Matemática Interligada Estatística, Análise e Probabilidade (118)

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135
 Variância σ 
 2
 
Dado um conjunto de dados qualquer, a soma dos desvios para a média sempre será zero, pois 
os valores positivos e negativos se anulam. Tomando como exemplo a pontuação do time de bas-
quete citado anteriormente, temos:
 11 1 0 1 8 1 ( 2 8 ) 1 3 1 ( 2 14 ) 5 0 
Para algumas medidas de dispersão em torno da média, utiliza-se a soma dos quadrados dos 
desvios, pois, como o quadrado de um número negativo é sempre positivo, a soma dos quadrados 
é positiva ou nula. Uma das medidas de dispersão que utilizam a soma dos quadrados dos des-
vios é a variância, a qual indicaremos por σ 
2
 .
No quadro, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três 
taxistas em um período de cinco dias:
Vamos calcular a variância para os carros dos três taxistas:
• Inicialmente, calculamos a média aritmética de consumo por dia para os três carros.
 › 
_
 x 
A
 5 
12 1 8 1 24 1 11 1 19
 ― 
5
 5 
74
 ― 
5
 5 14,8 
 › 
_
 x 
B
 5 
15 1 17 1 9 1 10 1 41
 ― 
5
 5 
92
 ― 
5
 5 18,4 
 › 
_
 x 
C
 5 
27 1 14 1 30 1 14 1 6
 ― 
5
 5 
91
 ― 
5
 5 18,2 
• Agora, calculamos a variância para verificar qual carro teve maior regularidade nos cinco 
dias.
segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira sexta-feira
Taxista A 12 8 24 11 19
Taxista B 15 17 9 10 41
Taxista C 27 14 30 14 6
 › σ 
A
 
2
 5 
 ( 12 2 14,8 ) 
2
 1 ( 8 2 14,8 ) 
2
 1 ( 24 2 14,8 ) 
2
 1 ( 11 2 14,8 ) 
2
 1 ( 19 2 14,8 ) 
2
 
 ―――――――― 
5
 5 34,16 
 › σ 
B
 
2
 5 
 ( 15 2 18,4 ) 
2
 1 ( 17 2 18,4 ) 
2
 1 ( 9 2 18,4 ) 
2
 1 ( 10 2 18,4 ) 
2
 1 ( 41 2 18,4 ) 
2
 
 ―――――――― 
5
 5 136,64 
 › σ 
C
 
2
 5 
 ( 27 2 18,2 ) 
2
 1 ( 14 2 18,2 ) 
2
 1 ( 30 2 18,2 ) 
2
 1 ( 14 2 18,2 ) 
2
 1 ( 6 2 18,2 ) 
2
 
 ―――――――― 
5
 5 80,16 
Observando as variâncias, notamos que o carro B tem maior dispersão em relação aos demais, 
e o carro A tem menor. Note também que, apesar de as médias aritméticas dos carros B e C 
serem próximas, a dispersão referente ao carro B é muito maior do que a referente ao carro C.
A variância ( σ 
 2
 ) de um conjunto de valores é a média aritmética dos quadrados dos 
desvios para a média, isto é:
 σ 
 2
 5 
 ( x 
1
 2 
_
 x ) 
2
 1 ( x 
2
 2 
_
 x ) 
2
 1 ( x 
3
 2 
_
 x ) 
2
 1 ... 1 ( x 
n
 2 
_
 x ) 
2
 
 ―――――― 
n
 5 
 ∑ 
i51
 
n
 ( x 
i
 2 
_
 x ) 
2
 
 ― 
n
 
A variância não tem a mesma unidade de medida dos valores da variável, pois os desvios são 
elevados ao quadrado. Para manter a unidade de medida dos valores, utilizamos outra medida, 
chamada desvio padrão, a qual estudaremos a seguir.
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136
 Desvio padrão ​σ​
Essa medida permite interpretar os dados na mesma unidade dos valores da variável.
Utilizando o exemplo dos carros dos taxistas apresentado anteriormente, temos:
• carro A: σ 
A
 5 √ 
―
 34,16 . 5,84 é 5,84 L 
• carro B: σ 
B
 5 √ 
―
 136,64 . 11,69 é 11,69 L 
• carro C: σ 
C
 5 √ 
―
 80,16 . 8,95 é 8,95 L 
O carro A teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio padrão é o menor.
f 9 8 5 7 4 1 2
 x 
i
 14 15 16 17 18 19 20
 x 
i
 2 
_
 x –2 –1 0 1 2 3 4
Quanto mais 
próximo de 
zero é o desvio 
padrão, mais 
regular é a 
distribuição 
dos valores da 
variável em 
torno da 
média.
 R7. A tabela apresenta a quantidade de questões 
acertadas por 36 candidatos na prova de legis-
lação do exame do Departamento de Trânsito 
(Detran) para a obtenção da Carteira Nacional 
de Habilitação (CNH).
Em relação à quantidade de questões certas, 
calcule:
a ) o desvio médio ( D 
m
 ) 
b ) a variância ( σ 
2
 ) 
c ) o desvio padrão ( σ ) 
Resolução
Inicialmente, calculamos 
_
 x e, em seguida, a diferença x 
i
 2 
_
 x (desvio), para todo x 
i
 .
 
_
 x 5 
9 ?? 14 1 8 ?? 15 1 5 ?? 16 1 7 ?? 17 1 4 ?? 18 1 1 ?? 19 1 2 ?? 20
 ―――――― 
36
 5 
576
 ― 
36
 5 16 é 16 questões 
Assim, temos:
Como os dados estão agrupados por frequências, consideramos para o cálculo das medidas de 
dispersão a frequência absoluta referente a cada valor atribuído à variável.
a ) D 
m
 5 
9 ?? |2 2| 1 8 ?? |2 1| 1 5 ?? |0| 1 7 ?? |1| 1 4 ?? |2| 1 1 ?? |3| 1 2 ?? |4| 
 ―――――― 
36
 5 
5 
18 1 8 1 0 1 7 1 8 1 3 1 8
 ― 
36
 5 
52
 ― 
36
 . 1,44 é 1,44 questão 
b ) σ 
2
 5 
9 ?? ( 2 2 ) 
2
 1 8 ?? ( 2 1 ) 
2
 1 5 ?? 0 
2
 1 7 ?? 1 
2
 1 4 ?? 2 
2
 1 1 ?? 3 
2
 1 2 ?? 4 
2
 
 ――――――― 
36
 5 
5 
36 1 8 1 0 1 7 1 16 1 9 1 32
 ― 
36
 5 
108
 ― 
36
 5 3 
c ) σ 5 √ 
―
 3 . 1,73 é 1,73 questão 
Questões acertadas em uma prova de legislação – 2021
Quantidade de questões ( x 
i
 ) Frequência ( f ) 
14 9
15 8
16 5
17 7
18 4
19 1
20 2
Elaborado pelo autor com dados fictícios.
O desvio padrão ( σ ) de um conjunto 
de valores é a raiz quadrada da variância: σ 5 √ 
―
 σ​ 
2
 5 √ 
―――
 
 ∑ 
i51
 
n
 ( x 
i
 2 
_
 x ) 
2
 
 ―― 
n
 
 D 
m
 5 1,44 significa que 
o número de questões 
acertadas é, em média, 
1,44 questão acima ou 
abaixo da média 
aritmética.
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