0,-3).
Exemplo: Seja a função 
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3
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Exemplo: Seja a função 
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3
Estudo do sinal da função
• Se 𝑚 = 1 > 0 ⟶ 𝑓 𝑥 é crescente.
• Raiz ou zero é 𝑥 = 3.
•𝑓 𝑥 = 0, se 𝑥 = 3 (troca de sinal)
•𝑓 𝑥 > 0, se 𝑥 > 3 (sinal positivo)
•𝑓 𝑥 < 0, se 𝑥 < 3 (sinal negativo)
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EXEMPLO 1
Dada a função 𝑦 = 2𝑥 – 4, determine:
a) O ponto onde o gráfico intercepta o eixo y.
b) A raiz da função (o ponto de intersecção com o eixo x).
c) O gráfico da função.
d) O sinal da função.
e) Se a função é crescente ou decrescente.
EXEMPLO 1
• Para descobrir o ponto onde o gráfico intercepta o eixo y.
• Precisamos saber que é o coeficiente b.
• b=-4
• Logo, o ponto é (0, -4).
Dada a função 𝑦 = 2𝑥 – 4,
determine:
a) O ponto onde o gráfico intercepta o
eixo y.
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EXEMPLO 1
• Para encontrar a raiz é preciso fazer y=0.
Então: 𝑦 = 2𝑥 –4
0 = 2𝑥 –4
Resolvemos a equação para encontrar o valor de x.
4 = 2𝑥
2 = 𝑥
Logo, a raiz corresponde a x=2.
Dada a função 𝑦 = 2𝑥 – 4,
determine:
b) A raiz da função (o ponto de
intersecção com o eixo x).
EXEMPLO 1
Sabe-se que o gráfico intercepta o eixo y, no ponto (0, -4).
A raiz corresponde a x=2, logo y=0. Daí vem o ponto (2,0).
Dada a função 𝑦 = 2𝑥 – 4,
determine:
c) O gráfico da função.
Gráfico da 
função
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EXEMPLO 1
• A raiz da função é x=2.
Dada a função 𝑦 = 2𝑥 – 4,
determine:
d) O sinal da função.
e) Se a função é crescente ou
decrescente.
• se 𝑥 > 2, o sinal é positivo;
• se 𝑥 < 2, o sinal é negativo.
EXEMPLO 1
• Como o coeficiente angular m é m=2, então a função é
crescente.
Dada a função 𝑦 = 2𝑥 – 4,
determine:
e) Se a função é crescente ou
decrescente.
EXEMPLO 2
Obtenha a equação da reta que passa
pelo ponto (1,3) e tem coeficiente
angular igual a 2.
Resolvendo:
Temos: o ponto (1,3), logo x=1 e y=3 e o coef. Angular m=2.
Sabe-se que uma função polinomial do primeiro grau é do tipo
f(x)=mx +b ou y=mx+b.
y=mx +b
3=2.1 + b
3-2=b
1=b
A equação é y=mx+b, substituindo as informações 
tem-se y=2x+1.
EXEMPLO 3
Um bolo, inicialmente á temperatura de 36ºC, foi
colocado num forno às 10 horas. Meia hora depois sua
temperatura é de 156ºC.
a) Calcule a taxa de variação da temperatura em função
do tempo, em minutos.
b) Supondo que a variação da temperatura se comporta
como um modelo linear, escreva a equação que
representa a temperatura em função do tempo.
EXEMPLO 3
Temos:
- temperatura inicial: 36°C
- temperatura: 156°C, depois de 30 minutos
f(x)=mx+b
- f(30)=?
156=m.30+36
156-36=30m
120/30=m
4=m
Portanto, a taxa de variação é de 4 minutos.
Um bolo, inicialmente a temperatura de 36ºC, foi
colocado num forno às 10 horas. Meia hora
depois sua temperatura é de 156ºC.
a) Calcule a taxa de variação da temperatura em
função do tempo, em minutos.
EXEMPLO 3 Sabe-se que: f(x)=mx+b
4=m e b=36
f(x)=4x+36
Um bolo, inicialmente á temperatura de 36ºC, foi
colocado num forno às 10 horas. Meia hora depois
sua temperatura é de 156ºC.
b) Supondo que a variação da temperatura se
comporta como um modelo linear, escreva a equação
que representa a temperatura em função do tempo.
FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
Função do segundo grau ou função quadrática é toda função definida por,
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, com 𝒂 ∈ ℝ, 𝒃 𝝐 ℝ, 𝒄 𝝐 ℝ 𝒆 𝒂 ≠ 𝟎
O gráfico de uma função do segundo grau é sempre uma parábola cuja concavidade depende do sinal de “a”,
(coeficiente de x2 ).
FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
Se 𝑎 > 0, a parábola tem concavidade voltada para 
cima.
Se 𝑎 < 0 a parábola tem concavidade voltada para 
baixo.
Para calcular as raízes de uma função do segundo grau pode-se usar a fórmula de Báskara a seguir:
𝒙 =
−𝒃± ∆
𝟐𝒂
, onde ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
Para calcular o vértice da parábola pode-se usar as seguintes fórmulas:
𝒙𝑽 =
−𝒃
𝟐𝒂
, 𝒚𝑽 = −
𝜟
𝟒𝒂
→𝑽(𝒙𝑽, 𝒚𝑽) ou 𝑽
−𝒃
𝟐𝒂
,
−𝜟
𝟒𝒂
FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
• Se Δ for maior que zero a parábola intercepta o eixo x em dois pontos;
• Se Δ for igual a zero a parábola terá apenas um ponto em comum com o eixo x;
• Se Δ for menor que zero a parábola não toca no eixo x.
𝚫 = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU OU 
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Duas raízes reais e distintas se Δ > 0 Uma raiz real se Δ = 0 Não possuir raiz real se Δ < 0
Então se pode concluir que a função do segundo grau pode ter:
Exemplo 
Dada função f(x) = x2 - 2x – 3, determine:
a) O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas.
b) A concavidade.
c) Quantas raízes reais ela possui.
d) Se ela possui raízes reais, quais são.
e) As coordenadas do vértice.
f) O gráfico.
g) O conjunto domínio e imagem.
h) Os pontos P(1, -4) e Q(-2, -3) pertencem a função?
Exemplo 
• O ponto de intersecção do gráfico com o eixo y
Coeficiente c=-3
Intersecção com o eixo y: (0,-3).
• A concavidade.
• a>0, concavidade voltada para cima.
Dada função f(x) = x2 + 2x – 3,
determine:
a) O ponto de intersecção do gráfico
com o eixo das ordenadas.
b)A concavidade.
Exemplo 
c) Discriminante: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
a=1, b=2, c=-3
∆= 22 − 4.1. −3 = 16
∆> 0 a função tem dois zeros ou duas raízes diferentes.
Dada função f(x) = x2 + 2x – 3,
determine:
c) Quantas raízes reais ela possui.
Exemplo 
d) Raízes ou zeros da função (f(x)=0): 0 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3
Aplicando a fórmula de Báskara
𝑥 =
−𝑏± 𝑏²−4𝑎𝑐
2𝑎
, a=1, b=2, c=-3
𝑥 =
−2 ± 2² − 4 .1 . (−3)
2 .1
𝑥 =
−2 ± 16
2
𝑥 =
−2 ± 4
2
→
𝑥1 =
−2 − 4
2
= −3
𝑥2 =
−2 + 4
2
= 1
Asraízes da função são 𝑥 = 1 e 𝑥 = −3.
Dada função f(x) = x2 + 2x – 3,
determine:
d) Se ela possui raízes reais, quais são.
Exemplo 
𝑥𝑉 = −
𝑏
2. 𝑎
= −
2
2.1
= −1
e
𝑦𝑉 = −
∆
4𝑎
= −
16
4.1
= −4
Vértice da parábola: 𝑉(−1, −4)
Dada função f(x) = x2 + 2x – 3,
determine:
e) As coordenadas do vértice.
Exemplo 
• Sabe-se que:
• Intersecção com o eixo y: (0,-3).
• concavidade voltada para cima
• As raízes da função são 𝑥 = 1 e 𝑥 = −3.
• Vértice da parábola: 𝑉(−1, −4) .
Vamos colocar essas informações no plano cartesiano.Dada função f(x) = x2 + 2x – 3,
determine:
f) O gráfico.
Gráfico da 
função
Clarissa de Assis Olgin 34
Exemplo 
• Imagem da função: 
𝐼𝑚 𝑓 = 𝑦 ∈ ℝȁ𝑦 ≥ −4 ou 𝐼𝑚 𝑓 = [−4;∞)
• Domínio da função:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ. 
Dada função f(x) = x2 + 2x – 3,
determine:
g) O conjunto domínio e imagem.
Exemplo • Sabe-se que y= x2 + 2x – 3
• P(1, -4), x=1 e y=-4
• -4=1²+2.1-3 
• -4=0 (Falso), P não pertence a função.
• Q(-2, -3), x=-2 e y=-3
• -3=(-2)²+2.(-2)-3 (Verdade), Q pertence a função.
Dada função f(x) = x2 + 2x – 3,
determine:
h) Os pontos P(1, -4) e Q(-2, -3)
pertencem a função?
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 
SEGUNDO GRAU OU FUNÇÃO 
QUADRÁTICA
𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 4𝑥 − 1
Clarissa de Assis Olgin 37
Para identificar os intervalos onde a função
do segundo grau é crescente ou decrescente
é importante observar o 𝑥𝑉 .
Observe no gráfico da função que 𝑥𝑉 = −1.
Para 𝑥 < −1 a função é decrescente.
Para 𝑥 > −1 a função é crescente.
Exemplo 2
O goleiro do Copo Sujo F. C., ao repor a bola para frente, dá um balão para o meio do campo. Com a filmagem
do movimento da bola, Matemáticos e Físicos conseguiram modelar o seu movimento e verificaram que a trajetória tem o
formato de uma parábola, cuja equação é ℎ = 26𝑡 − 𝑡2 , onde h é a altura em metros e t é o tempo em segundos.
Calcule a altura máxima alcançada pela bola.
Resolução: A altura máxima é o y do vértice da parábola, cuja função é ℎ = 26𝑡 − 𝑡2.
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
= −
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
= −
262−4. −1 .0
4. −1
= −
676
−4
= 169.
A altura máxima é 169m.
PARA O Próximo Encontro
Realizar o estudo sobre:
• Funções Polinomiais;
• Função de Potência;
• Função Racional. 
39Clarissa de Assis Olgin
TDE – trabalho discente 
efetivo