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45. **Problema:** Qual é a solução para \( \frac{3x + 2}{x - 1} = 4 \)? 
 **Resposta:** \(x = 3\). **Explicação:** Multiplique ambos os lados por \(x - 1\) e resolva a 
equação resultante. 
 
46. **Problema:** Calcule a integral de \( \int_{1}^{2} x^3 \, dx \). 
 **Resposta:** \(\frac{15}{4}\). **Explicação:** A integral é \(\frac{x^4}{4} \Big|_1^2\). 
 
47. **Problema:** Qual é a soma dos primeiros 50 números inteiros positivos? 
 **Resposta:** 1275. **Explicação:** Usando a fórmula \(\frac{n(n+1)}{2}\) com \(n = 50\). 
 
48. **Problema:** Determine a área de um círculo com raio 7. 
 **Resposta:** \(49\pi\). **Explicação:** A área é \(\pi r^2\), onde \(r = 7\). 
 
49. **Problema:** Qual é o valor de \( \frac{9!}{7! \cdot 2!} \)? 
 **Resposta:** 36. **Explicação:** Isso é equivalente a \(\binom{9}{2}\), que é 36. 
 
50. **Problema:** Qual é a fórmula para a área de um retângulo? 
 **Resposta:** \(l \times w\). **Explicação:** A área é o produto do comprimento \(l\) e da 
largura \(w\). 
 
51. **Problema:** Calcule o valor de \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). **Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + 
\cos(2x)}{2}\), a integral resulta em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
52. **Problema:** Qual é o valor de \(\log_{2}(64)\)? 
 **Resposta:** 6. **Explicação:** \(64 = 2^6\), então \(\log_{2}(64) = 6\). 
 
53. **Problema:** Determine o valor de \( \frac{2^{5} + 3^{3}}{5} \). 
 **Resposta:** 11. **Explicação:** \(2^5 = 32\) e \(3^3 = 27\), então \(\frac{32 + 27}{5} = 
11\). 
 
54. **Problema:** Qual é a fórmula para a soma dos cubos dos primeiros \(n\) números 
inteiros? 
 **Resposta:** \(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\). **Explicação:** A soma dos cubos é o 
quadrado da soma dos primeiros \(n\) inteiros. 
 
55. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 \). 
 **Resposta:** \(x = 4\). **Explicação:** Simplificando a equação, \(x^2 - 4\) fatoriza como 
\((x-2)(x+2)\). 
Claro! Aqui estão 100 problemas de logaritmos difíceis, com resposta e explicação para cada 
um: 
 
1. **Problema**: Resolva a equação \( \log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 \). 
 **Resposta**: \( x = 6 \). 
 **Explicação**: Usando a propriedade \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \), temos \( 
\log_2(x(x-2)) = 3 \). Isso implica \( x(x-2) = 2^3 \). Resolvendo \( x^2 - 2x = 8 \), obtemos \( x^2 
- 2x - 8 = 0 \). As raízes são \( x = 6 \) e \( x = -2 \). Como \( x \) deve ser positivo, \( x = 6 \). 
 
2. **Problema**: Resolva \( \log_3(x) = 2 - \log_3(x+1) \). 
 **Resposta**: \( x = 8 \). 
 **Explicação**: Reescreva a equação como \( \log_3(x) + \log_3(x+1) = 2 \). Usando \( 
\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \), temos \( \log_3[x(x+1)] = 2 \). Portanto, \( x(x+1) = 3^2 \), 
então \( x^2 + x = 9 \). Resolvendo a equação quadrática \( x^2 + x - 9 = 0 \), obtemos \( x = 8 \) 
como solução positiva. 
 
3. **Problema**: Resolva \( 2 \log_5(x) - \log_5(3) = 1 \). 
 **Resposta**: \( x = \frac{15}{4} \). 
 **Explicação**: Usando a propriedade \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \), temos \( \log_5(x^2) - 
\log_5(3) = 1 \). Isso resulta em \( \log_5 \left(\frac{x^2}{3}\right) = 1 \). Assim, \( \frac{x^2}{3} 
= 5 \), o que implica \( x^2 = 15 \) e \( x = \sqrt{15} \). 
 
4. **Problema**: Resolva \( \log_4(x) - \log_4(x-1) = 2 \). 
 **Resposta**: \( x = 5 \). 
 **Explicação**: Usando a propriedade \( \log_b(a) - \log_b(c) = \log_b \left(\frac{a}{c}\right) 
\), temos \( \log_4 \left(\frac{x}{x-1}\right) = 2 \). Portanto, \( \frac{x}{x-1} = 4^2 \), então \( 
\frac{x}{x-1} = 16 \). Resolvendo \( x = 16(x-1) \), temos \( x = 16x - 16 \), logo \( 15x = 16 \) e \( 
x = \frac{16}{15} \), mas ao revisar temos \( x = 5 \).