Matemática Interligada Trigonometria e programação (11)

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B
B’
A
A’
C
C’
50°
50°
70°
70°
A 6 cm
3 cm
4 cm
2 cm
C
B
A’
C’
B’
105°
105°
A
C
10 cm
8 cm
12 cm
15 cm
9 cm
6 cm B
A’
C’
B’
18
Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos internos corresponden-
tes congruentes.
Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados correspondentes propor-
cionais e os ângulos formados por eles congruentes.
Semelhança de triângulos
Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando satisfazem às seguintes condições:
• os ângulos internos correspondentes são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
• os lados correspondentes são proporcionais.
É possível verificar se dois triângulos são semelhantes sem necessariamente analisar am-
bas as condições. Para isso, utilizamos os casos de semelhança, apresentados a seguir.
A medida do 
ângulo A ̂ B C é 
representada por 
med ( A ̂ B C ) .
Na próxima página, 
você será desafiado 
a demonstrar um 
dos casos de 
semelhança 
apresentados. 
Os outros dois 
casos também 
podem ser 
demonstrados, 
porém, serão 
apenas enunciados 
e exemplificados.
Nos triângulos ao lado, temos:
• med ( A ̂ B C ) 5 med ( A’ ̂ B’ C’ ) 5 508 ;
• med ( C ̂ A B ) 5 med ( C’ ̂ A’ B’ ) 5 708 .
Portanto, pelo caso AA, os triângulos ABC 
e A’B’C’ são semelhantes ( n ABC , n A’B’C’ ) .
Nos triângulos ao lado, temos:
• med ( C ̂ A B ) 5 med ( C’ ̂ A’ B’ ) 5 1058 ;
• AB
 ― 
A’B’
 5 4 ― 
2
 5 2 e AC
 ― 
A’C’
 5 6 ― 
3
 5 2 .
Logo, AB
 ― 
A’B’
 5 AC
 ― 
A’C’
 .
Portanto, pelo caso LAL, n ABC , n A’B’C’ .
Referente aos triângulos ao lado, temos:
• AB
 ― 
A’B’
 5 6 ― 
9
 5 2 ― 
3
 ; • BC
 ― 
B’C’
 5 8 ― 
12
 5 2 ― 
3
 ; • AC
 ― 
A’C’
 5 10 ― 
15
 5 2 ― 
3
 .
Logo, AB
 ― 
A’B’
 5 BC
 ― 
B’C’
 5 AC
 ― 
A’C’
 e, pelo caso LLL, nABC , nA’B’C’ .
caso de semelhança: lado, lado e lado (LLL)
Dois triângulos são semelhantes quando têm os três lados correspondentes proporcionais.
de semelhança: ângulo e ângulo (AA)caso
de semelhança: lado, ângulo e lado (LAL)caso
Il
u
st
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s:
 
R
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n
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Não escreva no livro.
A
E
r
D
B C
C
4
E
A F
D
6
B
70 m
700 m
600 m
800 m
A
B
T
1,75 m
x
1,2 m0,35 m
19
Para realizar essa demonstração, considere os triângulos ABC e DEF, tais que ̂A > ̂D e ̂B > ̂E . 
Em seguida, mostre que as outras condições de semelhança são satisfeitas.
 R3. Em certo momento, um poste projeta uma sombra com 1,2 m de comprimento. Ao mes-
mo tempo, uma pessoa de 1,75 m de altura, próxima ao poste, projeta uma sombra de 
0,35 m de comprimento. Qual é a altura do poste?
Resolução
Podemos representar esquematicamente o poste, sua sombra e o raio de luz solar por um 
triângulo retângulo, assim como a pessoa, sua sombra e o raio de luz solar. Como a luz 
solar incide com mesmo ângulo sobre o poste e a pessoa, então esses triângulos são se-
melhantes pelo 1o caso de semelhança (AA).
Assim, tomando a altura do poste como x, temos:
x―
1,75
 5 
1,2
――
0,35
 ä 0,35x 5 1,2 ?? 1,75 ä x 5 
2,1
――
0,35
 ä x 5 6 
Portanto, o poste mede 6 m de altura.
A altura do prédio é igual a 40 metros.
Uma propriedade interessante, conhecida como teorema fundamental da semelhança, 
determina que, se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo cruza os outros dois 
lados formando um novo triângulo, então esses triângulos são semelhantes. Essa pro-
priedade pode ser demonstrada, porém, neste livro, ela será apenas exemplificada.
No triângulo ABC ao lado, a reta r é paralela ao lado ‾BC . Nesse caso, os triângu-
los ABC e ADE são semelhantes.
• Utilize o teorema fundamental da semelhança para demonstrar a 
veracidade do 1º caso de semelhança.
 8. (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma 
haste de sustentação para melhor firmar dois pos-
tes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura 
representa a situação real na qual os postes são 
descritos pelos segmentos ‾AC e ‾BD e a haste é re-
presentada pelo segmento 
_
EF , todos perpendicu-
lares ao solo, que é indicado pelo segmento de 
reta ‾AB . Os segmentos ‾AD e ‾BC representam ca-
bos de aço que serão instalados.
 9. Na figura T representa um teleférico. Desprezando as 
dimensões do teleférico, calcule a que altura do solo 
ele se encontra quando estiver a 70 m do morro A.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste 
_
EF ?
a ) 1 m
b ) 2 m
c ) 2,4 m
d ) 3 m
e ) 2 √
―
 6 m 
10. Elabore um problema envolvendo semelhança 
de triângulos que tenha como resposta a frase:
c
620 m
Comente com 
os alunos que a 
Resposta pessoal. Possível resposta: em um mesmo momento, um 
prédio projeta uma sombra de 20 m de comprimento, enquanto 
uma pessoa de 1,7 m de altura projeta uma sombra de 85 cm de 
comprimento. Qual é a altura do prédio?
imagem não está em proporções reais.
Veja a resposta nas Orientações sobre os capítulos na Assessoria pedagógica.
R
a
fa
e
l L
. G
a
io
n
R
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fa
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l L
. G
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