Sistemas_Lineares_Material

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Professores: 
Erica Boizan Batista 
Glauber Marcio Silveira Pereira 
Introdução aos Sistemas Lineares 
Unidade 1. Definição e classificação. 
TÓPICOS 
Equação Linear e Sistema de equações lineares. 
Conjunto solução de um sistema linear. 
 
Classificação de sistemas lineares. 
 
Interpretação geométrica. 
 
Equação Linear 
Toda equação do 1° grau em uma ou mais incógnitas é 
chamada de equação linear. 
 
Exemplo: 
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 9 
 
Forma Geral de uma Equação Linear 
Toda equação linear pode ser escrita na forma 
 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑘 
neste caso dizemos que 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são as 
incógnitas, as constantes reais 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são os 
coeficientes e a constante real 𝑘 é o termo 
independente da equação. 
 
𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + (−𝟐)𝒛 + 𝟖𝒘 = 𝟏 
EXEMPLO: 
Considere a equação 
 
 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + (−𝟐)𝒛 + 𝟖𝒘 = 𝟏 
Incógnitas 
da 
equação 
Coeficientes da 
equação 
Termo 
Independente 
Solução de uma Equação Linear 
Dada uma equação linear 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 +
⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑘 dizemos que uma solução dessa 
equação é toda n-upla (sequências de n números 
reais) que satisfaz essa equação. 
 
 
 
 
Exemplo: Considere a equação 
linear 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 5 então a 
sequência de números reais 
(1, 2, 3) é solução da equação. 𝟐 ⋅ 𝟏 + 𝟑 ⋅ 𝟐 − 𝟑 = 𝟓. 
(1, 2, 3) 
Sistemas de Equações Lineares 
Um sistema de equações lineares é um conjunto de 
equações lineares que ocorrem simultaneamente. 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑘1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑘2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑘𝑚
 
Solução de um Sistemas de Equações Lineares 
O conjunto solução de um sistema linear é composto 
por todas as n-uplas que satisfazem todas as equações 
desse sistema ao mesmo tempo. 
 
 
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 1
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 0
 
Exemplo: 
 
 
Note que (-4, 3, 4) é uma solução do sistema porque é 
solução das três equações do sistema ao mesmo tempo. 
Sistema Linear Homogêneo 
Consideramos como sistema linear homogêneo aquele 
que possui todos os coeficientes independentes nulos. 
 
 
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 0
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 0
 
Exemplo: 
 
 
Note que (0, 0, 0) é uma solução do sistema porque é 
solução das três equações do sistema ao mesmo tempo. 
Sistemas Lineares Equivalentes 
Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as 
mesmas soluções são chamados sistemas equivalentes. 
Exemplo: 
 
 
 
Note que (-4, 3, 4) é a única solução dos dois sistemas 
apresentados. Portanto esses sistemas são equivalentes. 
 
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 1
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 0
 
4𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 2
6𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 = 4
−2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0
 ∼ 
Classificação de Sistemas de Equações Lineares 
Os sistemas de equações lineares podem ser 
classificados em três categorias conforme o número 
de soluções possíveis: 
 
Fonte: Autoria própria 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
A solução (-4, 3, 4) é a única solução do sistema. 
 
Sistema Possível e Determinado (SPD): 
há apenas uma solução possível. 
 
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 1
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 0
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Todas as sequências do tipo 
2
3
−
1
2
 𝑥3, −
1
3
+
1
2
𝑥3, 𝑥3 , 
onde 𝑥3 pode ser qualquer número real, é solução do 
sistema. 
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): 
há infinitas soluções possíveis. 
 
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
4𝑥 + 8𝑦 − 2𝑧 = 0
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 0
 
Exemplo: 
 
 
 
 
Não existe nenhuma sequência de três números reais 
que seja solução para esse sistema já que não é 
possível encontrar números reais que satisfaçam a 
segunda e terceira equações ao mesmo tempo. 
Sistema Impossível (SI): 
não há soluções possíveis. 
 
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 1
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 2
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 0
 
Interpretação Geométrica 
Sistemas 2 × 2 
Possível 
Impossível 
(Tem pelo menos uma solução) 
Determinado 
(Não tem solução) 
Indeterminado 
(Tem uma só solução) 
(Tem uma infinidade de soluções) 
y 
x 
x 
y 
y 
x 
Classificação de Sistemas 2x2 
Possível 
(Tem pelo menos uma solução) 
Determinado 
(Tem uma só solução) 
(Tem uma infinidade de soluções) 
Indeterminado 
Impossível 
(Não tem solução) 
Fonte: Imagem de Sebastián Valenzuela licenciado em CC BY-NC , modificada pelos autores. Disponível em http://aversiencaro.blogspot.com/2018/04/sistemas-de-ecuaciones-lineales.html 
Classificação de Sistemas 3x3 
https://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/
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Introdução aos Sistemas Lineares 
Definição e Classificação 
Resumo da apresentação 
 
Nesta apresentação definimos equações 
lineares, sistemas de equações lineares e 
conjunto solução. Além disso, 
apresentamos a classificação dos sistemas 
lineares conforme seu conjunto solução e 
suas interpretações geométricas. 
CRÉDITOS 
Autor 
Autores 
Erica Boizan Batista 
Graduada em Matemática 
Mestre em Matemática 
Doutora em Matemática 
 
Glauber Marcio Silveria Pereira 
Graduado em Matemática 
Mestre em Bioestatística 
Doutor em Estatística 
REFERÊNCIAS 
BURDEN, R. L. e FAIRES, J. D. Análise Numérica, Cengage Learning, Tradução da 8. Ed. Americana, 2008. 
 
COELHO, F.U.; LOURENÇO, M.L. Um curso de álgebra linear. Ed. Edusp, SP, 2005. 
 
STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo, McGraw-Hill, 1987. 
 
 
 
O material Introdução aos Sistemas Lineares: Definição e classificação de Erica Boizan Batista e Glauber Márcio 
Silveira Pereira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional. 
http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/
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Professores: 
Erica Boizan Batista 
Glauber Marcio Silveira Pereira 
Introdução aos Sistemas Lineares 
Unidade 2. Métodos Diretos de Resolução de Sistemas Lineares. 
 
TÓPICOS 
Método da Eliminação de Gauss. 
Método da Matriz Inversa. 
Regra de Cramer. 
Métodos de resolução de Sistemas Lineares 
Existem dois tipos de métodos de resolução de Sistemas Lineares: Os 
métodos diretos e os métodos iterativos. 
• Os métodos diretos são aqueles que fornecem uma solução exata 
do sistema linear, a menos de arredondamentos, após um número 
finito de operações, caso tal solução exista. 
• Os métodos iterativos têm como base uma sequência de 
aproximação da solução começando com um chute inicial, e que 
vão melhorando conforme iterações são executadas, caso sejam 
obedecidas certas condições. 
 
Operações elementares entre linhas 
Existem três tipos de operações de linha elementares: 
1- Permutar duas linhas: 𝐿𝑖 ↔ 𝐿𝑗 
2- Multiplicar uma linha por um número diferente de zero: 𝑘𝐿𝑖 → 𝐿𝑖 
3- Adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha: 𝐿𝑖 + 𝑘2𝐿𝑗 → 𝐿𝑖 
Representação matricial 
Todo sistema de equações lineares pode ser representado como uma equação 
matricial 𝐴𝑋 = 𝐵, onde 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑘1
𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑘2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑘𝑚
 ⇒ 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛
⋅
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
=
𝑘1
𝑘2
⋮
𝑘𝑚
 
𝐴 𝑋 𝐵 
A matriz 𝐴 é chamada de matriz dos coeficientes do sistema. 
Método de Eliminação de Gauss 
Um sistema está escalonado quando sua matriz de coeficientes é uma matriz 
triangular. O método de Eliminação de Gauss consiste em escalonar um sistema 
seguimos os seguintes passos: 
 
1- Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita 
diferente de zero; 
 
2- Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os 
coeficientes da 1ª incógnita das demais equações; 
 
3- Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne 
escalonado. 
 
Obs.: O sistema obtido após o escalonamento é 
equivalente ao sistema inicial, ou seja, possuem 
mesma solução. 
 
EXEMPLO: 
Considere o sistema linear abaixo 
 
 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + (−𝟐)𝒛 + 𝟖𝒘 = 𝟏 
 𝑥 – 𝑦 + 𝑧 = 3 
0𝑥 + 𝑦 – 2𝑧 = 3 
0𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 1 
Um sistema escalonado é possível e determinado (SPD) quando o número de equações 
é igual ao número de incógnitas. 
3ª equação: 2𝑧 = 1 ⇒ 𝑧 = 1/2 
2ª equação: 𝑦 – 2𝑧 = 3 ⇒ 𝑦 = 3 + 2 ⋅
1
2
= 4 
1ª equação: 𝑥 – 𝑦 + 𝑧 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 + 4 −
1
2
=
13
2
 
Solução: 
13
2
, 4,
1
2
. 
EXEMPLO: 
Considere o sistema linear abaixo 
 
 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + (−𝟐)𝒛 + 𝟖𝒘 = 𝟏 
 𝑥 – 𝑦 + 𝑧 = 3 
0𝑥 + 𝑦 – 2𝑧 = 3 
0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 0 Note que a última equação é nula. Por isso, ela deve ser 
eliminada. 
 𝑥 – 𝑦 + 𝑧 = 3 
0𝑥 + 𝑦 – 2𝑧 = 3 
Um sistema escalonado é possível e indeterminado (SPI) quando o número de 
equações é menor que o número de incógnitas. 
EXEMPLO: 
Considere o sistema linear abaixo 
 
 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + (−𝟐)𝒛 + 𝟖𝒘 = 𝟏 
 𝑥 – 𝑦 + 𝑧 = 3 
0𝑥 + 𝑦 – 2𝑧 = 3 
0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 1 Note que a última equação fornece um absurdo. 
Um sistema escalonado é impossível (SI) só quando apresenta uma equação 
impossível. 
Matriz estendida de um sistema linear 
Considere um sistema dado pela equação matricial 𝐴𝑋 = 𝐵, então a matriz 
estendida deste sistema é a matriz C = 𝐴 𝐵 . 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛
⋅
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
=
𝑘1
𝑘2
⋮
𝑘𝑚
 ⇒ C =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 …𝑎1𝑛 𝑘1
𝑎21 𝑎22 𝑎23 …𝑎2𝑛 𝑘2
⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 …𝑎𝑚𝑛 𝑘𝑚
 
EXEMPLO: 
Considere o sistema linear 
 
 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + (−𝟐)𝒛 + 𝟖𝒘 = 𝟏 𝑥 – 𝑦 + 𝑧 = 3 
2𝑥 + 𝑦 – 2𝑧 = 3 
−𝑥 + 2𝑦 + 1𝑧 = 1 
Matriz 
estendida do 
sistema 
Obs.: Escalonar um sistema linear é equivalente a escalonar a matriz estendida desse sistema. 
 ⇒ 𝐶 =
1 −1 1 3
2 1 −2 3
1 2 1 1
 
EXEMPLO: 
Considere o sistema linear abaixo. 
Vamos escalonar sua matriz estendida para obter um sistema equivalente: 
 
 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + (−𝟐)𝒛 + 𝟖𝒘 = 𝟏 
⇒ 
EXEMPLO: 
Continuação do escalonamento: 𝒙 + 𝟔𝒚 + (−𝟐)𝒛 + 𝟖𝒘 = 𝟏 
⇒ (1) 
EXEMPLO: 
Encontrando a solução do sistema equivalente obtemos a solução do sistema original: 
𝒙 + 𝟔𝒚 + (−𝟐)𝒛 + 𝟖𝒘 = 𝟏 
⇒ 
Método da Matriz Inversa 
Considere um sistema com 𝑛 equações e 𝑛 incógnitas dado pela equação 
matricial 𝐴𝑋 = 𝐵. Então 𝐴 é uma matriz quadrada e 𝐵 é uma matriz coluna 
de ordem 𝑛 × 1. 
 
Suponha que 𝐴 é uma matriz invertível, então existe 𝐴−1 tal que 
𝐴−1 ⋅ 𝐴 = 𝐼. 
Note que: 
𝐴𝑋 = 𝐵 ⇒ 𝐴−1 ⋅ 𝐴𝑋 = 𝐴−1 ⋅ 𝐵 ⇒ I ⋅ 𝑋 = 𝐴−1 ⋅ 𝐵 ⇒ 𝑋 = 𝐴−1 ⋅ 𝐵 
EXEMPLO: 
⇒ 
Então a solução 𝑋 
é dada por: 
e 
Regra de Cramer 
Considere um sistema com 𝑛 equações e 𝑛 incógnitas dado pela equação matricial 
𝐴𝑋 = 𝐵 , onde 𝐴 é uma matriz invertível. A regra de Cramer consiste nos 
seguintes passos: 
Passo 1: Encontra o determinante da matriz dos coeficientes, det (𝐴) = ∆; 
 
Passo 2: Substitui a coluna da primeira incógnita da matriz 𝐴 pela coluna dos 
termos independentes e encontra o determinante desta incógnita, ∆1 . 
 
Passo 3: Repete o processo com as demais incógnitas, encontrando ∆2,∆3, … ,∆𝑛. 
 
Passo 4: O valor de cada incógnita 𝑥𝑖 será a divisão do ∆𝑖 por ∆. 
EXEMPLO: 
⇒ 
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO: 
⇒ Então a solução 𝑋 é dada por: 𝑋 =
11
3
2
3
4
1
 
 
Introdução aos Sistemas Lineares 
Métodos Diretos de Resolução de 
Sistemas Lineares 
Resumo da apresentação 
 
Nesta apresentação introduzimos 
alguns dos métodos de resolução de 
sistemas lineares mais conhecidos: 
método escalonamentos, método da 
matriz inversa e regra de Cramer. 
CRÉDITOS 
Autor 
Autores 
Erica Boizan Batista 
Graduada em Matemática 
Mestre em Matemática 
Doutora em Matemática 
 
Glauber Marcio Silveria Pereira 
Graduado em Matemática 
Mestre em Bioestatística 
Doutor em Estatística 
REFERÊNCIAS 
BURDEN, R. L. e FAIRES, J. D. Análise Numérica, Cengage Learning, Tradução da 8. Ed. Americana, 2008. 
 
COELHO, F.U.; LOURENÇO, M.L. Um curso de álgebra linear. Ed. Edusp, SP, 2005. 
 
STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo, McGraw-Hill, 1987. 
 
 
 
O material Introdução aos Sistemas Lineares: Métodos Diretos de Resolução de Sistemas Lineares de Erica Boizan 
Batista e Glauber Márcio Silveira Pereira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-
NãoComercial 4.0 Internacional. 
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28/10/2022 10:39 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=622463&cmid=3874 1/5
Página inicial Meus cursos Sist_lineares Atividade Questionário
Iniciado em sexta-feira, 23 set 2022, 22:08
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Concluída em sexta-feira, 23 set 2022, 22:10
Tempo
empregado
2 minutos 45 segundos
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Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Qual dos Sistemas de Equações apresentados abaixo NÃO é um Sistema de Equações Lineares?
Escolha uma opção:

Sua resposta está correta.
Considere o Sistema Linear abaixo e indique a alternativa que apresenta a afirmação correta:
Escolha uma opção:
O Sistema pode ser resolvido pela Regra de Cramer
O Sistema possui infinitas soluções
O Sistema possui uma única solução
O Sistema não possui solução real
Sua resposta está correta.
https://cursos.poca.ufscar.br/
https://cursos.poca.ufscar.br/course/view.php?id=95&section=0
https://cursos.poca.ufscar.br/course/view.php?id=95&section=3
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/view.php?id=3874
28/10/2022 10:39 Questionário: Revisão da tentativa
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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Dizemos que dois Sistemas Lineares são equivalentes quando:
Escolha uma opção:
Possuem o mesmo número de equações
Possuem o mesmo número de incógnitas
Podem ser resolvidos pelo mesmo método de resolução
Possuem o mesmo conjunto solução
Sua resposta está correta.
Os métodos de resolução de Sistemas Lineares que fornecem uma solução exata do sistema linear, a menos de
arredondamentos, após um número finito de operações, caso tal solução exista, são chamados de:
Escolha uma opção:
Métodos Gradientes Conjugados
Métodos Diretos
Métodos Exatos
Métodos Iterativos
Sua resposta está correta.
Qual das operações entre linhas apresentada abaixo NÃO é uma das operações elementares entre linhas de um Sistema Linear
são:
Escolha uma opção:
Adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha
Multiplicar uma linha por umnúmero qualquer
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero
Permutar duas linhas
Sua resposta está correta.
28/10/2022 10:39 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=622463&cmid=3874 3/5
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Qual das alternativas apresenta a representação matricial de um sistema linear?
Escolha uma opção:

Sua resposta está correta.
Considere o Sistema Linear dado e assinale a alternativa correta:
Escolha uma opção:
Nenhuma das alternativas
O Sistema dado é SPI
O Sistema dado é SI
O Sistema dado é SPD
Sua resposta está correta.
28/10/2022 10:39 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=622463&cmid=3874 4/5
Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere o Sistema Linear abaixo. Para quais valores de a o Sistema Linear é SPD?
Escolha uma opção:

Sua resposta está correta.
Considere o seguinte Sistema Linear escalonado, e identifique a alternativa que apresenta o seu conjunto solução:
Escolha uma opção:

Sua resposta está correta.
28/10/2022 10:39 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=622463&cmid=3874 5/5
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere o Sistema Linear abaixo. Para quais valores de podemos aplicar a Regra de Cramer para resolver esse sistema?
Escolha uma opção:

Sua resposta está correta.
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