Matemática em Contexto Análise, Probabilidade e computação (21)

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Resolução
1. Lendo e compreendendo
 a) O que é dado no problema?
O problema informa que há 30 estudantes em uma sala de aula. Eles vão se cumprimentar com um aperto 
de mão e uma pequena apresentação.
 b) O que se pede? 
Pede-se o número total de cumprimentos (apertos de mão) entre os estudantes.
2. Planejando a solução
Há várias maneiras de resolver este problema. Vejamos duas delas:
1a
 maneira: elaborando diagramas e analisando casos mais simples.
2a
 maneira: usando o raciocínio combinatório, mais especificamente, a ideia de combinação.
3. Executando o que foi planejado
1a
 maneira: com diagramas.
Os diagramas a seguir representam os cumprimentos para 1, 2, 3, 4 e 5 pessoas.
BA
2 pessoas1 pessoa
A
3 pessoas
B C
A
4 pessoas
B
CD
A
5 pessoas
B
C
D
EA
Observe que o problema dos cumprimentos se reduz à contagem do número de segmentos de reta necessários 
para conectar vários pontos.
Vamos analisar o caso de 4 pessoas.
A pessoa A cumprimenta 3 pessoas: B, C e D (3 cumprimentos).
A pessoa B também cumprimenta 3 pessoas: A, C e D (3 cumprimentos).
E assim por diante. Cada pessoa cumprimenta outras 3 pessoas.
Parece então que teremos 4 ? 3 ou 12 cumprimentos. Mas note que os cumprimentos entre A e B foram contados 
2 vezes. Isso ocorre com cada uma das 4 pessoas. Consequentemente, cada cumprimento foi contado 2 vezes.
Assim, para obter a resposta, precisamos dividir 12 por 2, ou seja, calcular 
4 3
2
?
 5 6, que é igual ao número 
de segmentos de reta traçados na figura AB AC AD BC BD CD, , , , ,( ) .
Faça esse mesmo raciocínio para o caso de 5 pessoas. Você descobrirá que serão 
5 4
2
?
 ou 10 cumprimentos 
ou 10 segmentos de reta ligando 5 pontos não alinhados do plano.
Podemos usar esse raciocínio para um número qualquer de pessoas. Usando a estratégia anterior, nosso pro-
blema fica resolvido calculando 
30 29
2
870
2
?
5 , ou seja, 435 cumprimentos.
2a maneira: usando o raciocínio combinatório.
São 30 estudantes que vão se cumprimentar. Já vimos que não importa a ordem no cumprimento, ou seja, se 
A cumprimenta B, então B já cumprimentou A (o cumprimento não ocorre duas vezes, apenas uma). Assim, 
estamos combinando 30 estudantes, 2 a 2. Para encontrar o número total de combinações, calculamos:
C30, 2 5 
30
2 30 2
30 29 28
2 28
30 29
2
870
2
!
! ? ( 2 )!
5
? ? !
! ? !
5
?
5 5 435
Então, temos 435 cumprimentos diferentes. 
4. Emitindo a resposta 
Quando 30 estudantes se cumprimentam com um aperto de mão, há 435 cumprimentos diferentes no total.
5. Ampliando o problema
	a) E se fossem 20 estudantes, qual seria o total de cumprimentos? Escolha uma das maneiras e resolva. 
	b) Troque ideias com os colegas sobre qual foi a maneira mais criativa de resolver o problema, qual foi a mais 
fácil, qual foi a mais rápida. Justifique suas escolhas. 
Il
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B
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190 cumprimentos diferentes.
Resposta pessoal.
Não escreva no livro.
39
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Além da sala de aula
Não escreva no livro.
Afinação do cavaquinho
O samba é um dos elementos mais representativos da cultura brasileira. O sam-
ba surgiu por volta do século XIX no estado da Bahia, mas encontrou espaço para 
se desenvolver no Rio de Janeiro. Durante algum tempo foi marginalizado por ser 
uma dança e um estilo musical ligado à cultura preta; apenas por volta de 1940, 
durante o governo de Getúlio Vargas, foi que o samba ganhou reconhecimento e 
passou a ser tido como um símbolo nacional. 
No samba, a harmonia é feita por instrumentos de corda; os mais populares 
são o violão e o cavaquinho. O cavaquinho é um instrumento português, cria-
do na região de Braga e levado por imigrantes lusitanos para vários lugares do 
mundo, entre eles o Brasil. Por ser um instrumento de quatro cordas, a afinação 
do cavaquinho varia de acordo com a região do mundo em que ele se encontra.
No cavaquinho, as notas podem ser tocadas individualmente ou juntas. Como 
o cavaquinho tem quatro cordas, pode soar até quatro notas diferentes de uma 
única vez, uma em cada corda. As notas soam harmônicas quando tocadas juntas, 
dependendo da posição delas na escala musical. Uma nota dó, por exemplo, harmoniza com uma nota mi; 
então, tocá-las simultaneamente resulta em um som mais agradável do que tocar um fá com um si (duas notas 
que não se harmonizam ou, como são chamadas na teoria musical, que são dissonantes).
A afinação colabora para que seja possível soar ao mesmo tempo diferentes conjuntos de notas. No caso 
do cavaquinho, a afinação tem a ver com a espessura da corda e a tensão à qual ela está sendo submetida. 
Cada corda gera uma nota musical diferente e, geralmente, é estabelecido um padrão para a sequência de 
notas nas cordas do instrumento. No cavaquinho, em especial, existem diferentes afinações, isto é, exis-
tem diferentes sequências de notas para as quatro cordas; essa escolha é feita de acordo com os costumes 
etnográficos da comunidade. Perceba que as diferentes combinações de afinação fazem do cavaquinho um 
instrumento adaptável ao tipo de música tocado em cada região.
Fontes de consulta: PORTILHO, Gabriela. Como surgiu o samba? Superinteressante, São Paulo, 4 jul. 2018. Disponível em: 
https://super.abril.com.br/mundo-estranho/como-surgiu-o-samba/#:~:text=Muito%20parecido%20com%20a%20; PREFEITURA DO RIO 
DE JANEIRO. O cavaquinho. Cidades das Artes, Rio de Janeiro, 21 abr. 2014. Disponível em: http://cidadedasartes.rio.rj.gov.br/noticias/
interna/341. Acessos em: 2 jul. 2020.
	 1.	Considere que as cordas de um cavaquinho têm as seguintes possibilidades para a afinação:
• a primeira corda pode ser afinada em ré ou mi;
• a segunda corda pode ser afinada em LÁ, SI ou dó;
• a terceira corda pode ser afinada em MI, FÁ ou SOL;
• a quarta pode ser afinada em DÓ ou RÉ.
	a) Sabendo que as notas dó, ré e mi são exatamente uma oitava (conjunto das 7 notas musicais) mais 
agudas do que as notas DÓ, RÉ e MI, respectivamente, nesse cenário, quantas são as possibilidades de 
afinação desse cavaquinho?
	b) Nas condições do enunciado, você calculou no item anterior uma quantidade de afinações diferentes. 
Se considerássemos outras condições, poderíamos ter muito mais possibilidades de afinações. Você 
concorda com essa afirmação? O que ela implica em termos de possibilidades musicais?
	 2.	Pesquise se na sua comunidade existem instrumentos musicais com afinações específicas. Procure com-
preender os motivos e resultados dessas escolhas. Depois, compartilhe sua descoberta com os colegas.
36 afinações.
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
Resposta pessoal.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
O cavaquinho é similar a um 
violão, mas é menor e tem 
apenas quatro cordas.
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