Teoria dos Números e Ordem em Z

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Teoria dos Números 187
Sejam α, β ∈ Z. Se
α ≤ β,
para qualquer γ ∈ Z, temos
α + γ ≤ β + γ.
Demonstração:
Sejam α = (a, b), β = (c, d) e γ = (e, f) ∈ Z, com α ≤ β. Então
(a, b) ≤ (c, d)⇒ a+ d ≤ b+ c⇒ (a+ d) + (e+ f) ≤ (b+ c) + (e+ f)
⇒ (a+ e) + (d+ f) ≤ (b+ f) + (c+ e)
⇒ (a+ e, b+ f) ≤ (c+ e, d+ f)
⇒ (a, b) + (e, f) ≤ (c, d) + (e, f)⇒ α + γ ≤ β + γ. �
(R4) Monotonicidade Multiplicação:
Sejam α, β, γ ∈ Z. Se
α ≤ β,
para qualquer γ ≥ (0, 0) em Z, tem-se:
αγ ≤ βγ.
Demonstração:
Sejam α = (a, b), β = (c, d) e γ = (e, f) ∈ Z, com α ≤ β e γ ≥ (0, 0). Então
(a, b) ≤ (c, d)⇒ a+ d ≤ b+ c⇒ ∃ p ∈ N, tal que:
(b+ c) = (a+ d) + p. (16.5)
Multiplicando (16.5) por e, e posteriormente por f , obtemos as equações:
(a+ d)e+ pe = (b+ c)e e (b+ c)f = (a+ d)f + pf.
Somando essas duas equações obtem-se:
(a+ d)e+ (b+ c)f + pe = (a+ d)f + (b+ c)e+ pf (16.6)
Agora, como (0, 0) ≤ (e, f) ⇒ f ≤ e ⇒ e = f + q, q ∈ N. Multiplicando essa
equação por p, tem-se:
pe = pf + pq
Substituindo esse valor em(16.6):
(a+ d)e+ (b+ c)f + (pf + pq) = (a+ d)f + (b+ c)e+ pf
Pelo cancelamento da adição em N, ficamos com:
(a+ d)f + (b+ c)e = (a+ d)e+ (b+ c)f + pq
188 Teoria dos Números
⇓
(a+ d)e+ (b+ c)f ≤ (a+ d)f + (b+ c)e
⇓
(ae+bf)+(cf+de) ≤ (af+be)+(ce+df)⇒ (ae+ bf, af + be) ≤ (ce+ df, cf + de)
⇓
(a, b).(e, f) ≤ (c, d).(e, f)⇒ αγ ≤ βγ.
�
Por fim, veremos que a função imersão f : N → Z também preserva a
ordem definida em Z.
Proposição 26. Considerando a função imersão definida na Proposição 20,
para quaisquer m1,m2 ∈ N tem-se a implicação:
m1 ≤ m2 ⇒ f(m1) ≤ f(m2).
Demonstração:
Se m1 < m2 ⇒ m1 + 0 < 0 +m2 ⇒ (m1, 0) < (m2, 0)⇒ f(m1) < f(m2). �
7 Inteiros Positivos e Negativos
Proposição 27. Para todo α ∈ Z, temos uma, e somente uma, das afirmações:
(i) α < 0;
(ii) α = 0;
(iii) α > 0.
Demonstração:
Segue diretamente da Tricotomia em N, pois, se α = (a, b) ∈ Z, pela tricotomia
em N, ocorre uma e somente uma, das condições:
(i) a < b⇒ a+ 0 < b+ 0⇒ (a, b) < (0, 0)⇒ α < 0;
(ii) a = b⇒ a+ 0 = b+ 0⇒ (a, b) = (0, 0)⇒ α = 0;
(iii) b < a⇒ b+ 0 < a+ 0⇒ (0, 0) < (a, b)⇒ α > 0. �
Como consequência da proposião acima e da Tricotomia em N, segue a
tricotomia em Z.
Corolário 11. (Tricotomia em Z)
Dados α, β ∈ Z ocorre uma, e somente uma, das afirmações:
(i) α < β;
(ii) α = β;
(iii) α > β.
	A Construção de Z
	Inteiros Positivos e Negativos