Aula 3 - Uma curva muito importante

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Uma curva muito importante 
Matemática
Ensino Médio
3o bimestre – Aula 3 
Sequência de atividade 2 – Aulas 5 e 6
● Funções polinomiais do 2o grau 
(função quadrática): gráfico, raízes, 
pontos de máximo/mínimo, 
crescimento/decrescimento, 
concavidade;
● Gráficos de funções.
● Representar graficamente uma 
função polinomial do 2o grau a partir 
de sua representação numérica;
● Construir o gráfico de uma função 
polinomial do 2o grau a partir de sua 
representação algébrica;
● Compreender o significado dos 
coeficientes a, b e c no gráfico de 
funções polinomiais do 2o grau do 
tipo f(x)= ax² + bx + c. 
Os QR Codes são usados em diversas 
aplicações. A maioria deles tem o 
formato quadrado.
Eles podem ser usados, por exemplo, 
para acessar o cardápio em um 
restaurante, como veremos a seguir. 
Para que servem os QR Codes? 
CONTINUA
Fonte: Freepik
Os quadrados menores nas 
extremidades do QR Code
facilitam a identificação da 
posição do código. 
5 MINUTOS
VIREM E 
CONVERSEM
O dono de um restaurante optou por gerar vários QR Codes no formato de quadrado para o 
uso dos clientes. Para isso, ele elaborou uma tabela com as medidas dos lados de alguns 
deles e apresentou as informações em um gráfico. 
QR Codes e funções 
QR Lado (cm) Área (cm²)
A 1 1
B 2 4
C 3 9
D 4 16
E 5 25
A relação entre 
essas grandezas 
é linear?
Não, pois não é 
uma reta.
• Função polinomial do 2o grau ou função 
quadrática é toda a função no conjunto dos 
reais em que a lei de associação possa ser 
escrita na forma:
Em que 𝑎 ∈ ℝ , 𝑏 ∈ ℝ, 𝑐 ∈ ℝ com 
• A representação gráfica de uma função 
quadrática é uma curva conhecida como 
parábola. 
Função polinomial do 2o grau
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎 ≠ 0
5 MINUTOSTODO MUNDO 
ESCREVE
O gráfico que representa uma função polinomial do 2o grau de
ℝ em ℝ é uma curva chamada de parábola, obtida a partir dos
valores indicado no quadro:
a) Em que ponto a curva intersecta o eixo y?
b) A curva intersecta o eixo x? 
c) Essa curva é a representação gráfica da função 
g(x) = (x + 1)² ? Explique.
Atividade 1 (p. 135, 2024) – Adaptada 
x –2 –1 0 1 2
y 5 2 1 2 5
FAÇA AGORA
5 MINUTOS
O gráfico que representa uma função polinomial do 2o grau
de ℝ em ℝ é uma curva chamada de parábola, obtida a
partir dos valores indicado no quadro:
a) Em que ponto a curva intersecta o eixo y? 
Apenas uma vez, no ponto (0, 1).
b) A curva intersecta o eixo x? 
Não, como mostrado no gráfico. 
c) Essa curva é a representação gráfica da função 
g(x) = (x + 1)² ? Explique.
Não, pois os pontos não coincidem. 
Correção: Atividade 1 (p. 135, 2024) – Adaptada 
x –2 –1 0 1 2
y 5 2 1 2 5
Seja f: ℝ → ℝ uma função do 2o grau 
dada por f(x) = ax² + bx + c. Nessa 
função, o coeficiente a indica a orientação 
da concavidade da parábola, e o 
coeficiente c indica o valor em que a curva 
intersecta o eixo vertical. 
Concavidade:
• Se a > 0, a parábola tem orientação 
voltada para cima.
• Se a < 0, a parábola tem orientação 
voltada para baixo.
Sobre os coeficientes a e c da função quadrática 
5 MINUTOS
Quando c = 0, a curva intersecta 
o ponto de coordenada (0,0).
a > 0 a < 0
CERTO É 
CERTO
CONTINUA
a > 0 e c < 0
Sobre os coeficientes a e c da função quadrática 
a > 0 e c = 0 a > 0 e c > 0
CONTINUA
a < 0 e c < 0
Sobre os coeficientes a e c da função quadrática 
a < 0 e c = 0 a < 0 e c > 0
Atividade 5 (p. 137, 2024) – Adaptada 
Observe os gráficos das funções f e g, do tipo 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, e responda ao que se pede:
a) Em qual das funções o coeficiente a é positivo? 
E em qual ele é negativo? Justifique.
b) Quais são as coordenadas dos pontos em 
comum dessas duas funções no gráfico?
c) De acordo com o gráfico, qual é o coeficiente c 
dessas funções? Explique. 
TODO MUNDO 
ESCREVE 
5 MINUTOS
Correção: Atividade 5 (p. 137, 2024) – Adaptada 
a) Em qual das funções, o coeficiente a é positivo? 
E em qual ele é negativo? Justifique.
Positivo em g (concavidade orientada para cima) 
e negativo em f (concavidade orientada para 
baixo).
b) Quais são as coordenadas dos pontos em 
comum dessas duas funções no gráfico? 
São os pontos (0,2) e (2,0).
c) De acordo com o gráfico, qual é o coeficiente c 
dessas funções? Explique. 
O ponto (0,2), em que f e g intersectam o eixo y. 
Observe os gráficos das funções f e g, do tipo
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e responda ao que se pede:
Para começar, vamos analisar essa parábola: o que sabemos sobre seus coeficientes?
Um pouco mais sobre os coeficientes 
CONTINUA
10 MINUTOS
• a > 0 e c = 0
• Qual é o valor de a? 
Um pouco mais sobre os coeficientes 
Agora, vamos aprofundar nosso estudo dos 
coeficientes usando um simulador gratuito de 
funções quadráticas. Use o simulador da 
Phet para conferir essa atividade.
Em grupos, façam as seguintes 
modificações em 𝑦 = 3𝑥2, esboçando as 
parábolas obtidas (I, II, III) e anotando as 
principais conclusões:
• Parábola I: Aumente o valor de a;
• Parábola II: Aumente o valor de c;
• Parábola III: Multiplique o coeficiente 
a de II por –1.
CONTINUA
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/graphing-quadratics/
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/graphing-quadratics/
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/graphing-quadratics/
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/graphing-quadratics/
Parábola I 𝑦 = 5𝑥2
Correção: Um pouco mais sobre os coeficientes (Exemplo) 
Parábola II 𝑦 = 3𝑥2 + 4 Parábola III 𝑦 = −3𝑥2 + 4
ENEM 2017 (Libras) – Adaptada Suponha que para um trem trafegar de uma 
cidade a outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais 
a 10 m. O túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma 
determinada parábola. A equação que descreve essa parábola é: 
𝑦 = −
2
5
𝑥2 + 10.
𝑦 = −𝑥2 + 25.
𝑦 = 𝑥2 − 25.
𝑦 = −𝑥2 + 10.
𝑦 =
2
5
𝑥2 + 10.
CONTINUA
5 MINUTOS
Obs.: Considere o coeficiente b igual a 0.
MOSTRE-ME
B
C
D
E
A
ENEM 2017 (Libras) – Adaptada Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária 
a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. O túnel deverá ser tal que qualquer seção 
transversal seja o arco de uma determinada parábola. A equação que descreve essa parábola é: 
𝒚 = −
𝟐
𝟓
𝒙𝟐 + 𝟏𝟎.
𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟐𝟓.
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓.
𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟏𝟎.
𝒚 =
𝟐
𝟓
𝒙𝟐 + 𝟏𝟎.
CONTINUA
Correção: ENEM – 2017 – Libras (Adaptada)
• Uma parábola pode ser descrita por:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
• O coeficiente c vale 10, pois a parábola 
intersecta o eixo y no ponto (0,10).
• A função passa em (5,0) e foi dado que b = 0 
. 
• Assim:
0 = 𝑎(5)2+10 e 𝑎 = −
2
5
• Logo, 𝑦 = −
2
5
𝑥2 + 10
Quando b = 0, a reta y é chamada 
de eixo de simetria da parábola
● Representamos graficamente uma função polinomial do 2o grau a partir de sua 
representação numérica;
● Construímos o gráfico de uma função polinomial do 2o grau a partir de sua 
representação algébrica;
● Compreendemos o significado dos coeficientes a, b e c, no gráfico de funções 
polinomiais do 2o grau do tipo f(x)= ax² + bx + c. 
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto 
Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2024. Caderno do 
Aluno, 2o ano, Ensino Médio, v.2.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista, 2019.
.
Lista de imagens e vídeos:
Imagem de capa: SEDUC
Slide 3 – Freepik. Disponível em: https://www.freepik.com/free-vector/qr-code-scanning-
illustration-with-characters_9365837.htm.
Slides 4 a 10 – Elaborado pelo autor para fins didáticos.
Slides 11 a 12 – Aprender Sempre. Disponível em: Coleção Aprender Sempre.
Slides 13 a 15 – PhET. Disponível em: https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/graphing-
quadratics/.
Slides 16 a 18 – INEP. Disponível em:
https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2017/2017_PV_impresso_D2_CD12.pdf.
https://www.freepik.com/free-vector/qr-code-scanning-illustration-with-characters_9365837.htm
https://www.freepik.com/free-vector/qr-code-scanning-illustration-with-characters_9365837.htm
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/graphing-quadratics/
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/graphing-quadratics/
https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2017/2017_PV_impresso_D2_CD12.pdf.
https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2017/2017_PV_impresso_D2_CD12.pdf.
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3: Para que servem os QR Codes? 
	Slide 4: QR Codes e funções 
	Slide 5: Função polinomial do 2o grau
	Slide 6: Atividade 1 (p. 135, 2024) – Adaptada 
	Slide 7: Correção: Atividade 1 (p. 135, 2024) – Adaptada 
	Slide 8: Sobre os coeficientes a e c da função quadrática 
	Slide 9: Sobre os coeficientes a e c da função quadrática 
	Slide 10: Sobre os coeficientes a e c da função quadrática 
	Slide 11: Atividade 5 (p. 137, 2024) – Adaptada 
	Slide 12: Correção: Atividade 5 (p. 137, 2024) – Adaptada 
	Slide 13: Um pouco mais sobre os coeficientes 
	Slide 14: Um pouco mais sobre os coeficientes 
	Slide 15: Correção: Um pouco mais sobre os coeficientes (Exemplo) 
	Slide 16: ENEM 2017 (Libras) – Adaptada Suponha que para um trem trafegar de uma cidade a outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. O túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determina
	Slide 17: ENEM 2017 (Libras) – Adaptada Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. O túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determina
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22