Relações Métricas no Triângulo

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Formalizando as relações métricas 
no triângulo retângulo
Utilizando a semelhança de triângulos, podemos obter as relações métricas no triân-
gulo retângulo: fórmulas que relacionam as medidas de comprimento dos lados e das 
alturas do triângulo retângulo.
A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo ABC o divide em dois triân-
gulos retângulos semelhantes a ele e semelhantes entre si. Observe.
a
b
b
ba
a
c
b
h
D
a
A
B D D
c
b
hh
Cnm
A A
B C
Como os três triângulos têm todos os ângulos internos congruentes, eles são se-
melhantes pelo caso AA. Assim: 
nABC á nDBA á nDAC
Lembre-se de algumas nomenclaturas dos triângulos retângulos, considerando o triângulo ABC acima.
Ao traçarmos a altura AD, perpendicular à hipotenusa BC, ficam definidos os seguintes elementos:
•	AD é a altura relativa à hipotenusa (e tem medida de comprimento h);
•	BD é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa (e tem medida de comprimento m);
•	CD é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa (e tem medida de comprimento n).
Fique atento
Da semelhança dos triângulos ABC e DBA, estabelecemos uma relação métrica:
5 ~ 5
AB
BC
DB
BA
c
a
m
c
 ~ c2 5 am
Da semelhança dos triângulos ABC e DAC, temos:
5 ~ 5
AB
BC
DA
AC
c
a
h
b
 ~ ah 5 bc 
5 ~ 5
AC
BC
DC
AC
b
a
n
b
 ~ b2 5 an 
Da semelhança dos triângulos DBA e DAC, segue que:
5 ~ 5
DA
DB
DC
DA
h
m
n
h
 ~ h2 5 mn
Somando membro a membro as relações c2 5 am e b2 5 an, obtemos:
b2 1 c2 5 am 1 an ~ b2 1 c2 5 a m n
a
E F55
( 1 ) ~ b2 1 c2 5 a2
A relação métrica b2 1 c2 5 a2 é conhecida como teorema de Pitá-
goras: em um triângulo retângulo, o quadrado da medida de compri-
mento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de 
comprimento dos catetos.
As fórmulas 
c2 5 am e b2 5 an 
relacionam os 
mesmos elementos 
nos triângulos DBA 
e DAC. Podemos 
generalizá-las 
assim: em um 
triângulo retângulo, 
o quadrado 
da medida de 
comprimento 
de um cateto é 
igual ao produto 
das medidas de 
comprimento da 
hipotenusa e da 
projeção ortogonal 
desse cateto.
Fique atento
Monumento em homenagem 
a Pitágoras, na ilha de Samos 
(Grécia). Foto de 2018.
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	10.	Determine o valor de x, y, z e w neste triângulo retângulo. 
x
12
15
y
zw
	11.	Calcule as medidas de comprimento b, c e h indicadas 
no triângulo retângulo a seguir.
5
a
15
CB
A
c b
h
	12.	Calcule os valores de c, r, x e y indicados no triângulo.
r
y x
c
23
7
 
	13.	Em um triângulo retângulo, a razão entre as medidas 
de comprimento das projeções ortogonais dos catetos 
sobre a hipotenusa é 
9
16
. Sabendo que a hipotenusa 
tem medida de comprimento de 10 cm, calcule as me-
didas de comprimento dos catetos. 6 cm e 8 cm.
	 1.	Calcule o valor de x em cada figura.
	a) 
2
4
x
 b) 
3
5
x
 c) 
6
a
8
x
Resolução
	a) Usando a relação métrica c2 5 am, obtemos: 
22 5 4x ~ 4 5 4x ~ x 5 1
	b) Pelo teorema de Pitágoras, obtemos: 
32 1 x2 5 52 ~ 9 1 x2 5 25 ~ x2 5 16 ~ x 5 4 (Consideramos apenas o valor positivo, pois a medida de 
comprimento x não pode ser negativa.)
	c) Pelo teorema de Pitágoras, calculamos inicialmente a medida de comprimento a: 
a2 5 62 1 82 ~ a2 5 100 ~ a 5 10 (a também não pode ser negativo)
Agora, pela relação métrica ah 5 bc, obtemos: 10x 5 6 ? 8 ~ x 5 4,8
	 2.	Uma rodovia cruza uma hidrovia perpendicularmente por meio de uma ponte. Ambas podem ser considera-
das retilíneas. No mesmo instante em que um carro cruza a ponte, a uma medida de velocidade constante de 
100 km/h, uma barcaça passa sob a ponte a 60 km/h e prossegue a viagem a essa velocidade. Após 15 minutos, 
qual será a medida de distância aproximada entre o automóvel e a barcaça supondo que ambos estejam no 
mesmo plano horizontal?
Resolução
A medida de velocidade constante do carro é 100 km/h; logo, em 15 minutos ele terá per-
corrido 25 km. Por sua vez, a barcaça está a 60 km/h; logo, ela terá percorrido 15 km nesses 
15 minutos.
Então, temos ao lado um esboço da situação, em que d pode ser calculado pelo teorema de 
Pitágoras:
d2 5 152 1 252 5 225 1 625 5 850 ~ d 5 5 34 (d não pode ser negativo)
Portanto, usando uma calculadora, determinamos que a medida de distância entre o automóvel e a barcaça 
será de aproximadamente 29,15 km.
Atividades resolvidas
Atividades Não escreva no livro.
x 5 9, y 5 w z
36
5
, 
27
5
 e 
48
5
.5 5
b 5 10 3, 
c 5 10 e h 5 5 3.
c 5 
3 14
5
, r 5 5, 
x 5 1,4 e y 5 3,6.
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