contas e exercicios dl

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**Resposta:** 4 
 **Explicação:** Simplificando a expressão, obtemos \(\lim_{{x \to 2}} (x + 2) = 4\). 
 
2. **Cálculo Integral: Integral Definida** 
 \[ 
 \int_{{0}}^{{1}} x^2 \, dx 
 \] 
 **Resposta:** \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** Calculando a integral, temos \(\left[\frac{x^3}{3}\right]_{{0}}^{{1}} = 
\frac{1}{3}\). 
 
3. **Cálculo Multivariável: Gradiente** 
 Se \( f(x, y) = x^2 + 2y \), encontre \(\nabla f(1, -1)\). 
 **Resposta:** \((2, 2)\) 
 **Explicação:** O gradiente é \((2x, 2)\), então \(\nabla f(1, -1) = (2 \cdot 1, 2) = (2, 2)\). 
 
4. **Equações Diferenciais: Equação de Bernoulli** 
 Resolver \( y' - 2xy = xy^2 \) com \( y(0) = 1 \). 
 **Resposta:** \( y(x) = \frac{1}{1 - x^2} \) 
 **Explicação:** Aplicando o método de Bernoulli, encontramos a solução \( y(x) = 
\frac{1}{1 - x^2} \). 
 
5. **Análise Numérica: Método da Bissecção** 
 Encontre a raiz de \( f(x) = x^3 - 2x - 5 \) no intervalo \([2, 3]\). 
 **Resposta:** Entre 2.1 e 2.2 
 **Explicação:** Aplicando o método da bissecção, encontramos a raiz entre 2.1 e 2.2. 
 
6. **Cálculo de Sequências: Limite de Sequência** 
 Determine \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{{2^n + 3^n}}{{4^n}}\). 
 **Resposta:** 0 
 **Explicação:** Dividindo numerador e denominador por \(4^n\), obtemos \(\lim_{{n \to 
\infty}} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0\). 
 
7. **Análise Numérica: Método de Newton** 
 Aplique o método de Newton para encontrar a raiz de \( f(x) = e^x - 2 \) com \( x_0 = 1 \). 
 **Resposta:** \( x_1 \approx 0.693147 \) 
 **Explicação:** Iterando usando \( x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \), encontramos \( x_1 
\approx 0.693147 \). 
 
8. **Cálculo Integral: Integral Imprópria** 
 Calcule \( \int_{{1}}^{{\infty}} \frac{{dx}}{{x^2}} \). 
 **Resposta:** 1 
 **Explicação:** Calculando a integral, obtemos \( \left[-\frac{1}{x}\right]_{{1}}^{{\infty}} = 
1 \). 
 
9. **Cálculo Vetorial: Produto Escalar** 
 Se \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \) e \( \mathbf{b} = (4, 5, 6) \), calcule \( \mathbf{a} \cdot 
\mathbf{b} \). 
 **Resposta:** 32 
 **Explicação:** \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 32 \). 
 
10. **Equações Diferenciais: Solução Particular** 
 Resolva \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \). 
 **Resposta:** \( y(x) = x^2 e^{2x} \) 
 **Explicação:** Encontramos uma solução particular usando o método de coeficientes 
a determinar. 
 
11. **Análise Numérica: Método de Euler** 
 Aplique o método de Euler para resolver \( y' = 2x - y \) com \( y(0) = 1 \) em \( x = 1 \) com 
\( h = 0.1 \). 
 **Resposta:** \( y(1) \approx 1.149 \) 
 **Explicação:** Iterando com a fórmula \( y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \), encontramos \( 
y(1) \approx 1.149 \). 
 
12. **Cálculo de Funções: Continuidade e Derivabilidade**