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Da mesma forma Isso significa que podemos aproximar R por um paralelogramo determinado pelos veto- res e . (Veja a Figura 5.) Portanto, podemos aproximar a área de R pela área desse paralelogramo, que, da Seção 12.4, é Calculando o produto vetorial, obtemos i j k O determinante que aparece nesse cálculo é chamado jacobiano da transformação e tem uma notação especial: Definição O jacobiano da transformação T dada por e é Com essa notação, podemos utilizar a Equação 6 para obter uma aproximação da área de R: onde o jacobiano é calculado em . Em seguida, dividimos a região S do plano em retângulos e chamamos suas imagens no plano xy de . (Veja a Figura 6.) Aplicando a aproximação a cada aproximamos a integral dupla de f sobre R, como segue: onde o jacobiano é calculado em . Observe que a soma dupla é a soma de Riemann para a integral �ui, vj � � � m i�1 � n j�1 f (t�ui, vj�, h�ui, vj �) � ��x, y� ��u, v� � �u �v yy R f �x, y� dA � � m i�1 � n j�1 f �xi, yj� �A Rij,8 Rij Sijuv �u0, v0 � �A � � ��x, y� ��u, v� � �u �v8 �A ��x, y� ��u, v� � � �x �u �y �u �x �v �y �v � � �x �u �y �v � �x �v �y �u y � h�u, v�x � t�u, v�7 � �x �u �y �u �x �v �y �v � k� � �x �u �x �v �y �u �y �v � k �� �x �u �x �v �y �u �y �v 0 0 �ru � rv � � ��u ru � � ��v rv � � � � ru � rv � �u �v6 �v rv�u ru r�u0, v0 � �v� � r�u0, v0 � � �v rv 936 CÁLCULO r (u0,√0) Îuru Î√r√ FIGURA 4 FIGURA 5 r (u0,√0) r (u0+Îu, √0) R a b r (u0,√0+Î√) O jacobiano recebeu esse nome em homenagem ao matemático alemão Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). Apesar de o matemático francês Cauchy ter sido o primeiro a usar estes determinantes especiais, envolvendo derivadas parciais, Jacobi usou-os para desenvolver um método para cálculo de integrais múltiplas. FIGURA 6 T 0 y x R 0 √ u S Î√ Îu (ui, √j) Sij (xi, yj) Rij Calculo15B:calculo7 5/25/13 10:18 AM Page 936
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Se f(x)=sin^2(x), qual e a derivada?
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b) cos^2(x)
c) 2cos(x)
d) sin(2x)- Se f(x)=sec(x), entao f'(x) e:
a) sec(x)tan(x)
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- Se f(x)=x^2 e^x, a derivada e:
a) 2xe^x + x^2 e^x
b) 2xe^x
c) x^2 e^x
d) 2e^x
- Se f(x)=x^{1/2}, qual e f'(x)?
a) (1/2)x^{-1/2}
b) (1/2)x^{-1/2}
c) 2x^{1/2} 1
d) x^{2} 1
- Se f(x)=x^2 +1, qual e a sua derivada?
a) 2
b) x^2 +1 1
c) x^2 +1 x
d) 2x
- Se f(x)=e^{2x}cos(3x), qual e f'(x)?
a) 2e^{2x}cos(3x) - 3e^{2x}sin(3x)
b) 2e^{2x}cos(3x) + 3e^{2x}sin(3x)
c) e^{2x}cos(3x)
d) e^{2x}(3sin(3x))
- Qual das alternativas e a derivada de f(x)=x^x (para x>0)?
a) x^x 1
b) x^x (1+ln(x))
c) x^x ln(x)
d) x^x /x
- Qual e a derivada de f(x)=tan(x)?
a) sec^2(x)
b) cos^2(x)
c) tan^2(x)
d) sin(x)/cos(x)
- Qual das funcoes abaixo possui derivada igual a zero para todo x?
a) f(x)=5
b) f(x)=x^2
c) f(x)=e^x
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- Qual e a derivada da funcao f(x)=sin(x)e^x?
a) cos(x)e^x
b) sin(x)e^x + cos(x)e^x
c) sin(x)cos(x)e^x
d) sin(x)e^x
- Se uma funcao racional tem uma assintota obliqua, qual e o comportamento dela quando x tende para infinito?
a) A funcao tende para um valor constan...
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a) Dividindo o numerador pelo denominador e desprezando o resto
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