Matemática Interligada Grandezas, Sequências e Matemática Fina (39)

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Quantidade de espécies
1983 1987 1991 1995 1999 2003 2007
Ano0
239
461
Não escreva no livro.
75
 18. Observe as sequências:
 I ) (3, 4, 5, … ) 
 II ) (2, 8, 18, … ) 
 III ) ( 
3
―
2
 , 
5
―
2
 , 
7
―
2
 , … )
 IV ) (25, 22, 19, … ) 
 V ) (2 1, 2 4, 2 9, … ) 
 VI ) ( 2 10, 2 
21
―
2
 , 2 11, … )
 VII ) (2 20, 2 17, 2 14, … ) 
 VIII ) ( 
1
―
5
 , 
1
―
15
 , 
1
―
125
 , … )
 a ) Quais destas sequências não são progressões 
aritméticas? Justifique sua resposta.
b ) Determine a razão de cada PA.
c ) Classifique cada uma das progressões aritméti-
cas em crescente, decrescente ou constante. 
Justifique sua resposta.
d ) Escolha uma das progressões aritméticas e de-
termine a5 .
 19. O 1º termo de uma PA de razão 13 satisfaz a condi-
ção 10 , a1 , 20 . Determine o valor de a1 , saben-
do que 57 é um dos termos da PA.
 20. Considere as sequências ( 2, 5, 8, …, x
n
, … ) , 
( 3, 7, 11, …, y
n
, … ) e ( z1, z2, z3, …, z
n
, … ) para todo n
natural não nulo, com z
n
5 x
n
1 y
n
 . Desse modo, 
obtenha z35 .
 26. Em certa cidade, foi inaugurada uma pizzaria que 
só abre aos sábados. No dia da inauguração, a piz- 
zaria recebeu 50 fregueses. A partir daí, o gerente 
do estabelecimento percebeu que a quantidade 
de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria 
cresceu em PA de razão 8. A quantidade de fregue-
ses continuou crescendo da mesma maneira e se 
passaram 16 sábados, após o da inauguração, para 
que lotação máxima de fregueses fosse atingida 
pela primeira vez. Determine a lotação máxima de 
fregueses dessa pizzaria.
 Quantidade de espécies ameaçadas de extinção
 21. Escreva os cinco primeiros termos de uma PA. 
Depois, peça a um colega que, a partir dessa 
PA, obtenha a razão e o 10º termo. Por fim, ve-
rifique se ele o fez corretamente.
 22. Determine o último termo de uma progressão 
aritmética, sabendo que essa progressão tem 11 
termos, o termo médio ( a6 ) é 17 e o 1º termo é 2.
 23. Em uma fazenda são produzidos semanalmente 
14 kg de queijo. O proprietário da fazenda preten-
de aumentar essa produção por semana. Para isso, 
ele planeja produzir, semanalmente, 6 kg de quei-
jo a mais do que a quantidade produzida na sema-
na anterior, mantendo esse ritmo até a 12ª semana. 
Seguindo esse planejamento, quantos quilogra-
mas de queijo será produzido na 12ª semana?
 24. Resolvam esta tarefa.
(Enem) O gráfico abaixo, obtido a partir de 
dados do Ministério do Meio Ambiente, mos-
tra o crescimento do número de espécies da 
fauna brasileira ameaçadas de extinção.
Se mantida pelos próximos anos, a tendência 
de crescimento mostrada no gráfico, a quanti-
dade de espécies ameaçadas de extinção em 
2011 será igual a:
a ) 465
b ) 493
c ) 498
d ) 538
e ) 699
 25. (FEI-SP) Três números positivos formam uma 
progressão aritmética crescente. A sua soma 
é 15 e a soma de seus quadrados é 107. O pri-
meiro desses números é:
a ) 4
b ) 3
c ) 2
d ) 1
e ) 0,5
Veja as respostas na 
Resolução dos problemas 
e exercícios na Assessoria 
pedagógica.
Resposta pessoal. Possível resposta:
( 
7
―
3
 , 
17
―
6
 , 
10
―
3
 , 
23
―
6
 , 
13
―
3
 , … )
Se achar conveniente, realize também o desafio em grupo.
80 kg 102 fregueses
Veja na Assessoria pedagógica comentário e 
sugestões de trabalho com esta tarefa. 
a
1
5 18 
z
35
5 243 
32
c
d
C
a
rl
o
s 
B
o
ri
n
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 Fórmula do termo geral de uma PA
Em uma PA de razão r , podemos determinar o termo geral a 
n
 por meio de uma fórmula. Observe.
Inicialmente, considere uma PA infinita de razão r :
 ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ..., a 
n21 , a 
n
 , ... ) 
Como cada termo, a partir do 2o, é obtido adicionando r ao termo anterior, temos:
 a 2 5 a 1 1 r
 a 3 5 a 1 1 r 
 
 
⏟
 
 a 2 
 1 r 5 a 1 1 2r
 a 4 5 a 1 1 2r 
 
 
⏟
 
 a 3 
 1 r 5 a 1 1 3r
 a 5 5 a 1 1 3r 
 
 
⏟
 
 a 4 
 1 r 5 a 1 1 4r
⋮ 
Note que:
• cada termo da PA pode ser escrito em função de a 1 e r.
• o n-ésimo termo (de ordem n ) é igual ao 1o termo mais ( n 2 1 ) vezes a razão.
Desse modo, o termo geral a 
n
 de uma PA é dado por:
 a 
n
 5 a 1 1 ( n 2 1 ) r 
 a 
n
 : termo geral
 a 1 : 1
o termo
 n : posição do termo
 r : razão 
 R9. Dada a PA ( 7, 11, 15, ..., 123 ) , determine:
a ) o termo geral. b ) quantos termos tem essa sequência.
Resolução
a ) Inicialmente, determinamos o 1o termo e a razão.
• a 1 5 7 • r 5 a 2 2 a 1 5 11 2 7 5 4 
Por fim, substituímos esses valores na fórmula do termo geral da PA e efetuamos os cálculos.
 a 
n
 5 a 1 1 ( n 2 1 ) r ä a 
n
 5 7 1 ( n 2 1 ) ?? 4 ä a 
n
 5 3 1 4n 
b ) O último termo dessa PA é 123, ou seja, a 
n
 5 123 . Substituindo esse valor na fórmula do ter-
mo geral, determinamos n , que corresponde à posição do número 123 na sequência. Como 
se trata de uma sequência finita, n também será a quantidade de termos da sequência.
 a 
n
 5 3 1 4n ä 123 5 3 1 4n ä 4n 5 120 ä n 5 30 
 R10. Determine quantos são os múltiplos de 6 entre 21 e 145.
Resolução
A sequência dos múltiplos de 6 é uma PA, com r 5 6 .
O 1o múltiplo de 6 maior do que 21 é 24, e o último múltiplo de 6 menor do que 145 é 144.
Assim, os múltiplos de 6 compreendidos entre 21 e 145 formam a PA ( 24, 30, 36, ..., 144 ) .
Utilizando a fórmula do termo geral de uma PA, obtemos a quantidade de termos n .
 a 
n
 5 a 1 1 ( n 2 1 ) r ä 144 5 24 1 ( n 2 1 ) ?? 6 ä 144 5 18 1 6n ä 126 5 6n ä n 5 21 
Portanto, há 21 múltiplos de 6 entre 21 e 145.
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