Semelhança de triângulos

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D119 – Identificar triângulos semelhantes mediante o
reconhecimento de relações de proporcionalidade.
EF09MA12 - Reconhecer as condições necessárias e
suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
2ª Série | Ensino Médio
Razão, proporção, números racionais.
Semelhança de
Triângulos
Matemática
D119 – Identificar triângulos semelhantes mediante o
reconhecimento de relações de proporcionalidade.
EF09MA12 - Reconhecer as condições necessárias e
suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Razão, proporção, números racionais.
DESCRITOR PAEBES
HABILIDADE DO 
CURRÍCULO RELACIONADA 
AO DESCRITOR
HABILIDADES OU 
CONHECIMENTOS PRÉVIOS
A semelhança de triângulos é um conceito importante na geometria que descreve a relação
entre dois ou mais triângulos que têm ângulos correspondentes iguais e comprimentos
proporcionais de lados. 
Essa propriedade é útil em uma variedade de aplicações práticas, especialmente em geometria,
física, engenharia e design. Aqui estão algumas aplicações comuns da semelhança de triângulos:
Estimativa de distâncias inacessíveis: Por exemplo, você pode usar a semelhança de
triângulos para determinar a altura de uma torre ou a distância até um objeto inacessível.
Usando um objeto de altura conhecida (como um bastão), medindo a sombra do objeto e a
sombra da torre no mesmo momento, e observando os ângulos formados pela luz do sol, é
possível estimar a altura da torre.
Cálculo de alturas inacessíveis: Imagine que você precisa calcular a altura de uma montanha.
Você pode usar a semelhança de triângulos junto com a distância entre dois pontos de
observação e os ângulos de elevação para determinar a altura da montanha.
Design e construção: Na engenharia e arquitetura, a semelhança de triângulos é útil para
projetar e construir estruturas. Por exemplo, ao projetar uma ponte, é importante garantir que a
estrutura seja proporcional às forças que ela suportará. A semelhança de triângulos pode ser
usada para garantir que as dimensões da estrutura sejam apropriadas em relação às forças
aplicadas.
Fotografia e perspectiva: Em fotografia e design gráfico, a semelhança de triângulos é usada
para criar ilusões de profundidade e perspectiva em imagens. Ao posicionar objetos em
diferentes distâncias da câmera ou do observador, você pode usar triângulos semelhantes para
criar a ilusão de que os objetos estão em diferentes planos.
Mapas e cartografia: Na cartografia, a semelhança de triângulos é usada para criar mapas
precisos e representar áreas do mundo em uma escala menor. Os cartógrafos usam triângulos
semelhantes para projetar mapas que preservam corretamente as formas e proporções das
áreas representadas.
Essas são apenas algumas das muitas aplicações da semelhança de triângulos. Essa propriedade
geométrica é amplamente utilizada em uma variedade de campos para resolver problemas
práticos e fazer análises precisas.
 LAL (Lado-Ângulo-Lado):
 Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos
 formados por eles congruentes, então eles são semelhantes.
 LLL (Lado-Lado-Lado):
 Se dois triângulos possuem os três lados correspondentes proporcionais, então 
 eles são semelhantes.
Dois polígonos são considerados semelhantes quando atendem às seguintes condições:
 I - Os ângulos internos correspondentes possuem medidas iguais (congruentes).
 II - Os lados correspondentes são proporcionais.
Contudo, para verificar a semelhança entre dois triângulos, é possível utilizar casos
específicos que simplificam essa análise, evitando a necessidade de examinar ambas as
condições mencionadas. Esses casos de semelhança são:
 AA (Ângulo-Ângulo):
Se dois triângulos possuem dois ângulos internos correspondentes congruentes, então
eles são semelhantes.
.
CONCEITOS E CONTEÚDOS
º; 
º;
Portanto, pelo caso AA, os triângulos ABC
e A’B’C’ são semelhantes.
Nos triângulos ao lado, temos:
Nos triângulos ao lado, temos:
º;
e
Referente aos triângulos ao lado, temos:
Semelhança de Triângulos
1
2
Clique aqui
 Em certo momento, um poste projeta uma sombra com 1,2 m de comprimento. Ao
mesmo tempo, uma pessoa de 1,75 m de altura, próxima ao poste, projeta uma sombra de
0,35 m de comprimento. Qual é a altura do poste?
Resolução:
Podemos representar esquematicamente o poste, sua sombra e o raio de luz solar por
um triângulo retângulo, assim como a pessoa, sua sombra e o raio de luz solar. Como a
luz solar incide com mesmo ângulo sobre o poste e a pessoa, então esses triângulos são
semelhantes pelo 1º caso de semelhança (AA).
Assim, tomando a altura do poste como x, temos:
Portanto, o poste mede 6 m de altura.
 (SAEPB). Para fazer as velas de sua miniatura de veleiro, um artesão contratou os serviços de
uma costureira. Ele solicitou que elas fossem produzidas em tecido de forma que os triângulos
representados em cinza no desenho abaixo fossem semelhantes. O desenho abaixo representa
o projeto do veleiro desse artesão com algumas medidas indicadas.
Qual é a altura, em centímetros, da maior vela dessa miniatura de 
veleiro?
Resolução: 
Utilizando a semelhança de triângulos, temos: 
A altura, em centímetros, da maior vela dessa
miniatura de veleiro é 45cm.
Você poderá acessar um exemplo similar aos exercícios anteriores de
forma interativa, clicando no botão abaixo ou fazendo a leitura no QR Code
ao lado.
Exercícios resolvidos
MATERIAL EXTRAMATERIAL EXTRA
https://www.geogebra.org/m/rzc9vx8u
Atividade 1
Atividade 2
Atividade 3
ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTESATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES
Paulo queria saber a altura do prédio onde mora. Ele se lembrou da aula que teve sobre
semelhança de triângulos e resolveu fazer um experimento: em uma determinada hora do dia
percebeu que uma régua de 30 cm, apoiada verticalmente no chão, formava pelo sol uma sombra
de 15 cm. No mesmo instante mediu com uma fita métrica a sombra formada pelo seu prédio e
percebeu que dava 10 metros, conforme mostra a figura. Qual é a altura deste prédio?
No pátio de uma escola, a professora de matemática pediu que Júlio, que mede 1,60m de altura, se
colocasse em pé, próximo de uma estaca vertical. Em seguida, a professora pediu a seus alunos
que medissem a sombra de Júlio e a da estaca. Os alunos encontraram as medidas de 2m e 5m,
respectivamente, conforme ilustraram as figuras abaixo. Qual é a altura de estaca?
Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira, conforme mostra a figura. No ponto A está um
poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Calcule o comprimento da
sombra do homem depois que ele subiu 4 m ladeira acima.
Atividade 4
(Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la,
nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao
solo.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
Atividade 5
(Seduc - GO) Considere os triângulos a seguir.
Entre esses triângulos, os pares de triângulos semelhantes são 
A) T1 e T6; T2 e T5; T3 e T4. 
B) T1 e T2; T3 e T4; T5 e T6. 
C) T1 e T3; T2 e T5; T4 e T6. 
D) T1 e T5; T2 e T3; T4 e T6. 
E) T1 e T4; T2 e T5; T3 e T4.
Atividade 6
Verifique se os pares de triângulos abaixo são semelhantes:
a)
b)
c)
As transformações homotéticas, também conhecidas como homotetias, são transformações
geométricas que envolvem a redução ou ampliação de uma figura em relação a um ponto
chamado centro de homotetia. Essas transformações preservam a forma da figura original,
mas não necessariamente mantêm o tamanho. A palavra "homotetia" deriva do grego, onde
"homo" significa "igual" e "tetma" significa "parte". Assim, a ideia fundamental é que partes
correspondentes da figura original e da imagem transformada são semelhantes.
Transformações Homotéticas
Nem sempre duas figurassemelhantes são homotéticas, mas duas figuras homotéticas são
sempre semelhantes. A razão da homotetia designa-se por k . Se este valor for positivo então
trata-se de uma homotetia direta, caso contrário é uma homotetia inversa. Caso o valor
absoluto de seja inferior a 1, então estamos na presença de uma redução, se for maior que 1,
então trata-se de uma ampliação.
Vamos determinar a razão de homotetia k entre os triângulos BCD e B'C'D' da figura. O ponto
A é o centro de homotetia. A correspondência estabelecida entre os vértices do triângulo
original e os do ampliado é tal que:
Centro de homotetia
Como a homotetia
preserva a
proporcionalidade das
medidas lineares, ao
determinar a razão entre
as medidas dos lados dos
dois triângulos,
estaremos determinando
a razão de homotetia k.
Agora, vamos ver como construir um polígono de modo que ele seja a redução de outro
polígono. Veja, na figura a seguir, o polígono ABCDE. O ponto P é o centro da homotetia, e a
razão k é de 1/3, ou seja, o novo polígono será três vezes menor do que o original.
1) Traçamos as semirretas com
origem em P e que passam por
cada vértice.
2) Determinamos os vértices do novo
polígono reduzido. Por exemplo, o ponto
Q, correspondente ao ponto A, deverá
estar na semirreta PA, de modo que
PQ /PA = K = 1/3.
Clique aqui
Atividade 7
Atividade 8
Você poderá acessar um exemplo similar ao anterior de forma interativa,
clicando no botão abaixo ou fazendo a leitura no QR Code ao lado.
O triângulo K' é a imagem do triângulo K por uma homotetia. Qual ponto é o centro da homotetia?
Os retângulos I e II da imagem abaixo são semelhantes e o fator de ampliação é 3. 
Qual é o valor do comprimento x no retângulo II?
3) Unimos os vértices para construir o
polígono reduzido, semelhante ao original
com razão 1/3.
ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTESATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES
MATERIAL EXTRAMATERIAL EXTRA
https://www.geogebra.org/m/KGNDGY3k
Atividade 9
Atividade 10
A figura ABCD foi reduzida a partir de A’B’C’D’ utilizando o método da homotetia. Qual é a razão de
semelhança?
(SAERO). Observe a transformação homotética abaixo, sendo o triângulo PQR uma ampliação
do triângulo HIJ. Qual é a razão de homotetia dessa ampliação?
Atividade 1 
Respostas 
Utilizando semelhança de triângulo:
Atividade 2
Atividade 3
A sombra do homem tem 2,25m.
Ativ idade 5
Gabarito: C) T1 e T3(LLL); T2 e T5(AA); T4 e
T6(LAL).
Ativ idade 6
a) São semelhantes, pois possuem dois
ângulos internos correspondentes
congruentes (AA).
b) São semelhantes, pois possuem dois
lados correspondentes proporcionais e os
ângulos formados por eles congruentes
(LAL). 
c) São semelhantes, pois possuem os três
lados correspondentes proporcionais (LLL).
Atividade 7
O ponto centro de homotetia é o ponto fixo
em relação ao qual a figura é ampliada ou
reduzida, portanto é o ponto A.
Atividade 8
O valor do comprimento de x é igual a 21.
4x =84
x=21
Atividade 9
A razão é 1,5.
6/4 = 1,5 ou 3/2 = 1,5
Atividade 10
A razão é 3.
12/4 = 3 ou 6/2 = 3
Atividade 4
a)
b) 
Para atingir o ponto mais alto da rampa a
pessoa deve caminhar 20,50 metros.
BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Ruy Giovanni; SOUSA; Paulo Roberto Câmara de; Prisma
Matemática: Geometria e Trigonometria: Ensino Médio – 1° ed. – São Paulo: Editora FTD, 2020.
HOHENWARTER, M. Geogebra. Disponível em: <www.geogebra.org>. Acessado em: 23 de
janeiro de 2024.
Khan Academy, acessado em 24.01.2024, www.khanacademy.org
ANDRADE, T.M. Matemática Interligada. Trigonometria, Fenômenos Periódicos e Programação.
São Paulo: Scipione, 2020.