Matemática Ciências e Aplicações V2-187-189

Prévia do material em texto

No caso de as filas serem proporcionais, temos:
1 -3 4 5 i -3 4 5
a b c d \ => A' = 5a 5b 5c 5d
7 11 1 0 )
S
troca 7 11 1 0
5a 5b 5c 5d a b c d
Pela propriedade II, det A' = -det A. (*)
Porém, A' pode ser vista como a matriz que se obtém de A multiplicando-se a 2? linha
por 5 e a 4? linha por 5 '
Pela propriedade III, temos que det A' = 5 
concluímos que det A = 0.
det A, isto é, det A' = det A e, em (*),
Exemplos
— ► 2 3 1
4 5 -2 = 0
— *> 2 3 1
1 Z_ 1 n
2 -h 2 1
4 0 4 3
3 - 1 3 7
í T
= o
3 - 1 2 
5 4 1
18 - 6 12
= 0
V. Matriz transposta
A e A' são matrizes cujos determinantes coincidem, isto é, det A' = det A.
Verifiquemos tal fato quando n = 2:
A =
/a
vC
bídl
det A = ad - bc; A' = íavb e det A' = ad - bc
Assim, por exemplo:
x y 
3 1
x 3
y i
3 1 5
4 0 2 
1 -1 3
3 4 1 
1 0 -1 
5 2 3
Üt IfcHMINANIES 187
VI. Teorema de Binet
Sejam A = ^ 2j e B = |'^ Sabemos que det A = 26 e det B = 2.
Construímos agora a matriz produto A • B = í 6 2] f 1 A J 0 4'
v-1 4, v-3 -J ~ v—13 8,
Temos que det (A • B) = 0 - (-5 2 ) = 52 = det_A ■ det_B.
26 2
Pode-se mostrar que, se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, vale a relação:
det (A ■ B) = (det A) ■ (det B)
Q O Q O G O Q D D O
33 Se
a)
y
w . qual é o valor de:
X z b) 2x z c) X y
y w 2y w z w , quando z = x e y = w?
34 Sem desenvolver os determinantes, calcule o valor de:
y =
4 -1 2 5
2 5 + 2-
1 3 7 9
6 15 0 -1 4 5
2 6 14 18
3 -2 3
+ 5 0 5
1 V3 1
a b c 6a 6d 6g
35 Se d e f = -3 , qual é o valor de 6b 6e 6h
8 h i 6c 6f 6i
36 Sabendo-se que A e B são matrizes quadradas de ordem 2, det A = 20, 
det Bl = -5 , qual é o valor de det (A • B)?
37 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3, det A = 5 e det B = 3- Qual é o 
valor de:
a) deL (A • B) b) det (B‘ • A‘) c) det (2 • A')
38 Admita que P é uma matriz quadrada inversível. Usando o Teorema de Binet, 
mostre que det P • det P"1 = 1.
MATEMÁTICA: CIENHA F APUCAÇÓFS
O Abaixamento da ordem de um 
determinante
O objetivo deste item é apresentar um método prático e rápido para se calcularem 
determinantes (de ordem maior ou igual a 3).
Comecemos estudando a seguinte propriedade:
Quando substituímos a fila de uma matriz quadrada A pela soma dos elementos 
dela com os elementos de outra fila paralela previamente multiplicada por um 
número real (não nulo), obtemos uma outra matriz A'.
Temos que det A'= det A.
Sendo A = 5 11} det A = 59. Vamos substituir a 2?linha de A pela soma dela com
. -4 3
a 1? multiplicada por -2 e obter:
A'= í 5 ")
1-14 -19)
/ \-4 + (-2) - 5 / N3 + (-2)-
Temos que det A' = -95 + 154 = 59.
Seja B =
2 -1 3
4 -2 1
3 1 -7
, det B = 25. Substituímos a 2? coluna de B pela soma dela com
a 1? multiplicada por 3, obtendo:
B' =
-1+3-2
1+3-3
det B' = 25
Essa propriedade é conhecida como Teorema de Jacobi.
OETERMlNANtfS 189