Caderno 1 - Geometria e Trigonometria

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CAPA 
 
 
 
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA 
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Geometria e Trigonometria - 2020 
 
 
CARTILHA DO APROVADO: 
Olá, querido(a) aluno(a)! 
Neste primeiro momento, gostaria de trazer um “passo a passo”, que chamei de CARTILHA DO APROVADO, para você 
utilizar nas horas que antecedem a prova. Antes, gostaria de me apresentar. 
Meu nome é Ismael Santos, sou professor de Matemática e Coordenador do Estratégia Militares. Sou formado pela ESA, 
turma de 2007 (Turma Marechal Zenóbio da Costa). Fui instrutor da ESA, nos idos de 2015 a 2017. É um prazer poder 
contribuir com a preparação de um(a) futuro(a) irmão(ã) de farda. 
Sem mais, vamos à CARTILHA DO APROVADO. 
Do dia anterior à prova: 
- Evite comer qualquer coisa que seja diferente do seu cotidiano. Não seguir esta dica pode acarretar num mal estar 
momentos antes da prova; 
- Estude até, no máximo, 16h da tarde do dia anterior. Não queria estudar nada de novo (conceitos novos) para que não 
tenha insegurança momentos antes, ou, até mesmo, no decorrer da prova; 
- À tarde, procure fazer algo que te deixe mais tranquilo e tire a ansiedade, como um passeio no shopping (se possível), 
assistir a um filme ou fazer uma visita a uma pessoa querida, por exemplo; 
- Procure dormir cedo, tantas horas forem necessárias, pois a prova costuma iniciar no fim do turno da manhã, então, terás 
um dia exaustivo; 
- Deixe todos os documentos (exigidos conforme edital e cartão de confirmação) e material escrevente, já separados e 
guarde-os; 
- Em relação ao material escrevente, procure levar todas as canetas de mesma cor, bem como de mesma marca ou modelo, 
para evitar de assinalar a prova com cores diferentes e/ou fazer a redação com padrões diferentes de escrita; 
- Suas roupas já precisam estar separadas e devem ser confortáveis (separe roupas tanto para situações de frio em sala, 
como para situações de calor). Por exemplo: vá com uma camisa leve por baixo e uma mais apropriada para o frio por cima, 
conforme for na sala, use uma ou outra; 
- Lanches, doces, bebidas e vestimentas precisam estar de acordo com as normas estabelecidas no edital; 
- Trace rotas alternativas e veja o tempo para chegar ao local de prova com uma certa antecedência; 
- Deixe separado também máscaras, luvas e álcool gel para caso seja necessário adentrar o local de prova. Esses itens 
poderão ser exigidos pela banca, conforme o caso. 
- A partir de hoje, evite andar com documentos originais, se for o caso, tire cópia e autentique. Pois, se perder algum que 
seja necessário para a realização da prova, não terás tempo hábil para uma segunda via. 
Do dia da prova: 
- Tome um café reforçado em casa, para evitar de comer algo na rua, o que não é recomendável; 
- Certifique-se do seu documento de identificação (ORIGINAL) e dos documentos necessários; 
- Saia de casa em tempo hábil para chegar com tranquilidade e horas antes da abertura dos portões; 
- Para aqueles que conseguem ler em transportes, façam pequenas leituras daquilo que julgarem mais importantes. Caso 
não consiga, leia seus resumos no local de prova, enquanto espera pela abertura dos portões; e 
- Faça um reforço (lanche) do seu café da manhã, de preferência, com algo que tenha levado. 
Da hora da prova: 
- Procure ir ao banheiro antes de adentrar a sala de prova. Lave o rosto, isso faz despertar; 
- Já entre com celular desligado, para evitar de ficar manuseando já dentro de sala e ele acabar tocando...sei lá...rsrsrs; 
- Se possível, entre somente com o material necessário para realização da prova; 
- Coma um chocolate 30 min antes de iniciar a prova para dar uma ativada no metabolismo ou qualquer outro alimento que 
contenha amendoim: paçoca, pé-de-moleque etc; 
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- Posicione-se da melhor forma para que fique à vontade. Relaxe o cinto, tênis etc; 
- Ao receber a prova, separe / circule as questões que, de pronto, você veja que consegue fazer e parta para elas. Lembre-
se que primeiro você precisa garantir a aprovação, que é fazer média nas disciplinas, depois partir para classificação; 
- Leia o tema de redação já num primeiro instante, para que vá pensando nos argumentos e fazendo apontamentos no 
decorrer da prova; 
- Intercale as disciplinas (procure começar pelo que mais sabe e faça 5 questões, por exemplo, para sentir segurança, depois 
parta para outra disciplina e faça mais 5......até percorrer toda e prova e ter feito metade das questões). Intercale matérias 
fáceis com difíceis; 
- Não deixe a redação por último, apenas se for para passar a limpo. Cuidado com o tempo de prova. Lembre-se que o 
cartão resposta precisa ser preenchido durante esse tempo; 
- Faça o rascunho de redação mais ou menos no meio do tempo de prova; 
- Durante a prova, se tiver um tempinho, vá ao banheiro, beba água e coma mais alguma coisa. Isso fará você se desligar 
um pouco da tensão da prova, bem como fazer o oxigênio circular no corpo; 
- Ao terminar a prova, faça revisões, em especial, das questões que tem certeza do acerto. Você não pode errar coisa boba; 
- Separe os 20 min finais para o preenchimento do cartão de respostas. Fique atento ao tempo. 
- Use todo o tempo de prova. Não saia antes do horário; e 
- Certifique-se de que preencheu seus dados tanto na folha de redação quanto na folha de respostas. A sua assinatura é 
imprescindível. 
Bom, meu querido(a)! Agora, vamos às dicas para a prova da EsPCEx. 
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- 5 DICAS INFALÍVEIS DE MATEMÁTICA 
 
➢ DICA Nº 1: Trigonometria – arcos côngruos e transformações 
Na prova da EsPCeX é comum cair questões que pedem o valor de expressões trigonométricas. É importante que você saiba 
encontrar o valor dos arcos côngruos e estar bem familiarizado com as transformações trigonométricas. Saiba as fórmulas 
de arcos duplos do seno, cosseno e tangente. 
 
➢ DICA Nº 2: Trigonometria – inequações e funções 
Um assunto que é provável de ser cobrado na prova é o tema inequações trigonométricas. Para resolver esse tipo de 
problema, você deverá saber como trabalhar com o ciclo trigonométrico, pois é ele que irá ajudá-lo a encontrar todas as 
soluções do problema! Saiba qual a reta do seno, cosseno e da tangente para conseguir encontrar as soluções no ciclo. 
Outro tema recorrente é lembrar que as funções seno e cosseno são limitadas, pois pode ser cobrado alguma questão 
envolvendo o máximo ou mínimo de uma função trigonométrica. 
 
➢ DICA Nº 3: Geometria Plana – triângulo retângulo 
A EsPCEx adora cobrar questões envolvendo o triângulo retângulo. Nesse tipo de questão, eles normalmente irão pedir 
alguma razão trigonométrica da figura envolvida. Não se assuste caso a questão cobre o cosseno ou seno de ângulo não 
notáveis como, por exemplo, 18°. Isso pode ser cobrado, mas é improvável que eles peçam o valor do cosseno desse ângulo. 
Saiba encontrar a tangente do arco metade usando o triângulo retângulo! 
 
➢ DICA Nº 4: Geometria Analítica – equações das cônicas 
Questões da EsPCEx sobre geometria analítica provavelmente será sobre reta tangente a uma cônica ou sobre os elementos 
presentes em uma cônica. Caso caia uma questão sobre reta tangente, basta substituir a reta na equação da cônica e fazer 
Δ = 0. E para o segundo tipo de problema, recomendo que revise um dia antes da prova os elementos presentes na parábola, 
elipse e hipérbole. 
 
➢ DICA Nº 5: Geometria Espacial - postulados 
Para as questões de geometria espacial, poderá ser cobrado uma questão mais teórica que envolverão os postulados. Para 
esse tipo de questão, sugiro revisar com as questões já cobradas desse tema na EsPCEx. Ela será no estilo verdadeiro/falso.
Sempre tente encontrar um contraexemplo para as afirmações, pois é mais fácil provar que as assertivas são erradas. Caso 
não consiga, é bem provável que a assertiva será verdadeira. 
 
Para a prova de Matemática, quanto mais questões você resolver, melhor você estará preparado para a prova! Isso ajudará 
você a memorizar as diversas fórmulas que podem cair na prova. Então pratique o máximo que puder! Quaisquer dúvidas, 
não hesite em me procurar no fórum de dúvidas ou nas redes sociais, estarei sempre pronto a atendê-lo! 
 
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Listas de questões 
Prof. Victor So 
Questões sobre Geometria 
1. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Considere o triângulo com ângulos internos 𝑥, 45° e 120°. O valor 
de tg2(𝑥) é igual a 
(A) √3 − 2 
(B) 4√3 − 7 
(C) 7 − 4√3 
(D) 2 − √3 
(E) 2 − 4√3 
 
2. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Sendo 𝑀 = arctg(𝑥), 𝑁 = arctg (
1
x
) e 𝑃 = tg(𝑀 − 𝑁), o valor de 30𝑃 
para 𝑥 = 15 é: 
(A) 
224
30
 
(B) 
45
6
 
(C) 45 
(D) 224 
(E) 225 
 
3. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de 
chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela 
expressão 𝑃(𝑡) = 103 (cos ((
𝑡−2
6
) 𝜋) + 5) em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que 
(A) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. 
(B) a população atinge seu máximo em 𝑡 = 6. 
(C) o período de seca corresponde a 4 meses do ano. 
(D) a população média anual é de 6000 animais. 
(E) a população atinge seu mínimo em 𝑡 = 4 com 6000 animais. 
 
4. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor de (cos 165° + sen 155° + cos 145° − sen 25° +
cos 35° + cos 15°) é 
(A) √2 
(B) −1 
(C) 0 
(D) 1 
(E) ) 
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5. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Os pontos 𝑃 e 𝑄 representados no círculo trigonométrico abaixo 
correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1, 0), denominados respectivamente 𝛼 e 𝛽, medidos 
no sentido positivo. 
 
O valor de tg(𝛼 + 𝛽) é 
(A) 
3+√3
3
 
(B) 
3−√3
3
 
(C) 2 + √3 
(D) 2 − √3 
(E) −1 + √3 
 
 
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6. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A função real 𝑓(𝑥) está representada no gráfico abaixo. A expressão 
algébrica de 𝑓(𝑥) é: 
 
(A) {
−| sen 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
| cos 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
(B) {
| cos 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
| sen 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
(C) {
−| cos 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
| sen 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
(D) {
| sen 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
| cos 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
(E) {
sen 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
cos 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
 
7. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor numérico da expressão 
sec 1320°
2
− 2 ⋅ cos (
53𝜋
3
) + (tg 2220°)2 é: 
(A) −1 
(B) 0 
(C) 
1
2
 
(D) 1 
(E) −
√3
2
 
 
8. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O cosseno do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio 
às 14 horas e 30 minutos vale 
(A) –
(√3+1)
2
 
(B) −
(√2+1)
2
 
(C) 
(1+√2)
4
 
(D) –
(√6−√2)
4
 
(E) 
(2+√3)
4
 
 
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9. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Considere a progressão aritmética representada pela sequência 
(
7𝜋
12
,
47𝜋
60
,
59𝜋
60
, ⋯ ). 
Se todos os termos dessa PA forem representados num círculo trigonométrico, eles determinarão nesse círculo os vértices 
de um 
(A) pentágono (5 lados). 
(B) hexágono (6 lados). 
(C) octógono (8 lados). 
(D) decágono (10 lados). 
(E) dodecágono (12 lados). 
 
10. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) As funções 𝑦 = sen 𝑥 e 𝑦 = cos 𝑥 estão representadas no gráfico 
abaixo. 
 
Então, a medida da área do triângulo retângulo definido pelos segmentos retilíneos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶 é: 
(A) 
𝜋
8
⋅ (2 − √2) 
(B) 
𝜋
8
 
(C) 
𝜋
16
⋅ (2 − √2) 
(D) 
𝜋√2
8
 
(E) 
𝜋
16
⋅ (1 − √2) 
 
 
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11. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Na figura, está representado um círculo trigonométrico em que os 
pontos 𝑃1 a 𝑃5 indicam extremidades de arcos. Esses pontos, unidos, correspondem aos vértices de um pentágono regular 
inscrito no círculo. Se o ponto 𝑃1 corresponde a um arco de 
𝜋
6
 radianos, então o ponto 𝑃4 corresponderá à extremidade de 
um arco cuja medida, em radianos, é igual a 
 
(A) 
13𝜋
30
 
(B) 
17𝜋
30
 
(C) 
29𝜋
30
 
(D) 
41𝜋
30
 
(E) 
53𝜋
30
 
 
12. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Considere as matrizes 𝑀1 = [
1 tg 𝑥
− cos2 𝑥 cotg 𝑥 
] e 𝑀2 = [
1
tg 𝑥
] para 
𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ. A matriz resultante do produto matricial 𝑀1 ⋅ 𝑀2 é 
(A) [sec2 𝑥
cos2 𝑥
] 
(B) [
tg2 𝑥
−cos2 𝑥
] 
(C) [sec2 𝑥
sen2 𝑥
] 
(D) [cossec2 𝑥
−sen2 𝑥
] 
(E) [cos2 𝑥
sen2 𝑥
] 
 
 
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13. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Os termos da sequência de números em progressão aritmética 
𝜋
3
,
7𝜋
12
,
5𝜋
6
, … correspondem às medidas em radianos de arcos, que podem ser representados na circunferência trigonométrica 
abaixo. Os pontos identificados por 0 a 𝑉𝐼𝐼 representam as medidas de arcos que dividem a circunferência trigonométrica 
em 8 partes iguais, medidas no sentido anti-horário, a partir de 0. 
 
Nessas condições, o arco correspondente ao 13° termo da sequência, igualmente medido no sentido anti-horário e a partir 
de 0, terá sua extremidade situada entre os pontos 
(A) 𝐼 e 𝐼𝐼 
(B) 𝐼𝐼 e 𝐼𝐼𝐼 
(C) 𝐼𝑉 e 𝑉 
(D) 𝑉 e 𝑉𝐼 
(E) 𝑉𝐼𝐼 e 0 
 
14. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) As funções reais 𝑓 e 𝑔 são definidas pelos determinantes que se 
seguem: 
𝑓(𝑥) = |
sen 𝑥 cos 𝑥
−cos 𝑥 sen 𝑥
|, 𝑔(𝑥) = |
sen 𝑥 1
1 sen 𝑥
| 
Sendo ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), então, o valor de ℎ (
2𝜋
3
) + ℎ (
5𝜋
4
) é 
(A) 
5
4
 
(B) 
1
4
 
(C) 
√3−√2
2
 
(D) 
√3+√2
2
 
(E) 
3
4
 
 
 
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15. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor da expressão 
cos 15°+cos 75°
sen 15° 
+
sen 15°+sen 75°
cos 15°
 é igual a: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
16. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A função 𝑓(𝑥) = [sen 2𝑥 ⋅ (
1
2 cos 𝑥
+
1
2 sen 𝑥
)]
2
− sen 2𝑥 é definida para 
todo 𝑥 real e 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, com 𝑘 inteiro. Nessas condições, pode-se afirmar que 
(A) 𝑓(2006) = 𝑓(2004) + 𝑓(2005). 
(B) 𝑓(2005) = 𝑓(2006) − 2𝑓(2003). 
(C) 𝑓(2006) = 𝑓(2005) + 𝑓(2004) + 𝑓(2003). 
(D) 𝑓(2005) = 𝑓(2006) − 𝑓(2004). 
(E) 𝑓(2006) = 𝑓(2003) + 𝑓(2004) − 𝑓(2005). 
 
17. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Considere as expressões: 
I- 
sen 30°⋅cos 150°
tg 210°
 
II- 
cotg 50°⋅sen 93°
tg 181°
 
III- 
cos 𝑥⋅cossec 𝑥
sec 𝑥⋅cotg 𝑥
, 𝑥 ∈ ]
3𝜋
2
, 2𝜋[ 
IV- 
sen 𝑥⋅tg 𝑥
cossec 𝑥
, 𝑥 ∈ ]
𝜋
2
, 𝜋[ 
Têm sempre valor negativo: 
(A) I e II. 
(B) I e IV. 
(C) II e III. 
(D) I e III. 
(E) III e IV. 
 
18. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Se 𝑧 =
2−3 sen 𝑥 
4
, pode-se afirmar que todos os valores de z que 
satisfazem essa igualdade estão compreendidos em 
(A) −2 ≤ 𝑥 ≤ −1 
(B) −1 ≤ 𝑥 ≤ −
1
4
 
(C) −
1
4
≤ 𝑥 ≤
5
4
 
(D) 0 ≤ 𝑥
≤
3
2
 
(E) 
1
4
≤ 𝑥 ≤ 2 
 
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19. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Se o cosseno de um ângulo de medida 𝑘 é o dobro do cosseno de 
um outro ângulo de medida 𝑤, ambos pertencentes ao 1° quadrante, pode-se afirmar que todos os valores de 𝑤 que 
satisfazem essa condição pertencem ao intervalo 
(A) [0°, 15°] 
(B) [15°, 30°] 
(C) [30°, 45°] 
(D) [45°, 60°] 
(E) [60°, 90°] 
 
20. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor numérico da expressão sen
13𝜋
12
⋅ cos
11𝜋
12
 é: 
(A) 
1
2
 
(B) 
1
3
 
(C) 
1
4
 
(D) 
1
6
 
(E) 
1
8
 
 
21. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A cossecante do ângulo da figura abaixo é: 
 
(A) 
4
3
 
(B) 
4
5
 
(C) −
3
5
 
(D) 
5
3
 
(E) −
5
4
 
 
 
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22. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) São arcos côngruos: 
(A) −730° e −
𝜋
12
 rad 
(B) 1640° e −
7𝜋
6
 rad 
(C) 350° e −
𝜋
18
 rad 
(D) 1235° e 
5𝜋
6
 rad 
(E) 2000° e −
4𝜋
3
 rad 
 
 
23. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Se sen 𝛼 =
5
13
 e 𝛼 ∈ ]
𝜋
2
, 𝜋[, então o valor de tg 𝛼 é igual a: 
(A) −
5
12
 
(B) 
5
12
 
(C) 
12
13
 
(D) 
12
5
 
(E) −
12
13
 
 
24. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor do determinante da matriz [
cossec2 𝑥 1 sec2 𝑥
cotg2 𝑥 cos2 𝑥 tg2 𝑥
1 sen2 𝑥 1
] 
com 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
 e 𝑘 ∈ ℤ, é: 
(A) −2 
(B) −1 
(C) 1 
(D) 0 
(E) 2 
 
25. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ}, simplificando a expressão 
1
1+sen2 𝑥
+
1
1+cossec2 𝑥
+
1
1+cos2 𝑥
+
1
1+sec2 𝑥
, obtém-se o valor: 
(A) 
1
2
 
(B) 1 
(C) 3/2 
(D) 2 
(E) 0 
 
 
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26. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Sendo {𝑘 ∈ ℤ 𝑒 𝑥 ≠
𝑘𝜋
4
}, então 2 −
2 tg 𝑥
tg 2𝑥
 é equivalente a: 
(A) cos2 𝑥 
(B) sen2 𝑥 
(C) sec2 𝑥 
(D) cossec2 𝑥 
(E) 1 
 
27. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Se 𝑦 é a medida de um ângulo 0° < 𝑦 < 30°, o maior dentre os 
números sen 𝑦 , cos 𝑦 , sen2 𝑦 , cos2 𝑦 e sen 𝑦 ⋅ cos 𝑦 é 
(A) sen 𝑦 
(B) cos 𝑦 
(C) sen2 𝑦 
(D) cos2 𝑦 
(E) sen 𝑦 ⋅ cos 𝑦 
 
28. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor de 3sen 10° ⋅ (tg 5° + cotg 5°) é igual a 
(A) 
3
2
 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 5 
(E) 6 
 
29. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O número de arcos existentes entre 0° e 1560° cujo seno vale 
2
7
 é 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 9 
(E) 10 
 
 
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30. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O domínio e imagem da função 𝑓(𝑥) =
1
5−sen 𝑥
 são, respectivamente, 
(A) ℝ − {5} e [−1, 1] 
(B) ℝ e ]−
1
5
,
1
4
[ 
(C) ℝ e [
1
6
,
1
4
 ] 
(D) ℝ∗ e ]
1
6
,
1
3
] 
(E) ℝ − {5} e ]−1,
1
3
] 
 
31. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O conjunto solução da inequação 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos 𝑥 − 1 ≥ 0, no 
intervalo ]0, 2𝜋] é 
(A) [
2𝜋
3
,
4𝜋
3
]. 
(B) [
𝜋
3
,
5𝜋
6
]. 
(C) [
𝜋
3
,
5𝜋
3
]. 
(D) [
𝜋
3
,
2𝜋
3
] ∪ [
4𝜋
3
,
5𝜋
3
]. 
(E) [
𝜋
6
,
5𝜋
6
] ∪ [
7𝜋
6
,
10𝜋
6
]. 
 
32. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A soma das soluções da equação cos(2𝑥) − cos(𝑥) = 0, com 𝑥 ∈
[0, 2𝜋), é igual a 
(A) 
5𝜋
3
 
(B) 2𝜋 
(C) 
7𝜋
3
 
(D) 𝜋 
(E) 
8𝜋
3
 
 
33. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A soma de todas as soluções da equação 
2 cos3(𝑥) − cos2(𝑥) − 2 cos(𝑥) + 1 = 0, que estão contidas no intervalo [0, 2𝜋], é igual a 
(A) 2𝜋 
(B) 3𝜋 
(C) 4𝜋 
(D) 5𝜋 
(E) 6𝜋 
 
 
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34. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Seja 𝛽 =
1
2
⋅
log10 3
log10 3−log10 7
. O conjunto solução da desigualdade 
3cos 𝑥 ≤ (
3
7
)
𝛽
no intervalo [0, 2𝜋), é igual a: 
(A) [0,
𝜋
3
). 
(B) [
𝜋
3
,
5𝜋
3
]. 
(C) [
𝜋
3
, 2𝜋]. 
(D) [
𝜋
3
, 2𝜋). 
(E) [
3𝜋
2
, 2𝜋). 
 
35. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O número de arcos no intervalo [0,
19𝜋
6
] cujo valor do cosseno é 
igual a 
1
2
 é 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
36. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A quantidade de valores inteiros que 𝑎 pode assumir para que a 
equação cos 𝑥 = (𝑎 − 1)2 tenha solução é: 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
37. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Dadas as funções reais 𝑓(𝑥) = sen 2𝑥 e 𝑔(𝑥) =
1
2
 tal que 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
Então, o número de interseções entre os gráficos de 𝑓 e 𝑔 é: 
(A) 6 
(B) 2 
(C) 1 
(D) 4 
(E) 8 
 
 
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38. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O produto cotg 𝑥 ⋅ cos 𝑥 é postivo, portanto, 𝑥 pertence ao 
(A) 1° ou 2° quadrantes. 
(B) 1° ou 4° quadrantes. 
(C) 2° ou 3° quadrantes. 
(D) 2° ou 4° quadrantes. 
(E) 3° ou 4° quadrantes. 
 
39. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor de cos 𝑥 + sen 𝑥, sabendo que 3 ⋅ sen 𝑥 + 4 ⋅ cos 𝑥 = 5, é 
(A) 
3
5
 
(B) 
4
5
 
(C) 1 
(D) 
6
5
 
(E) 
7
5
 
 
40. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) No círculo trigonométrico (raio = 1), representado na figura, a 
medida de 𝛽 é 150° e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ representa um diâmetro. O valor do produto das medidas dos segmentos 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ é 
 
(A) 
1
4
 
(B) 
1
2
 
(C) 
√3
4
 
(D) 
√3
2
 
(E) 
√2
2
 
 
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Questões comentadas 
 
Questões sobre Geometria 
1. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Considere o triângulo com ângulos internos 𝑥, 45° e 120°. O valor 
de tg2(𝑥) é igual a 
(A) √3 − 2 
(B) 4√3 − 7 
(C) 7 − 4√3 
(D) 2 − √3 
(E) 2 − 4√3 
 
Comentários 
Todo triângulo tem a soma de seus ângulos internos resultando em 180°: 
180° = 𝑥 + 45° + 120° ⟺ 𝑥 = 15°. 
tg 𝑥 = tg(15°) = tg(45° − 30°) =
tg 45° − tg 30°
1 + tg 45° ⋅ tg 30°
=
1 −
√3
3
1 + 1 ⋅
√3
3
= (
3 − √3
3 + √3
) ⋅ (
3 − √3
3 − √3
) 
=
32 + √3
2
− 2 ⋅ 3√3
32 − √3
2 =
12 − 6√3
6
= 2 − √3 
Dessa forma, tg2 𝑥 = (2 − √3)
2
= 22 + √3
2
− 2 ⋅ 2 ⋅ √3 = 7 − 4√3. 
 
Gabarito: “C”. 
2. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Sendo 𝑀 = arctg(𝑥), 𝑁 = arctg (
1
x
) e 𝑃 = tg(𝑀 − 𝑁), o valor de 30𝑃 
para 𝑥 = 15 é: 
(A) 
224
30
 
(B) 
45
6
 
(C) 45 
(D) 224 
(E) 225 
 
Comentários 
𝑀 = arctg 𝑥 ⇒ 𝑥 = tg 𝑀 
𝑁 = arctg
1
𝑥
⇒
1
𝑥
= tg 𝑁 
𝑃 = tg(𝑀 − 𝑁) =
tg 𝑀 − tg 𝑁
1 + tg 𝑀 ⋅ tg 𝑁
=
𝑥 −
1
𝑥
1 + 𝑥 ⋅
1
𝑥
=
1
2
⋅ (𝑥 −
1
𝑥
) 
Para 𝑥 = 15, 𝑃 =
1
2
⋅ (15 −
1
15
) =
224
30
. Logo, 30𝑃 = 224. 
 
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Gabarito: “D”. 
3. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de 
chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela 
expressão 𝑃(𝑡) = 103 (cos ((
𝑡−2
6
) 𝜋) + 5) em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que 
(A) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. 
(B) a população atinge seu máximo em 𝑡 = 6. 
(C) o período de seca corresponde a 4 meses do ano. 
(D) a população média anual
é de 6000 animais. 
(E) a população atinge seu mínimo em 𝑡 = 4 com 6000 animais. 
 
Comentários 
Sempre que temos uma expressão do tipo 𝑦(𝑡) = a + b ⋅ ftrig( 𝑐 ⋅ 𝑡 + 𝑑), onde a função trigonométrica ftrig = sen ou cos, o 
período da função 𝑦(𝑡) é calculado por 𝑇 =
2𝜋
𝑐
. 
Sabendo disso, a função 𝑃(𝑡), com 𝑐 =
𝜋
6
, tem período 𝑇 =
2𝜋
𝑐
=
2𝜋
𝜋
6
= 12 meses (anual). Como a função base é uma função 
do tipo cosseno, ela cresce em metade desse período e decresce na outra metade. Dessa forma, a resposta correta é o item 
a), já que a metade de 12 meses são 6 meses = dois trimestres. 
As outras alternativas estão erradas: 
A população atinge seu máximo em 𝑡 = 2 + 12𝑘, 𝑘 ∈ ℤ, isto é, todo mês de fevereiro. 
O período de seca (estiagem) também corresponde a 6 meses do ano. 
A população média anual é de 5000 animais. 
A população atinge seu mínimo em 𝑡 = 5 + 12𝑘 com −1000 animais. 
 
Gabarito: “A”. 
4. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor de (cos 165° + sen 155° + cos 145° − sen 25° +
cos 35° + cos 15°) é 
(A) √2 
(B) −1 
(C) 0 
(D) 1 
(E) ) 
1
2
 
 
Comentários 
Seja 𝐸 a expressão pedida. Podemos reescrevê-la da seguinte forma, agrupando termos suplementares: 
𝐸 = (cos 165° + cos 15°) + (sen 155° − sen 25°) + (cos 145° + cos 35°) 
Usando que cos(180° − 𝑥) = −cos 𝑥 e que sen(180° − 𝑥) = sen 𝑥, temos: 
𝐸 = (− cos 15° + cos 15°) + (sen 25° − sen 25°) + (−cos 35° + cos 35°) = 0 + 0 + 0 = 0 
 
Gabarito: “C”. 
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5. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Os pontos 𝑃 e 𝑄 representados no círculo trigonométrico abaixo 
correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1, 0), denominados respectivamente 𝛼 e 𝛽, medidos 
no sentido positivo. 
 
O valor de tg(𝛼 + 𝛽) é 
(A) 
3+√3
3
 
(B) 
3−√3
3
 
(C) 2 + √3 
(D) 2 − √3 
(E) −1 + √3 
 
Comentários 
Seja 𝐴 o ponto (1,0). Então 𝛼 = 𝐴𝑂�̂� e 𝛽 = 𝐴𝑂𝑃�̂�. Das propriedades do círculo trigonométrico, temos: 
sen 𝛼 =
√2
2
, 𝛼 ∈ [
𝜋
2
, 𝜋] ⇒ 𝛼 = 𝜋 −
𝜋
4
=
3𝜋
4
 
cos 𝛽 = −
1
2
, 𝛽 ∈ [𝜋,
3𝜋
2
] ⇒ 𝛽 = 𝜋 +
𝜋
3
=
4𝜋
3
 
Portanto, tg(𝛼 + 𝛽) = tg (
25𝜋
12
) = tg (
25𝜋
12
− 2𝜋) = tg (
𝜋
12
) = tg(15°) 
tg(15°) = tg(45° − 30°) =
tg 45° − tg 30°
1 + tg 45° ⋅ tg 30°
=
1 −
√3
3
1 + 1 ⋅
√3
3
= (
3 − √3
3 + √3
) ⋅ (
3 − √3
3 − √3
) 
=
32 + √3
2
− 2 ⋅ 3√3
32 − √3
2 =
12 − 6√3
6
= 2 − √3 
 
Gabarito: “D”. 
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6. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A função real 𝑓(𝑥) está representada no gráfico abaixo. A expressão 
algébrica de 𝑓(𝑥) é: 
 
(A) {
−| sen 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
| cos 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
(B) {
| cos 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
| sen 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
(C) {
−| cos 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
| sen 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
(D) {
| sen 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
| cos 𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
(E) {
sen 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
cos 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
 
Comentários 
O gráfico se assemelha ao de funções trigonométricas do tipo seno ou cosseno, ligeiramente modificadas com 
modularização. Observe que para 𝑥 ≥ 0, 𝑓(𝑥) ≥ 0 e para 𝑥 < 0, 𝑓(𝑥) ≤ 0. Logo, excluímos as alternativas b), d) e e) de 
nossa análise. Olhando para 𝑥 =
𝜋
2
 temos, pelo gráfico, que 𝑓(𝑥) = 0, o que está de acordo com a alternativa a) e em 
desacordo com c). 
 
Gabarito: “A”. 
 
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7. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor numérico da expressão 
sec 1320°
2
− 2 ⋅ cos (
53𝜋
3
) + (tg 2220°)2 é: 
(A) −1 
(B) 0 
(C) 
1
2
 
(D) 1 
(E) −
√3
2
 
 
Comentários 
Vamos primeiro fazer a equivalência dos ângulos para o intervalo (0°, 360°] 
1320° = 3 ⋅ 360° + 240° 
53𝜋
3
= 8 ⋅ 2𝜋 +
5𝜋
3
= 8 ⋅ 360° + 300° 
2220° = 6 ⋅ 360° + 60° 
Logo, 
sec 1320° = sec 240° =
1
cos 240°
=
1
− cos 60°
=
1
−
1
2
= −2 
cos (
53𝜋
3
) = cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° =
1
2
 
tg 2200° = tg 60° = √3 
Portanto, 
sec 1320°
2
− 2 ⋅ cos (
53𝜋
3
) + (tg 2220°)2 = −1 − 1 + 3 = 1. 
 
Gabarito: “D”. 
 
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8. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O cosseno do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio 
às 14 horas e 30 minutos vale 
(A) –
(√3+1)
2
 
(B) −
(√2+1)
2
 
(C) 
(1+√2)
4
 
(D) –
(√6−√2)
4
 
(E) 
(2+√3)
4
 
 
Comentários 
Desenhando o relógio do problema, temos: 
 
 No relógio, temos 12 horas. Cada hora possui um ângulo de 30°: 
360°
12
= 30° 
 No momento em que o ponteiro dos minutos percorre 30 minutos, o ponteiro das horas percorrerá metade do 
ângulo de cada hora: 
𝛽 =
30°
2
= 15° 
 Então, o ângulo 𝛼 é dado por: 
𝛼 = 3 ∙ 30° + 15° = 105° 
 Queremos calcular o cosseno desse ângulo: 
cos 105° = cos(60° + 45°) = 𝑐𝑜𝑠60°𝑐𝑜𝑠45° − 𝑠𝑒𝑛60°𝑠𝑒𝑛45° =
1
2
∙
√2
2
−
√3
2
∙
√2
2
 
√2 − √6
4
= −
√6 − √2
4
 
Gabarito: “D”. 
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9. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Considere a progressão aritmética representada pela sequência 
(
7𝜋
12
,
47𝜋
60
,
59𝜋
60
, ⋯ ). 
Se todos os termos dessa PA forem representados num círculo trigonométrico, eles determinarão nesse círculo os vértices 
de um 
(A) pentágono (5 lados). 
(B) hexágono (6 lados). 
(C) octógono (8 lados). 
(D) decágono (10 lados). 
(E) dodecágono (12 lados). 
 
Comentários 
A razão da PA é 𝑟 =
59𝜋
60
−
47𝜋
60
=
12𝜋
60
=
2𝜋
10
. 
Como 2𝜋 é uma volta completa e 
2𝜋
𝑟
= 10 ∈ ℤ, temos que os pontos determinarão um polígono regular de 10 lados. 
 
Gabarito: “D”. 
 
10. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) As funções 𝑦 = sen 𝑥 e 𝑦 = cos 𝑥 estão representadas no gráfico 
abaixo. 
 
Então, a medida da área do triângulo retângulo definido pelos segmentos retilíneos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶 é: 
(A) 
𝜋
8
⋅ (2 − √2) 
(B) 
𝜋
8
 
(C) 
𝜋
16
⋅ (2 − √2) 
(D) 
𝜋√2
8
 
(E) 
𝜋
16
⋅ (1 − √2) 
 
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Comentários 
Vamos primeiro achar os pontos. 
Ponto C: sen 𝑥𝑐 = cos 𝑥𝑐 ⇒ 𝑥𝑐 =
𝜋
4
, pois 0 < 𝑥𝑐 <
𝜋
2
; 𝑦𝑐 = sen xc = sen
𝜋
4
=
√2
2
. 
Ponto B: (0,1) 
Ponto A: (0, 𝑦𝑐) = (0,
√2
2
). 
Assim, a área do triângulo é 
𝐴 =
1
2
⋅ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ⋅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =
1
2
⋅ (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) ⋅ (𝑥𝑐 − 𝑥𝐴) =
1
2
⋅ (1 −
√2
2
) ⋅ (
𝜋
4
− 0) 
Logo, 𝐴 =
𝜋
16
⋅ (2 − √2) 
 
Gabarito: “C”. 
 
11. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Na figura, está representado um círculo trigonométrico em que os 
pontos 𝑃1 a 𝑃5 indicam extremidades de arcos. Esses pontos, unidos, correspondem aos vértices de um pentágono regular 
inscrito no círculo. Se o ponto 𝑃1 corresponde a um arco de 
𝜋
6
 radianos, então o ponto 𝑃4 corresponderá à extremidade de 
um arco cuja medida, em radianos, é igual a 
 
(A) 
13𝜋
30
 
(B) 
17𝜋
30
 
(C) 
29𝜋
30
 
(D) 
41𝜋
30
 
(E) 
53𝜋
30
 
 
Comentários 
Seja 𝑂 a origem. Como o pentágono é regular, o ângulo 𝑃𝑖Ô𝑃𝑖+1 =
2𝜋
5
 para 𝑖 = 1,2,3,4,5, considerando 𝑃6 = 𝑃1. Dessa forma, 
equivalendo 𝑃1 a 
𝜋
6
, temos que 𝑃4 equivale a 
𝜋
6
+ (4 − 1) ⋅
2𝜋
5
=
41𝜋
30
. 
 
Gabarito: “D”. 
 
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12. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Considere as matrizes 𝑀1 = [
1 tg 𝑥
− cos2 𝑥 cotg 𝑥
] e 𝑀2 = [
1
tg 𝑥
] para 
𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ. A matriz resultante do produto matricial 𝑀1 ⋅ 𝑀2 é 
(A) [sec2 𝑥
cos2 𝑥
] 
(B) [
tg2 𝑥
−cos2 𝑥
] 
(C) [sec2 𝑥
sen2 𝑥
] 
(D) [cossec2 𝑥
−sen2 𝑥
] 
(E) [cos2 𝑥
sen2 𝑥
] 
 
Comentários 
𝑀1 ⋅ 𝑀2 = [
1 tg 𝑥
− cos2 𝑥 cotg 𝑥 
] ⋅ [
1
tg 𝑥
] = [
1 + tg2 𝑥
− cos2 𝑥 + cotg 𝑥 tg 𝑥
] = [ sec2 𝑥
1 − cos2 𝑥
] = [sec2 𝑥
sen2 𝑥
] 
 
Gabarito: “C”. 
 
13. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Os termos da sequência de números em progressão aritmética 
𝜋
3
,
7𝜋
12
,
5𝜋
6
, … correspondem às medidas em radianos de arcos, que podem ser representados na circunferência trigonométrica 
abaixo. Os pontos identificados por 0 a 𝑉𝐼𝐼 representam as medidas de arcos que dividem a circunferência trigonométrica 
em 8 partes iguais, medidas no sentido anti-horário, a partir de 0. 
 
Nessas condições, o arco correspondente ao 13° termo da sequência, igualmente medido no sentido anti-horário e a partir 
de 0, terá sua extremidade situada entre os pontos 
(A) 𝐼 e 𝐼𝐼 
(B) 𝐼𝐼 e 𝐼𝐼𝐼 
(C) 𝐼𝑉 e 𝑉 
(D) 𝑉 e 𝑉𝐼 
(E) 𝑉𝐼𝐼 e 0 
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Comentários 
A sequência tem termo inicial 𝑎1 =
𝜋
3
 e razão 𝑟 =
7𝜋
12
−
𝜋
3
=
𝜋
4
. Assim, 
𝑎13 = 𝑎1 + (13 − 1) ⋅ 𝑟 
⇒ 𝑎13 =
𝜋
3
+ 12 ⋅
𝜋
4
=
10𝜋
3
= 2𝜋 +
4𝜋
3
 
Assim, 𝑎13 terá sua extremidade no mesmo ponto em que estaria a de 
4𝜋
3
. Como 
5𝜋
4
<
4𝜋
3
<
6𝜋
4
 (verifique!), 𝑎13 está entre 𝑉 
e 𝑉𝐼. 
 
Gabarito: “D”. 
 
14. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) As funções reais 𝑓 e 𝑔 são definidas pelos determinantes que se 
seguem: 
𝑓(𝑥) = |
sen 𝑥 cos 𝑥
−cos 𝑥 sen 𝑥
|, 𝑔(𝑥) = |
sen 𝑥 1
1 sen 𝑥
| 
Sendo ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), então, o valor de ℎ (
2𝜋
3
) + ℎ (
5𝜋
4
) é 
(A) 
5
4
 
(B) 
1
4
 
(C) 
√3−√2
2
 
(D) 
√3+√2
2
 
(E) 
3
4
 
 
Comentários 
𝑓(𝑥) = sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 e 𝑔(𝑥) = sen2 𝑥 − 1 ⇒ ℎ(𝑥) = sen2 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ. 
Assim, 
ℎ (
2𝜋
3
) = sen2 (
2𝜋
3
) = (sen
𝜋
3
)
2
= (
√3
2
)
2
=
3
4
 
e ℎ (
5𝜋
4
) = sen2 (
5𝜋
4
) = (− sen
𝜋
4
)
2
= (−
√2
2
)
2
=
1
2
 
Logo, 
ℎ (
2𝜋
3
) + ℎ (
5𝜋
4
) =
3
4
+
1
2
=
5
4
 
 
Gabarito: “A”. 
 
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15. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor da expressão 
cos 15°+cos 75°
sen 15° 
+
sen 15°+sen 75°
cos 15°
 é igual a: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Comentários 
cos 15° + cos 75°
sen 15° 
+
sen 15° + sen 75°
cos 15°
=
cos 15° + sen 15°
sen 15° 
+
sen 15° + cos 15°
cos 15°
 
= (sen 15° + cos 15°) ⋅ (
1
sen 15°
+
1
cos 15°
) = (sen 15° + cos 15°) ⋅ 2 ⋅ (
sen 15° + cos 15°
2 ⋅ sen 15° cos 15°
) 
= (sen 15° + cos 15°)2 ⋅
2
sen(2 ⋅ 15°)
= (sen2 15° + 𝑐𝑜𝑠215° + 2 ⋅ sen 15° cos 15°) ⋅
2
sen 30°
 
= (1 + sen 30°) ⋅
2
sen 30°
= (1 +
1
2
) ⋅
2
1
2
= 6 
 
Gabarito: “D”. 
 
16. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A função 𝑓(𝑥) = [sen 2𝑥 ⋅ (
1
2 cos 𝑥
+
1
2 sen 𝑥
)]
2
− sen 2𝑥 é definida para 
todo 𝑥 real e 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, com 𝑘 inteiro. Nessas condições, pode-se afirmar que 
(A) 𝑓(2006) = 𝑓(2004) + 𝑓(2005). 
(B) 𝑓(2005) = 𝑓(2006) − 2𝑓(2003). 
(C) 𝑓(2006) = 𝑓(2005) + 𝑓(2004) + 𝑓(2003). 
(D) 𝑓(2005) = 𝑓(2006) − 𝑓(2004). 
(E) 𝑓(2006) = 𝑓(2003) + 𝑓(2004) − 𝑓(2005). 
 
Comentários 
Desenvolvendo-se a expressão: 
𝑓(𝑥) = [sen 2𝑥 ⋅ (
1
2 cos 𝑥
+
1
2 sen 𝑥
)]
2
− sen 2𝑥 = [sen 2𝑥 ⋅ (
sen 𝑥 + cos 𝑥
2 sen 𝑥 cos 𝑥
)]
2
− sen 2𝑥 
= [sen 2𝑥 ⋅ (
sen 𝑥 + cos 𝑥
sen 2𝑥
)]
2
− sen 2𝑥 = (sen 𝑥 + cos 𝑥)2 − sen 2𝑥 
= (sen2 𝑥 + cos2 𝑥 + 2 sen 𝑥 cos 𝑥) − sen 2𝑥 = 1 + sen 2𝑥 − sen 2𝑥 = 1 
Assim, 𝑓(2006) = 1 = 1 + 1 − 1 = 𝑓(2003) + 𝑓(2004) − 𝑓(2005). 
 
Gabarito: “E” 
 
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17. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Considere as expressões: 
I- 
sen 30°⋅cos 150°
tg 210°
 
II- 
cotg 50°⋅sen 93°
tg 181°
 
III- 
cos 𝑥⋅cossec 𝑥
sec 𝑥⋅cotg 𝑥
, 𝑥 ∈ ]
3𝜋
2
, 2𝜋[ 
IV- 
sen 𝑥⋅tg 𝑥
cossec 𝑥
, 𝑥 ∈ ]
𝜋
2
, 𝜋[ 
Têm sempre valor negativo: 
(A) I e II. 
(B) I e IV. 
(C) II e III. 
(D) I e III. 
(E) III e IV. 
 
Comentários 
I- 30° ∈ 1°Q ⇒ sen 30° > 0 , 150° ∈ 2°Q ⇒ cos 150° < 0, 210° ∈ 3°Q ⇒ tg 210° > 0. Assim, a expressão 𝐸𝐼 resulta num valor 
negativo, pois 𝐸𝐼 =
(+) ⋅(−)
(+)
= (−). 
II- 50° ∈ 1°Q ⇒ cotg 50° > 0 , 93° ∈ 2°Q ⇒ sen 93° > 0, 181° ∈ 3°Q ⇒ tg 210° > 0. Assim, a expressão 𝐸𝐼𝐼 resulta num valor 
positivo, pois 𝐸𝐼𝐼 =
(+) ⋅(+)
(+)
= (+). 
III- No intervalo 𝑥 ∈ ]
3𝜋
2
, 2𝜋[ = 4°𝑄, 𝐸𝐼𝐼𝐼 =
cos 𝑥⋅cossec 𝑥
sec 𝑥⋅cotg 𝑥
=
(+)⋅(−)
(+)⋅(−)
= (+), isto é, 𝐸𝐼𝐼𝐼 é positivo. 
IV- No intervalo 𝑥 ∈ ]
𝜋
2
, 𝜋[ = 2°𝑄, 𝐸𝐼𝑉 =
sen 𝑥⋅tg 𝑥
cossec 𝑥
 =
(+)⋅(−)
(+)
= (−), isto é, 𝐸𝐼𝐼𝐼 é negativo. 
Assim, são negativos 𝐸𝐼 e 𝐸𝐼𝑉. 
 
Gabarito: “B”. 
 
18. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Se 𝑧 =
2−3 sen 𝑥 
4
, pode-se afirmar que todos os valores de z que 
satisfazem essa igualdade estão compreendidos em 
(A) −2 ≤ 𝑥 ≤ −1 
(B) −1 ≤ 𝑥 ≤ −
1
4
 
(C) −
1
4
≤ 𝑥 ≤
5
4
 
(D) 0 ≤ 𝑥 ≤
3
2
 
(E) 
1
4
≤ 𝑥 ≤ 2 
 
 
 
 
 
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Comentários 
Isolando-se a função trigonométrica, temos: 
sen 𝑥 =
2 − 4𝑧
3
 
Assim, temos: 
−1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1 ⟺ −1 ≤
2 − 4𝑧
3
≤ 1 ⟺ −3 ≤ 2 − 4𝑧 ≤ 3 
⟺ −5 ≤ −4𝑧 ≤ 1 ⟺
5
4
≥ 𝑧 ≥
−1
4
 
 
Gabarito: “C”. 
 
19. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Se o cosseno de um ângulo de medida 𝑘 é o dobro do cosseno de 
um outro ângulo de medida 𝑤, ambos pertencentes ao 1° quadrante, pode-se afirmar que todos os valores de 𝑤 que 
satisfazem essa condição pertencem ao intervalo 
(A) [0°, 15°] 
(B) [15°, 30°] 
(C) [30°, 45°] 
(D) [45°, 60°] 
(E) [60°, 90°] 
 
Comentários: 
cos 𝑘 = 2 ⋅ cos 𝑤 
Como 𝑘 ∈ 1° quadrante, temos 0 ≤ cos 𝑘 ≤ 1 ⟺ 0 ≤
1
2
⋅ cos 𝑘 ≤
1
2
. Assim, 
0 ≤ cos 𝑤 ≤
1
2
 
Como 𝑤 ∈ 1° quadrante, devemos ter 𝑤 ∈ [60°, 90°], visto que arccos 0 = 90° e arccos
1
2
= 60°. 
 
Gabarito: “E”. 
 
20. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor numérico da expressão sen
13𝜋
12
⋅ cos
11𝜋
12
 é: 
(A) 
1
2
 
(B) 
1
3
 
(C) 
1
4
 
(D) 
1
6
 
(E) 
1
8
 
 
 
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Comentários 
sen
13𝜋
12
⋅ cos
11𝜋
12
= (− sen
𝜋
12
) ⋅ (− cos
𝜋
12
) 
=
1
2
⋅ 2sen
𝜋
12
cos
𝜋
12
=
1
2
sen (2 ⋅
𝜋
12
) =
1
2
sen
𝜋
6
=
1
2
⋅
1
2
=
1
4
. 
 
Gabarito: “C”. 
 
21. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A cossecante do ângulo da figura abaixo é: 
 
(A) 
4
3
 
(B) 
4
5
 
(C) −
3
5
 
(D) 
5
3
 
(E) −
5
4
 
 
Comentários 
Seja 𝛽 = 180° − 𝛼 o ângulo complementar. Da figura, tg 𝛽 =
3
4
⇒ tg 𝛼 = tg(180° − 𝛽) = − tg 𝛽 = −
3
4
⇒ cotg 𝛼 =
−
4
3
⇒ cossec2 𝛼 = 1 + cotg2 𝛼 =
25
9
. 
Como 𝛼 ∈ [
𝜋
2
, 𝜋[, sen 𝛼 > 0 ⇒ cossec 𝛼 > 0. Logo, cossec 𝛼 =
5
3
. 
 
Gabarito: “D”. 
 
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22. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) São arcos côngruos: 
(A) −730° e −
𝜋
12
 rad 
(B) 1640° e −
7𝜋
6
 rad 
(C) 350° e −
𝜋
18
 rad 
(D) 1235° e 
5𝜋
6
 rad 
(E) 2000° e −
4𝜋
3
 rad 
 
Comentários 
1) Usando que 𝜋 rad = 
180°, temos: 
2) Fazendo a equivalência do valor
na primeira coluna para o primeiro 
quadrante 
2) Equivalência do outro valor 
−
𝜋
12
 rad = −
180°
12
= −15° −15° → −15° + 1 ⋅ 360° = 345° −730° → −730° + 3 ⋅ 360° = 350° 
−
7𝜋
6
 rad = −
7⋅180°
6
= −210° −210° → −210° + 1 ⋅ 360° = 150° 1640° → 1640° − 4 ⋅ 360° = 200° 
−
𝜋
18
rad = −
180°
18
= −10° −10° → −10° + 1 ⋅ 360° = 350° 350° → 350° + 0 ⋅ 360° = 350° 
5𝜋
6
 rad = 
5⋅180°
6
= 150° 150° → 150° + 0 ⋅ 360° = 150° 1235° → 1235° − 3 ⋅ 360° = 155° 
−
4𝜋
3
 rad = −
4⋅180°
3
= −240° −240° → −240° + 1 ⋅ 360° = 120° 2000° → 2000° − 5 ⋅ 360° = 200° 
Pode-se perceber que apenas no item “c” os ângulos são trigonometricamente equivalentes. 
 
Gabarito: “C”. 
 
23. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Se sen 𝛼 =
5
13
 e 𝛼 ∈ ]
𝜋
2
, 𝜋[, então o valor de tg 𝛼 é igual a: 
(A) −
5
12
 
(B) 
5
12
 
(C) 
12
13
 
(D) 
12
5
 
(E) −
12
13
 
 
 
 
 
 
 
 
Comentários 
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Como 𝛼 ∈ ]
𝜋
2
, 𝜋[ e 𝛽 ∈ ]0,
𝜋
2
] e sen 𝛼 = sen 𝛽 =
5
13
, temos que 𝛼 e 𝛽 são suplementares, isto é, 𝛼 + 𝛽 = 𝜋. Temos que 
tg 𝛼 = tg(𝜋 − 𝛽) = − tg 𝛽 = −
5
12
. 
Gabarito: “A”. 
 
24. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor do determinante da matriz [
cossec2 𝑥 1 sec2 𝑥
cotg2 𝑥 cos2 𝑥 tg2 𝑥
1 sen2 𝑥 1
] 
com 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
 e 𝑘 ∈ ℤ, é: 
(A) −2 
(B) −1 
(C) 1 
(D) 0 
(E) 2 
Comentários 
Substituindo 𝑥 por qualquer valor tal que 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑥 = 30° =
𝜋
6
 por exemplo, temos: 
|
cossec2 𝑥 1 sec2 𝑥
cotg2 𝑥 cos2 𝑥 tg2 𝑥
1 sen2 𝑥 1
| =
|
|
22 1 (
2
√3
)
2
(√3)
2
(
√3
2
)
2
(
√3
3
)
2
1 (
1
2
)
2
1
|
|
=
|
|
4 1
4
3
3
3
4
1
3
1
1
4
1
|
|
=
1
4
⋅
1
3
⋅ |
4 4 4
3 3 1
1 1 3
| = 0 
Pois há duas colunas idênticas. 
Caso prefira um método geral: 
|
cossec2 𝑥 1 sec2 𝑥
cotg2 𝑥 cos2 𝑥 tg2 𝑥
1 sen2 𝑥 1
| =
|
|
1
sen2 𝑥
1 sec2 𝑥
cos2 𝑥
sen2 𝑥
cos2 𝑥 tg2 𝑥
sen2 𝑥
sen2 𝑥
sen2 𝑥 1
|
|
= 0 
Pois a segunda coluna é múltipla da primeira, por um fator de sen2 𝑥. 
Gabarito: “D”. 
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25. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx) Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ} , simplificando a expressão 
1
1+sen2 𝑥
+
1
1+cossec2 𝑥
+
1
1+cos2 𝑥
+
1
1+sec2 𝑥
, obtém-se o valor: 
(A) 
1
2
 
(B) 1 
(C) 3/2 
(D) 2 
(E) 0 
 
Comentários 
Dica de prova: como a expressão deve valer para todo 𝑥 naquele conjunto, então tente entrar com um 𝑥 qualquer do 
conjunto e calcule o valor da expressão! Exemplo com 𝑥 = 30° =
𝜋
6
 
1
1 + sen2 𝑥
+
1
1 + cossec2 𝑥
+
1
1 + cos2 𝑥
+
1
1 + sec2 𝑥
 
=
1
1 + (
1
2
)
2 +
1
1 + (
1
2
)
−2 +
1
1 + (
√3
2
)
2 +
1
1 + (
√3
2
)
−2 =
1
5
4
+
1
5
+
1
7
4
+
1
7
3
=
4
5
+
1
5
+
4
7
+
3
7
 
= 1 + 1 = 2 
Caso prefira uma solução genérica: 
1
1 + sen2 𝑥
+
1
1 + cossec2 𝑥
=
1
1 + sen2 𝑥
+
1
1 +
1
sen2 𝑥
=
1
1 + sen2 𝑥
+
sen2 𝑥
1 + sen2 𝑥
= 1. 
1
1 + cos2 𝑥
+
1
1 + sec2 𝑥
=
1
1 + cos2 𝑥
+
1
1 +
1
cos2 𝑥
=
1
1 + cos2 𝑥
+
cos2 𝑥
1 + cos2 𝑥
= 1. 
Logo, temos 
(
1
1 + sen2 𝑥
+
1
1 + cossec2 𝑥
) + (
1
1 + cos2 𝑥
+
1
1 + sec2 𝑥
) = 1 + 1 = 2. 
Gabarito: “D”. 
 
26. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Sendo {𝑘 ∈ ℤ 𝑒 𝑥 ≠
𝑘𝜋
4
}, então 2 −
2 tg 𝑥
tg 2𝑥
 é equivalente a: 
(A) cos2 𝑥 
(B) sen2 𝑥 
(C) sec2 𝑥 
(D) cossec2 𝑥 
(E) 1 
 
 
 
 
 
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Comentários 
tg 2𝑥 =
2 tg 𝑥
1 − tg2 𝑥
⟺
2 tg 𝑥
tg 2𝑥
= 1 − tg2 𝑥 ⟺ 2 −
2 tg 𝑥
tg 2𝑥
= 1 + tg2 𝑥 = sec2 𝑥 
Pois, 
1 + tg2 𝑥 = 1 + (
sen 𝑥
cos 𝑥
)
2
=
cos2 𝑥 + sen2 𝑥
cos2 𝑥
=
1
cos2 𝑥
= sec2 𝑥 
Gabarito: “C”. 
 
27. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Se 𝑦 é a medida de um ângulo 0° < 𝑦 < 30°, o maior dentre os 
números sen 𝑦 , cos 𝑦 , sen2 𝑦 , cos2 𝑦 e sen 𝑦 ⋅ cos 𝑦 é 
(A) sen 𝑦 
(B) cos 𝑦 
(C) sen2 𝑦 
(D) cos2 𝑦 
(E) sen 𝑦 ⋅ cos 𝑦 
Comentários 
0 < sen 𝑦 < 1 ⇒ sen2 𝑦 < sen 𝑦 < 1 
0 < cos 𝑦 < 1 ⇒ cos2 𝑦 < cos 𝑦 < 1 
Além disso, como 0° < 𝑦 < 30°, e como cos 𝑦 < 1, 
cos 𝑦 > sen 𝑦 > sen 𝑦 ⋅ cos 𝑦 
Portanto, cos 𝑦 é o maior número. 
Gabarito: “B”. 
 
28. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor de 3sen 10° ⋅ (tg 5° + cotg 5°) é igual a 
(A) 
3
2
 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 5 
(E) 6 
Comentários 
3sen 10° ⋅ (tg 5° + cotg 5°) = 3 sen 10° ⋅ (
sen 5°
cos 5°
+
cos 5°
sen 5°
) 
= 3 sen 10° ⋅ (
2 sen2 5°
2 sen 5° cos 5°
+
2 cos2 5°
2 sen 5° cos 5°
) = 3 sen 10° ⋅ (
2(sen2 5° + cos2 5°)
2 sen 5° cos 5°
) . 
Usando a identidade fundamental da trigonometria e a fórmula para seno do arco duplo, temos que a expressão acima é 
igual a 
3 sen 10° ⋅ (
2
sen 10°
) = 6 
Gabarito: “E”. 
29. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O número de arcos existentes entre 0° e 1560° cujo seno vale 
2
7
 é 
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Geometria e Trigonometria - 2020 
 
 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 9 
(E) 10 
 
Comentários 
 
1560° = 4 ⋅ 360° + 120°. Assim, estamos dando quatro voltas no círculo trigonométrico e avançando mais 120° além. Como 
sen 120° =
√3
2
>
2
7
 e como, no segundo quadrante, a função seno é decrescente, temos que o ângulo do segundo quadrante 
cujo seno é 
2
7
 é maior que 120°. Logo, temos 2 ângulos cujo seno é 
2
7
 a cada volta (um no primeiro e outro no segundo 
quadrante) e mais um último ângulo no primeiro quadrante, contido no intervalo [4 ⋅ 360°, 4 ⋅ 360° + 120°), dando um total 
de 9 arcos. 
 
Gabarito: “D”. 
30. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O domínio e imagem da função 𝑓(𝑥) =
1
5−sen 𝑥
 são, respectivamente, 
(A) ℝ − {5} e [−1, 1] 
(B) ℝ e ]−
1
5
,
1
4
[ 
(C) ℝ e [
1
6
,
1
4
 ] 
(D) ℝ∗ e ]
1
6
,
1
3
] 
(E) ℝ − {5} e ]−1,
1
3
] 
 
Comentários 
O maior domínio para essa função é aquele que considera todos os números reais, exceto aqueles que zeram o denominador 
da expressão, pois aí a função não ficaria definida. Acontece que se tivermos 5 − sen 𝑥 = 0, então sen 𝑥 = 5, equação que 
não tem solução nos reais. Logo, nenhum número será excluído e o domínio é todos os reais, isto é, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. 
Para a imagem, pensemos o seguinte (na primeira equivalência, faz-se o produto por −1): 
−1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1 ⟺ −1 ≤ − sen 𝑥 ≤ 1 ⟺ 5 − 1 ≤ 5 − sen 𝑥 ≤ 5 + 1 ⟺ 4 ≤ 5 − sen 𝑥 ≤ 6. 
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Geometria e Trigonometria - 2020 
 
 
Assim, como 5 − sen 𝑥 está entre 4 e 6, o inverso, que é 𝑓(𝑥) =
1
5−sen 𝑥
, deve estar entre 
1
4
 e 
1
6
. Como 
1
6
 é menor, temos 
1
6
≤
𝑓(𝑥) ≤
1
4
, isto é, 𝐼𝑚(𝑓) = [
1
6
,
1
4
]. 
 
Gabarito: “C”. 
31. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O conjunto solução da inequação 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos 𝑥 − 1 ≥ 0, no 
intervalo ]0, 2𝜋] é 
(A) [
2𝜋
3
,
4𝜋
3
]. 
(B) [
𝜋
3
,
5𝜋
6
]. 
(C) [
𝜋
3
,
5𝜋
3
]. 
(D) [
𝜋
3
,
2𝜋
3
] ∪ [
4𝜋
3
,
5𝜋
3
]. 
(E) [
𝜋
6
,
5𝜋
6
] ∪ [
7𝜋
6
,
10𝜋
6
]. 
Comentários 
Usando a identidade trigonométrica sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1: 
2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ 2 ⋅ (1 − cos2 𝑥) − cos 𝑥 − 1 ≥ 0 ⟺ 2 cos2 𝑥 + cos 𝑥 − 1 ≤ 0 
Olhando a expressão no membro direito da última desigualdade como uma quadrática em cos 𝑥, calculamos o determinante 
Δ: 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1) = 9. 
As raízes do polinômio 𝑝(𝑦) = 2𝑦2 + 𝑦 − 1 são: 
𝑦1 =
−𝑏−√Δ
2𝑎
 e 𝑦2 =
−𝑏+√Δ
2𝑎
⇒ 𝑦1 =
−1−3
2⋅2
= −1 e 𝑦2 =
−1+3
2⋅2
=
1
2
. 
Como 𝑎 = 2 > 0, o gráfico de 𝑝(𝑦) é uma parábola
de concavidade para cima, em forma de U, com raízes −1 e 
1
2
. Assim, 
2 cos2 𝑥 + cos 𝑥 − 1 ≤ 0 ⟺ cos 𝑥 está entre −1 e 
1
2
, isto é, cos 𝑥 ∈ [−1,
1
2
]. Na figura abaixo vemos que os valores permitidos 
são, considerando 𝑥 ∈ ]0, 2𝜋], 𝑆 = [
𝜋
3
,
5𝜋
3
]. 
 
Gabarito: “C”. 
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32. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A soma das soluções da equação cos(2𝑥) − cos(𝑥) = 0, com 𝑥 ∈
[0, 2𝜋), é igual a 
(A) 
5𝜋
3
 
(B) 2𝜋 
(C) 
7𝜋
3
 
(D) 𝜋 
(E) 
8𝜋
3
 
Comentários 
cos(2𝑥) = cos(𝑥) ⟺ 2𝑥 = 𝑥 + 2𝑘𝜋 ou 2𝑥 = −𝑥 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
⇔ 𝑥 = 2𝑘𝜋 ou 𝑥 =
2𝑘𝜋
3
, 𝑘 ∈ ℤ 
Conjunto-solução: 
𝑆 = {0,
2𝜋
3
,
4𝜋
3
} ⇒ soma = 0 +
2𝜋
3
+
4𝜋
3
= 2𝜋 
Gabarito: “B”. 
33. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A soma de todas as soluções da equação 
2 cos3(𝑥) − cos2(𝑥) − 2 cos(𝑥) + 1 = 0, que estão contidas no intervalo [0, 2𝜋], é igual a 
(A) 2𝜋 
(B) 3𝜋 
(C) 4𝜋 
(D) 5𝜋 
(E) 6𝜋 
Comentários 
Antes de tentar resolver a equação cúbica, vamos fazer a transformação 𝑦 = cos(𝑥). Ficamos com: 
𝑃(𝑦) = 2𝑦3 − 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 0 
O teorema das raízes racionais diz que, se houver raiz racional num polinômio de coeficientes inteiros, e se a fração da raiz 
estiver em sua forma irredutível, então o denominador divide o coeficiente do termo líder e o numerador divide o termo 
independente. Assim, suponhamos que exista 
𝑝
𝑞
 raiz racional do polinômio acima, 𝑞 > 0, de modo que mmc(𝑝, 𝑞) = 1. Então, 
𝑝 ∈ {1, −1} e 𝑞 ∈ {1,2}. Por inspeção, verifica-se que 𝑟 =
1
2
 é raiz do polinômio (poderíamos ter verificado outra). 
Após a divisão polinomial de 𝑃(𝑦) por (𝑦 − 𝑟) = (𝑦 −
1
2
), ficamos com um fator quadrático, mas que facilmente se fatora 
usando produtos notáveis: 
𝑃(𝑦) = (𝑦 −
1
2
) ⋅ (2𝑦2 − 2) = (2𝑦 − 1) ⋅ (𝑦2 − 1) = (2𝑦 − 1) ⋅ (𝑦 − 1) ⋅ (𝑦 + 1) 
Dessa maneira, as raízes de 𝑃 são 𝑦 =
1
2
, 𝑦 = 1 e 𝑦 = −1. Lembrando que 𝑦 = cos 𝑥, temos, no intervalo [0, 2𝜋]: 
cos 𝑥 =
1
2
⇒ 𝑥 =
𝜋
3
∨ 𝑥 =
5𝜋
3
 
cos 𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2𝜋 
cos 𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = 𝜋 
Logo, a soma das raízes é 
𝜋
3
+
5𝜋
3
+ 0 + 2𝜋 + 𝜋 = 5𝜋. 
Gabarito: “D”. 
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34. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Seja 𝛽 =
1
2
⋅
log10 3
log10 3−log10 7
. O conjunto solução da desigualdade 
3cos 𝑥 ≤ (
3
7
)
𝛽
no intervalo [0, 2𝜋), é igual a: 
(A) [0,
𝜋
3
). 
(B) [
𝜋
3
,
5𝜋
3
]. 
(C) [
𝜋
3
, 2𝜋]. 
(D) [
𝜋
3
, 2𝜋). 
(E) [
3𝜋
2
, 2𝜋). 
 
Comentários 
𝛽 =
1
2
⋅
log10 3
log10 3 − log10 7
⇒ 2𝛽 =
log10 3
log10 3 − log10 7
=
log10 3
log10 (
3
7
)
= log3
7
3 ⇒ (
3
7
)
2𝛽
= 3 
Dessa forma, temos que: 
3cos 𝑥 ≤ (
3
7
)
𝛽
⇔ 32cos 𝑥 ≤ (
3
7
)
2𝛽
= 31 ⇔ 2 cos 𝑥 ≤ 1 (pois a função 𝑓(𝑦) = 3𝑦 é crescente) 
⇔ cos 𝑥 ≤
1
2
 
Na figura a seguir, podemos ver que o conjunto solução desejado é [60°, 300°] = [
𝜋
3
,
5𝜋
3
]. 
 
Gabarito: “B”. 
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35. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O número de arcos no intervalo [0,
19𝜋
6
] cujo valor do cosseno é 
igual a 
1
2
 é 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
Comentários 
cos 𝑥 =
1
2
⟺ 𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = −
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Como 
19𝜋
6
= 2𝜋 +
7𝜋
6
, as soluções válidas são 𝑆 = {
𝜋
3
,
5𝜋
3
,
7𝜋
3
}. 
Gabarito: “C”. 
 
36. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) A quantidade de valores inteiros que 𝑎 pode assumir para que a 
equação cos 𝑥 = (𝑎 − 1)2 tenha solução é: 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
Comentários 
Como cos 𝑥 ∈ [−1,1], a equação tem solução se, e somente se, −1 ≤ (𝑎 − 1)2 ≤ 1. A primeira desigualdade é verdadeira 
para todo 𝑎 ∈ ℝ. Vamos nos atentar à segunda desigualdade. 
(𝑎 − 1)2 ≤ 1 ⟺ |𝑎 − 1| ≤ 1 ⟺ −1 ≤ 𝑎 − 1 ≤ 1 ⟺ 0 ≤ 𝑎 ≤ 2 
Os valores inteiros de 𝑎 são 𝑎 = 0, 𝑎 = 1 e 𝑎 = 2. 
 
Gabarito: “C”. 
 
37. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) Dadas as funções reais 𝑓(𝑥) = sen 2𝑥 e 𝑔(𝑥) =
1
2
 tal que 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
Então, o número de interseções entre os gráficos de 𝑓 e 𝑔 é: 
(A) 6 
(B) 2 
(C) 1 
(D) 4 
(E) 8 
 
 
 
 
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Comentários 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ sen 2𝑥 =
1
2
= sen
𝜋
6
. 
Temos duas opções: 2𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ou 2𝑥 = 𝜋 −
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 =
𝜋
12
+ 𝑘𝜋 ou 𝑥 =
5𝜋
12
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Logo, o conjunto solução da equação 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) no intervalo [0, 2𝜋] é 𝑆 = {
𝜋
12
,
5𝜋
12
,
13𝜋
12
,
17𝜋
12
}, o que implica que há 4 
interseções entre os gráficos de 𝑓 e 𝑔 tal que 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
 
Gabarito: “D”. 
38. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O produto cotg 𝑥 ⋅ cos 𝑥 é postivo, portanto, 𝑥 pertence ao 
(A) 1° ou 2° quadrantes. 
(B) 1° ou 4° quadrantes. 
(C) 2° ou 3° quadrantes. 
(D) 2° ou 4° quadrantes. 
(E) 3° ou 4° quadrantes. 
Comentários 
cotg 𝑥 ⋅ cos 𝑥 = (
cos 𝑥
sen 𝑥
) ⋅ cos 𝑥 =
cos2 𝑥
sen 𝑥
 
Logo, como cos2 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ, o produto é positivo se, e somente se, sen 𝑥 > 0, o que ocorre nos quadrantes 
1 e 2. 
Gabarito: “A”. 
39. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) O valor de cos 𝑥 + sen 𝑥, sabendo que 3 ⋅ sen 𝑥 + 4 ⋅ cos 𝑥 = 5, é 
(A) 
3
5
 
(B) 
4
5
 
(C) 1 
(D) 
6
5
 
(E) 
7
5
 
Comentários 
3 ⋅ sen 𝑥 + 4 ⋅ cos 𝑥 = 5 
⟺ 4 ⋅ cos 𝑥 = 5 − 3 ⋅ sen 𝑥 
⇒ 16 ⋅ cos2 𝑥 = (5 − 3 ⋅ sen 𝑥)2 
⟺ 16 − 16 ⋅ sen2 𝑥 = 25 − 30 ⋅ sen 𝑥 + 9 ⋅ sen2 𝑥 
⟺ 0 = 25 ⋅ sen2 𝑥 − 30 ⋅ sen 𝑥 + 9 = (5 ⋅ sen 𝑥 − 3)2 
⟺ sen 𝑥 =
3
5
 
Logo, usando a equação, sen 𝑥 =
3
5
 𝑒 cos 𝑥 =
4
5
 é a única solução. Então, sen 𝑥 + cos 𝑥 =
7
5
. 
Gabarito: “E”. 
 
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40. (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx – 2018) No círculo trigonométrico (raio = 1), representado na figura, a 
medida de 𝛽 é 150° e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ representa um diâmetro. O valor do produto das medidas dos segmentos 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ é 
 
(A) a) 
1
4
 
(B) b) 
1
2
 
(C) c) 
√3
4
 
(D) d) 
√3
2
 
(E) e) 
√2
2
 
 
Comentários 
𝛽 = 150° ⇒ 𝐵Ô𝐶 = 180° − 𝛽 = 30° ⇒ 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ ⋅ cos 30° = cos 30 ° =
√3
2
. 
𝛽 = 150° ⇒ 𝐴Ô𝐷 = 𝛽 − 90° = 60° ⇒ 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ ⋅ cos 60° = cos 60° =
1
2
. 
Logo, 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ ⋅ 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ =
√3
2
⋅
1
2
=
√3
4
. 
Gabarito: “C” 
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Geometria e Trigonometria - 2020 
 
 
Gabarito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 C 26 C 
2 D 27 B 
3 A 28 E 
4 C 29 D 
5 D 30 C 
6 A 31 C 
7 D 32 B 
8 D 33 D 
9 D 34 B 
10 C 35 C 
11 D 36 C 
12 C 37 D 
13 D 38 A 
14 A 39 E 
15 D 40 C 
16 E 
17 B 
18 C 
19 E 
20 C 
21 D 
22 C 
23 A 
24 D 
25 D 
CPF 18908212760
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