Dimensionamento de Barras Prismáticas

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Belém-PA
Professor Selênio Feio da Silva
UNIDADE II: Barras Prismáticas Submetidas à Força Axial 
de Tração Segundo a NBR-8800/2008
Estruturas de Aço
Força Axial de Tração
2.1- Dimensionamento de barras prismáticas submetidas à força axial de tração:
Peças tracionadas são elementos estruturais onde atuam forças axiais, perpendiculares ao plano da seção. No caso
particular, quando a força é aplicada no centro de gravidade da seção, denomina-se de tração simples. São peças de
verificações simples, pois não envolvem o perigo da instabilidade.
Na prática existem inúmeras situações em que encontramos elementos estruturais sujeitos à tração, por exemplo:
tirantes, contraventamento de torres e barras de treliças, etc. Encontra-se também diversas formas para estes
elementos, como: barras circulares, barras chatas, perfis laminados simples, perfis soldados compostos etc. Os critérios
de dimensionamento verificados são:
a- O Escoamento da Seção Bruta: responsável pela deformação excessiva;
b- Ruptura de Seção Líquida Efetiva: responsável pelo colapso total da peça.
2.2- Condição de segurança
No dimensionamento de peças em estados limites
últimos, procura-se garantir que a Resistência de Cálculo
(Rd) seja maior ou igual que a Solicitação de Cálculo (Sd).
Rd ≥ Sd ou: Sd ≤ Rd
Para as peças submetidas ao esforço normal, que no caso
é de tração, essa Resistência de Cálculo será designada
por NRd (Força Axial Resistente de Cálculo).
NRd = Nn/𝜸𝒂
Onde 𝜸𝒂 é um coeficiente de numeração para levar em
conta as incertezas referentes ao material estrutural e Nn
corresponde a um esforço nominal último da peça
tracionada. Assim dois Estados Limites Últimos devem
ser considerados:
Força Axial de Tração
a- Estado Limite de Escoamento da Seção Bruta:
𝑁 = 
𝐴 . 𝑓
𝛾
Ag → Área Bruta da Seção Transversal
fy → Resistência ao Escoamento do Aço
γa1 = 1.10 (Tabelado)
Nn= Ag.fy
b- Estado Limite de Ruptura da Seção Líquida Efetiva:
𝑁 = 
𝐴 . 𝑓
𝛾
Ae= Ct.An → Área Líquida Efetiva
Ct ≤ 1.0 → Coeficiente de Redução
fu → Resistência à Ruptura do Aço
γa2 = 1.35 (Tabelado)
Nn= Ae.fu
Força Axial de Tração
2.3- Determinação da área líquida efetiva: Ae
𝐴 = 𝐶 . 𝐴
Ct → Coeficiente que leva em conta como
estão conectados os elementos que
constituem a seção transversal.
An → Área Líquida → An = Ag – Af
Af →Area do Furo
A área líquida, An é calculada em regiões com furação na
peça metálica tracionada, para ligação ou qualquer outra
finalidade. Em regiões onde não existam furos, a área
líquida é igual a área bruta do perfil. Em regiões com
furos, feitos para ligação ou para qualquer outra finalidade,
a área líquida, An de uma barra é a soma dos produtos da
espessura pela largura líquida de cada elemento, calculada
de acordo com a NORMA.
2.3 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS PRISMÁTICAS SUBMETIDAS À FORÇA AXIAL DE TRAÇÃO
Força Axial de Tração
2.3.1- Determinação da área líquida: 𝑨𝒏
a) Para Seções Transversais Retas:
Força Axial de Tração
Figura: Gabarito entre dois furos
An = Ag – n.Af
Ag → Area Bruta da seção;
n → O número de furos;
Af = t.df
t → Espessura da chapa ou per il;
df→ Diâmetro de cálculo do furo;
df = df' + 2 mm
df'→ Diâmetro nominal do furo;
df' = dp + f
dp →Diâmetro nominal do conector;
f → Folga (Folga padrão = 1.5 mm)
df = df' + 2 mm = (dp + f) + 2mm
df = dp + 3,5 mm
An = Ag - n.Af = B.t - n.(t.df) 
An= t. (B – n. df)
𝒏 𝒇)
Área Projetada do Furo: Af
Af = (b.h) = (df.t) = t.df
b) Para Seções Transversais Zigue-Zague:
Usa-se o comprimento empírico L* para cada
segmento inclinado.
Figura 4: Gabarito entre três furos em zigue-zague
𝐴 = 𝐴 + 𝑨∗ − 𝑛. 𝐴 
𝐴 = 𝐵. 𝑡 + 𝑳
∗. 𝑡 − 𝑛. (𝑡. 𝑑 ) ;
𝑳∗ = 
𝑺𝟐
𝟒.𝒈
→ Compr. Reduzido 
(Empírico).
𝐴 = 𝑡. (𝐵 + ∑
𝑺𝟐
𝟒.𝒈
 − 𝑛. 𝑑 )
𝐿𝑛 = 𝐵 + ∑
𝑺𝟐
𝟒.𝒈
 − 𝑛. 𝑑
𝑳𝒏 → 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎.
𝑨𝒏 = 𝑳𝒏 . 𝒕
Para a Fig. 4:
a) Seção 1245:
An =Ag - 2.Af = t.(B – 2. df)
b) Seção 12345:
Ln = (B + ( . + . ) − 3. 𝑑 )
An = (B + ( . + . ) − 3. 𝑑 ) . t
c) Seção 1236:
An = (B + ( . ) − 2. 𝑑 ) . t
Força Axial de Tração
Coeficiente de redução da área líquida: Ct  Ver a Norma.
6
Ex1- Chapa simples tracionada com Estados Limites: Calcular a espessura necessária (t) para uma chapa
com 100 mm de largura, sujeita a um esforço axial de 100 kN. Resolver o problema no Escoamento da Seção
Bruta com o aço MR250, considerando o esforço como valor característico de carga variável de uso e ocupação.
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1:
Para aço MR250, tem-se: fy = 250 MPa = 25 kN/cm2
Nsd = 𝛾 .N = 1.5 x 100 = 150 kN
𝑁 = 
 
 → 𝐴 =
 .
= 6.60 cm2 (Tensão referida à área bruta)
Área bruta Necessária: → 𝐴 = 6.60 𝑐𝑚2 → 𝐴 = 𝐵. 𝑡 → 6.60=10xt
→ t = 0.66 𝑐𝑚 = 6.66 𝑚𝑚
Espessuras
Comerciais
(1/8)” = 3.18 mm
(1/4)” = 6.35 mm
(5/16)” = 7.94 mm
→ Adotar a chapa com espessura comercial de
t = (5/16)” = 7.94 mm; pois 7.94 mm > 6.67 mm.
Escoamento da seção bruta (ESB):
𝑁 , = 
𝐴 . 𝑓
𝛾
Exercícios de Aprendizagem
Figura 1: Chapa Submetida à Tração (Estados Limites Últimos)
NN
Ex.2- Emenda de Chapas Parafusadas. Duas chapas de 22x300 mm são emendadas por transpasse, com 2
linhas de 4 parafusos de diâmetro 7/8”. a) Verificar se as dimensões das chapas são satisfatórias, admitindo-se
aço MR250 (ASTM A36) e furo padrão, a força axial de tração tem valor característico de 300 kN para uma
carga variável de uso e ocupação (q = 1.5). b) Verifique com o valor característico igual a 950 kN. Caso os ELU
não sejam atendidos, determine qual deverá ser a menor dimensão da espessura (t) para atender a segurança.
Exercícios de Aprendizagem
Figura 2: Emenda de Chapas por Transpasse
Nsd = 300 kN
Nsd
Nsd
Nsd
30
0
 m
m
N = 300 kN
N = 300 kN
NN
Exercícios de Aprendizagem
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2:
a) Parâmetros Necessários:
a.1- Área Bruta: 𝐴 = 300 x 22 = 6 600 𝑚𝑚2
a.2- Área Líquida: 𝐴 = 𝐴 − 4. 𝐴 = 300 x 22 − 4. (7/8”x25.4 +
3.5). 22  𝐴 = 4 336 𝑚𝑚2
a.3- Esforços resistentes: NRd
Estado Limite de Escoamento da Seção Bruta:
𝑁 , =
 
=
 
.
= 1 500x10 𝑁  𝑁 , = 1 500 𝑘𝑁
Estado Limite de Ruptura da Seção Líquida Efetiva:
𝑁 , = 
 
 = 
. 
.
= 1 284 741 𝑁  𝑁 , = 1 285 𝑘𝑁
O maior esforço resistente de cálculo que a peça suporta é:
𝑁 = 1 285 𝑘𝑁 (o menor)
a.4- Esforços Solicitantes: NSd
 𝑁 = 𝛾 . 𝑁 = 1.5 x 300  𝑁 = 450 𝑘𝑁
Resp.: As dimensões da chapa são satisfatórias, pois: 𝑵𝑺𝒅 < 𝑵𝑹𝒅
b) Verificar com o valor característico igual a 950 kN:
𝑁 = 𝛾 . 𝑁 = 1.5 x 950  𝑁 = 1 425 𝑘𝑁
Resp.: As dimensões da chapa não são satisfatórias, pois: 𝑵𝑺𝒅 > 𝑵𝑹𝒅
b.1- As dimensões não são satisfatórias  Aumentar a área 
da seção.
𝑁 = 
  1 425 000 = . 
.
  𝐴 = 4 809 𝑚𝑚
𝐴 = 𝐴 − 4. 𝐴 = 𝐿 . 𝑡 − 4. 𝑑 . 𝑡 = 𝑡. 300 − 4 x 25.5
4 809 = 𝑡. 300 − 4 x 25.5  𝒕 = 𝟐𝟒. 𝟐𝟗 𝒎𝒎
b.2- Verificação para 𝒕 = 𝟐𝟒. 𝟐𝟗 𝒎𝒎:
𝐴 = 300 x 24.29 = 7 287 𝑚𝑚
 N = 1 656 kN > 𝑁  atende.
𝐴 = 4 809 𝑚𝑚  N = 1 425 kN = 𝑁  atende.
 Adotar: Chapa de 1” = 25.4 mm
Ex.3- Resistência de Cantoneira Simples com Furos. Considere a cantoneira L177,8x101,6x19,05, com furos
do tipo padrão para parafusos com diâmetro ¾”. a) Calcule a área líquida e o caminho crítico da cantoneira. b)
Determine o maior esforço de cálculo (NRd) suportado para a peça da figura. c) Qual a maior carga nominal (N)
suportada pela peça considerando  = 1,4. O aço é ASTM A 36.
107,95
a
57,15 57,1557,15
76,2
b
c
d
e
17
7,
8
63,5
76,2
63,5
Figura 3: Cantoneira Simples com Furos
Exercícios de Aprendizagem
Exercícios de Aprendizagem
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3:
a) Determinação de An: Considerando a cantoneira como uma chapa:
𝐿 = 177.8 + 101.6 − 19.05 = 260.35 𝑚𝑚 = 𝐵
𝑑 = 𝑑 + 3.5 𝑚𝑚 = 3/4" x 25.4 + 3.5 = 22.55 𝑚𝑚
Possíveis caminhos de ruptura: abde e abcde:
* abde: 𝐴 = 𝐴 – 𝑛. 𝐴 = 𝑡. 𝐿 – 𝑛. 𝑡. 𝑑 = 𝑡. 𝑳𝒈 – 𝒏. 𝒅𝒇 = t . 𝑳𝒏; 
𝑳𝒏 = 260.35 − 2 x 22.55 𝐿 = 215.25 mm
* abcde: 𝐿 = 𝐿 – 𝑛. 𝑑 + ∑
.
= 260.35 − 3 x 22.55 + 
.
.
+
 
,
,
 𝐿 = 210.98 mm
* 𝐴 𝑠𝑒𝑟á 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐿  𝐿 = 210.98 mm
 𝐴 = 𝐿 . 𝑡 = 210,98 x 19,05 = 4 019,17 mm
b) Determinação do maior esforço resistente de cálculo: NRd
b.1- Estado Limite de Escoamento da Seção Bruta:
𝑁 = 
 
 = 
, 
.
= 1 127 197,73 𝑁
= 1 127,20 𝑘𝑁
b.2- Estado Limite de Ruptura da Seção Líquida Efetiva:
𝑁 = 
 
 = 
, , 
,
= 1 190 865,19 𝑁
= 1 190,87 𝑘𝑁
 O maior esforço resistente de cálculo que a peça suporta é:
𝑵𝑹𝒅 = 𝟏 𝟏𝟐𝟕, 𝟐𝟎 𝒌𝑵 (o menor)
c) A maior Carga Nominal suportada pela peça: Nn
NSd =  . Nn  Nn =  
Equação da Conformidade:
NSd ≤ NRd ; 𝑁
á = NRd
 Nn =  =
 ,
.
 Nn = 805,14 KN
Ex.4- Cantoneira simples parafusada na chapa Gusset. Determinar o valor de Ct do elemento estrutural sujeito à
esforços de tração representado na figura a seguir, sendo a cantoneira tipo L6x1/2”(15,24x1,27cm), a distância
entre os furos é igual à 3”(7,62cm) e ec = 4,24cm).
Figura 4: Ligação Cantoneira simples.
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4:
[ver ítem 5.2.5 c)] Seção transversal aberta, com a força
de tração sendo transmitida somente por parafusos em
apenas um dos dois elementos AL da seção transversal,
utiliza-se a fórmula para seções transversais abertas:
C = 1 − 
e
L
 = 1 − 
4.24
2 x 7.62
 = 1 − 0.278 = 0.72
 𝐂𝐭 = 𝟎. 𝟕𝟐
Exercícios de Aprendizagem
Ex.5- Cantoneira simples com ambas as abas conectadas: Para a cantoneira L178x102x12,7, com valor de
raio de giração mínimo rmin = 2,21cm, indicada na Figura 5 (a), (b) e (c), determine:
a) a área líquida, sendo os conectores de diâmetro igual a 7/8”(aproximadamente 22,2mm).
b) o maior comprimento admissível, para esbeltez máxima igual a 300.
Figura 5: Seção da cantoneira (a), vista lateral (b) e cantoneira idealmente aberta (c)
(a) (b) (c)
Exercícios de Aprendizagem
Portanto, área líquida efetiva dada pelo caminho crítico,
número 1, uma vez que este representa o menor comprimento
de ruptura.
Assim ⟶ An = 27,42cm2
b) Sendo o limite de esbeltez λ = 300:
Note que, para cantoneiras, o valor de rmin é diferente de rx e
de ry, sendo este valor mínimo referente ao menor momento
de inércia da seção. Para a cantoneira em questão, por
exemplo, tem-se:
rmin = 2,21 cm, rx = 5,73 cm e ry = 2,83 cm.
𝜆 = ⟶ 𝐿 = 𝜆 𝑥 𝑟 = 300 𝑥 2,21 = 663 𝑐𝑚
⟶ 𝑳𝒎𝒂𝒙 = 6,63 m.
a) Uma maneira fácil de visualizar o problema é ao rebater a cantoneira
(imaginá-la plana) segundo seu eixo como mostrado na figura (c).
Primeiro, determina-se o diâmetro teórico dos furos:
df = db + 1,5mm = 22,2mm + 1,5mm = 23,7mm def = df + 2mm = 23,7mm +
2mm = 25,7mm
Em seguida, determina-se qual dos percursos é o crítico: Adotando uma
variável auxiliar B, definida pelo comprimento total da cantoneira
aberta: B = 17,8 + 10,2 − 1,27 = 26,73 cm
Caminho 1: An = (B − 2 × df ).t
An = (26,73 − 2 × 2,57) × 1,27 = 21,59 × 1,27 = 27,42cm2
Caminho 2: An = (B + ( . + . ) − 3. 𝑑 ).t
An =
An = 28.16 cm2
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5:
Exercícios de Aprendizagem
Ex. 6- Perfil U conectado pela alma por parafusos:
Para o perfil U 381(15”)x50,4 kg/m, de aço MR250
(ASTM A36), indicado na Figura 6, calcular o esforço de
tração resistente de cálculo. Assumir que os conectores
possuem um diâmetro de 22 mm e Ag = 64.2 cm2.
Figura 6: Extremidade do perfil U.
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6:
Primeiro será analisado ESB:
𝑁 , = 
 
 = 
. 
.
= 1 459.09 kN
Em seguida, será analisado RSL:
df = db + 1.5mm = 22 + 1.5 = 23.5mm def = df + 2mm = 23.5 + 2 = 25.5mm
Como a força de tração é transmitida diretamente para alguns (não
todos) os elementos da seção transversal das chapas por furos, considera-
se o caso ”Seções Transversais Abertas”, então tem-se:
C = 1 − = 1 − 
.
 = 0.73  𝐂𝐭 = 𝟎. 𝟕𝟑
Área líquida:
An = Ag − (4 × def × t) = 64.2 − (4 × 2.55 × 1.0) = 64.2 − 10.2
 An = 54.0 cm2
𝑁 = 
𝐶 𝐴 𝑓
𝛾
 = 
0.73 x 54 x 40
1.35
  𝑁 = 1 168 𝑘𝑁 
 𝑵𝑹𝒅 = 𝟏 𝟏𝟔𝟖 𝒌𝑵
Exercícios de Aprendizagem
Ex.7- Cantoneira simples soldada nos bordos em uma aba. Determinar o valor de Ct do elemento sujeito à
tração (Figura 7), o mesmo do exercício anterior (Questão 4), L6x6x(1/2)”(15,24x15,24x1,27cm), o
comprimento horizontal de solda de Lw = 13,97cm e ec = 4,24cm.
Figura 7: Ligação Cantoneira simples com solda.
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 7:
C = 1 − = 1 − 
,
,
 = 1 − 0,30
 𝐂𝐭 = 𝟎, 𝟕𝟎
Exercícios de Aprendizagem
Figura 8: Extremidade do perfil C com solda.
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8:
O cálculo para o ESB é o mesmo do exercício 6, com valor
𝑁 = 1 459,09 𝑘𝑁. Já o cálculo para o RSL não é igual. O valor de
Ct deverá ser recalculado (ainda para o caso ”Seções Transversais
Abertas”) pois a ligação agora é outra e a área líquida efetiva é igual à
área bruta por não haver furos no elemento, ou seja, Ag = Ae. Sendo
assim, tem-se:
C = 1 − = 1 − = 1 − 0,20  𝐂𝐭 = 𝟎, 𝟖𝟎
𝑁 = 
 
= 
, , 
,
  𝑵𝑹𝒅
𝑹𝑺𝑳 = 𝟏 𝟓𝟐𝟏, 𝟕𝟖 𝒌𝑵
Ex.8- Perfil U com soldas longitudinais nas mesas. Calcular o esforço de tração resistente de cálculo do
perfil representado, Figura 8, o mesmo do exercício 6 mas agora com ligação por solda.
G
2
0
mm100
N s
d
solda
Exercícios de Aprendizagem
Ex. 9- Emenda de Chapas Parafusadas Duas chapas de 22x300 mm são emendadas por meio de talas,
também de 22x300 mm, com 2x8 parafusos de diâmetro 7/8”, Figura 9. Verificar se as dimensões das chapas são
satisfatórias, admitindo-se aço MR250 (ASTM A36), força permanente de 300 kN (equipamentos) tracionando
as chapas e B = 300 mm.
Exercícios de Aprendizagem
Figura 9: Ligação entre as chapas
N
t = 22 mm
N
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 9:
O esforço solicitante de cálculo será: NSd = γqNk = 1,5 × 300  NSd =
450 kN. Há duas checagem que teoricamente seriam necessárias a partir
daqui: a conferência das chapas com a força de tração solicitante de
cálculo atuando igual à 450 kN e a conferência das talas (chapas curtas
superior e inferior de ligação) com uma força de tração solicitante de
cálculo de 450/2=225 kN atuando em cada uma. Entretanto, é fácil
observar que o caso crítico é para as chapas ao se saber que ambas
chapas e talas possuem a mesma espessura. Sendo assim, apenas esse
caso será verificado. Define-se então as áreas bruta e líquida:
Ag = B × t = 30 × 2,22  Ag = 66,6 cm2
df = db + 1,5mm = 22,2mm + 1,5mm = 23,7mm ; dfe = df + 2mm = 23,7mm
+ 2mm = 25,7mm
An = lr,cr.t = (B − 4 × dfe) × t = (30 − 4 × 2,57) × 2,22  An = 43,78 cm2
Como o esforço resistente de cálculo para o caso RSL (o
menor) é maior que o esforço solicitante de cálculo, 450 kN,
conclui-se que as dimensões das chapas são satisfatórias,
com o seguinte fator de segurança:
𝐹𝑆 = 
𝑁
𝑁
= 
450
1 297,19
 = 0,347 < 1,0
, ou seja, está sendo utilizada apenas 34,7 % da resistência 
total de cálculo das chapas.
Exercícios de Aprendizagem
Como a força de tração é transmitida diretamente por todos os
elementos da seção transversal das chapas por furos, tem-se:
Ct = 1,0. São então calculados os valores dos esforços
resistentes de cálculo para as situações ESB e RSL:
Ex. 10- Emenda de Chapas Parafusadas por transpasse Duas chapas de 280x20 mm de aço MR250 são
emendadas por transpasse, com parafusos de diâmetro 20 mm e com os furos sendo realizados por punção,
Figura 10. Calcular o esforço resistente de projeto das chapas, admitindo-as submetidas à tração axial.
Exercícios de Aprendizagem
Figura 10: Ligação e Linhas de Ruptura.
N
t=20mm
1 2 3
a 75 75 75 75
N
A ligação por transpasse introduz excentricidades no esforço de tração, esse efeito será desprezado, admitindo-se chapas
sujeitas à tração axial. Primeiro será calculado o diâmetro teórico do furo:
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 10:
Exercícios de Aprendizagem
𝐴 = 𝐶 . 𝐴  𝐴 = 𝐴
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 10:
Exercícios de Aprendizagem
𝑁 , = 
𝐴 . 𝑓
𝛾
= 
56x25
1.10
= 1272.73 𝑘𝑁 𝑁 , = 
𝐴. 𝑓
𝛾
= 
46.6x40
1.35
= 1380.74 𝑘𝑁
Façam a Lista de Exercícios!
Exercícios Propostos