Matemática Interligada Trigonometria e programação (44)

Prévia do material em texto

A atração do Sol e da Lua se combina
Maré alta
A atração do Sol age contra a da Lua
Sol
Terra
Maré lunar
Maré solar
Lua
nova
Lua
cheia
Sol
Terra
Maré
lunar
Maré
solar
Lua
crescente
Lua
minguante
84
Fonte de pesquisa: OTGA. Análise espectral de marés e suas aplicações. 
Disponível em: <https://classroom.oceanteacher.org/mod/book/view.
php?id=10338&chapterid=1342>. Acesso em: 19 ago. 2020.
As imagens não estão 
em proporção e as 
cores utilizadas não 
correspondem às reais.
Em média, as marés oscilam em um período de cerca 
de 6 h 12 min. Como a água sobe e desce duas vezes, o ciclo das marés 
completa-se, aproximadamente, a cada 24 h 50 min. Enquanto a Terra 
gira no seu movimento diário, suas regiões sofrem elevações de 
intensidades significativamente diferentes entre os pontos 
mais próximos e mais afastados da Lua.
As massas de água que estão mais próximas da Lua sofrem 
uma elevação de intensidade superior às massas de água que estão 
mais afastadas da Lua. No lado oposto da Terra as massas de água também 
se elevam, de forma que uma elevação compensa a outra. Assim, nas regiões mais 
próximas à Lua, essas elevações das águas correspondem às marés altas. Enquanto 
as massas de água se elevam em dois lados opostos na Terra, nas outras duas regiões 
do globo (também diametralmente opostas) elas diminuem, são as correspondentes marés baixas.
Função seno e 
função cosseno
Podemos utilizar as funções trigonométricas para descrever várias situações do dia a dia, 
como em deslocamento de um pêndulo, na tensão de um circuito elétrico e na variação da 
duração do dia em certa localidade. 
Neste tópico, estudaremos algumas particularidades sobre esses fenômenos periódicos, 
como seus gráficos, exemplos, aplicações e definições.
Chamamos de periódicos os fenômenos que se repetem sempre após o mesmo intervalo 
regular de tempo. Muitos deles podem ser observados na natureza, como o movimento das 
marés, o movimento do Sol e da Lua e também da órbita dos planetas.
Apesar de o Sol ser bem maior do que a Lua, ele 
possui um efeito menor sobre as marés, porque 
sua distância em relação à Terra é muito grande.
A altura das marés alta e baixa, relativa ao ní-
vel do mar médio, também varia. Nos períodos de 
lua nova e de lua cheia, as forças gravitacionais do 
Sol e da Lua estão alinhadas na mesma direção (os 
três corpos estão alinhados). Temos então as ma-
rés mais altas.
Nos períodos de lua minguante e de lua crescente, 
quando as forças gravitacionais do Sol e da Lua estão em 
direções diferentes (os três estão dispostos em ângulo 
reto, sendo a Terra o vértice), anulando parte delas, temos 
as marés mais baixas.
A diferença entre a maré baixa e a maré alta é denomi-
nada amplitude das marés e se mede por meio de uma 
régua graduada ou marégrafo.
H
el
o
ís
a
 P
in
ta
re
ll
i
g21_scp_lt_2mat_c2_p084a089.indd 84g21_scp_lt_2mat_c2_p084a089.indd 84 9/20/20 10:16 AM9/20/20 10:16 AM
85
senoy
xO
 –1
 1
x 0 
p
 ― 
6
 
p
 ― 
4
 
p
 ― 
3
 
p
 ― 
2
 
2p
 ― 
3
 
3p
 ― 
4
 
5p
 ― 
6
 p 
7p
 ― 
6
 
5p
 ― 
4
 
4p
 ― 
3
 
3p
 ― 
2
 
5p
 ― 
3
 
7p
 ― 
4
 
11p
 ― 
6
 2p 
 f ( x ) 0 
1
 ― 
2
 
 √ 
―
 2 
 ― 
2
 
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 1 
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 
 √ 
―
 2 
 ― 
2
 
1
 ― 
2
 0 2 
1
 ― 
2
 2 
 √ 
―
 2 
 ― 
2
 2 
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 2 1 2 
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 2 
 √ 
―
 2 
 ― 
2
 2 
1
 ― 
2
 0
A imagem da função seno corresponde à 
projeção da extremidade do arco sobre o eixo 
vertical, denominado eixo dos senos.
Chamamos de função seno a função f : R é R que a cada número real x associa o seno 
de um arco de x radianos, ou seja, f ( x ) 5 sen x .
Na função seno, temos:
• D ( f ) 5 R • CD ( f ) 5 R • Im ( f ) 5 {y [ R | 2 1 < y < 1 } 
Dizemos que a função f : R é R é periódica quando existe um número real não nulo b, 
tal que f ( x 1 b ) 5 f ( x ) para todo x [ R . Se isso ocorre, então f ( x 1 kb ) 5 f ( x ) para todo 
x [ R e k [ Z . 
O período da função é o menor número b . 0 , tal que f ( x 1 kb ) 5 f ( x ) .
 Gráfico da função seno
A fim de analisarmos a função seno, vamos construir no plano cartesiano o gráfico da 
função f , definida por f ( x ) 5 sen x , com x [ [0, 2p] . Para isso, utilizamos a ideia de repre-
sentação de par ordenado de números reais ( x, f ( x ) ) em um plano cartesiano, com x [ D ( f ) 
e f ( x ) [ Im ( f ) .
 Função seno
Em relação ao exemplo desenvolvido na página anterior, devido à sua periodicidade, cer-
ta maré pode ser descrita pela função definida por A ( t ) 5 4 ?? sen ( 
p
 ― 
6
 t 1 
p
 ― 
4
 ) , em que A ( t ) 
é a altura da maré em relação ao nível do mar (em metros) e t, o tempo (em horas).
Na lei de formação da função A apresentada, note que a relação seno está presente. Essa 
é uma função do tipo trigonométrica. Antes de estudarmos esse tipo de função, estudare-
mos a função seno.
Dado um número real x, é possível associar a ele o seno do arco que mede x radianos, isto 
é, x a sen x . Para o número x 5 
p
 ― 
3
 , por exemplo, associamos o número 
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 , pois:
 sen 
p
 ― 
3
 5 
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 
O domínio e o contradomínio da função y 5 sen x são iguais a R . O conjunto imagem, 
porém, está restrito ao intervalo [2 1, 1] .
As funções trigonométricas, que estudaremos nesse capítulo, são exemplos de funções 
periódicas.
Il
u
st
ra
çõ
e
s:
 S
e
rg
io
 L
. F
il
h
o
g21_scp_lt_2mat_c2_p084a089.indd 85g21_scp_lt_2mat_c2_p084a089.indd 85 9/20/20 10:16 AM9/20/20 10:16 AM