Matemática Interligada Grandezas, Sequências e Matemática Fina (65)

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 Descontos sucessivos
De maneira semelhante aos acréscimos, existem situações em que dois ou mais descontos 
incidem sobre um valor de tal forma que, cada desconto, a partir do segundo, incide sobre o valor 
já considerando os descontos anteriores.
Veja a seguinte situação:
O lançamento de um novo modelo de automóvel fez com que o modelo anterior sofresse des-
contos sucessivos de 2%, 3,5% e 2,5%. Sabendo que o preço do modelo anterior antes dos descon-
tos era de R$ 32 500,00, qual é o preço atual desse automóvel?
Vamos calcular o preço do automóvel após cada desconto:
1o desconto: 98% de 32 500 é 
98
 ― 
100
 ?? 32 500 5 0,98 ?? 32 500 5 31 850 
2o desconto: 96,5% de 31 850 é 
96,5
 ― 
100
 ?? 31 850 5 0,965 ?? 31 850 5 30 735,25 
3o desconto: 97,5% de 30 735,25 é 
97,5
 ― 
100
 ?? 30 735,25 5 0,975 ?? 30 735,25 ≃ 29 966,87 
Portanto, o preço do automóvel passou a ser de R$ 29 966,87.
Chamamos i 1 , i 2 , i 3 , … , i 
n
 as taxas de descontos sucessivos (na forma decimal) 
e P 0 o valor inicial. Os valores obtidos a cada desconto, chamados P 1 , P 2 , P 3 , … , 
 P 
n
 , respectivamente, podem ser calculados por:
 P 1 5 P 0 ?? ( 1 2 i 1 ) 
 P 2 5 P 1 ?? ( 1 2 i 2 ) 5 P 0 ?? ( 1 2 i 1 ) ?? ( 1 2 i 2 ) 
 P 3 5 P 2 ?? ( 1 2 i 3 ) 5 P 0 ?? ( 1 2 i 1 ) ?? ( 1 2 i 2 ) ?? ( 1 2 i 3 ) 
 ⋮ 
 P 
n
 5 P 
n21 ?? ( 1 2 i 
n
 ) 5 P 0 ?? ( 1 2 i 1 ) ?? ( 1 2 i 2 ) ?? ( 1 2 i 3 ) ?? ... ?? ( 1 2 i 
n
 ) 
Logo, o valor final P 5 P 
n
 será dado por:
 P 5 P 0 ?? ( 1 2 i 1 ) ?? ( 1 2 i 2 ) ?? ( 1 2 i 3 ) ?? ... ?? ( 1 2 i 
n
 ) 
De modo geral, quando os descontos são sucessivos, podemos efetuar o cálculo da seguinte 
maneira:
 100% 2 2% 
 100% 2 3,5% 
 100% 2 2,5% 
Se multiplicarmos os fatores de atualização 0,98; 0,965; 0,975, obtemos um único fator equiva-
lente aos três descontos, ou seja:
 0,98 ?? 0,965 ?? 0,975 5 0,9220575 é 92,20575%
92,20575% de 32 500 é 
92,20575
 ― 
100
 ?? 32 500 5 0,9220575 ?? 32 500 ≃ 29 966,87 é R$ 29 966,87 
Note que o resultado é o mesmo.
Verifique a possibilidade de propor aos alunos esta situação, 
antes de abordá-la no livro, a fim de que, em duplas, eles 
tentem resolvê-la. Depois, considerando as estratégias e 
resoluções propostas e desenvolvidas por eles, apresente as 
explicações encontradas 
no livro.
Verifique se os alunos 
perceberam que, nesse caso, 
não podemos adicionar as 
porcentagens 2%, 3,5% e 
2,5% e calcular um único 
desconto de 8% sobre o valor 
de R$ 32 500,00, pois o preço 
do automóvel passaria a 
ser R$ 29 900,00, o que não 
está correto. Nesse caso, os 
três descontos sucessivos 
equivalem a um único 
desconto de 7,79425% 
 
 

 
100% 2 92,20575%
 . 
g21_scp_lt_3mat_c3_p122a131.indd 127g21_scp_lt_3mat_c3_p122a131.indd 127 18/09/2020 17:3218/09/2020 17:32
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 R7. Uma companhia de energia elétrica oferece um desconto de 6% para faturas pagas sem atraso. Se, já com 
desconto, para quitar uma fatura foram pagos R$ 67,21, qual é o valor sem o desconto?
Resolução
O valor da fatura antes do desconto corresponde a 100%. Com o desconto de 6%, o valor da fatura passa a ser 
100% 2 6% 5 94% . Chamando x o valor da fatura antes do desconto, temos:
 
100
 ― 
x
 5 
94
 ― 
67,21
 ä 94x 5 6 721 ä x 5 
6 721
 ― 
94
 5 71,5 
Assim, sem o desconto, o valor da fatura era de R$ 71,50.
 R8. Em uma sapataria, uma promoção concedia desconto de 20% para pagamento à vista e, na compra de dois 
pares de sapatos, mais 15% de desconto, ambos sobre o preço de etiqueta. Determine quanto será pago por 
dois pares de sapatos, que na etiqueta custam R$ 85,00 e R$ 92,00, se o pagamento for à vista.
Resolução
O preço dos dois pares de sapatos antes do desconto corresponde a 100%. Como o pagamento é à vista e são 
considerados dois pares, o valor final com os descontos de 20% e 15% passa a ser 100% 2 20% 2 15% 5 65% . 
 
65
 ― 
100
 ?? 177 
 
 

 
65% de R$ 177,00
 5 0,65 ?? 177 5 115,05 
Portanto, serão pagos R$ 115,05 pelos dois pares de sapatos.
 R9. Um veículo novo custa R$ 30 000,00 e sofre depreciações de 20% e 15% nos dois primeiros anos, respectiva-
mente, e certa depreciação x nos anos posteriores. Determine a taxa x de depreciação depois do segundo ano, 
sabendo que após três anos de uso o valor do veículo é de R$ 19 380,00.
Resolução
A taxa de depreciação (desconto) incide sobre o valor do veículo no ano anterior. Dessa forma, utilizaremos 
descontos sucessivos na resolução.
 P 3 5 P 0 ?? ( 1 2 i 1 ) ?? ( 1 2 i 2 ) ?? ( 1 2 i 3 ) ä 19 380 5 30 000 ?? ( 1 2 0,20 ) ?? ( 1 2 0,15 ) ?? ( 1 2 x ) ä 
 ä 19 380 5 30 000 ?? 0,68 ?? ( 1 2 x ) ä 19 380 5 20 400 2 20 400x ä x 5 
1 020
 ― 
20 400
 5 0,05 ou x 5 5% 
Portanto, após o segundo ano a taxa de depreciação do veículo é de 5%.
 R10. Certo produto recebeu um acréscimo em 25% no seu preço. Na semana seguinte, o produto entrou em pro-
moção, recebendo um desconto de 30% no preço atual. Sabendo que na promoção o produto era vendido por 
R$ 31,50, determine o preço do produto antes do acréscimo.
Resolução
Chamando P 0 o preço antes do reajuste, P 5 31,5 o preço final do produto (após o desconto), i 1 5 0,25 
 
 
⏟
 
25%
 a taxa de 
acréscimo e i 2 5 0,3 
 
 
⏟
 
30%
 a taxa de desconto, temos:
 P 5 P 0 ?? ( 1 1 i 1 ) 
 
 
⏟
 
acréscimo
 ?? ( 1 2 i 2 ) 
 
 
⏟
 
desconto
 ä 31,5 5 P 0 ?? ( 1 1 0,25 ) ?? ( 1 2 0,3 ) ä 31,5 5 P 0 ?? 1,25 ?? 0,7 ä P 0 5 
31,5
 ― 
0,875
 5 36 
Portanto, o preço do produto antes do acréscimo era R$ 36,00.
O valor de R$ 177,00 corresponde aos 
dois pares de sapatos antes do desconto.
De maneira geral, quando ocorrem m acréscimos sucessivos e n descontos sucessivos, apli-
cados a um valor inicial P 0 , podemos calcular o valor final P a partir da expressão: 
 P 5 P 0 ( 1 1 i 1 ) ?? … ?? ( 1 1 i 
m
 ) ?? ( 1 2 i 1 ’ ) ?? … ?? ( 1 2 i 
n
 ’ ) 
em que i 1 , … , i 
m
 são as taxas de acréscimos e i 1 ’, … , i 
n
 ’ as taxas de descontos, na forma decimal.
m acréscimos sucessivos n descontos sucessivos
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