GEX101 S2 2019 aulas 33 a 38

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GES101 ESTATÍSTICA S2 2019 - Turmas 13A e 21A Aulas 33 a 38 
1 
 
Lista 2.1 (Magalhães – pg. 41) Exercícios 3, 4 e 5. Respostas: pg. 366. 
Lista 2.2 Magalhães – pg. 48 e 49 Exerc. 1,2,3,4 e 5. Respostas pg. 366. 
 
Revisão 
 
Definição 3.1: Função discreta de probabilidade (Magalhães – pg. 58) 
 Seja X uma v.a. que assume valores em 
 21, ,...x x
. Define-se como Função 
discreta de probabilidade da v.a. X , como qualquer função que atribui a cada valor da 
variável aleatória a sua probabilidade. 
i iP X x p= =  
 
em que 
1,2,...,i k=
 no caso discreto finito ou 
1,2,...i =
 no caso discreto enumerável. 
Os números 
ip
 devem satisfazer 
 
( )1
 
0 1ip 
 
 
( )2
 
1i
i
p =
 
 
Definição 3.2: Função acumulada de probabilidade (Magalhães – pg. 63) 
 Dada uma variável aleatória X, a sua função acumulada de probabilidade, é 
definida, para todo número real x, pela expressão: 
( )  XF x P X x= 
 
 Se X é discreta e assume valores em 
( ) ( )1 2 ...x x 
 e 
( ) jjP X x p
 = =
 
 
( )( ) ( ) ( ) )
( )  
1 1
1
, ,
0X
j j
i
j
i
x x x x
F x P X x p
+
=
−

=  
 
 
 Então, a função acumulada de probabilidade de uma v.a. X com valores em 
( ) ( ) 1 2 ...x x 
 tem o formato de uma escada em que cada degrau coincide com os valores 
( )jx
 e tem altura 
jp
. Caso 
( ) ( ) ( ) 1 2 ... x kX x x   
 então, para 
( ) ),kx x +
, 
  1P X x =
. 
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A ESPERANÇA (OU VALOR ESPERADO) POPULACIONAL 
 Se X é uma v.a. discreta com 
 1 2, ,...X x x
 e 
j jP X x p = = 
, define-se a 
esperança de X como: 
  j j
j
E X x p=
 
 O valor 
 E X
 é uma medida de posição (ou medida de tendência central) da 
distribuição. São comuns as notações 
  XE X  = =
. 
 
A VARIÂNCIA E O DESVIO PADRÃO POPULACIONAIS 
Definições: A variância populacional: 
   ( ) ( )
22
var j j
j
X E X E X x p = − = −   
 
 O desvio padrão populacional: 
   vardp X X=
 
 
PROPRIEDADES DA ESPERANÇA E DA VARIÂNCIA 
 
 Seja X uma variável aleatória, 
( )W g X=
 e 

 e 

 são constantes: 
( )1P
 
 E 
 
=
 
( )2P
 
 E X Y +
 
   E X E Y = +
 
( )3P
 
 var X +
 
   2var varX X = =
 
( )4P
 
 E W
 
( )j j
j
g x p=
 
( )5P
 
 var X
 
( )
2 2 22E X E X X     = − = − +  
 
 
   2 2E X E X E  = − + 
 
 
2 2 2 2 22E X E X     = − + = −   
 
 
 2 2 2 2XE X E X   = − = = 
 
 
 
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Voltando ao exemplo 1: 0 1 2 3 4 5
0, 2 0,3 0,35 0,05 0,05 0,05i
N
p
 
 
 E N
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0,2 1 0,3 2 0,35 3 0,05 4 0,05 5 0,05= + + + + +
 
 
0,3 0,7 0,15 0,20 0,25 1,60 = + + + + = = 
 Observe que a 
 E N
 pode não ser qualquer dos valores assumidos pela v.a.. 
A variância usando a expressão original: 
  ( )
2
var j j
j
X x p= −
 
 
 
 var N
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 1,6 0,2 1 1,6 0,3 2 1,6 0,35 3 1,6 0,05= − + − + − + −
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 1,6 0,05 5 1,6 0,05+ − + −
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1,6 0,2 0,6 0,3 0,4 0,35 1,4 0,05= − + − + +
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2,4 0,05 3,4 0,05+ +
 
 
( ) ( ) ( ) ( )2,56 0,2 0,36 0,3 0,16 0,35 1,96 0,05= + + +
 
 
( ) ( )5,76 0,05 11,56 0,05+ +
 
 
0,512 0,108 0,056 0,098 0,288 0,578= + + + + +
 
 
1,64=
 
 
 dp N
 
1,64 1,281= =
 
 
Usando 
( )5P
: 
 var N  2 2E N E N = − 
 
 
2E N  
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20 0,2 1 0,3 2 0,35 3 0,05 4 0,05 5 0,05= + + + + +
 
 
( ) ( ) ( ) ( )0,3 4 0,35 9 0,05 16 0,05 25 0,05= + + + +
 
 
0,3 1,4 2,5 4,2= + + =
 
 
 var N
 
 2 2 4,2 2,56 1,64E N E N = − = − = 
 
 
 
 
 
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3.2 Principais Modelos Discretos 
O modelo discreto uniforme 
 Seja X uma v.a. definida em um espaço de probabilidades 
( ), , P
 e assume 
valores no conjunto discreto finito 
 1 2, , ..., kx x x
. Então 
( )~X uniforme k
 

 
1jP X x k = = 
 
( )1,2,...,j k=
 
 Claramente: 
0 1jP X x  =  
 
1 1
1
1
k k
j
j j
P X x
k= =
 = = =  
 
 É um modelo apropriado para espaços amostrais discretos finitos e equiprováveis. 
 A esperança e a variância: 
 
 E X
 
1 1 1
1 1k k k
j j j j
j j j
x P X x x x
k k= = =
 = = = =   
 
 
 var X
 
 ( )  
22 2 2E X E X E X E X   = − = −   
 
 2
2
1 1
1k k
j j j
j j
x P X x x
k= =
 
 = = −  
 
 
 
 2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1k k k k
j j j j
j j j j
x x x x
k k k k= = = =
   
= − = −   
   
   
 
 Caso 
jx j=
 

 
 1, 2,...,X k
 
 
 E X
 
( )
1
11 1 1
2 2
k
j
k k k
j
k k=
+ +
= = =
 
 
 var X
 
( )
2 2
2 2 2
1
21 1 1 1 21 2 ...
2 4
k
j
k k k
j k
k k=
+ + + 
= − = + + + − 
 

 
 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 2 1 1 1 2 1 11
6 4 6 4
k k k k k k k
k
+ + + + + +
= − = −
 
 
( ) ( )
( ) ( )2 2 1 3 12 1 1
1 1
6 4 12
k kk k
k k
+ − + + + 
= + − = +   
   
 
 
( ) ( )
4 2 3 3 1
1 1
12 12
k k k
k k
+ − − − 
= + = + 
 
 
 2 1
12
k −
=
 
 
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O modelo de Bernoulli 
 Chama-se experimento de Bernoulli todo experimento cujo espaço amostral é 
do tipo 
 ,sucesso fracasso =
. 
 A álgebra correspondente 
    , , ,sucesso fracasso=  
 
A função probabilidade: 
 P sucesso p=  
 
  1P fracasso p q= − =  
 
 com 
0 1p 
 
Se a v.a. X assume os valores 
 ( ) 1X sucesso =
 e 
 ( ) 0X fracasso =
 então 
diz-se que X é uma v.a. de Bernoulli com parâmetro p, ou, 
( )~X Bernoulli p
. 
A função probabilidade: 
 
 1P X =
 
 P sucesso p= =  
 
 
 0P X =
 
  1P fracasso p q= = − =  
 
Então: 
 P X j=
 
( )
1
1
jj
p p
−
= −
 
( )0,1j =
 
A esperança e a variância: 
 
 E X
 
( )0* 1 1*j j
j
x p p p p= = − + =
 
 
 var X
 
 2 2E X E X = − 
 
 
( )2 2 2 20 * 1 1 *p p p p p= − + − = −
 
 
( )1p p p q= − =
 
 
O modelo Binomial 
Exemplo 3.8 pg. 70 Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de 
80%
. Três 
pessoas são escolhidas aleatoriamente em uma população vacinada. Cada pessoa 
imunizada é um sucesso. Caso contrário, um fracasso. Então, cada uma das pessoas 
escolhidas representa uma v.a. 
( )~jX Bernoulli p
, com 
1, 2,3j =
. 
 Os resultados possíveis e as respectivas probabilidades: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
  ( ) ( ) ( )
1 2 3
3 2 2 3
0,0,1 1,1,0
, , 0,0,0 0,1,0 1,0,1 1,1,1
1,0,0 0,1,1
. 1 1 1
X X X
P p p p p p p− − −
 
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 Considere a v.a. 
1 2 3Y X X X= + +
. Y assume valores no conjunto 
 0,1,2,3
 
com as probabilidades: 
 
 0P Y =
 
  ( )
3
1 2 3 0 1P X X X p= + + = = −
 
 
 1P Y =
 
  ( )
2
1 2 3 1 3 1P X X X p p= + + = = −
 
 
 2P Y =
 
  ( )21 2 3 2 3 1P X X X p p= + + = = −
 
 
 3P Y =
 
  31 2 3 2P X X X p= + + = =
 # 
 
Definição: Se 
1 2, ,..., nX X X
 são n repetições independentes de uma variável 
aleatória 
( )~X Bernoulli p
 e 
1 2 ... nY X X X= + + +
, então 
( )~ ,Y Binomial n p
. Y assume valores no conjunto 
 0,1,...,n
 e 
  ( )1
n jjn
P Y j p p
j
− 
= = − 
 
, em que 
( )
!
! !
n n
j j n j
 
= 
− 
 e 
 0,1,...,j n
 
 
Claramente 
 0 P Y j =
. Mas, não é claro que 
  1P Y j= 
. Recordando o 
binômio de Newton: 
( )
0
n
n j n j
k
n
a b a b
j
−
=
 
+ =  
 

. Fazendo 
a p=
 e 
1b p= −
: 

 
( ) ( )
0
1 1 1 1
n
n j nj n
k
n
p p p p
j
−
=
 
− = + − = = 
 

 

 
  1P Y j= 
 
 
A esperança e a variância: 
 
 E Y
 
n p=
 
 
 var Y
 
( )1n p p n p q= − =
 
 
 
 
 
 
 
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O modelo Geométrico 
 Uma variável aleatória X, que assume valores no conjunto 
 0,1,2,...
, tem 
distribuição geométrica com parâmetro p se a sua função de probabilidade é dada por: 
  ( )1
k
P X k p p= = −
 com 
0,1,2,...k =
 
 A notação usual: 
( )~X Geo p
 
 Considerando uma sequência independente de experimentos de Bernoulli de 
parâmetro p, uma variável aleatória geométrica modela o número de fracassos até o 
primeiro sucesso. 
 A esperança e a variância: 
 
1 p
E X
p
−
=
 
  2
1
var
p
X
p
−
=
 
Exemplo: Uma linha de produção de uma determinada peça é parada para reajustes 
sempre que uma peça defeituosa é observada. A probabilidade de ocorrência de uma peça 
defeituosa é de 1%. Seja Q a quantidade de peças perfeitas até a primeira peça defeituosa. 
Queremos 
 P Q k=
 com 
0,1,2,...k =
 
Resolução: Cada peça Y é considerada um evento de Bernoulli e pode ser perfeita ou 
defeituosa. As probabilidades são: 
  0,01P Y defeituosa= =
 e 
  0,99P Y perfeita= =
. 
No caso, então, sucesso é peça defeituosa e o parâmetro é 
0,01p =
. Sendo assim: 
  ( ) ( )0,99 0,1
k
P Q k= =
 
Modelo de Poisson 
 Uma variável aleatória X, que assume valores no conjunto 
 0,1,2,...
, tem 
distribuição Poisson com parâmetro 

 se a sua função de probabilidade é dada por: 
 
!
k
P X k
k
e −
= =
 com 
0,1,2,...k =
 
 A notação usual: 
( )~X Poisson 
 
 A esperança e a variância: 
   varE X X = =
 
 A distribuição de Poisson é muito utilizada para modelar contagens do tipo: 
número de partículas emitidas por segunda por um material radioativo; número de 
pessoas que entram em banco por minuto; número de acidentes em um trecho de 
estrada, por mês, etc. 
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Exemplo: Suponha que A seja o número de partículas alfa, emitidas por determinado 
material, por minuto, seja modelado por uma Poisson de parâmetro 
5 =
 (ou seja, o 
material emite, em média, 5 partículas alfa por minuto). Queremos. 
 
 2P A 
 
   3 4 ...P A P A= = + = +
 
 
     1 0 1 2P A P A P A= − = − = − =
 
 0 1 25 5 5
55 5 51 1 1 5 0,875
0! 1! 2! 2
25e e e
e
 
= − − − = − + + = 
 
 
 
Lista 2.3 
Exercício 1: Se X tem distribuição uniforme no conjunto 
 0,1,2,3,4
, determinar: 
 
( )  3a P X =
 
 
( )  2 4b P X 
 
 
( ) 1 2c P X X    
 
 
( )  1d P X 
 
 
Exercício 2: Se 
( )~ 0,4; 4X binomial p n= =
 determinar: 
 
( )  3a P X =
 
 
( )  2 4b P X 
 
 
( ) 1 2c P X X    
 
 
( )  1d P X 
 
 
Exercício 3: Se 
( )~ 0,4X Geo p =
 determinar: 
 
( )  3a P X =
 
 
( )  2 4b P X 
 
 
( ) 1 2c P X X    
 
 
( )  1d P X 
 
 
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Exercício 4: Se 
( )~ 3X Poisson  =
 determinar: 
 
( )  3a P X =
 
 
( )  2 4b P X 
 
 
( ) 1 2c P X X    
 
 
( )  1d P X 