Sistemas Lineares e Soluções

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Veja alguns exemplos.
	a) 
2 5
1 5
x y
x y
3 2 6
3 10



 é um sistema linear 2 3 2 (duas equações e duas incógnitas) nas incógnitas x e y.
	b) 
2 5 2
1 5 1
x y x
x y y
3 2
2 12



 é um sistema linear 2 3 2 com incógnitas x e y, pois equivale ao sistema 
x y
x y
3 3
2 0 12



2 5
1 5
.
	c) 
x y z
x y z
x y z
2 0
2 1
8





2 2 5
2 2 5 2
2 1 5
 é um sistema linear 3 3 3 (três equações e três incógnitas) nas incógnitas x, y e z.
	d) 
1 2 5
2 1 5
x y z
x y z
4 2 1
3 6



 é um sistema linear 2 3 3 (duas equações e três incógnitas) nas incógnitas x, y e z.
Solução de um sistema linear
Neste capítulo, 
consideraremos 
sempre que as 
soluções de um 
sistema linear 
m 3 n são ênuplas 
ordenadas de 
números reais.
Fique atento
Dizemos que a ênupla ordenada (b1, b2, b3, », b
n
) é solução de um sistema 
linear quando ela é solução de cada uma das equações do sistema, ou seja, 
quando satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema.
Veja alguns exemplos.
	a) O par ordenado (5, 1) é solução do sistema linear 
1 5
2 5
x y
x y
2 3 13
3 5 10



, pois 
? 1 ? 5
? 2 ? 5
2 5 3 1 13
3 5 5 1 10



.
	b) O par ordenado (2, 3) não é solução do sistema linear 
1 5
2 5
x y
x y
2 3 13
3 5 10



, pois 
2 2 3 3 13
3 2 5 3 10



? 1 ? 5
? 2 ? =
.
	c) O terno ordenado (1, 3, 22) é solução do sistema linear 
x y z
x y z
x y z
2 3 1
4 3
6





1 1 5
2 2 5
1 2 5
, pois 
1 ? 1 ? (2 ) 5
? 2 2 (2 ) 5
1 2 (2 ) 5
1 2 3 3 2 1
4 1 3 2 3
1 3 2 6





.
	d) O par ordenado (0, 2) é solução do sistema linear 2 1 5
2 5 2
x y
x y
3 2
6 2 4



, pois 
2 ? 1 5
? 2 ? 5 2
3 0 2 2
6 0 2 2 4



. 
O par ordenado (1, 5) também é solução desse sistema, pois 
2 ? 1 5
? 2 ? 5 2
3 1 5 2
6 1 2 5 4



.
Graficamente:
•	 cada equação do sistema linear do exemplo a tem duas incógnitas e é repre-
sentada pelos pontos de uma reta do plano;
•	 cada equação do sistema linear do exemplo c tem três incógnitas e é repre-
sentada pelos pontos de um plano do espaço. 
119
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Os métodos da substituição e da adição para resolver
sistemas lineares
Existem diversos métodos algébricos que permitem a resolução de sistemas lineares. No Ensino Fun-
damental, você deve ter estudado o método da substituição e o método da adição para resolver sistemas 
lineares de duas equações lineares com duas incógnitas.
Agora, vamos recordá-los e ampliá-los para resolver sistemas lineares com mais equações lineares e incógnitas.
Junte-se com um colega e reflitam sobre os valores de x que satisfazem cada equação linear dada.
	a) 2x 5 8 	b) 2x 5 0 	c) 0x 5 0 	d) 0x 5 5x 5 4 x 5 0
x pode ser 
qualquer 
número real.
Não existe número 
real que, multiplicado 
por 0, resulte no 
número 5. 
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
Observe:
Em uma equação linear de duas incógnitas 
ax 1 by 5 c, as soluções são os pares 
ordenados (x, y) que satisfazem a equação. 
A representação gráfica de uma equação 
linear de duas incógnitas, em um plano 
cartesiano, é uma reta. Neste plano 
cartesiano, temos a representação da 
equação linear 0,5x 1 y 5 2.
Em uma equação linear de três incógnitas ax 1 by 1 cz 5 d, as soluções 
são os ternos ordenados (x, y, z) que satisfazem a equação. A representação 
gráfica de uma equação linear de três incógnitas, em um espaço cartesiano, é 
um plano. Neste espaço cartesiano, temos a representação da equação linear 
x 2 y 1 z 5 3.
0
2
1
4321
y
x
	24.	Verifique se cada ênupla ordenada é solução do sistema linear dado.
a) (3, 21) e sistema linear 
2 5
1 5
x y
x y
2 5 11
3 6 3



.
	b) (0, 0, 0) e sistema linear 
1 1 5
2 1 5
2 2 5
x y z
x y z
x y z
0
2 3 5 0
4 7 3 0




.
	c) (0, 21) e sistema linear 
2 5
1 5 2
1 5
x y
x y
x y
0
1
3 2




.
Sim.
Sim.
Não.
Atividades Não escreva no livro.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Método da substituição
	a) Considere este sistema linear 2 3 2:
x y
x y
2 3 4 (primeira equação)
5 7 (segunda equação)



2 5 2
1 5
 Vamos determinar o conjunto solu•‹o S desse sistema linear, ou seja, o conjunto for-
mado por todos os pares ordenados de números reais que são solução do sistema.
 Neste exemplo, vamos usar o método da substituição, que consiste em isolar uma 
das incógnitas em uma das equações e, então, substituir a expressão encontrada 
na outra equação, obtendo uma nova equação linear sem essa incógnita.
Quando resolvemos 
um sistema linear 
pelo método da 
substituição e uma 
das equações tem 
alguma incógnita 
com coeficiente 1, 
isolar essa incógnita 
é a escolha mais 
conveniente.
Fique atento
y
4
2
1
0
1
1
2
2
3
3
4
5
5
6
6
26
26
25
25
24
24
23
23
22
22
21
1
22
21
y
4
2
1
0
1
1
2
2
3
3
4
5
5
6
6
26
26
25
25
24
24
23
23
22
22
211
1
22
21
3
4
5
z
43 5 6
2
2
2
2
6
5
4
3
x
120
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