Matemática Ciências e Aplicações V3-112-114

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36 Escreva a forma geral da equação da rela que forma ângulo de 135° com o eixo da.s ordenadas e passa por A (l, 3).
37 Escreva a equação do feixe de retas que passam por P(2. -3 ) e. a seguir, dentre elas, obtenha:a) a reta que forma ângulos congruentes com os dois eixos;b) a reta que passa também por Q (M , 3);c) a reta que possui declividade igual a -3 .
38 (UF-CE) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triângulo retângulo. Calcule a medida da hipotenusa desse triângulo.
39 Encontre a área e o perímetro do triângulo com vértices na origem e nos pontos em que a reta de equação 3x + 2y + 9 = 0 corta os eixos cartesianos.
40 Sejam os pontos A(i , i), B ( - l , -1), C(0, 3), D ^ - . 2 j e E^2. - y ) e a retar: 2x + v - 3 = 0. Escreva, na forma geral, na segmentaria e na paramétrica. a equação da reta determinada pelos pontos, dentre os dados, que não pertencem a r.
O Interseção de retas
O ponto P(xp,yp) de interseção de duas retas concorrentes re 5 pertence evidentemente 
a cada uma das retas e assim, por isso mesmo, suas coordenadas devem satisfazer as 
equações de ambas as retas, ao mesmo tempc.
Sejam as retas r: a,x + b,y + c, = 0 e s: a2x + b2y + c, = 0, dadas na forma geral. 
Substituindo simultaneamente as coordenadas xp e ya nas duas equações, temos:
|a,xB+ b-,yp + c,= 0 
[a?xp+ b 7yn+ c 3= 0
que constitui um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas (xp e yp), o qual, 
resolvido, fornece as coordenadas do ponto de interseção.
No caso de as equações das retas serem dadas na forma reduzida, poderá ser utilizado 
o mesmo processo.
A KM A 109
-lÜicamplã 1
Para achar o ponto I de interseção das retas r:2x + 5 y - 3 = 0 e s: x - y + 2 = 0,devemos
simplesmente resolver o sistema + 5y - 3 - 0
[x - y + 2 = 0
Isolando x na equação de s e substituindo esse 
valor na equação de r, temos:
2(y - 2) + 5y - 3 = 0 => y = 1 e então x = - 1
Assim, o ponto de interseção entre r e s é l(-1, 1).
exemplo 2
Sejam as retas r e s, dadas na forma reduzida r: y = 2x — 3 e s: y = 3x - 5. Para 
interceptá-las, basta igualarmos os valores de y das duas equações.
Assim: 2 x - 3 = 3 x - 5 = > x = 2
A seguir, substituímos x = 2 em qualquer uma das equações: 
y = 2 - 2 — 3 => y = 1 e (2, 1) é o ponto de interseção entre r e s.
r «emplo 9
Na figura abaixo, a reta que passa por A(1, —2) e B(—2, 4) intercepta em P a reta s,que, 
além de passar por C(4, 0), forma com os eixos coordenados um triângulo retângulo 
isósceles. Vamos determinar as coordenadas de P:
Inicialmente chamemos de r a reta que passa por A e B e 
determinemos sua equação (y = mx + n) através do sistema
I -2 = m + n 14 = -2m + h, que fornece m = - 2 e n = 0 .
Assim, r é dada pela equação y = - 2x.
Por outro lado, como forma com os eixos um triângulo 
isósceles no 4<?quadrante, s corta o eixo y no ponto de orde­
nada -4 , a qual nos fornece o valor de n: n = -4 . Para determinarmos m, basta aplicarmos 
à equação y = mx + n as coordenadas do ponto C: 3 = 4m + n => 0 = 4m - 4 => m = 1.
Temos, então: J' ̂ ^
[s: y = x - 4
Resolvendo o sistema obtido, temos x. 4 8 J 4= T ‘ p = " T
M A IPM ÁIICA : C lfN Ç IA E APUCAÇfiES
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O G G Q O G O O BObtenha o ponto de interseção das retas 3x - y + 5 = 0 e 2x + 3y -2 = 0.
As relas de equações 3x - y - 4 = 0 e y = 2x + k interceptam-se no ponto (k + 4, 11). Determine o valor de k.
Ache o ponto de encontro das retas de equações 3 — 2x = 3y + 2 e x
yEncontre as coordenadas do ponto P incii- 3cado no gráfico ao lado. 0 • P-1 1 3 X
Verifique se as retas 4x - y - 3 = 0. 3x - y - 1 = 0 e y = 5x - 5 interceptam- se no mesmo ponto. Em caso afirmat.vo, qual seria esse ponto?
Ache os vértices do triângulo cujos lados estão sobre as relas de equações y = 2x + 1. y = x + 4 e y = - x + 3. A seguir, verifique se o triângulo é retângulo.
(Fuvest-SP) As retas de equações x + v - 1 = 0, kx + y — 2 = 0 e x + ky — 3 = 0. concorrem num mesmo ponto. Nessas condições, calcule o valor de k.
(PUC-RS) Um triângulo ABC tem como vértices os pontos A(2, 1), B(0, 3) e Cf—1, 1). Determine as coordenadas do baricentro (ponto de encontro das medianas) desse triângulo.
Determine o ponto de interseção das retas r-. íx = 1 + t, íx = 9 — 2 t,i 1 e i'.q *.
\y = 7 - 3 I, ly =-2 + uOs pontos A(2, -3), B(-2, 3), Cf l , l )e D (-4, - D são vértices de um quadri­látero. Determine as coordenadas do ponto de encontro das diagonais desse quadrilátero.
Qual é a condição sobre k para que as retas de equações x + y + 1 = 0, x + ky - 3 = 0 e 2x + 4y - 1 = 0 formem um triângulo?
Determine o valor de p de modo que as relas de equações y = 2x + p e px - y + 3 = 0 sejam paralelas.
Qual é a condição sobre p para que as retas de equações y = px + 4 e 6x -2y + H = 0 tenham mais de um ponto comum?
A K- IA